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香格里拉市第二中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

香格里拉市第二中学校 2018-2019 学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 一、选择题
1. 若函数 y=x2+(2a﹣1)x+1 在区间(﹣∞,2]上是减函数,则实数 a 的取值范围是( A.[﹣ ,+∞) B.(﹣∞,﹣ ] C.[ ,+∞)
2 2

座号_____

姓名__________

分数__________


D.(﹣∞, ] ) D.等腰三角形或直角三角形 C.等腰三角形

sin B ? tan B? sin A ,那么 ?ABC 一定是( 2. 在 ?ABC 中, tan A?
A.锐角三角形 3. 有以下四个命题: ①若 = ,则 x=y. ②若 lgx 有意义,则 x>0. ③若 x=y,则 =
2

B.直角三角形


2

④若 x>y,则 x <y . 则是真命题的序号为( A.①② B.①③ ) C.②③ D.③④
2

4. 设 f(x)与 g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数,若函数 y=f(x)﹣g(x)在 x∈[a,b]上有两 个不同的零点,则称 f(x)和 g(x)在[a,b]上是“关联函数”,区间[a,b]称为“关联区间”.若 f(x)=x ﹣3x+4 与 g(x)=2x+m 在[0,3]上是“关联函数”,则 m 的取值范围为( A.(﹣ ,﹣2] B.[﹣1,0]
?

) D.(﹣ ,+∞)

C.(﹣∞,﹣2] )

5. 在 ?ABC 中, b ? 3 , c ? 3 , B ? 30 ,则等于( A. 3 A.2 B.8 B. 12 3 C.﹣2 或 8 D.2 或 8 )

C. 3 或 2 3 )

D.2

6. 设全集 U={1,3,5,7,9},集合 A={1,|a﹣5|,9},? UA={5,7},则实数 a 的值是(

7. 对某班学生一次英语测验的成绩分析,各分数段的分布如图(分数取整数),由此,估计这次测验的优秀 率(不小于 80 分)为(

第 1 页,共 16 页

A.92%
2

B.24%

C.56% ) C.(2,+∞)

D.5.6% D.(﹣1,0) )

8. 若 f(x)=x ﹣2x﹣4lnx,则 f′(x)>0 的解集为( A.(0,+∞) A.1 B.2 B.(﹣1,0)∪(2,+∞)
2

9. 若曲线 f(x)=acosx 与曲线 g(x)=x +bx+1 在交点(0,m)处有公切线,则 a+b=( C.3 D.4

10.已知函数



,若

,则





A1 B2 C3 D-1
11.利用独立性检验来考虑两个分类变量 X 和 Y 是否有关系时,通过查阅下表来确定断言“X 和 Y 有关系”的 可信度,如果 k>5.024,那么就有把握认为“X 和 Y 有关系”的百分比为( P(K >k) k 0.455 A.25% A.个
2

) 0.005 0.001 10.828

0.50 0.708

0.40 1.323 B.75%

0.25 2.072 )

0.15 0.10 2.706 3.841 C.2.5%

0.05 5.024

0.025 0.010 6.635 7.879 D.97.5%

12.集合 ?1, 2,3? 的真子集共有( B.个

C.个

D.个

二、填空题
13.下列命题: ①终边在 y 轴上的角的集合是{a|a= ,k∈Z};

②在同一坐标系中,函数 y=sinx 的图象和函数 y=x 的图象有三个公共点; ③把函数 y=3sin(2x+ ④函数 y=sin(x﹣ 其中真命题的序号是
2

)的图象向右平移

个单位长度得到 y=3sin2x 的图象;

)在[0,π]上是减函数 .

14.不等式 ax ? ? a ? 1? x ? 1 ? 0 恒成立,则实数的值是__________. 15.设

是空间中给定的 个不同的点,则使

成立的点

的个数有_________个. .

16.等差数列 {an } 中, | a3 |?| a9 | ,公差 d ? 0 ,则使前项和 Sn 取得最大值的自然数是________. 17.设全集 U={0,1,2,3,4},集合 A={0,1,2},集合 B={2,3},则(? UA)∪B=

第 2 页,共 16 页

18.

