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揭阳市2013年高中毕业班第二次高考模拟考试理科数学试题


绝密★启用前

揭阳市 2013 年高中毕业班第二次高考模拟考试 数学(理科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号 填写在答题卡上. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须填写在答题卡各题目指定区域内 相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不 按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 参考公式:棱锥的体积公式: V ?

1 Sh .其中 S 表示棱锥的底面积,h 表示棱锥的高. 3

一.选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.已知全集 U ? R , A ? {x | y ? 2x ? 1} ,则 CU A ? A. [0, ?? ) B. (??, 0) C. (0, ??) D. (??, 0]

2.若 (1 ? 2ai)i ? 1 ? bi ,其中 a、b∈R,i 是虚数单位,则 | a ? bi | =

A.

1 ?i 2

B. 5

C.

5 2

D.

5 4

3.已知点 A (?1,5) 和向量 a =(2,3) ,若 AB ? 3a ,则点 B 的坐标为 A.(7,4) B.(7,14) C.(5,4) D.(5,14) 4.在等差数列 ?an ? 中,首项 a1 ? 0, 公差 d ? 0 ,若 am ? a1 ? a2 ? ?? a9 , 则 m 的值为 A.37 B.36 C.20 D.19 5.一个棱长为 2 的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视图 如图(1)示,则该几何体的体积为 A.7 B.

?

??? ?

?

正视图

侧视图

22 3

C.

47 6

D.

23 3
俯视图

图 (1)

6.已知函数 f ( x) ?

1 ,则 y ? f ( x) 的图象大致为 x ? ln( x ? 1)

7.某市教育局人事部门打算将甲、乙、丙、丁四名应届大学毕业生安排到该市三所不同的学校 任教,每所学校至少安排一名,其中甲、乙因属同一学科,不能安排在同一所学校,则不同的安 排方法种数为 A.18 B.24 C.30 D.36

8.设 f ( x ) 是定义在( 0,1)上的函数,对任意的 y ? x ? 1 都有 f (

y?x 1 1 ) ? f ( ) ? f ( ) ,记 xy ? 1 x y

an ? f (

8 1 )(n ? N ? ) ,则 ? ai = n ? 5n ? 5 i ?1
2

A. f ( )

1 2

B. f ( )

1 3

C. f ( )

1 4

D. f ( )

1 5

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9-13 题) 9.若点 (a, ?1) 在函数 y ? log 1 x 的图象上,则 tan
3

4? 的值为 a



10. 过双曲线

x2 y 2 = 1 的右焦点, 且平行于经过一、 三象限的渐近线的直线方程是 9 16
元件1

.

11.某个部件由两个电子元件按图(2)方式连接而成,元件 1 或元件 2 正常工作,则部件正常工作,设两个电子元件的使 用寿命(单位:小时)均服从正态分布 N (1000,502 ) ,且各个

元件2

图(2) .

元件能否正常工作相互独立,那么该部件的使用寿命超过 1000 小时的概率为

12.已知函数 f ( x) ? 4 | a | x ? 2a ? 1 .若命题: “ ?x0 ? (0,1) ,使 f ( x0 ) ? 0 ”是真命题,则实 数 a 的取值范围为 13.已知点 P( x, y) 满足 ? .

?0 ? x ? 1, 则点 Q( x ? y, y) 构成的图形的面积为 ?0 ? x ? y ? 2.



(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,O 为极点,直线 l 过圆 C:? ? 2 2 cos(? ? 的圆心 C,且与直线 OC 垂直,则直线 l 的极坐标方程为 .

?
4

)

15.(几何证明选讲选做题) 如图(3)所示, C , D 是半圆周上的两个 三等分点,直径 AB ? 4 , CE ? AB ,垂足为 E , BD 与 CE 相交于 点 F ,则 BF 的长为 .

