tceic.com
学霸学习网 这下你爽了
赞助商链接
当前位置:首页 >> 数学 >>

广东省2014届高三理科数学各地试题精选分类汇编9:圆锥曲线


广东省 2014 届高三理科数学各地试题精选分类汇编 9:圆锥曲线
一、选择题 1 . (广东省佛山市南海区 2014 届普通高中高三 8 月质量检测理科数学试题 )已知抛物线 y
2

? 2 px 的焦点 F

与双曲线

x2 y 2 ? ?1 的 右 焦点重合 ,抛 物线的 准线 与 x 轴的 交点为 K , 点 A 在 抛 物线上 且 7 9 ( ) | AK |? 2 | AF | ,则△ AFK 的面积为
B.8 C.16 D.32

A.4
【答案】D

2 . (广东省普宁侨中 2014 届高三第一次月考(10 月)数学(理)试题)若双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的离心率为 3 , a 2 b2
( )

则其渐近线方程为( ); A. y ? ?2 x
【答案】B 3 . (广东省六校 2014 届高三第一次联考理科数学试题) 若动圆的圆心在抛物线 x
2

B. y ? ? 2 x

C. y ? ?

1 x 2

D. y ? ?

2 x 2

? 12 y 上 , 且与直线
( )

y ? 3 ? 0 相切,则此圆恒过定点 A. (0, 2) B. (0, ?3)
【答案】C
2

C. (0,3)

D. (0, 6)

解析:因为抛物线 x ? 12 y 的焦点为(0,3),准线为 y=-3,所以由抛物线定义及题目条件 可知,圆恒过定 点(0,3).
4 . (广东省揭阳一中等 2014 届高三上学期开学摸底联考数学理试题 ) “ m ? n ? 0 ”是“方程 mx
2

? ny 2 ? 1


表示焦点在 y 轴上的椭圆”的 A.充分而不必要条件 C.既不充分也不必要条件 【答案】D

( B.必要而不充分条件 D.充要条件 D
2

5 . (广东省珠海四中 2014 届高三一轮复习测试(二)数学理试题)直线 l 过抛物线 C:x =4y 的焦点且与 y 轴

垂直,则 l 与 C 所围成的图形的面积等于 ( ) 4 8 16 2 A. B.2 C. D. 3 3 3 【答案】 C [解析] 由题意得直线 l 的方程是 y=1,代入抛物线方程得 x=±2,所以直线 l 与抛物线 C 所围成 图形的面积 S=4-2?
2

x2

?0 4
2

dx

.
2

6 ( .广东省广州市执信、 广雅、 六中 2014 届高三 9 月三校联考数学 (理) 试题) 已知圆 C: ( x ? a )

? ( y ? b) 2 ? r 2
( )

的圆心为抛物线 y ? 4 x 的焦点,直线 3x+4y+2=0 与圆 C 相切,则该圆的方程为 A. ( x ? 1) 2 ? y 2 ?

64 25
C .

B


2 2

x 2 ? ( y ? 1) 2 ?

64 25

( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1

D. x ? ( y ? 1) ? 1

【答案】C 7 . (广东省广州市越秀区 2014 届高三上学期摸底考试数学理试题)若双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的渐近 a 2 b2
( )

线与圆 ( x ? 2) ? y ? 1相切,则双曲线的离心率为
2 2

A.

4 3

B.

2 3 3

C. 2

D. 2

【答案】B
1

8 . (广东省湛 江市湖光中学 2014 届高三上学期入学考试数学(理)试题)已知抛物线 y ?

3 2 x ,则它的焦点 4
( )

坐标是 3 A.(0, ) 16 【答案】D 3 B.( ,0) 16 1 C.( ,0) 3 1 D.(0, ) 3

9 . (2013-2014 学年广东省 (宝安中学等) 六校第一次理科数学联考试题)定义:关于 x 的不等式 | x ? A |? B 的

x2 y2 解集叫 A 的 B 邻域.已知 a ? b ? 2 的 a ? b 邻域为区间 ( ?2,8) ,其中 a、 b 分别为椭圆 2 ? 2 ? 1 的 a b 2 长半轴和短半轴.若此椭圆的一焦点与抛物线 y ? 4 5x 的焦点重合,则椭圆的方程为 ( )
x2 y2 ? ?1 A. 8 3 x2 y2 ? ?1 B. 9 4 x2 y2 ? ?1 C. 9 8 x2 y2 ? ?1 D 9 . 16

【答案】B 10. (广东省汕头市金山中 学 2014 届高三上学期开学摸底考试数学(理)试题)平面直角坐标系上有两个定点

A, B 和动点 P ,如果直线 PA 和 PB 的斜率之积为定值 m?m ? 0? ,则点 P 的轨迹不可能是( )(下列轨
( B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 )

迹的一部分) A.圆 【答案】D
二、填空题

11. (广东省深圳市宝安区 2014 届高三上学期调研测试数学理试卷)以抛物线 y

2

? 20x 的焦点为圆心,且与双

曲线

x2 y2 ? ? 1 的两条渐近线都相切的圆的方程为______________________. 16 9 2 2 【答案】 ( x - 5) + y = 9

12. (广东省汕头四中 2014 届高三第一次月考数学(理)试题)双曲线的焦点在 x 轴上,实轴长为 4,离心率为

3,则该双曲线的标准方程为___,渐近线方程为___.
【答案】

x2 y 2 ? ? 1 , y ? ?2 2x 4 32
2

13. (广东省湛江市 2014 届高三 10 月高三调研测试数学理试题(WORD 版) )过抛物线 y =4x 的焦点且与直线

2x-y+1=0 平行的直线方程是____
【答案】 y ? 2 x ? 2 14. (广东省韶关市 2014 届高三摸底考试数学理试题)若抛物线 y
2

? 2 px 的焦点与双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的右焦 6 3

点重合,则 p 的值为___________.

P x2 y 2 ? ? 1 的右焦点 F (3,0) 是抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点,所以, ? 3 , P ? 6 【答案】 解析:双曲线 2 6 3 x2 y 2 ? ?1 15( .广东省六校 2014 届高三第一次联考理科数学试题) 已知双曲线 C 的焦点、 实轴端点恰好是椭圆 25 16
的长轴端点、焦点,则双曲线 C 的渐近线方程是____________________.
【答案】 4 x ? 3 y ? 0

解析:椭圆长轴端点为(-5,0),(5,0),焦点为(-3,0),(3,0),所以,对于双曲线中, c=5,a=3,求得 b=4,双曲线方程为:

x2 y 2 ? =1,渐过线方程为: 4 x ? 3 y ? 0 9 16
x2 y2 =1 的渐近线与圆 a2 b2

16. (广东省揭阳一中等 2014 届高三上学期开学摸底联考数学理试题 )若双曲线

( x ? 2) 2 ? y 2 ? 3 相切,则此双曲线的离心率为________.
【答案】2; 17 . ( 广 东 省 深 圳 市 高 级 中 学 2014 届 高 三 上 学 期 第 一 次 月 考 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知 双 曲 线
2

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? 0, b ? 0? 的一条渐近线方程是 y ? 3x ,它的一个焦点与抛物线 y 2 ? 16 x 的焦点相同, a 2 b2
则双曲线的方程为_____.

x2 y 2 ? ?1 【答案】 4 12
18. (广东省广州市海珠区 2014 届高三入学摸底考试数学理试题)已知双曲线

条渐近线与抛物线 y2 ? 2 px ? p ? 0? 的准线分别交于 A, B 两点 , O 为坐标原点 . 若双曲线的离心率为 2, ?AOB 的面积为 3 ,则 p ? _________.
【答案】 2 三、解答题 19. (广东省普宁侨中 2014 届高三第一次月考(10 月)数学(理)试题)已知动圆过定点 A(4,0), 且在 y 轴