=



三、解答题
19.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C 的离心率为

动点,且 PA?PB 的最小值为-2. (1)求椭圆 C 的标准方程;

??? ? ??? ?

2 , A 、 B 分别为左、右顶点, F2 为其右焦点, P 是椭圆 C 上异于 A 、 B 的 2

C 于 M 、N 两点,求 F2 M ?F2 N 的取值范围. (2)若过左焦点 F 1 的直线交椭圆

????? ???? ?

20.如图,在四边形 ABCD 中,∠DAB=90°,∠ADC=135°,AB=5,CD=2 AD 旋转一周所成几何体的表面积.

,AD=2,求四边形 ABCD 绕

21.(本小题满分 12 分) 已知直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,上底面是斜边为 AC 的直角三角形, E、F 分别是 A1B、AC1 的中点.

第 3 页,共 16 页

(1)求证: EF // 平面 ABC ; (2)求证:平面 AEF ? 平面 AA 1 B1 B .

22.已知函数 f(x)= x3+ax+2. (Ⅰ)求证:曲线=f(x)在点(1,f(1))处的切线在 y 轴上的截距为定值;
x 2 (Ⅱ)若 x≥0 时,不等式 xe +m[f′(x)﹣a]≥m x 恒成立,求实数 m 的取值范围.

23.(本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, PA ? 平面 ABCD , E 是 PD 的中点. (1)证明: PB / / 平面 AEC ; (2)设 AP ? 1 , AD ? 3 ,三棱锥 P ? ABD 的体积 V ?

3 ,求 A 到平面 PBC 的距离. 4

第 4 页,共 16 页

111]

24.已知二次函数 f(x)=x2+2bx+c(b,c∈R). (1)若函数 y=f(x)的零点为﹣1 和 1,求实数 b,c 的值; (2)若 f(x)满足 f(1)=0,且关于 x 的方程 f(x)+x+b=0 的两个实数根分别在区间(﹣3,﹣2),(0, 1)内,求实数 b 的取值范围.

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香格里拉市第二中学校 2018-2019 学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】B
2 【解析】解:∵函数 y=x +(2a﹣1)x+1 的图象是方向朝上,以直线 x=

为对称轴的抛物线

又∵函数在区间(﹣∞,2]上是减函数, 故 2≤ 解得 a≤﹣ 故选 B. 2. 【答案】D 【解析】

sin B ? tan B? sin A ,化简得 试题分析:在 ?ABC 中, tan A?
2 2

sin A sin B ? sin 2 B ? ? sin 2 A ,解得 cos A cos B

sin B sin A n i2 A s n i? 2 ? ? sin A cos A ? sin B cos B , 即s cos A cos B A? B ?

B, 所以 2 A ? 2 B 或 2 A ? ? ? 2 B , 即A? B或

?

2

,所以三角形为等腰三角形或直角三角形,故选 D.

考点:三角形形状的判定. 【方法点晴】本题主要考查了三角形形状的判定,其中解答中涉及到二倍角的正弦、余弦函数公式、以及同角 三角函数基本关系的运用, 其中熟练掌握三角恒等变换的公式是解答的关键, 着重考查了学生分析问题和解答 问题的能力,以及推理与运算能力,本题的解答中得出 sin 2 A ? sin 2 B ,从而得到 A ? B 或 A ? B ? 题的一个难点,属于中档试题. 3. 【答案】A 【解析】解:①若 = ,则 ,则 x=y,即①对;

?
2

是试

②若 lgx 有意义,则 x>0,即②对; ③若 x=y>0,则 = ,若 x=y<0,则不成立,即③错; ④若 x>y>0,则 x2>y2,即④错. 故真命题的序号为①② 故选:A. 4. 【答案】A