D

C

F A o 图3 E B

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)

1 ? 2 sin(2 x ? ) 4 , 已知函数 f ( x) ? cos x
(1)求函数 f ( x ) 的定义域; (2)设 ? 是第四象限的角,且 tan ? ? ? 17. (本小题满分 12 分) 某批产品成箱包装,每箱 5 件.一用户在购进该批产品前先取出 3 箱,设取出的 3 箱中,第 一、二、三箱中分别有 0 件、1 件、2 件二等品,其余为一等品. (1)在取出的 3 箱中,若该用户从第三箱中有放回的抽取 3 次(每次一件),求恰有两次抽到 二等品的概率; (2)在取出的 3 箱中,若该用户再从每箱中任意抽取 2 件产品进行检验,用ξ 表示抽检的 6 件产品中二等品的件数,求ξ 的分布列及数学期望. 18. (本小题满分 14 分)

?

4 ,求 f (? ) 的值. 3

, 2, 3, ?) 数列 ?an ? 中, a1 ? 3 , an?1 ? an ? cn ( c 是常数, n ? 1 ,且 a1,a2,a3 成公比不
为 1 的等比数列. (1)求 c 的值; (2)求 ?an ? 的通项公式; (3)求最小的自然数 n ,使 an ? 2013 . 19. (本小题满分 14 分) 在图(4)所示的长方形 ABCD 中, AD=2AB=2,E、F 分别为 AD、BC 的中点, M 、N 两点分别在 AF 和 CE 上运动,且 AM=EN= a (0 ? a ? 2). 把长方形 ABCD 沿 EF 折成大小为 ? 的二面角 A-EF-C, 如图(5)所示,其中 ? ? (0,
0

C

F

B 图 ( 4) A

N D C E

M

?
2

]

(1)当 ? ? 45 时,求三棱柱 BCF-ADE 的体积; (2)求证:不论 ? 怎么变化,直线 MN 总与平面 BCF 平行;
D

N

F M

B 图 ( 5)

2 0 (3)当 ? ? 90 且 a ? . 时,求异面直线 MN 与 AC 所成角 2
的余弦值.

E

A

20. (本小题满分 14 分) 如图(6)已知抛物线 C : y 2 ? 2 px( p ? 0) 的准线为 l ,焦点为 F,l 圆 M 的圆心在 x 轴的正半轴上,且与 y 轴相切.过原点作倾斜角 为
y t

? 的直线 t,交 l 于点 A,交圆 M 于点 B,且 | AO |?| OB |? 2 . 3
(1)求圆 M 和抛物线 C 的方程; (2)设 G , H 是抛物线 C 上异于原点 O 的两个不同点,且

B X
O F

M

A

???? ???? OG ? OH ? 0 ,求 ?GOH 面积的最小值;

图 (6)

(3)在抛物线 C 上是否存在两点 P, Q 关于直线 m : y ? k ? x ?1?? k ? 0? 对称?若存在,求 出直线 m 的方程,若不存在,说明理由.

21. (本小题满分 14 分) 设函数 f n ( x) ? xn (1 ? x)2 在 [ ,1] 上的最大值为 an ( n ? 1, 2,? ) . (1)求 a1 , a2 的值; (2)求数列 {an } 的通项公式; (3)证明:对任意 n ? N ( n ? 2 ),都有 an ?
*

1 2

1 成立. (n ? 2)2

揭阳市 2013 年高中毕业班高考第二次模拟考 数学(理科)参考答案及评分说明
一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要 考查内容比照评分标准制订相应的评分细则. 二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难 度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的 解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数. 一.选择题:BCDA
x

DACC

解析:1.由 2 ? 1 ? 0 得 x ? 0 ,? A ? [0, ??) ,故选 B. 2.由 (1 ? 2ai)i ? 1 ? bi 得 ? a ? ?

1 5 , b ? ?1 ?| a ? bi |? a 2 ? b 2 ? ,选 C. 2 2

3.设 B( x, y) ,由 AB ? 3a 得 ?

??? ?

?

?x ?1 ? 6 ,所以选 D. ?y ?5 ? 9

4.由 am ? a1 ? a2 ? ?? a9 得 (m ?1)d ? 9a5 ? 36d ? m ? 37 ,选 A. 5.依题意可知该几何体的直观图如右上图,其体积为. 2 ? 2 ? ?
3

1 1 23 ? 1? 1? 1 ? ,故选 D. 3 2 3

6 .令 g ( x) ? x ? ln( x ? 1) ,则 g '(x ) ? 1?

