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2015-2016学年人教B版高中数学课件 选修2-2:第一章 导数及其应用 2.1《几个常用函数的导数》_图文

第1章 1.2.1 导数及应用 几个常用函数的导数 几个常用 函数的导 数 内容:根据导数的定义求四个常用函数 的导数 应用 根据导数定义求出函数的导 数 求曲线在某点处的切线方程 本课主要学习根据导数定义求出几个常用函数的导 数,利用地球脉动视频引入新课,以“问题引导,探究交 流”为主,新知识是学生在已有知识的基础上探究而来 ,例题的处理非常灵活,变式训练设计合理,过渡有水 到渠成之感,整堂课下来充实流畅. 在讲述利用导数求切线方程时,采用例题与思考与 探究相结合的方法,通过2个例题。随后是课堂检测, 通过设置难易不同的必做和选做试题,有利于对不同的 学生进行因材施教。 1.导数的定义是什么? 一般地,函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬间变化率是 f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y ? lim , ?x ?0 ?x ?x ? 0 ?x lim 我们称它为 f ( x) 在点 x ? x0 处的导数,记为 f ?( x) ,或 y? |x?x , 0 即: f ?( x) ? lim f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y ? lim . ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x 2.导数的几何意义是什么? 曲线 y ? f ( x) 在点( x0 , f ( x0 ) )处的切线的斜率. 3.求函数 y ? f ( x) 的导数的一般步骤是什么? (1)求函数的改变量 ?y ? f ( x ? ?x) ? f ( x) ; ?y f ( x ? ?x) ? f ( x) (2)求平均变化率 ?x ? ; ?x ?y f ( x ? ?x) ? f ( x) lim lim ? y (3)取极限,得导数 = f ?( x) ? ?x?0 ?x = ?x?0 . ?x 简称:一差、二商、三极限. 地球脉动 地球的变幻—导数与函数的变幻 函数 y = f (x) =c 的导数 因 ?y f ? x ? ?x ? ? f ? x ? c ? c ? ? ? 0, ?x ?x ?x y y=c ?y 所以 y' ? lim ? lim 0 ? 0. ?x ?0 ?x ?x ? 0 O x 从几何的角度理解: y?=0表示函数y=x图象上每一点处的切线的斜率都为0. 从物理的角度理解: 若y=c表示路程关于时间的函数,则y?=0则为某物体的瞬时速 度始终为0,即一直处于静止状态. 函数 y= f (x)=x 的导数 ?y f ?x ? ?x ? ? f ?x ? x ? ?x ? x 因为 ? ? ? 1, ?x ?x ?x y y=x ?y 所以 y ' ? lim ? lim 1 ? 1. ?x ?0 ?x ?x ?0 从几何的角度理解: y?=1表示函数y=x图象上每一点处的 切线斜率都为1. 从物理的角度理解: O x 若y=x表示路程关于时间的函数,则y?=1可以解释为某物体做瞬 时速度为1的匀速运动. 函数 y = f (x) = x2 的导数 ?y f ?x ? ?x ? ? f ?x ? ?x ? ?x ? ? x 2 因为 ? ? ?x ?x ?x 2 y y=x2 x ? 2 x ? ?x ? ??x ? ? x 2 ? ?x 2 2 ? 2 x ? ?x 所以 ?y y ' ? lim ? lim ?2 x ? ?x ? ? 2 x. ?x ?0 ?x ?x ?0 O x 从几何的角度理解: y? =2x表示函数y=x2图象上点(x,y)处切线的斜率为2x, 说明随着x的变化,切线的斜率也在变化. 从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看,y?=2x表明: 当x<0时,随着x的增加,y=x2减少得越来越慢; 当x>0时,随着x的增加,y=x2增加得越来越快. 从物理的角度理解: 若y=x2表示路程关于时间的函数,则y?=2x可以解释为某 物体作变速运动,它在时刻x的瞬时速度为2x. 1 函数 y = f (x) = 的导数 x 1 1 ? ?y f ?x ? ?x ? ? f ?x ? x ? ?x x 因为 ? ? ?x ?x ?x x ? ?x ? ?x ? 1 ? ?? 2 , x?x ? ?x ??x x ? x ? ?x ?y 1 1 ? ? 所以 y' ? lim ? lim ? ? 2 ?? 2. ? ?x ?0 ?x ?x ?0 x ? x ? x ? ?x ? 1 画出函数 y ? x 的图象.根据图象,描述它的变化情况, 并求出曲线在点(1,1)处的切线方程. y 2 1 -2 -1 1 2 x -1 -2 1.四个常用函数的导数: (1) y ? f ( x) ? c 的导数 y ? ? 0 ; (3) y ? f ( x) ? x 的导数 y? ? 2 x ; 2 (2) y ? f ( x) ? x 的导数 y ? ? 1 ; 1 y ? f ( x ) ? (4 ) x 的导数 y? ? ? 1 x2 . 2.求函数导数的步骤: (1)求函数的改变量 ?y ? f ( x ? ?x) ? f ( x) ; ?y f ( x ? ?x) ? f ( x) (2)求平均变化率 ?x ? ; ?x (3)得导数 y? = f ?( x) ? ?y ?x ?0 ?x lim . 3.函数的导数的不同角度意义的解释: (1)几何意义的解释是:曲线 y ? f ( x) 在点( x0 , f ( x0 ) )处的切线的 斜率; (2)物理意义的解释是:物体运动在某一时刻的瞬时速度. 例1.在同一平面直角坐标系中,画出函数y=2x,y=3x,y=4x的图象, 并根据导数定义,求它们的导数. (1)从图象上看,它们的导数分别表示什么? (2)这三个函数中,哪一个增加得最快?哪一个增加得最慢? (3)函数y=k

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