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的两 a 2 b2

上截得的弦 MN 的长为 8. (1)求动圆圆心的轨迹 C 的方程; (2)若轨迹 C 与圆 M : ( x ? 5) 2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) 相交于 A 、 B 、 C 、 D 四个点,求 r 的取值范围; (3)已知点 B(-1,0), 设不垂直于 x 轴的直线 l 与轨迹 C 交于不同的两点 P, Q, 若 x 轴是 ?PBQ 的角平 分线, 证明直线 l 过定点.
【答案】解:(1)设圆心 C ( x, y ) ,弦 MN 的中点为 E,

[来源:Z,xx,k.Com]

由已知得 ME=4, CA ? CM ? ME ? EC , 得 (x ? 4)2 ? y2 ? 42 ? x2 , ? y2 ? 8x ;
2 2 2 2

(2)将抛物线 E : y 2 ? 8 x 与圆 M : ( x ? 5)2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) 的方程联立, 消去 y 2 ,整理得 x ? 2 x ? 25 ? r ? 0 (*)
2 2

抛物线与圆相交于四个点即方程(*)有两个不相等的正根 x1 , x2 ,又 x1 ? x2 ? 2 ? 0 ,

?? ? 4 ? 4(25 ? r 2 ) ? 0 且 x1 ? x2 ? 25 ? r 2 ? 0 ,
解得 r ? (2 6,5) ; (3) 设P( x1 , y1 ),Q( x2 , y2 ),由题知y1 ? y2 ? 0,y1 y2 ? 0, y1 ? 8x1 , y2 ? 8x2 由 x 轴是 ?PBQ 的角平分线得
2 2

y1 ? y2 y ?y ? ,? 2 1 ? 2 2 , x1 ? 1 x2 ? 1 y1 ? 8 y2 ? 8

得 8( y1 ? y2 ) ? y1 y2 ( y2 ? y1 ) ? 0 ,? y1 y2 ? ?8 , 直线 PQ 方程为: y ? y1 ?

y2 ? y1 ( x ? x1 ) ,得 y ? y1 ? 1 (8 x ? y12 ) , y2 ? y1 x2 ? x1

? y( y2 ? y1 ) ? y1 ( y2 ? y1 ) ? 8x ? y12 ,得 y( y2 ? y1 ) ? 8 ? 8x , 当 y ? 0 时 x ? 1 ,所以,直线 PQ 过定点(1,0)
20 . ( 广 东 省 韶 关 市 2014 届 高 三 摸 底 考 试 数 学 理 试 题 ) 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 已 知 点

A(? 2,0) , B( 2,0) , E 为动点,且直线 EA 与直线 EB 的斜率之积为 ?

1 . 2

(1)求动点 E 的轨迹 C 的方程; (2)设过点 F (1, 0) 的直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 M , N .若点 P 在 y 轴上,且

PM ? PN ,求点 P 的纵坐标的取值范围.
【答案】解:(1)设动点 E 的坐标为 ( x, y), y ? ?

2 ,依题意可知
3

y y 1 ? ?? , 2 x? 2 x? 2

整理得

x2 ? y 2 ? 1( x ? ? 2) 2

x2 ? y 2 ? 1( x ? ? 2) 2 (2)当直线 l 的斜率不存在时,满足 条件的点 P 的纵坐标为 0 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) .
所以动点 E 的轨迹 C 的方程为 将 y ? k ( x ? 1) 代入

x2 ? y 2 ? 1并整理得, 2 2 2 2 (2k ? 1) x ? 4k x ? 2k 2 ? 2 ? 0 . ? ? 8k 2 ? 8 ? 0

4k 2 设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? , . 2k 2 ? 1 k 2k 2 设 MN 的中点为 Q ,则 xQ ? , , yQ ? k ( xQ ? 1) ? ? 2 2 2k ? 1 2k ? 1 2k 2 k ,? 2 ) 所以 Q( 2 2k ? 1 2k ? 1 由题 意可知 k ? 0 , k 1 2k 2 ? ? (x ? 2 ) . 又直线 MN 的垂直平分线的方程为 y ? 2 2k ? 1 k 2k ? 1 k 1 令 x ? 0 解得 yP ? ? 2 2k ? 1 2k ? 1 k 1 1 2 当 k ? 0 时,因为 2k ? ? 2 2 ,所以 0 ? yP ? ; ? k 4 2 2
当 k ? 0 时,因为 2k ?

1 1 2 ? ?2 2 ,所以 0 ? yP ? ? ?? k 4 2 2

综上所述,点 P 纵坐标的取值范围是 [?

2 2 , ] 4 4

21 . (广东省汕头市金山中学 2014 届高三上学期开学摸底考试数学(理)试题) 已知 F1 、 F2 是双曲线

4 y2 ? 1 的两个焦点,若离心率等于 的椭圆 E 与双曲线 C 的焦点相同. 5 15 1)求椭圆 E 的方程; x2 y2 M 的方程为: ? ? 1. 2)如果动点 P(m, n) 满足 PF 1 ? PF 2 ? 10 ,曲线 2 2 判断直线 l : m x ? ny ? 1 与曲线 M 的公共点的个数 , 并说明理由 ; 当直线 l 与曲线 M 相交时 , 求直线 l : m x ? ny ? 1 截曲线 M 所得弦长的最大值.

C : x2 ?

【答案】解:1)∵ F1 、 F2 是双曲线 C : x

2

?

y2 ? 1 的两个焦点 ? c ? 1 ? 15 ? 4 15

不妨设 F1 (?4,0) 、 F2 (4,0) ∵椭圆 E 与双曲线 C 的焦点相同. ∴设椭圆 E 的方程为

x2 y2 ? ? 1 ?a ? b ? 0? a2 b2

4

? ? ∵根据已知得 ? ? 2 ?b
∴椭圆 E 的方程为

c?4 ?c?4 c 4 ? ,解得 ? a ? 5 ? a 5 ?b 2 ? 9 ? ? a2 ? c2
x2 y2 ? ?1 25 9

22. (广东省深圳市宝安区 2014 届高三上学期调研测试数学理试卷)已知点 F (0,1), 直线 l : y ? ?1, P 为平面上

的动点,过点 P 作直线 l 的垂线,垂足为 Q ,且

QP ? QF ? FP ? FQ .
(1)求动点 P 的轨迹方程; (2) A, B 是轨迹 M 上异于坐标原点 O 的不同两点,轨迹 M 在点 A, B 处的切线分别为 l1 , l2 ,且 l1 ? l2 ,
[来源:学&科&网 Z&X&X&K]

? x, y ? ,则 Q ? x, ?1? ,∵ QP ? QF ? FP ? FQ , 2 2 ∴ ? 0, y ?1? ? ? ?x,2? ? ? x, y ?1? ? ? x, ?2? . 即 2 ? y ? 1? ? x ? 2 ? y ?1? ,即 x ? 4 y ,
【答案】解:(1)设 P

l1 , l2 相交于点 D,求点 D 的纵坐标.