1 x ,由 g '(x ) ? 0,得 x ? 0, 即函数 g ( x) 在 ? x ?1 x ?1

(0, ??) 上单调递增,由 g '( x) ? 0 得 ?1 ? x ? 0 ,即函数 g ( x) 在 (?1, 0) 上单调递减,所以当
x ? 0 时,函数 g ( x) 有最小值, g ( x)min ? g (0) ? 0 ,于是对任意的 x ? (?1,0) ? (0, ??) ,有

g ( x ) ? 0 ,故排除 B、D,因函数 g ( x) 在 (?1, 0) 上单调递减,则函数 f ( x) 在 (?1, 0) 上递增,故
排除 C,所以答案选 A.
2 3 3 7. 四名学生中有两名分在一所学校的种数是 C4 , 顺序有 A3 种, 而甲乙被分在同一所学校的有 A3 2 3 3 种,所以不同的安排方法种数是 C4 A3 ? A3 ? 30 .故选 C.

8. 因 an ? f (
8

? (n ? 3) ? (n ? 2) ? 1 1 1 )? f ? ? ? f ( n ? 2 ) ? f ( n ? 3 ) ,故 n ? 5n ? 5 ? (n ? 3)(n ? 2) ? 1 ?
2

?a
i ?1

i

1 1 1 1 1 1 ? a1 ? a2 ? ? ? a8 ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? f ( ) ? f ( ) 3 4 4 5 10 11

1 1 11 ? 3 1 ? f ( )? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ,故选 C. 3 11 11? 3 ? 1 4

二.填空题:9.

3 1 1 ;13.2; 3 ;10. 4 x - 3 y - 20 = 0 ;11. ;12. a ? (或 a ? ( , ??) ) 4 2 2

14. ? cos ? ? ? sin ? ? 2 ? 0 (或 ? cos(? ? ? ) ? 2 ) ;15. 4 解析:9.依题意得 a ? 3 ,则 tan

2 3 . 3

4? 4? ? 3. = tan a 3

2 2 4 10 .双曲线 x - y = 1 的右焦点为 (5, 0) ,渐近线的方程为 y ? ? x ,所以所求直线方程为 3 9 16

y=

4 ( x - 5), 即 4 x - 3 y - 20 = 0 . 3

11.两个电子元件的使用寿命均服从正态分布 N (1000,502 ) 得:两个电子元件的使用寿命超过 1000 小时的概率均为 p ?

1 3 2 ,则该部件使用寿命超过 1000 小时的概率为: P 1 ? 1 ? (1 ? p ) ? 2 4

12.由“ ? x0 ? (0,1) ,使得 f ( x0 ) ? 0 ”是真命题,得 f (0) ? f (1) ? 0 ?
a?0 (1 ? 2a)(4 | a | ?2a ? 1) ? 0 ? ? ?

1 a?0 或? ?a ? . ? 2 ?(2a ? 1)(2a ? 1) ? 0 ?(6a ? 1)(2a ? 1) ? 0
2

v

v=u v=u-1

13.令 x ? y ? u, y ? v ,则点 Q (u , v) 满足 ?

?0 ? u ? v ? 1, ,在 uov 平面内画 ?0 ? u ? 2.

o 1 -1 2 u=2

u

出点 Q (u , v) 所构成的平面区域如图,易得其面积为 2.

14.把 ? ? 2 2 cos(? ? ? ) 化为直角坐标系的方程为 x2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ,圆心 C 的坐标为(1,1) ,
4

与直线 OC 垂直的直线方程为 x ? y ? 2 ? 0, 化为极坐标系的方程为 ? cos ? ? ? sin ? ? 2 ? 0 或

? ? cos(? ? ) ? 2
4
? 15.依题意知 ?DBA ? 30 ,则 AD=2, 过点 D 作 DG ? AB 于 G, 则 AG=BE=1, 所以 BF ?

2 3 . 3

三.解答题: 16.解: (1)函数 f ( x ) 要有意义,需满足: cos x ? 0 , 解得 x ?

?
2

? k? , k ? Z ,------------2 分

即 f ( x ) 的定义域为 {x | x ?

