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复旦大学附中2013届高三数学一轮复习单元训练:平面向量


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复旦大学附中 2013 届高三数学一轮复习单元训练:平面向量 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.设 OM ? (2,1), ON ? (0,1), O 为坐标原点,动点 P( x, y) 满足

???? ?

????

??? ???? ? ? ??? ???? ? 0 ? OP ? OM ? 1,0 ? OP ? ON ? 1 ,则 x ? y 的最小值是(
A.

) D.-

1 2

B.—

1 2

C.

3 2
)

3 2

【答案】D 2.在△ABC 中,AB=AC,D、E 分别是 AB、AC 的中点,则( A. AB 与 AC 共线 C. AD 与 AE 相等

B. DE 与 CB 共线? D. AD 与 BD 相等

【答案】B ? ? ? ? 3. ?A C 中, a, b, c 分别是角 A、 C 的对边,m ? (b,2a ? c), n ? (cosB, cosC ) , m // n , 在 B B、 且 则 B 的大小为( ) A.

? 6

B.

? 4

C.

? 3

D.

? 2

【答案】C 4. a ? (2, x), b ? ( x, 2), a // b,则x ? ( A.2 B.-2 【答案】C

) C. ?2

D.1

5.已知 a ? ( 1 , 0 , 1 ) b ? ( 1 , 1 ,0) , ,则向量 a 与 b 的夹角为( A. 0 【答案】B B.

?

?

?

?

)

? 3

C.

? 6

D.

? 2
)

??? ?? ??? ?? ? ? ? ??? ? 6.如图所示, D 是 ?ABC 的边 AB 上的中点,记 BC ? e1 , BA ? e2 ,则向量 CD ? (

A. ?e1 ? e2 【答案】B

??

? 1 ?? 2

B. ?e1 ? e2

??

? 1 ?? 2

C. e1 ? e2

??

? 1 ?? 2

D. e1 ? e2

??

? 1 ?? 2

7.已知向量 a=(sinx,cosx),向量 b=(1, 3),则|a+b|的最大值为( A.1 B. 3 C.3 D.9 【答案】C 8.已知向量 a=(3,4),b=(2,-1),如果向量 a+ b 与- b 垂直,则 的值为(
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)

)

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A. 【答案】A

B.

C.

D.2

9.已知向量 a ? ( x ?1, 2), b ? (4, y) ,若 a ? b ,则 9 x ? 3 y 的最小值为( A. 2 3 【答案】B B.6 C.12 D. 3 2

?

?

?

?

)

10.在△ABC 中, a, b, c 分别为角 A,B, C 的对边,若 m ? (a ? b,1)和n ? (1, c ? b) 垂直且

??

?

sin B ?

3 4 ,当△ABC 面积为 时,则 b 等于( ) 2 5 1? 3 A. B.4 C. 2 ? 3 2

D.2

【答案】D 11.已知平面向量 m, n 的夹角为

? , 且 m ? 3, n ? 2 ,在 ?ABC 中, AB ? 2m ? 2n , 6
) D.8

AC ? 2m ? 6n , D 为 BC 中点,则 AD ? (
A.2 【答案】A B.4 C.6

12.设向量 a 和 b 的长度分别为 4 和 3,夹角为 60°,则| a + b |的值为( A.37 【答案】C B.13 C. 37 D. 13

)

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 13.如图所示: ?ABC 中,点 O 是 BC 中点。过点 O 的直线分别交直线 AB 、 AC 于不同 两点 M 、 N 。若 AB ? mAM , AC ? nAN ,则 m ? n 的值为

??? ?

???? ??? ? ?

????

【答案】2 14.已知 a , b 均为单位向量,它们的夹角为 60 0 ,那么 a ? b ? ____________。 【答案】 3
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? ?

?

?

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?? ?? ?
值为 【答案】6

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? ? ?? ? ?? ?? ? ? ? ?? ?