所以动点 P 的轨迹 M 的方程 x ? 4 y
2

(2) 解法一:设点 A . B 的坐标分别为 ? x1 , y1 ? . ? x2 , y2 ? , ∵ l1 . l2 分别是抛物线 C 在点 A . B 处的切线, ∴直线 l1 的斜率 k1 ? y ∵ l1 ? l2 , ∴ k1k2 ? ?1, 得 x1 x2 ? ?4 . ① ∵ A . B 是抛物线 C 上的点,
5
' x ? x1

?

x1 ' ,直线 l2 的斜率 k2 ? y 2

x ? x2

?

x2 2

∴ y1 ?

x12 x2 , y2 ? 2 . 4 4

x12 x1 x2 x ? ? x ? x1 ? ,直线 l2 的方程为 y ? 2 ? 2 ? x ? x2 ? 4 2 4 2 2 ? x ?x x x ? x? 1 2, y ? 1 ? 1 ? x ? x1 ? , ? ? ? ? 2 4 2 由? 解得 ? 2 ? y ? ? 2 ? ?1. ? y ? x2 ? x2 ? x ? x ? , 2 ? ? ? 2 ? 4 2 ∴点 D 的纵坐标为 ?1
∴ 直线 l1 的方程为 y ?
23 . (广东省汕头四中 2014 届高三第一次月考数学(理)试题) 在平面直角坐标系 xOy 中, 动点 P 到两点

(? 3 , 0) , ( 3 , 0) 的距离之和等于 4 ,设点 P 的轨迹为曲线 C ,直线 l 过点 E (?1, 0 ) 且与曲线 C 交于 A , B 两点. (1)求曲线 C 的轨迹方程; (2)是否存在△ AOB 面积的最大值,若存在,求出△ AOB 的面积;若不存在,说明理由. 【答案】 解:(1)由椭圆定义可知,点 P 的轨迹 C 是以 (? 3,0),( 3,0) 为焦点,长半轴长为 2 的椭圆,故曲

x2 ? y2 ? 1 4 ? AOB (2)存在 面积的最大值 因为直线 l 过点 E (?1, 0) ,可设直线 l 的方程为 x ? my ? 1 或 y ? 0 (舍)
线 C 的方程为

? x2 2 ? ? y ? 1, 则? 4 ? x ? my ? 1. ?
整理得 (m ? 4) y ? 2my ? 3 ? 0
2 2

由 ? ? (2m) ? 12(m ? 4) ? 0 .
2 2

设 A( x1,y1 ),B ( x2,y2 ) . 解得

y1 ?

m ? 2 m2 ? 3 , m2 ? 4

y2 ?

m ? 2 m2 ? 3 . m2 ? 4

2 ?3 . 则 | y2 ? y1 |? 4 m 2 m ?4 因为 S ?AOB ? 1 OE ? y1 ? y2 2 2 2 m ?3 2 ? ? 2 1 m ?4 m2 ? 3 ? m2 ? 3

设 g (t ) ? t ? , t ?

1 t

m2 ? 3 , t ? 3 .

则 g (t ) 在区间 [ 3, ??) 上为增函数.

4 3 . 3 3 3 所以 S ?AOB ? ,当且仅当 m ? 0 时取等号,即 ( S ?AOB ) max ? . 2 2 3 所以 S ?AOB 的最大值为 2
所以 g (t ) ?
24. (广东省湛江市湖光中学 2014 届高三上学期入学考试数学(理)试题)已知定点 R 的坐标为(0,-3),点 P
6

在 x 轴上, PR ⊥ PM ,线段 PM 与 y 轴交于点 Q,且满足 QM =2 PQ (1) 若点 P 在 x 轴上运动,求点 M 的轨迹 E; (2) 求轨迹 E 的倾斜角为

? 的切线 l 0 的方程; 4

(3) 若(2)中切线 l 0 与 y 轴交于点 G,过 G 的直线 l 与轨迹 E 交于 A.B 两点,点 D 的坐标为(0,1),当∠ADB 为钝角时,求直线 l 的斜率的取值范围. 【答案】解:(1) 设点 M 的坐标为 (x, y),点 P 的坐标为 (x1,0),点 Q 的坐标为 (0,y2) (x1≠0),则 PR =(-x1,-3), PM =(x-x1,y), PQ =(-x1,y2) ∵ PR ⊥ PM
2

∴ PR · PM =0

∴-x1(x-x1)-3y=0

即 x1 -x1x-3y=0 由 QM =2 PQ 得 PQ = ∴x1=-

1 QM 2

x 1 2 代入上式的 y= x (x≠0) 2 4 1 ? 1 1 (2) 设切点为 (x0, y0) ∵y = x ∴切线 l 0= x0=tan =1 2 2 4 ∴x0=2 切点为 (2,1) ∴切线 l 0 的方程为 x-y-1=0 (3) ∵ l 0 的切线方程为 x-y-1=0 ∴G (0, -1) 设 l 的斜率为 k ∴ l 的方程为 y=kx-1 ? y ? kx ? 1 ? 2 由? 1 2 的 x -4k ? +4=0① y? x ? ? 4
设 A(x1, y1),B(x2, y2),则 x1, x2 是方程①的两根 2 2 ∴△=16k -16 >0 ∴k >1 ∵∠ADB 为钝角 ∴ ?

? ? DA ? DB ? 0

? ?| DA | ? | DB |? ?1 而| DA |=(x1;y1-1), DB =(x2, y2-1)
∴x1·x2+(y1-1) (y2-1)<0
2

∴x1x2+(k x1-2) (kx2-2) <0
2

∴x1x2+k x1x2-2k(x1+x2)+4<0 即 k -2>0

∴k<- 2 或 k> 2

x2 y2 25. (广东省湛江市 2014 届高三 10 月高三调研测试数学理试题 (WORD 版) ) 已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a b 的右焦点 F 3, 0 ,长轴长为 4.

?

?

(1)求椭圆 C 的方程, (2) 点 P 是圆 x ? y ? b 上第一象限内的任意一点 , 过 P 作圆的切线与椭圆 C 的一个交点为
2 2 2

Q( x1, y1 ), R( x2 , y2 )( y1 ? y2 ) 两点.
①求证: PQ ? FQ ? 2 .②求|QR|的最大值.

【答案】
7

26. (广东省六校 2014 届高三第一次联考理科数学试题)如图,椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 的左顶点、右焦点分别为 36 20 A, F ,直线的方程为 x ? 9 , N 为上一点,且在 x 轴的上方, AN 与椭圆交于 M 点. (1)若 M 是 AN 的中点,求证: MA ? MF . (2)过 A, F , N 三点的圆与 y 轴交于 P, Q 两点,求 | PQ | 的范围.
y
N

M

A

F

x

l

【答案】 (1)证:由题意得 A(?6,0), F (4,0) , xN

?9

? xM ?

3 2

又 M 点在椭圆上,且在 x 轴上方,得 yM ?

5 3 2

?????????3 分

8

15 5 3 5 5 3 ,? ), MF ? ( , ? ) 2 2 2 2 75 75 ? MA ? MF ? ? ? ?0 4 4 ? MA ? MF ? MA ? (?
?????????6 分 (2)解:(方法一)设 N (9, t ) ,其中 t ? 0 ? 圆过 A, F , N 三点,? 圆心在线段 AF 的中垂线上 设圆心为 (?1, b) ,半径为 r ,有 r ?

(?1 ? 4) 2 ? b 2 ? (?1 ? 9) 2 ? ((b ? t ) 2

t 2 ? 75 1 75 ? (t ? ) , PQ ? 2 r 2 ? 1 ? 2 b 2 ? 24 ?????????10 分 2t 2 t 75 75 ? 5 3 ,当且仅当 t ? , 即 t ? 5 3 时取“=” ? t ? 0 ,? b ? t ? t t ? PQ ? 2 99 ? 6 11 .? PQ 的取值范围是 [6 11,??) ?????????14 分 ?b ?
(方法二)解:设 N (9, t ) ,其中 t ? 0 ,? 圆过 A, F , N 三点,

? 设该圆的方程为 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,有

?36 ? 6 D ? F ? 0 ? ?16 ? 4 D ? F ? 0 ?81 ? t 2 ? 9 D ? tE ? F ? 0 ?