第 6 页,共 16 页

【解析】解:∵f(x)=x ﹣3x+4 与 g(x)=2x+m 在[0,3]上是“关联函数”, 故函数 y=h(x)=f(x)﹣g(x)=x ﹣5x+4﹣m 在[0,3]上有两个不同的零点, 故有 ,即 ,解得﹣ <m≤﹣2,
2

2

故选 A. 【点评】本题考查函数零点的判定定理,“关联函数”的定义,二次函数的性质,体现了转化的数学思想,属于 基础题. 5. 【答案】C 【解析】

考 点:余弦定理. 6. 【答案】D 【解析】解:由题意可得 3∈A,|a﹣5|=3, ∴a=2,或 a=8, 故选 D. 7. 【答案】C 【解析】解:这次测验的优秀率(不小于 80 分)为 0.032×10+0.024×10=0.56 故这次测验的优秀率(不小于 80 分)为 56% 故选 C 【点评】在解决频率分布直方图时,一定注意频率分布直方图的纵坐标是 8. 【答案】C 【解析】解:由题,f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=2x﹣2﹣ 令 2x﹣2﹣
2 >0,整理得 x ﹣x﹣2>0,解得 x>2 或 x<﹣1,





结合函数的定义域知,f′(x)>0 的解集为(2,+∞).

第 7 页,共 16 页

故选:C. 9. 【答案】A
2 【解析】解:∵f(x)=acosx,g(x)=x +bx+1,

∴f′(x)=﹣asinx,g′(x)=2x+b,
2 ∵曲线 f(x)=acosx 与曲线 g(x)=x +bx+1 在交点(0,m)处有公切线,

∴f(0)=a=g(0)=1,且 f′(0)=0=g′(0)=b, 即 a=1,b=0. ∴a+b=1. 故选:A. 【点评】本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程,函数在某点处的导数,就是曲线上过该点的切线的斜 率,是中档题. 10.【答案】A 【解析】g(1)=a﹣1, 若 f[g(1)]=1, 则 f(a﹣1)=1, 即 5|a﹣1|=1,则|a﹣1|=0, 解得 a=1 11.【答案】D 【解析】解:∵k>5、024, 而在观测值表中对应于 5.024 的是 0.025, ∴有 1﹣0.025=97.5%的把握认为“X 和 Y 有关系”, 故选 D. 【点评】本题考查独立性检验的应用,是一个基础题,这种题目出现的机会比较小,但是一旦出现,就是我们 必得分的题目. 12.【答案】C 【解析】

考点:真子集的概念.

第 8 页,共 16 页

二、填空题
13.【答案】 ③ .

【解析】解:①、终边在 y 轴上的角的集合是{a|a= ②、设 f(x)=sinx﹣x,其导函数 y′=cosx﹣1≤0, ∴f(x)在 R 上单调递减,且 f(0)=0, ∴f(x)=sinx﹣x 图象与轴只有一个交点. ∴f(x)=sinx 与 y=x 图象只有一个交点,故②错误; ③、由题意得,y=3sin[2(x﹣ ④、由 y=sin(x﹣ 故答案为:③. )+

,k∈Z},故①错误;

]=3sin2x,故③正确;

)=﹣cosx 得,在[0,π]上是增函数,故④错误.

【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断及其应用,终边相同的角,正弦函数的性质,图象的平移变换, 及三角函数的单调性,熟练掌握上述基础知识,并判断出题目中 4 个命题的真假,是解答本题的关键.

14.【答案】 a ? 1 【解析】
2 试题分析:因为不等式 ax ? ? a ? 1? x ? 1 ? 0 恒成立,所以当 a ? 0 时,不等式可化为 x ? 1 ? 0 ,不符合题意;

当 a ? 0 时,应满足 ?

?a ? 0 ?? ? (a ? 1) ? 4a ? 0
2

,即 ?