?
2

? k? , k ? Z } -------------------------------------4 分
2 2

1 ? 2 sin(2 x ? ) 1 ? 2( sin 2 x ? cos 2 x) 1 ? cos 2 x ? sin 2 x 4 ? 2 2 ? (2)∵ f ( x) ? --------6 分 cos x cos x cos x

?

?

2cos 2 x ? 2sin x cos x ? 2(cos x ? sin x) -------------------------------------------------8 分 cos x

4 4 2 2 ,得 sin ? ? ? cos ? , 又 sin ? ? cos ? ? 1 3 3 9 3 4 2 ∴ cos ? ? ,∵ ? 是第四象限的角∴ cos ? ? , sin ? ? ? ---------------------10 分 25 5 5 14 ∴ f (? ) ? 2(cos ? ? sin ? ) ? .-----------------------------------------------------------12 分 5 17. 解: (1)设 A 表示事件“从第三箱中有放回地抽取 3 次(每次一件) ,恰有两次取到二等品” , 2 依题意知,每次抽到二等品的概率为 ,------------------------------2 分 5 3 36 2 2 2 故 P ( A) ? C3 ( ) ? ? . ------------------------------------------5 分 5 5 125
由 tan ? ? ? (2)ξ 可能的取值为 0,1,2,3.----------------------------------6 分 C4 C3 18 9 P(ξ =0)= 2· 2= = , C5 C5 100 50
1 1 1 2 2 2 2

C4 C3 C4 C3· C2 12 P(ξ =1)= 2· 2+ 2· 2 = , 25 C5 C5 C5 C5
1 2

1

2

2

1

1

C4 C3· C2 C4 C2 15 C4 C2 1 P(ξ =2)= 2· 2 + 2· 2= , P(ξ =3)= 2· 2= .-----------------------------10 分 C5 C5 C5 C5 50 C5 C5 25 ξ 的分布列为 0 1 2 3 ξ 9 12 15 1 P 50 25 50 25 --------------------------------11 分 12 15 1 数学期望为 Eξ =1× +2× +3× =1.2.-------------------------------------------------------12 分 25 50 25 18.解: (1) a1 ? 3 , a2 ? 3 ? c , a3 ? 3 ? 3c ,
2

--------------------------------1 分

∵ a1 , a2 , a3 成等比数列,∴ (3 ? c) ? 3(3 ? 3c) , --------------------------------2 分 解得 c ? 0 或 c ? 3 . --------------------------------3 分

当 c ? 0 时, a1 ? a2 ? a3 ,不符合题意舍去,故 c ? 3 .-------------------------------4 分 (2)当 n ≥ 2 时,由 a2 ? a1 ? c , a3 ? a2 ? 2c ,?? an ? an?1 ? (n ?1)c ,

n(n ? 1) c .--------------------------------6 分 2 3 3 2 3, ?) .-------------------------8 分 又 a1 ? 3 , c ? 3 ,∴ an ? 3 ? n(n ? 1) ? (n ? n ? 2)(n ? 2, 2 2 3 2 ? 当 n ? 1 时,上式也成立,∴ an ? ( n ? n ? 2)(n ? N ) .--------------------------------9 分 2 3 2 2 (3)由 an ? 2013 得 (n ? n ? 2) ? 2013 ,即 n ? n ? 1340 ? 0 --------------------------10 分 2
得 an ? a1 ? [1 ? 2 ? ? ? (n ? 1)]c ?

∵ n ? N ? ,∴ n ?

1 1 ? 4 335 1 ? 4 ? 18 ? ? 36 --------------------------------11 分 2 2 2

令 n ? 37 ,得 a37 ? 2001 ? 2013 ,令 n ? 38 得 a38 ? 2112 ? 2013 ----------------------13 分 ∴使 an ? 2013 成立的最小自然数 n ? 38 .--------------------------------14 分 19.解: (1)依题意得 EF ? DE, EF ? AE,? EF ? 平面 ADE , ? DEA = ? -------2 分 由 ? ? 45 得, S?ADE ?
?