15.在平面上给定非零向量 e1 , e2 满足 | e1 |? 3,| e2 |? 2 ,e1 , e2 的夹角为 60? ,则 | 2e1 ? 3e2 | 的

16.设 a, b, c 是单位向量,且 a ? b ? c ,则 a ? c 的值为 【答案】0.5 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.在 ?ABC 中, a ,b , c 分别是角 A、B、C 的对边, m ? ( 2b ? c ,cosC ),n ? ( a , cos A ) ,
? ?

? ??

? ?

?

? ?

?

?

且 m// n . (1)求角 A 的大小; (2)求 y ? 2 sin 2 B ? cos(
? ?

?
3

? 2 B) 的值域.

【答案】 (1)由 m// n 得 (2b ? c) ? cos A ? a cosC ? 0 由正弦定理得 2 sin B cos A ? sin C cos A ? sin A cos C ? 0

? 2 sin B cos A ? sin(A ? C ) ? 0

? 2 sin B cos A ? sin B ? 0
? A, B ? ?0, ? ?? sin B ? 0, cos A ?
(2) y ? sin 2 B ? cos =1 ?

?
3

1 ? ,? A ? 2 3

cos 2 B ? sin

?

3

sin 2 B

1 3 cos 2 B ? sin 2 B 2 2

= sin( 2 B ?

?
6

) ?1 2? ? ? 7? ? ? ? 2B ? ? 3 6 6 6

由(1)得 0 ? B ?

? sin(2 B ?

?

? 1 ? ) ? ? ? ,1? 6 ? 2 ?

?1 ? ? y ? ? ,2? ?2 ?

18.已知向量 a = (cos? , sin ? ) , ? ? [0, ? ] ,向量 b =( 3 ,-1) (1)若 a ? b ,求 ? 的值?; (2)若 2a ? b ? m 恒成立,求实数 m 的取值范围。 【答案】(1)∵ a ? b ,∴ 3 cos? ? sin ? ? 0 ,得 tan? ? 3 ,又 ? ? [0, ? ] ,所以 ? ? (2)∵ 2a ? b = (2 cos? ? 3,2 sin ? ? 1) ,
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?

?

?

?

? ?

?

?

π ; 3

? ?

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? ?2

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?1 ?2 ? ? 3 ? π? cosθ ? ? 8 ? 8 sin ? θ ? ? , ? 2 ? 3? ?

所以 2a ? b ? (2 cosθ ? 3 ) 2 ? (2 sin θ ? 1) 2 ? 8 ? 8? sin θ ?

又??∈[0, π ?],∴ ? ?

π π 2π π? 3 ? ? [? , ] ,∴ sin ?? ? ? ?[? ,1] , 3 3 3 3? 2 ?

∴ 2a ? b 的最大值为 16,∴ 2a ? b 的最大值为 4,又 2a ? b ? m 恒成立,所以 m ? 4 。 19.已知 A(?3, 2), AB ? (8,0), 求线段 AB 的中点 C 的坐标。 【答案】设 B( x, y), AB ? ( x, y) ? (?3, 2) ? (8,0),? ?

? ?2

?

?

? ?

??? ?

??? ?

?x ? 3 ? 8 ?x ? 5 ?? ?y ? 2 ? 0 ?y ? 2

? B(5, 2), xC ? 1, yC ? 2 ? C(1, 2)
20.在Δ ACB 中,已知 ?A ? (I)用θ 表示|CA|; (II)求. f (? ) ? CA ? OB 的单调递增区间.

?

? ? 3? ? , | BC |? 2 ,设 ?ACB ? ? ,? ? ? , ? . 4 ?2 4 ?

【答案】在 ?ABC 中,

A?

?
4 , | CB |? 2 ,?

B?

3? ?? 4 ,

| CB |
由正弦定理得

sin

?

?

4

| CA | 3? ? 3? 3? sin( ? ? ) ?| CA |? 2 2 sin( ? ? ) ? ? ( , ) 4 2 4 4 , ,

(Ⅱ)由(Ⅰ)得

??? ??? ? ? 3? | CA || CB | cos ? ? 4 2 sin( ? ? ) cos ? f (? ) ? CA? CB = 4 ? 4(cos 2 ? ? sin ? cos ? ) ? 2(1 ? cos 2? ? sin 2? ) ? 2 2 sin(2? ? ) ? 2 4 , 2 k? ?