?a ? 0
2 ?(a ? 1) ? 0

,解得 a ? 1 .1

考点:不等式的恒成立问题. 15.【答案】1 【解析】【知识点】平面向量坐标运算 【试题解析】设 设 ,则

因为



第 9 页,共 16 页

所以

,所以

因此,存在唯一的点 M,使 故答案为: 16.【答案】或 【解析】

成立。

试题分析: 因为 d ? 0 , 且 | a3 |?| a9 | , 所以 a3 ? ?a9 , 所以 a1 ? 2d ? ?a1 ? 8d , 所以 a1 ? 5d ? 0 , 所以 a6 ? 0 , 所以 an ? 0 ?1 ? n ? 5? ,所以 Sn 取得最大值时的自然数是或. 考点:等差数列的性质. 【方法点晴】 本题主要考查了等差数列的性质, 其中解答中涉及到等差数列的通项公式以及数列的单调性等知 识点的应用,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力,以及推理与运算能力,属于中档试题,本题的解答 中,根据数列的单调性,得出 a1 ? 5d ? 0 ,所以 a6 ? 0 是解答的关键,同时结论中自然数是或是结论的一个 易错点. 17.【答案】 {2,3,4} . 【解析】解:∵全集 U={0,1,2,3,4},集合 A={0,1,2}, ∴CUA={3,4}, 又 B={2,3}, ∴(CUA)∪B={2,3,4}, 故答案为:{2,3,4} 18.【答案】 2 . 【解析】解: 故答案为:2. 【点评】本题考查了对数的运算性质,属于基础题. =2+lg100﹣2=2+2﹣2=2,

三、解答题
19.【答案】(1)

????? ???? ? x2 y 2 ? ? 1 ;(2) F2 M ?F2 N ?[?2,7) . 4 2
第 10 页,共 16 页

【解析】

试 题解析:(1)根据题意知 ∴

c 1 c 2 ,即 2 ? , ? a 2 a 2

2

a 2 ? b2 1 ? ,则 a 2 ? 2b2 , 2 a 2 设 P ( x, y ) , ??? ? ??? ? ∵ PA? PB ? (?a ? x, ? y)? (a ? x, ? y) , a2 x2 1 2 ? ? (x ? a2 ) , 2 2 2 ??? ? ??? ? a2 ? a ? x ? a x ? 0 ? ?2 , ∵ ,∴当 时, ( PA?PB) min ? ? 2 2 2 ∴ a ? 4 ,则 b ? 2 . ? x2 ? a2 ? y 2 ? x2 ? a2 ?
∴椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 2

第 11 页,共 16 页

11 11]

4(k 2 ? 1) 4 2k 2 x x ? , , 1 2 2 1 ? 2k 2 1 ? 2 k ????? ???? ? ∵ F2 M ? ( x1 ? 2, y1 ) , F2 N ? ( x2 ? 2, y2 ) , ????? ???? ? ∴ F2 M ? F2 N ? x1x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 2 ? k 2 ( x1 ? 2)( x2 ? 2)
设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ?

? (1 ? k 2 ) x1x2 ? ( 2k 2 ? 2)( x1 ? x2 ) ? 2k 2 ? 2
4(k 2 ? 1) ?4 2k 2 2 ? (1 ? k 2 )? ? 2( k ? 1) ? ? 2k 2 ? 2 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 9 ?7? . 1 ? 2k 2 1 2 ? 1. ∵ 1 ? 2k ? 1 ,∴ 0 ? 1 ? 2k 2 9 ? [?2, 7) . ∴7 ? 1 ? 2k 2 ????? ???? ? 综上知, F2 M ? F2 N ?[?2,7) .
考点: 1、待定系数法求椭圆的标准方程;2、平面向量的数量积公式、圆锥曲线中的最值问题. 【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值,属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题 一般有两种方法:一是几何意义,特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决,非常巧妙;二是将 圆锥曲线中最值问题转化为函数问题, 然后根据函数的特征选用参数法、 配方法、 判别式法、 三角函数有界法、 函数单调性法以及均值不等式法.