∴ VBCF ? ADE

1 2 , DE ? EA sin 45? ? 2 4 2 ----------------------------------------------------------------------4 分 ? S?ADE ? EF ? 4 C
N1 D N F M M1 B

(2)证法一:过点 M 作 MM1 ? BF 交 BF 于 M 1 , 过点 N 作 NN1 ? CF 交 BF 于 N1 ,连结 M1 N1 ,------------5 分 ∵ MM1 / / AB, NN1 / / EF ∴ MM1 / / NN1

E

MM 1 FM CN NN1 ? ? ? 又∵ AB FA CE EF

A

∴ MM1 ? NN1 --------------------------------7 分

∴四边形 MNN1M1 为平行四边形,--------------------------------------------------------8 分

? MN / / N1M1, 又MN ? 面BCF , N1M1 ? 面BCF , ? MN / /面BCF . --------------------10 分
C

CN FM FG ? ? , 【法二:过点 M 作 MG ? EF 交 EF 于 G,连结 NG,则 NE MA GE D ? NG / / CF --------------------------------------------------------------6 分

N

F M

B

又NG ? 面BCF , CF ? 面BCF ,? NG / /面BCF ,------------7 分
E

G A

同理可证得 MG // 面BCF ,又 MG ? NG ? G , ∴平面 MNG//平面 BCF-------------9 分 ? MN // 面BCF .----------------------------------------------------10 分】 ∵MN ? 平面 MNG, (3)法一:取 CF 的中点为 Q,连结 MQ、NQ,则 MQ//AC, ∴ ?NMQ 或其补角为异面直线 MN 与 AC 所成的角,--------11 分
C Q D N F M E A

1 2 1 2 3 . ∴ NQ ? , MQ ? ( )2 ? ( )2 ? ∵ ? ? 90 且 a ? 2 2 2 2 2
0

B

? MN ?

2 , ---------------------------------------------------------------------12 分 2

? cos ?NMQ ?

QM 2 ? MN 2 ? NQ2 6 ? . 2MN ? QM 3

即 MN 与 AC 所成角的余弦值为

6 .--------------------------------14 分 3

【法二:∵ ? ? 90 且 a ?
0

2 . 2
1 2 1 2 ???? ???? ? 1 1 2 2

分别以 FE、FB、FC 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系. --------------11 分 则 A(1,1, 0), C (0, 0,1), M ( , , 0), N ( , 0, ), 得 AC ? ( ?1, ?1,1), MN ? (0, ? , ), ----12 分

1 1 2 2

???? ???? ? ? cos ? AC , MN ??

1 3? 2 2

?

6 ,……………………………………………13 分 3

所以与 AC 所成角的余弦值为 20. 解:(1)∵

6 .…………………………………………………14 分】 3

p 1 ? OA cos 60? ? 2 ? ? 1 ,即 p ? 2 , 2 2
--------------------------------2 分

∴所求抛物线的方程为 y 2 ? 4 x

∴设圆的半径为 r,则 r ? OB ? 1 ? ? 2 ,∴圆的方程为 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 .--------------4 分 2 cos 60 (2) 设 G ? x1, y1 ? , H ? x2 , y2 ? ,由 OG ? OH ? 0 得 x1 x2 ? y1 y 2 ? 0
2 2 ∵ y1 ? 4x1 , y2 ? 4x2 ,∴ x1 x2 ? 16 ,

???? ????

--------------------------------6 分

∵ S?GOH ? =

1 ???? 2 ???? 2 1 2 1 ???? ???? 2 2 2 2 = 1 ? x12 ? 4 x1 ?? x2 OG OH ? ? x1 ? y12 ?? x2 ? y2 OG OH ,∴ S? ? 4 x2 ? ? GOH ? 4 4 2 4

1? 1 2 2 =256 ? ? ? x1 x2 ? ? 4 x1 x2 ? x1 ? x2 ? ? 16 x1 x2 ? ? x1 x2 ? ? 4 x1 x2 ? 2 x1 x2 ? 16 x1 x2 ? ? ? ? ? 4 4

∴ S?GOH ? 16 ,当且仅当 x1 ? x2 ? 2 时取等号, ∴ ?GOH 面积最小值为 16 .-------------------------------------------9 分 (3) 设 P?x3 , y3 ?, Q?x4 , y4 ? 关于直线 m 对称,且 PQ 中点 D?x0 , y0 ? ∵
2 2 P?x3 , y3 ?, Q?x4 , y4 ? 在抛物线 C 上,∴ y3 ? 4x3 , y4 ? 4x4