解得 D ? 2, E ? ?t ?

75 , F ? ?24 t

1 75 1 75 ? 圆心为 (?1, (t ? )), 半径 r ? 25 ? (t ? ) 2 4 t 2 t 1 75 ? PQ ? 2 r 2 ? 1 ? 2 24 ? (t ? ) 2 , 4 t ?t ? 0 ?t ?
?????????10 分

75 75 75 ?2 t? ? 10 3 ,当且仅当 t ? , 即 t ? 5 3 时取“=” t t t ? PQ ? 2 99 ? 6 11 ,? PQ 的取值范 围是 [6 11,??) . ?????????14 分
2

27( .广东省深圳市高级中学 2014 届高三上学期第一次月考数学 (理) 试题) 如图,直线 l:y=x+b 与抛物线 C:x =4y

相切于点 A. (Ⅰ)求实数 b 的值; (Ⅱ)求以点 A 为圆心,且与抛物线 C 的准线相切 的圆的方程.

【答案】本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识,考查运算求解能力,

考查函数与方程思想、数形结合思想,满分 12 分. 解:(I)由 ?

? y ? x ? b, ?x ? 4 y
2

得x 2 ? 4 x ? 4b ? 0 ,(*)
9

因为直线 l 与抛物线 C 相切,所以 ? ? (?4)2 ? 4 ? (?4b) ? 0, 解得 b=-1. (II)由(I)可知 b ? ?1, 故方程(*)即为x2 ? 4 x ? 4 ? 0 , 解得 x=2,代入 x2 ? 4 y, 得y ? 1. 故点 A(2,1),因为圆 A 与抛物线 C 的准线相切, 所以圆 A 的半径 r 等于圆心 A 到抛物线的准线 y=-1 的距离,即 r ?|1 ? (?1) |? 2, 所以圆 A 的方程为 ( x ? 2)2 ? ( y ?1)2 ? 4.
28( .广东省惠州市 2014 届高三上学期第二次调研数学 (理) 试题) 已知左焦点为 F (?1, 0) 的椭圆过点 E (1,

2 3 ). 3

过点 P(1,1) 分别作斜率为 k1 , k2 的椭圆的动弦 AB, CD ,设 M , N 分别为线段 AB, CD 的中点. (1)求椭圆的标准方程; (2)若 P 为线段 AB 的中点,求 k1 ; (3)若 k1 ? k2 ? 1 ,求证直线 MN 恒过定点,并求出定点坐标.
【答案】解 (1)由题意知 c ? 1, 设右焦点 F
'

(1,0)

? 2a ? EF ? EF ' ? (1 ? 1) 2 ? (

2 3 2 3 ? 0) 2 ? ?2 3 3 3

? a ? 3, b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2 x2 y2 ?1 ? 椭圆方程为 ? 3 2
x12 y12 x2 y2 ? ?1 ① 2 ? 2 ?1 ② 3 2 3 2 y ? y1 2 x2 ? x1 2 ②-①,可得 k1 ? 2 ?? ?? x2 ? x1 3 y 2 ? y1 3 (3)由题意 k1 ? k 2 ,设 M ( x M , y M ) 直线 AB : y ? 1 ? k1 ( x ? 1) ,即 y ? k1 x ? k 2 代入椭圆方程并化简得
(2)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) 则
2 (2 ? 3k12 ) x 2 ? 6k1k 2 x ? 3k 2 ?6 ? 0 ? 3k1k 2 2k 2 ? xM ? , yM ? 2 2 ? 3k1 2 ? 3k12 ? 3k1k 2 2k1 同理? x N ? , yN ? 2 2 2 ? 3k 2 2 ? 3k 2

29( .广东省惠州市 2014 届高三第一次调研考试数学 (理) 试题) 在平面直角坐标系 x o y 中,点 P(a, b)(a ? b ? 0)

y M ? y N 10 ? 6k1k 2 ? xM ? x N ? 9k1k 2 2k 2 10 ? 6k1k 2 ? 3k1k 2 直线 MN 的方程为 y ? ? (x ? ) 2 ? 9k1k 2 2 ? 3k1 2 ? 3k12 10 ? 6k1k 2 2 2 又 k1 ? k2 ? 1 化简得 y ? x ? 此时直线过定点(0, ? ) 3 ? 9k1k 2 3 2 当 k1k 2 ? 0 时 ,直线 MN 即为 y 轴,也过点(0, ? ) 3 2 综上,直线过定点(0, ? ) 3
当 k1k 2 ? 0 时, 直线 MN 的斜率 k ?
[来源:学科网]

为动点, F 1 , F 2 分别为椭圆

x2 y2 ? ? 1 的左右焦点.已知△ F 1 P F 2 为等腰三角形.(1)求椭圆的离心率 e ; a2 b2
10

(2)设直线 P F 2 与椭圆相交于 A , B 两点, M 是直线 P F 2 上的点,满足 A ,求点 M 的轨迹方 M B M ? ? 2 程. y P A M F1 O F2 x

B
【答案】解:(1)设 F 1 (?c,0), F2 (c,0)(c ? 0) ,
2 2 由题意,可得 PF2 ? F1F2 ,即 ( a ? c) ? b ? 2c ,

整理得 2( c )2 ? c ? 1 ? 0 ,得 c ? ?1 (舍)或 c ? 1 ,所以 e ? 1
a a
a

a

2

2
2 2

(2)由(1)知 a ? 2c, b ? 3c ,可得椭圆方程为 3x ? 4 y ? 12c .
2

直线 PF2 方程为 y ? 3( x ? c),
?3 x A, B 两点的坐标满足方程组 ? ?
2

? 4 y 2 ? 12c 2 ,消去 y 并整理得 5x2
8 ? ? x2 ? c ? x1 ? 0 ? 5 ? ? ? ? y1 ? ? 3c, ? ? y ? 3 3c , 2 ? ? 5

? 8cx ? 0,

? ? y ? 3( x ? c )

解得 x1 ? 0, x2 ?

8 c, 得方程组的解 5

不妨设 A( 8 c, 3
5

3c ), B(0, ? 3c) ,设 M 5

的坐标为 ( x, y ) 则

8 3 3c AM ? ( x ? c, y ? ), 5 5

BM ? ( x, y ? 3c) ,
3 y. 3 3 x), BM ? ( x, 3x)
5 5 5

由 y ? 3( x ? c), 得 c ? x ? 于是 AM ? ( 8
3 3 8 3 y ? x, y ? 15 5 5 5

由 AM BM ? ?2 得 ( 8 3 y ? 3 x) ? x ? ( 8 y ? 3 3x ) ? 3x ? ?2 ,
15

化简得 18x2 ?16 3xy ?15 ? 0 ,
2 2 将 y ? 18 x ? 15 代入 c ? x ? 3 y 得 c ? 10 x ? 5 ,

16 3x

3

16 x

由 c ? 0 得 x ? 0 .因此,点 M 的轨迹方程是 18x2 ?16 3xy ?15 ? 0( x ? 0)
30 . ( 广 东 省 广 州 市 执 信 、 广 雅 、 六 中 2014 届 高 三 9 月 三 校 联 考 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知 椭 圆

C:

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的两个焦点 F1 , F2 和上下两个顶点 B1 , B2 是一个边长 a 2 b2