?

?
2

? 2? ?

?
4

? 2 k? ?

?
2

,? k? ?

3? ? ? ? ? k? ? , k ? Z 8 8 ,

5? 9? ?? ? 8 , 令 k ? 1 ,得 8

又?

? 3? ? ?( , )
2

4 ,

? f ?? ?

? 5? 3? ? , ? ? 的单调增区间为 ? 8 4 ? .

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?

21. a ? (1 ? cs ? , s ? ) , ? (1 ? cos? , sin ? ) , ? (1,0) , 设 其中 ? ? (0,? ) ,? ? (? ,2? ) , o n i c b

?

? ? ? ? ?? ? ? a 与 c 的夹角为 ? 1 , b 与 c 的夹角为 ? 2 ,且 ?1 ? ? 2 ? ,求 sin 的值。 6 4
【答案】 a ? (2 cos 2

?

b ? (2 sin 2

?
2

,2 sin

?
2

2

,2 sin ? cos ? ) ? 2 cos

?

cos

?
2

) ? 2 sin

?
2

(sin

?
2

2

(cos

?

, cos

?
2

2 )

, sin

?

2

)

因为 ? ? (0, ? ), ? ? (? ,2? ) ,所以

?

a ? 2 cos

?
2

, b ? 2 sin

?
2

? (0, ) , ? ( , ? ) ,故 2 2 2 2

?

?

?



cos?1 ?

a?c a?c b?c

?

2 cos2

2 ? cos ? ? 2 2 cos 2

?

2 ? sin ? ? cos( ? ? ? ) 2 2 2 b?c 2 sin 2 ? ? ? ? ? ? 因为 0 ? ? ? ,所以 ? 2 ? ? ,又 ? 1 ? ? 2 ? , 2 2 2 2 2 6 ? ? ? ? 所以 ? ? ? , 2 2 2 6 ? ?? ? ? ?? ? 1 ? ? ,所以 sin ? sin( ? ) ? ? 。 故 2 3 4 6 2 ??? ???? ??? ??? ? ? ? 22.如图,在四边形 ABCD 中,AB=AD=4,BC=6,CD=2, 3 AB ? AD ? 4CB ? CD ? 0

cos? 2 ?

?

2 sin 2

?

?

(1) (2) (3)

求四边形 ABCD 的面积; 求三角形 ABC 的外接圆半径 R; 若 ?APC ? 600 ,求 PA+PC 的取值范围。

【答案】 (1)由 3 AB ? AD ? 4CB ? CD ? 0 得 ?BAD ? ?BCD ? ?

??? ???? ?

??? ??? ? ?

??ABC ? ?ADC ? ?

? AC 2 ? 42 ? 62 ? 2 ? 4 ? 6cos ?ABC ? 42 ? 22 ? 2 ? 2 ? 4cos ?ADC
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? cos ?ABC ? 1 2

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故 ?ABC ? 600

1 1 ? S ABCD ? ? 2 ? 4 ? sin1200 ? ? 4 ? 6sin 600 ? 8 3 2 2
(2)由(1)知 AC ? 2 7 ,? 2 R ?

AC 2 7 4 21 ? ? 0 sin ?ABC sin 60 3

?R ?
(3)

2 21 3

由(1)和(2)知点 P 在三角形 ABC 的外接圆上,故 PA=2Rsin∠ACP,

PC=2Rsin∠CAP,设∠ACP=θ ,则∠CAP=

2? ?? , 3

2? ? ? ? ? PA ? PC ? 2R ?sin ? ? sin( ? ? ) ? ? 4 7 sin(? ? ) , 3 6 ? ?
?? ? (0, 2? ? ? 5? ) ?? ? ? ( , ) 3 6 6 6

? ?1 ? ? sin(? ? ) ? ? ,1? 6 ?2 ?

? PC ? PA ? 2 7, 4 7 ? ?

?

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