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§1.2 充分条件与必要条件


§ 1.2

充分条件与必要条件

学习目标 1.结合实例,理解充分条件、必要条件、充要条件的意义. 2.会判断(证明)某些命题的条件关系. 学习重点:充分条件、必要条件、充要条件的概念。 学习难点:必要条件的概念学习。 一、自主学习 1.如果已知“若 p,则 q”为真,即 p?q,那么我们说 p 是 q 的____________,q 是 p 的____________. 2.如果既有 p?q,又有 q?p,就记作________.这时 p 是 q 的______________条件, 简称________条件,实际上 p 与 q 互为________条件.如果 p ? q 且 q ? p,则 p 是 q 的 ________________________条件. 思考运用: 一般地,如果已知 p ? q ,那么我们就说 p 是 q 成立的充分条件,q 是 p 的必要条件 ⑴“ a ? b ? c ”是“ ? a ? b ??b ? c ?? c ? a ? ? 0 ”_____________的条件. ⑵若 a、b 都是实数,从① ab ? 0 ;② a ? b ? 0 ;③ ab ? 0 ;④ a ? b ? 0 ;⑤ a 2 ? b2 ? 0 ;⑥ a 2 ? b 2 ? 0 中选出使 a、b 都不为 0 的充分条件是 . 二、典型例题 例 1:指出下列命题中,p 是 q 的什么条件. ⑴p: x ? 1 ? 0 ,q: ? x ? 1?? x ? 2? ? 0 ; ⑵p:两直线平行,q:内错角相等; ⑶p: a ? b ,q: a 2 ? b 2 ; ⑷p:四边形的四条边相等,q:四边形是正方形.

变式训练:下列各题中,哪些 p 是 q 的充要条件? (1) p:b=0,q:函数 f(x)=ax2+bx+c 是偶函数; (2) p:x > 0,y > 0,q: xy> 0; (3) p: a > b ,q: a + c > b + c; (4) p:x > 5, ,q: x > 10 (5) p: a > b ,q: a2 > b2

例 2:已知 p: x ? y ? ?2 ;q:x、y 不都是 ?1 ,p 是 q 的什么条件?

练习:已知 p: x ? 2 或 x ?

2 ;q: x ? 2 或 x ? ?1 ,则 ?p 是 ?q 的什么条件? 3

例 3:求关于 x 的一元二次不等式 ax 2 ? 1 ? ax 于一切实数 x 都成立的充要条件

例 4:证明:对于 x、y ? R, xy ? 0 是 x2 ? y 2 ? 0 的必要不充分条件.

练习.已知 ab ? 0 ,求证: a ? b ? 1 的充要条件是: a3 ? b3 ? ab ? a 2 ? b2 ? 0 .

三、牛刀小试 1.“x>0”是“x≠0”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

) B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

2.设 p:x<-1 或 x>1;q:x<-2 或 x>1,则非 p 是非 q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.设集合 M={x|0<x≤3},N={x|0<x≤2},那么“a∈M”是“a∈N”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.“k=1”是“直线 x-y+k=0 与圆 x2+y2=1 相交”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5.设 l,m,n 均为直线,其中 m,n 在平面 α 内,“l⊥α”是“l⊥m 且 l⊥n”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

)

6.p: ?2 ? x ? 10 ;q:1 ? m ? x ? 1 ? m ? m ? 0? .若 ?p 是 ?q 的必要不充分条件,求实数

m 的取值范围.

四、课后反思

§ 1.2

充分条件与必要条件

答案

知识梳理 1.充分条件 必要条件 2.p?q 充分必要 充要 充要 既不充分又不必要 作业设计 1.A [对于“x>0”?“x≠0”,反之不一定成立. 因此“x>0”是“x≠0”的充分而不必要条件.] 2.A [∵q?p,∴綈 p?綈 q,反之不一定成立, 因此綈 p 是綈 q 的充分不必要条件.] 3.B [因为 N? M.所以“a∈M”是“a∈N”的必要而不充分条件.] 4.A [把 k=1 代入 x-y+k=0,推得“直线 x-y+k=0 与圆 x2+y2=1 相交”;但“直 线 x-y+k=0 与圆 x2+y2=1 相交”不一定推得“k=1”. 故“k=1”是“直线 x-y+k=0 与圆 x2 2 +y =1 相交”的充分而不必要条件.] 5.A [l⊥α?l⊥m 且 l⊥n,而 m,n 是平面 α 内两条直线,并不一定相交,所以 l⊥m 且 l⊥n 不能得到 l⊥α.] 1 6.B [当 a<0 时,由韦达定理知 x1x2= <0,故此一元二次方程有一正根和一负根,符 a 2 合题意;当 ax +2x+1=0 至少有一个负数根时,a 可以为 0,因为当 a=0 时,该方程仅有 1 一根为- ,所以 a 不一定小于 0.由上述推理可知,“a<0”是“方程 ax2+2x+1=0 至少有一 2 个负数根”的充分不必要条件.] 7.(1) ? (2)? 8.a>2 解析 不等式变形为(x+1)(x+a)<0,因当-2<x<-1 时不等式成立,所以不等式的解 为-a<x<-1.由题意有(-2,-1)? (-a,-1),∴-2>-a,即 a>2. 9.b≥-2a b 解析 由二次函数的图象可知当- ≤1,即 b≥-2a 时,函数 y=ax2+bx+c 在 2a [1,+∞)上单调递增. 10.解 (1)∵|x|=|y| ? x=y, 但 x=y?|x|=|y|, ∴p 是 q 的必要条件,但不是充分条件. (2)△ABC 是直角三角形 ? △ABC 是等腰三角形. △ABC 是等腰三角形 ? △ABC 是直角三角形. ∴p 既不是 q 的充分条件,也不是 q 的必要条件. (3)四边形的对角线互相平分 ? 四边形是矩形. 四边形是矩形?四边形的对角线互相平分. ∴p 是 q 的必要条件,但不是充分条件. 11.解 由题意知,Q={x|1<x<3},Q?P,

?a-4≤1 ? ∴? ,解得-1≤a≤5. ? ?a+4≥3 ∴实数 a 的取值范围是[-1,5]. 12.A [当△ABC 是等边三角形时,a=b=c, ?a b c ? ?a b c ? ∴l=max?b,c ,a?· ?b,c ,a?=1×1=1. min ? ? ? ? ∴“l=1”是“△ABC 为等边三角形”的必要条件. ?a b c ? c ∵a≤b≤c,∴max?b,c,a?= . ? ? a ?a b c? a 又∵l=1,∴min?b,c ,a?= , ? ? c a a b a 即 = 或 = , b c c c 得 b=c 或 b=a,可知△ABC 为等腰三角形,而不能推出△ABC 为等边三角形. ∴“l=1”不是“△ABC 为等边三角形”的充分条件.] 13.解 当{an}是等差数列时,∵Sn=(n+1)2+c, ∴当 n≥2 时,Sn-1=n2+c, ∴an=Sn-Sn-1=2n+1, ∴an+1-an=2 为常数. 又 a1=S1=4+c, ∴a2-a1=5-(4+c)=1-c, ∵{an}是等差数列,∴a2-a1=2,∴1-c=2. ∴c=-1,反之,当 c=-1 时,Sn=n2+2n, 可得 an=2n+1 (n≥1)为等差数列, ∴{an}为等差数列的充要条件是 c=-1.


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