为 2 且∠F1B1F2 为 60 的菱形的四个顶点. (1)求椭圆 C 的方程; (2) 过右焦点 F2 , 斜率为 k ( k ? 0 ) 的直线 l 与椭圆 C 相交于 E , F 两点 ,A 为椭圆的右顶点 , 直线

AE , AF 分别交直线 x ? 3 于点 M , N ,线段 MN 的中点为 P ,记直线 PF2 的斜率为 k ? .求证: k ? k ?
为定值.
11

【答案】

31. (广东省广州市越秀区 2014 届高三上学期摸底考试数学理试题)已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、 a 2 b2 1 右焦点分别为 F1 (?1,0) 、 F2 (1, 0) ,P 为椭圆 C 上任意一点,且 cos ?F . 1PF 2 的最小值为 3 (1)求椭圆 C 的方程; (2)动圆 x2 ? y2 ? t 2 ( 2 ? t ? 3) 与椭圆 C 相交于 A、B、C、D 四点,当 t 为何值时,矩形 ABCD 的面积
取得最大值?并求 出其最大面积.
12

【答案】(1)因为 P 是椭圆 C 上一点,所以

PF1 ? PF2 ? 2a .
2 2 2

PF1 ? PF2 ? F1 F2 cos ?F1 PF2 ? 在△ F 1PF 2 中, F 1F 2 ? 2 ,由余弦定理得 2 PF1 ? PF2

? PF ?

1

? PF2

?

2

? 2 PF1 ? PF2 ? 4
2

2 PF1 ? PF2

?

4a 2 ? 4 ? 1. 2 PF1 ? PF2

? PF1 ? PF2 ? 2 因为 PF1 ? PF2 ? ? ? ? a ,当且仅当 PF1 ? PF2 ? a 时等号成立. 2 ? ? 4a 2 ? 4 2 ?1 ? 1? 2 . 因为 a ? 1 ,所以 cos ?F1 PF2 ? 2 2a a 1 2 1 2 因为 cos ?F ,所以 1 ? 2 ? ,解得 a ? 3 . 1PF 2 的最小值为 3 a 3 x2 y 2 2 2 2 ? ? 1. 又 c ? 1 ,所以 b ? a ? c ? 2 .所以椭圆 C 的方程为 3 2 (2)设 A( x0 , y0 ) ,则矩形 ABCD 的面积 S ? 4 x0 y0 .
2 ? x2 ? x0 y2 2 ? 0 ? 1 ,所以 y0 ? 2 ?1 ? 0 ? . 3 2 3? ? 2 2 ? x0 32 ? 2 3 ? 2 2 2 2? 所以 S ? 16 x0 y0 ? 32 x0 ? 1 ? ? ? ? ? x0 ? ? ? 24 . 3? 3 ? 2? ?

因为

因为 ? 3 ? x0 ? 3 且 x0 ? 0 ,所以当 x0 ?
2

3 2 时, S 取得最大值 24. 2

2 此时 y0 ?1, t ?

2 2 x0 ? y0 ?

10 . 2

所以当 t ?

10 时,矩形 ABCD 的面积最大,最大面积为 2 6 . 2
2 2

32. (广东省揭阳一中等 2014 届高三上学期开学摸底联考数学理试题 )已知圆 C 的圆心为 C (m, 0), m ? 3 ,半径

为 5 ,圆 C 与椭圆 E : x 2 ? y 2 ? 1(a ? b ? 0) 有一个公共点 A (3,1), F1、F2 分别是椭圆的左、右焦点. a b (1)求圆 C 的标准方程; (2)若点 P 的坐标为(4,4),试探究斜率为 k 的直线 PF1 与圆 C 能否相切,若能,求出椭圆 E 和直线 PF1 的 方程;若不能,请说明理由. 【答案】解:(1)由已知可设圆 C 的方程为 ( x ? m) 2 ? y 2 ? 5(m ? 3) 将点 A 的坐标代入圆 C 的方程,得 (3 ? m) ? 1 ? 5 ,
2

,或 m ? 5 即 (3 ? m) ? 4 ,解得 m ? 1
2 2 2 ∵ m ? 3 ,∴ m ? 1 ,∴圆 C 的方程为 ( x ? 1) ? y ? 5 (2)依题意,可得直线 PF1 的方程为 y ? k ( x ? 4) ? 4 ,即 kx ? y ? 4k ? 4 ? 0

若直线 PF1 与圆 C 相切,则

? 5 k 2 ?1 11 1 2 ∴ 4k ? 24k ? 11 ? 0 ,解得 k ? ,或 k ? 2 2 11 36 当k ? 时,直线 PF1 与 x 轴的交点横坐标为 ,不合题意,舍去; 2 11
13

k ? 0 ? 4k ? 4

当k ?

1 时,直线 PF1 与 x 轴的交点横坐标为 ? 4 , ∴ c ? 4,F1 (?4,0),F2 (4,0) , 2
,
2 2 2 2

∴由椭圆的定义得 2a ? AF1 ? AF2 ? (3 ? 4) 2 ? 12 ? (3 ? 4) 2 ? 12 ? 5 2 ? 2 ? 6 2 ∴ a ? 3 2 ,即 a ? 18 , ∴ b ? a ? c ? 2 ,
2 2 直线 PF1 能与圆 C 相切,直线 PF1 的方程为 x ? 2 y ? 4 ? 0 ,椭圆 E 的方程为 x ? y ? 1
[来源:学科网 ZXXK]

18

2

33. (广东省湛江市第二中学 2014 届高三理科数学 8 月考试题 ) 如图所示,椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 a 2 b2

离心率为

5 ,且 A(0,2)是椭圆 C 的顶点. 5

(1)求椭圆 C 的方程; (2)过点 A 作斜率为 1 的直线 l ,设以椭圆 C 的右焦点 F 为抛物线 E : y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点,若点 M 为 抛物线 E 上任意一点,求点 M 到直线 l 距离的最小值.

【答案】解:(1)由题意可知, b ? 2

c2 a2 ? 4 1 c 5 ? ,? a 2 ? 5 ,即 2 ? e? ? 2 a a 5 a 5 2 2 x y ? 1. ? 所以椭圆 C 的方程为: ? 5 4
(2)解法一:由(1)可求得椭圆 C 的右焦点 F 坐标(1,0)

? 抛物线 E 的方程为: y 2 ? 4 x ,而直线 l 的方程为 x ? y ? 2 ? 0 y2 设动点 M 为 ( 0 , y0 ) ,则点 M 到直线 l 的距离为 4 2 y 1 | 0 ? y0 ? 2 | | ( y0 ? 2) 2 ? 1 | 1 2 d? 4 ? 4 ? ? . 2 2 2 2
即抛物线 E 上的点到直线 l 距离的最小值为

2 . 2

解法二:由(1)可求得椭圆 C 的右焦点 F 坐标(1,0)

? 抛物线 E 的方程为: y 2 ? 4 x ,而直线 l 的方程为 x ? y ? 2 ? 0 可设与直线 l 平行且抛物线 E 相切的直线 l ? 方程为: x ? y ? c ? 0

? y ? 4x ?? ? (2c ? 4)2 ? 4c2 ? 0 ,
2

由?