两式相减得: ? y3 ? y4 ?? y3 ? y4 ? ? 4 ? x3 ? x4 ? --------------------------------11 分 ∴ y3 ? y4 ? 4 ?

x3 ? x4 4 ? ? ?4k ,∴ y0 ? ?2k y3 ? y4 kPQ

∵ D?x0 , y0 ? 在 m : y ? k ? x ?1?? k ? 0? 上

∴ x0 ? ?1 ? 0 ,点 D?x0 , y0 ? 在抛物线外--------------------------------13 分 ∴在抛物线 C 上不存在两点 P, Q 关于直线 m 对称. --------------------------14 分 21.解: (1)解法 1:∵ fn '( x) ? nxn?1 (1 ? x)2 ? 2xn (1 ? x) ? xn?1 (1 ? x)[n(1 ? x) ? 2x] -------1 分 当 n ? 1 时, f1 '( x) ? (1 ? x)(1 ? 3x) 当 x ? [ ,1] 时, f1 '( x) ? 0 ,即函数 f1 ( x) 在 [ ,1] 上单调递减,

1 2

1 2

1 , --------------------------------------------------3 分 8 当 n ? 2 时, f 2 '( x) ? 2 x(1 ? x)(1 ? 2 x) 1 1 当 x ? [ ,1] 时, f 2 '( x) ? 0 ,即函数 f 2 ( x) 在 [ ,1] 上单调递减, 2 2 1 1 ∴ a2 ? f 2 ( ) ? ---------------------------------------------------5 分 2 16 【解法 2:当 n ? 1 时, f1 ( x) ? x(1 ? x)2 ,则 f1 '( x) ? (1 ? x)2 ? 2x(1 ? x) ? (1 ? x)(1 ? 3x) 1 1 1 1 当 x ? [ ,1] 时, f1 '( x) ? 0 ,即函数 f1 ( x) 在 [ ,1] 上单调递减,∴ a1 ? f1 ( ) ? , 2 2 8 2 2 2 2 2 当 n ? 2 时, f 2 ( x) ? x (1 ? x) ,则 f 2 '( x) ? 2 x(1 ? x) ? 2 x (1 ? x) ? 2 x(1 ? x)(1 ? 2 x) 1 1 1 1 当 x ? [ ,1] 时, f 2 '( x) ? 0 ,即函数 f 2 ( x) 在 [ ,1] 上单调递减,∴ a2 ? f 2 ( ) ? 】 2 2 16 2 n n 1 1 n ? [ ,1] 且当 x ? [ , )时 (2)令 f n '( x) ? 0 得 x ? 1 或 x ? ,∵当 n ? 3 时, n?2 n?2 2 2 n?2 n ,1] 时 f n '( x) ? 0 ,-----------------------7 分 fn '( x) ? 0 ,当 x ? ( n?2 n 故 f n ( x) 在 x ? 处取得最大值,即当 n ? 3 时, n?2 n n n 2 2 4n n an ? f n ( )?( ) ( ) ? ,------( ? )------------------9 分 n?2 n?2 n?2 (n ? 2)n? 2 当 n ? 2 时( ? )仍然成立, ?1 , n ?1 ? ?8 综上得 an ? ? -------------------------------------10 分 n ? 4n . n?2 n?2 ? ? (n ? 2) n 1 ,只需证明 (1 ? 2 ) n ? 4 -------------------11 分 (3)当 n ? 2 时,要证 4n n? 2 ? n (n ? 2) (n ? 2)2 2 n n(n ? 1) 4 0 1 2 n 2 n ? 2 ? 1? 2 ?1 ? 4 ∵ (1 ? ) ? Cn ? Cn ( ) ? ? ? Cn ( ) ? 1 ? 2 ? n n n 2 n 1 * ∴对任意 n ? N ( n ? 2 ),都有 an ? 成立.--------------------------------14 分 (n ? 2)2
∴ a1 ? f1 ( ) ?

1 2


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