第 12 页,共 16 页

20.【答案】 【解析】解:四边形 ABCD 绕 AD 旋转一周所成的 几何体,如右图: S 表面=S 圆台下底面+S 圆台侧面+S 圆锥侧面= πr22+π(r1+r2)l2+πr1l1= = =

21.【答案】(1)详见解析;(2)详见解析. 【 解 析 】

试 题解析:证明:(1)连接 A1C ,∵直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,四边形 AA 1C1C 是矩形, 故点 F 在 A1C 上,且 F 为 A1C 的中点, 在 ?A1 BC 中,∵ E、F 分别是 A1B、AC1 的中点,∴ EF // BC . 又 EF ? 平面 ABC , BC ? 平面 ABC ,∴ EF // 平面 ABC .

第 13 页,共 16 页

考点:1.线面平行的判定定理;2.面面垂直的判定定理. 22.【答案】
2 【解析】(Ⅰ)证明:f(x)的导数 f′(x)=x +a,

即有 f(1)=a+ ,f′(1)=1+a, 则切线方程为 y﹣(a+ )=(1+a)(x﹣1), 令 x=0,得 y= 为定值;
x 2 (Ⅱ)解:由 xe +m[f′(x)﹣a]≥m x 对 x≥0 时恒成立, x 2 2 得 xe +mx ﹣m x≥0 对 x≥0 时恒成立, x 2 即 e +mx﹣m ≥0 对 x≥0 时恒成立, x 2 则(e +mx﹣m )min≥0, x 2 记 g(x)=e +mx﹣m ,

g′(x)=ex+m,由 x≥0,ex≥1, 若 m≥﹣1,g′(x)≥0,g(x)在[0,+∞)上为增函数, ∴ 则有﹣1≤m≤1, 若 m<﹣1,则当 x∈(0,ln(﹣m))时,g′(x)<0,g(x)为减函数, 则当 x∈(ln(﹣m),+∞)时,g′(x)>0,g(x)为增函数, ∴ ∴1﹣ln(﹣m)+m≥0, 令﹣m=t,则 t+lnt﹣1≤0(t>1), φ(t)=t+lnt﹣1,显然是增函数, , ,

第 14 页,共 16 页

由 t>1,φ(t)>φ(1)=0,则 t>1 即 m<﹣1,不合题意. 综上,实数 m 的取值范围是﹣1≤m≤1. 【点评】 本题为导数与不等式的综合, 主要考查导数的应用, 考查考生综合运用知识的能力及分类讨论的思想, 考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力、化归与转化思想. 23.【答案】(1)证明见解析;(2) 【解析】

3 13 . 13

试 题解析:(1)设 BD 和 AC 交于点 O ,连接 EO ,因为 ABCD 为矩形,所以 O 为 BD 的中点,又 E 为 PD 的 中点,所以 EO / / PB , EO ? 且平面 AEC , PB ? 平面 AEC ,所以 PB / / 平面 AEC .

3 1 3 3 ,可得 AB ? ,作 AH ?PB 交 PB 于 H .由题设知 BC ? 平 PA?AB?AD ? AB ,由 V ? 2 6 6 4 PA?AB 3 13 面 PAB ,所以 BC ? AH ,故 AH ? 平面 PBC ,又 AH ? ,所以 A 到平面 PBC 的距离为 ? PB 13 3 13 .1 13
(2)V ? 考点:1、棱锥的体积公式;2、直线与平面平行的判定定理. 24.【答案】

【解析】解:(1)∵﹣1,1 是函数 y=f(x)的零点,∴ (2)∵f(1)=1+2b+c=0,所以 c=﹣1﹣2b. 令 g(x)=f(x)+x+b=x2+(2b+1)x+b+c=x2+(2b+1)x﹣b﹣1,

,解得 b=0,c=﹣1.

∵关于 x 的方程 f(x)+x+b=0 的两个实数根分别在区间(﹣3,﹣2),(0,1)内,



,即

.解得 <b< ,

第 15 页,共 16 页

即实数 b 的取值范围为( , ). 【点评】本题考查了二次函数根与系数得关系,零点的存在性定理,属于中档题.

第 16 页,共 16 页


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