?x ? y ? c ? 0

可得: x ? (2c ? 4) x ? c ? 0.
2 2

解得:C=1 ? 直线 l ? 方程为: x ? y ? 1 ? 0

? 抛物线上的点到直线的距离的最小值等于直线 l 与 l ? 的距离: 1 2 d? ? . 2 2
34. (广东省广州市海珠区 2014 届高三入学摸底考试数学理试题)(本小题满分 14 分)
14

已知椭圆 R :

x2 y 2 1? ? ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的长轴长为 4,且过点 ? 3, ? . 2 a b 2? ?
?? ? ? 4 ?? ? 3 ?? OA ? OB ,点 N 为线段 AB 的中点, C 、 D 两点的坐标 5 5

(1)求椭圆 R 的方程; (2)设 A 、 B 、 M 是椭圆上的三点,若 OM ? 分别为 ? ?

? ? ?

6 ? ? 6 ? ,0? ,0? ? ? ,求证: NC ? ND ? 2 2 . ? 、? 2 ? ? ? 2

? 2a ? 4 ? ? 1 【答案】解:(1)由已知 ? , 3 4 ? ? ?1 ? ? a2 b2 解得 a ? 2, b ? 1

? 椭圆的方程为

x2 ? y2 ? 1 4 x12 x2 ? y12 ? 1 , 2 ? y2 2 ? 1 4 4

(2)设 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ?,M ? xM , yM ? ,则 由 OM ? 得 xM ?
?? ? ? 4 ?? ? 3 ?? OA ? OB , 5 5

3 4 3 4 4 3 4 ? ?3 x1 ? x2 , yM ? y1 ? y2 ,即 M ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? 5 5 5 5 5 5 5 ? ?5 M 是椭圆 R 上一点,所以
2

4 ? ?3 2 ? x1 ? x2 ? 4 ? 5 5 ? ?3 ? ? y1 ? y2 ? ? 1 , ?? 4 5 ? ?5 2 2 2 2 ?x x ? ? 3 ?? 4 ?? x x 2 ?3? 2 ?? 4 ? 即 ( 1 ? y1 ) ? ? ? ? 2 ? y2 ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? 1 2 ? y1 y2 ? ? 1 4 ?5? ? 4 ? 5 ?? 5 ?? 4 ? ?? 5 ?
xx ? ? 3 ?? 4 ? ? x1 x2 ? y1 y2 ? ? 1 ,故 1 2 ? y1 y2 ? 0 4 ? 5 ?? 5 ?? 4 ? ? x ? x2 y1 ? y2 ? 又线段 AB 的中点 N 的坐标为 ? 1 , ?, 2 ? ? 2
得 ? ? ? ? ? ? 2 ? ?? ??

? 3? ?5?

2

?4? ?5?

2

? x1 ? x2 ? 2 ? ? 2 ? xx 1 ? x2 2 2 ? ? y1 ? y2 ? 1 ? x1 ? 2? ? ? 2? ? y1 ? ? ? ? y2 2 ? ? 1 2 ? y1 y2 ? 1 , ? ? ? 2 ? 2 ? 2? 4 ? 2? 4 ? 4 x2 ?x ?x y ?y ? ? 线段 AB 的中点 N ? 1 2 , 1 2 ? 在椭圆 ? 2 y 2 ? 1 上 2 2 ? ? 2
椭圆

2

x2 ? 2 y 2 ? 1 的两焦点恰为 C 2

? 6 ? D ? ? ? 2 ,0? ?, ? ?

? 6 ? ? ? 2 ,0? ? ? ?

? NC ? ND ? 2 2
35. (广东省广州市仲元中学 2014 届高三数学(理科)10 月月考试题)设 m ? R ,在平面直角坐标系中,已知向

量 a ? (mx, y ? 1) , b ? ( x, y ? 1) , a ? b ,动点 M ( x, y ) 的轨迹为曲线 G . (Ⅰ)求动点 M ( x, y ) 的轨迹方程,并说明该方程所表示曲线 G 的形状.
15

(Ⅱ)设 m ?

1 , ? ? R, ? ? 0 ,点 F (? ,0) ,动点 M ( x, y) 是曲线 G 的点.证明: ? ?1
2

MF ? ? 2 ? 1 ?
【答案】解:(Ⅰ)

?x ? 2 ?1

.

a ? b ,? a ? b ? 0 ,即 mx2 ? y 2 ?1 ? 0 ,整理得 mx2 ? y 2 ? 1 当 m ? 0 时,方程为 y ? ?1 ,轨迹为两平行直线; 当 m ? 1 时,方程为 x 2 ? y 2 ? 1,轨迹为圆心在原点,半径为 1 的圆;
y2 x2 ? ? 1,轨迹为焦点在 y 轴上的双曲线; 1 1 ?m 2 y x2 ? ? 1 ,轨迹为焦点在 y 轴上的椭圆; 当 m ? 1 时,方程为 1 1 m 2 x y2 ? ? 1 ,轨迹为焦点在 x 轴上的椭圆 当 0 ? m ? 1 时,方程为 1 1 m 1 x2 , ? ? R, ? ? 0 时 , 轨 迹 方 程 为 2 ? y2 ? 1 , 轨 迹 为 焦 点 在 x 轴 上 的 椭 (Ⅱ) 当 m ? 2 ? ?1 ? ?1
当 m ? 0 ,方程为
[来源:学科网]

x2 圆. MF ? ( x ? ? ) ? y ? x ? 2? x ? ? ? 1 ? 2 ? ?1
2 2 2 2

?

?2 ? ?1
2

x 2 ? 2? x ? ? 2 ? 1 ? (

? ? ?1
2

x ? ? 2 ? 1)2

?

? ? ?1
2

x ? ? 2 ?1

? ? 2 ?1 ? x ? ? 2 ?1
如果 ? ? 0 ,那么 ?? ? 则 ?? ? 所以

? ? 2 ?1

x??,

? 2 ?1 ?
?

? ? ?1
2

x ? ? 2 ? 1 ? ? ? ? 2 ? 1 ,而 ? 2 ? 1 ? ? 2 ? ? ,

? ?1
2

x ? ? 2 ? 1 ? 0 ,那么 MF ?

? ? ?1
2

x ? ? 2 ?1 ? ? 2 ? 1 ?

?x ? 2 ?1

如果 ? ? 0 ,那么 ? ? 则? ? 所以

? ? 2 ?1

x ? ?? ,

? 2 ?1 ?
? ? 2 ?1

?
2

? ?1

x ? ? 2 ? 1 ? ?? ? ? 2 ? 1 ,而 ? 2 ?1 ? ? 2 ? ?? ,

x ? ? 2 ? 1 ? 0 ,那么 MF ?

? ? 2 ?1

x ? ? 2 ?1 ? ? 2 ? 1 ?

?x ? 2 ?1

综上有 MF ?

? 2 ?1 ?

?x ? 2 ?1

36. (2013-20 14 学年广东省(宝安中学等)六校第一次理科数学联考试题)已知椭圆 C 的中心在原点 O ,离心

16

率e ?

3 ,右焦点为 F ( 3 , 0) .(1)求椭圆 C 的方程; 2

(2) 设椭圆的上顶点为 A , 在椭圆 C 上是否存在点 P , 使得向量 OP ? OA 与 FA 共线 ? 若存在 , 求直线

AP 的方程;若不存在,简要说明理由.

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) , a 2 b2 3 c 3 离心率 e ? ,右焦点为 F ( 3 , 0) ,? ? , c ? 3 ,? a ? 2 , b2 ? 1 2 a 2 x2 ? y2 ? 1 故椭圆 C 的方程为 4 (2)假设椭圆 C 上 存在点 P ( x0 , y0 ),使得向量 OP ? OA与 FA 共线,
【答案】解:(1)设椭圆 C 的方程为

OP ? OA ? ( x0 , y0 ?1) , FA ? (? 3,1) ,? x0 ? ? 3( y0 ?1) (1)
x2 x2 ? y 2 ? 1上,? 0 ? y0 2 ? 1 4 4 8 3 1 由(1)、(2)组成方程组解得: P(0, ?1) ,或 P(? , ), 7 7 当点 P 的坐标为 (0, ?1) 时,直线 AP 的方程为 y ? 0 ,
又 点 P ( x0 , y0 )在椭圆 当点 P 的坐标为 P(? (2)

8 3 1 , ) 时,直线 AP 的方程为 3x ? 4 y ? 4 ? 0 , 7 7 故直线 AP 的方程为 y ? 0 或 3x ? 4 y ? 4 ? 0
37. (广东省兴宁市沐彬中学 2014 届上期高三质检试题 数学(理科) )已知抛物线 C: y
2

? 4 x 的焦点为 F .

P 满足 AP ? ?2FA .当点 A 在抛物线 C 上运动时,求动点 P 的轨迹方程; (1)点 A、 (2)在 x 轴上是否存在点 Q ,使得点 Q 关于直线 y ? 2 x 的对称点在抛物线 C 上?如果存在,求所有满足
条件的点 Q 的坐标;如果不存在,请说明理由.

y ) ,点 A 的坐标为 ( xA, 【答案】解:【答案】(1)设动点 P 的坐标为 ( x, y A ) ,则 AP ? ( x ? xA, y ? yA ) ,
0) ,所以 FA ? ( xA ?1 因为 F 的坐标为 (1, , yA ) ,
由 AP ? ?2 FA 得 ( x ? xA, y ? yA ) ? ?2( xA ?1 , yA )

? x ? xA ? ?2( xA ? 1) ? xA ? 2 ? x 解得 ? ? y ? y A ? ?2 y A ? yA ? ? y 2 代入 y ? 4 x ,得到动点 P 的轨迹方程为 y 2 ? 8 ? 4x 0) .点 Q 关于直线 y ? 2 x 的对称点为 Q?( x, y) , (2)设点 Q 的坐标为 (t, 3 1 ? ? y x?? t ?? ? ? ?x?t ? 5 2 则? 解得 ? ?y ? x?t ?y ? 4 t ? ? 5 ?2 ?
即?
2 2 若 Q? 在 C 上,将 Q? 的坐标代入 y ? 4 x ,得 4t ? 15t ? 0 ,即 t ? 0 或 t ? ?

15 4

0) 和 (? 所以存在满足题意的点 Q ,其坐标为 (0,

15 , 0) 4

x2 y 2 38. (广东省十校 2014 届高三上学期第一次联考数学理试题)如图,已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离 a b
17

心率为

3 ,以椭圆 C 的左顶点 T 为圆心作圆 T : ( x ? 2)2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) ,设圆 T 与椭圆 C 交于点 M 2

与点 N . (1)求椭圆 C 的方程; (2)求 TM ? TN 的最小值,并求此时圆 T 的方程; (3)设点 P 是椭圆 C 上异于 M , N 的任意一点,且直线 MP , NP 分别与 x 轴交于点 R, S , O 为坐标原 点,求证: OR ? OS 为定值.
y M R T N S O P

x

【答案】解:(1)依题意,得 a ? 2 , e ?

c 3 ,? c ? 3, b ? a 2 ? c 2 ? 1 ; ? a 2

x2 ? y2 ? 1 4 (2)方法一:点 M 与点 N 关于 x 轴对称,设 M ( x1 , y1 ) , N ( x1 ,? y1 ) , 不妨设 y1 ? 0 .
故椭圆 C 的方程为

x1 . (*) 4 由已知 T (?2, 0) ,则 TM ? ( x1 ? 2, y1 ) , TN ? ( x1 ? 2, ? y1 ) ,
由于点 M 在椭圆 C 上,所以 y1 ? 1 ?
2

2

?TM ? TN ? ( x1 ? 2, y1 ) ? ( x1 ? 2, ? y1 ) ? ( x1 ? 2) 2 ? y1
2

2

x1 5 8 1 5 2 ) ? x1 ? 4 x1 ? 3 ? ( x1 ? ) 2 ? 4 5 5 4 4 8 1 由于 ? 2 ? x1 ? 2 ,故当 x1 ? ? 时, TM ? TN 取得最小值为 ? . 5 5 3 8 3 13 2 由(*)式, y1 ? ,故 M ( ? , ) ,又点 M 在圆 T 上,代入圆的方程得到 r ? . 5 5 5 25 13 2 2 故圆 T 的方程为: ( x ? 2) ? y ? 25 方法二:点 M 与点 N 关于 x 轴对称,故设 M (2cos ? ,sin ? ), N (2cos ? , ? sin ? ) , 不妨设 sin ? ? 0 ,由已知 T (?2, 0) ,则 ? ( x1 ? 2) 2 ? (1 ?

TM ? TN ? (2 cos? ? 2, sin ? ) ? (2 cos? ? 2, ? sin ? )
4 1 ? (2 cos? ? 2) 2 ? sin 2 ? ? 5 cos2 ? ? 8 cos? ? 3 ? 5(cos ? ? ) 2 ? 5 5 4 1 8 3 故当 cos ? ? ? 时, TM ? TN 取得最小值为 ? ,此时 M ( ? , ) , 5 5 5 5 13 2 又点 M 在圆 T 上,代入圆的方程得到 r ? . 25 13 2 2 故圆 T 的方程为: ( x ? 2) ? y ? 25
18

(3) 方法一:设 P( x0 , y0 ) ,则直线 MP 的方程为: y ? y 0 ? 令 y ? 0 ,得 x R ?
2

y 0 ? y1 ( x ? x0 ) , x0 ? x1

x1 y 0 ? x0 y1 x y ? x0 y1 , 同理: x S ? 1 0 , y 0 ? y1 y 0 ? y1
2 2 2 2 2

故 xR ? xS ?

x1 y0 ? x0 y1 y0 ? y1

(**)
2 2
2 2

又点 M 与点 P 在椭圆上,故 x0 ? 4(1 ? y0 ) , x1 ? 4(1 ? y1 ) , 代入(**)式,得: x R ? x S ?

4(1 ? y1 ) y 0 ? 4(1 ? y 0 ) y1 y 0 ? y1
2 2

2

2

2

2

?

4( y 0 ? y1 ) y 0 ? y1
2 2

2

2

?4.

所以 OR ? OS ? xR ? xS ? xR ? xS ? 4 为定值 方 法 二 : 设 M (2cos ? ,sin ? ), N (2cos ? , ? sin ? ) , 不 妨 设 sin ? ? 0 , P(2 cos? , sin ? ) , 其 中

sin ? ? ?s i n ? .则直线 MP 的方程为: y ? sin ? ?
令 y ? 0 ,得 x R ?

2(sin ? cos ? ? cos ? sin ? ) , sin ? ? sin ? 2(sin ? cos ? ? cos ? sin ? ) 同理: x S ? , sin ? ? sin ? 4(sin 2 ? cos2 ? ? cos2 ? sin 2 ? ) 4(sin 2 ? ? sin 2 ? ) ? ? 4. 故 xR ? xS ? sin 2 ? ? sin 2 ? sin 2 ? ? sin 2 ? 所以 OR ? OS ? xR ? xS ? xR ? xS ? 4 为定值 39. (广东省珠海市 2014 届高三 9 月开学摸底考试数学理试题)已知点 A、B 的坐标分别是 (0, ?1) 、 (0,1) , 1 直线 AM 、BM 相交于点 M ,且它们的斜率之积为 ? . 2 (1)求点 M 轨迹 C 的方程; (2)若过点 D (0, 2) 的直线 l 与(1)中的轨迹 C 交于不同的两点 E、F ,试求 ?OEF 面积的取值范围( O
为坐标原点). 【答案】解:(1)设点 M 的坐标为 ( x, y ) , ∵ k AM ? k BM ? ? 整理,得

sin ? ? sin ? ( x ? 2 cos ? ) , 2 cos ? ? 2 cos ?

1 y ?1 y ?1 1 ? ?? ,∴ 2 x x 2

x2 ? y 2 ? 1 ( x ? 0) ,这就是动点 M 的轨迹方程 2 (2)由题意知直线 l 的斜率存在,设 l 的方程为 y ? kx ? 2 ① x2 ? y 2 ? 1 得: 将①代入 2 2 (2k ? 1) x2 ? 8kx ? 6 ? 0 3 2 由 ? ? 0 ,解得 k ? 2

y F D

? ?8k 2 x ? x ? , ? ? 1 2 2k 2 ? 1 x 设 E ? x1, y1 ? , F ? x2 , y2 ? ,则 ? ② o E ?x x ? 6 1 2 ? 2k 2 ? 1 ? 1 1 1 1 S?OEF ? S?OED ? S?OFD ? OD ? x1 ? OD ? x2 ? OD ? x1 ? x2 ? ? 2 ? x1 ? x2 ? x1 ? x2 2 2 2 2
19

3 16(k 2 ? ) 2 2 ? 8 k 6 16 k ? 24 2 x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 ? x2 ? ( 2 ) 2 ? 4 ? 2 ? ? 2 2 2 2k ? 1 2k ? 1 (2k ? 1) (2k ? 1) 2 3 3 2 2 令 k ? ? t (t ? 0) ,所以 k ? t ? (t ? 0) 2 2 16t 4t t 1 1 2 所以 S?OEF ? x1 ? x2 ? ? ?2 2 ?2 ?2 ? 2 2 4 (2t ? 4) (t ? 2) t ? 4t ? 4 4?4 2 t? ?4 t
所以 S?OEF ? (0,

2 ] 2

20


推荐相关:

广东省2014届高三理科数学各地试题精选分类汇编9:圆锥曲线.doc

广东省 2014 届高三理科数学各地试题精选分类汇编 9:圆锥曲线一、选择题 1


广东省各地2014届高三上学期期末考试数学理试题分类汇....doc

广东省各地2014届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编:圆锥曲线 Word版含答案_...9、(肇庆市 2014 届高三上学期期末质量评估) 已知椭圆 C : 1 x2 y 2 ?...


广东省各地2014届高三上学期期末考试数学理试题分类汇....doc

广东省各地 2014 届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编 圆锥曲线一、选择题 1、(广州市 2014 届高三 1 月调研测试)若点 A(1,0) 和点 B(4, 0) 到...


广东省各地2014届高三11月模拟数学理试题分类汇编10:圆....doc

广东省各地 2014 届高三 11 月模拟数学理试题分类汇编 圆锥曲线一、选择题 1、 (广东省百所高中 2014 届高三 11 月联考)设 F1 、 F2 分别为双曲线 C : ...


广东省2014届高三理科数学各地试题精选分类汇编1:集合.doc

广东省 2014 届高三理科数学各地试题精选分类汇编 1:集合一、选择题 1 .


广东省各地2014届高三11月模拟数学(理)试题分类汇编11....doc

广东省各地 2014 届高三 11 月模拟数学(理)试题分类汇编 圆锥曲线 一、选择题 1 .(广东省佛山市南海区 2014 届普通高中高三 8 月质量检测理科数学试题 )已知...


广东省各地2014届高三数学上学期_期末考试试题分类汇编....doc

广东省各地 2014 届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编 圆锥曲线一、选择题 1、 (广州市 2014 届高三 1 月调研测试)若点 A(1, 0) 和点 B(4, 0) 到...


广东省各地2014届高三数学上学期 期末考试试题分类汇编....doc

广东省各地 2014 届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编 圆锥曲线一、选择题 1、 (广州市 2014 届高三 1 月调研测试)若点 A(1,0) 和点 B(4,0) 到...


广东省2014届高三理科数学各地试题精选分类汇编8:直线与圆.doc

广东省 2014 届高三理科数学各地试题精选分类汇编 8:直线与圆一、选择题 [


高三数学 试题精选分类汇编9 圆锥曲线(1) 理 人教版_图文.doc

广西省 高三理科数学试题精选(6 年高考(大纲版)+2 年模拟)分类汇编 9: 圆锥曲线(1)一、选择题 x2 y 2 1 . (广西南宁二中 2012 届高三 3 月模拟考试...


...复习之2013届名校解析试题精选分类汇编9:圆锥曲线.doc

2014届高三文科数学一轮复习之2013届名校解析试题精选分类汇编9:圆锥曲线 - 2013 届名校解析试题精选分类汇编 9:圆锥曲线 一、选择题 1 .已知圆 x 2 ? y 2 ...


...复习之2013届名校解析试题精选分类汇编9:圆锥曲线.txt

2014届高三文科数学一轮复习之2013届名校解析试题精选分类汇编9:圆锥曲线 - 2014届高三文科数学一轮复习之2013届名校解析试题精选分类汇编9:圆锥曲线 一、选择题 1...


广东省2014届高三理科数学各地试题精选分类汇编11:概率....doc

广东省 2014 届高三理科数学各地试题精选分类汇编 11:概率与统计一、选择题


...最新文科试题精选(21套含九大市区的二模等)分类汇编9:圆锥曲线....doc

广东省 2013 届高三最新文科试题精选(21 套含九大市区的二模等)分类汇编 9:圆锥曲 线一、选择题 1 . (广东省茂名市 2013 届高三 4 月第二次高考模拟数学文...


福建省各地2014届高三最新模拟数学理试题分类汇编9:圆....doc

福建省各地2014届高三最新模拟数学理试题分类汇编9:圆锥曲线 Word版含答案]_高中教育_教育专区。福建省各地2014届高三最新模拟数学理试题分类汇编9:圆锥曲线 Word版...


河南省各地2014届高三数学 最新模拟试题分类汇编9 圆锥....doc

河南省各地2014届高三数学 最新模拟试题分类汇编9 圆锥曲线_数学_高中教育_教育专区。新题,不错哦~ 河南省各地 2014 届高三最新模拟数学理试题分类汇编: 圆锥曲线...


2014高三复习精选圆锥曲线.txt

2014高三复习精选圆锥曲线 - 山东省2014届高三理科数学备考之2013届名校解析试题精选分类汇编9:圆锥曲线 一、选择题 x2y2 1 .(山东省潍坊市2013届高三上...


...最新文科试题精选(21套含九大市区的二模等)分类汇编9:圆锥曲线....doc

广东省 2013 届高三最新文科试题精选(21 套含九大市区的二模等)分类汇编 9:圆锥曲 线一、选择题 1 . (广东省茂名市 2013 届高三 4 月第二次高考模拟数学文...


...市2013届高三二模数学(理)试题分类汇编9:圆锥曲线.doc

广东省 12 大市 2013 届高三二模数学(理)试题分类汇编 9:圆锥曲线一、选择题 1 .广东省湛江市 2013 届高三 4 月高考测试(二)数学理试题( WORD 版)设 F1...


浙江省2014届高三理科数学一轮复习考试试题精选(1)分类....doc

浙江省2014届高三理科数学一轮复习考试试题精选(1)分类汇编12:圆锥曲线 W

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 学霸学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com