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2018-2019学年最新高中数学苏教版选修2-3教学案:2.6 正态分布-含解析

1.概率密度曲线 对于某一随机变量的频率分布直方图,若数据无限增多且组距无限缩小,那么频率分 布直方图上的频率折线将趋于一条光滑的曲线,我们将此曲线称为概率密度曲线. 2.正态密度曲线 (x-μ)2 1 P(x)= e- ,x∈R,其中实数 μ(μ∈R)和 σ(σ>0)为参数 函数表达式 2σ 2 2π σ (1)当 x<μ 时,曲线上升;当 x>μ 时,曲线下降. 当曲线向左右两边无限延 伸时,以 x 轴为渐近线 图象的特征 (2)正态曲线关于直线 x=μ 对称 (3)σ 越大,正态曲线越扁平;σ 越小,正态曲线越尖陡 (4)在正态曲线下方和 x 轴上方范围内的区域面积为 1 3.正态分布 若 X 是一个随机变量,则对任给区间(a,b],P(a<X≤b)恰好是正态密度曲线下方和 x 轴上(a,b]上方所围成的图形的面积,我们就称随机变量 X 服从参数为 μ 和 σ2 的正态分布, 简记为 X~N(μ,σ 2). 4.标准正态分布 正态分布 N(0,1)称为标准正态分布. 5.正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 落在区间(μ-σ,μ +σ)上的概率约为 68.3%; 落在区间(μ-2σ,μ +2σ)上的概率约为 95.4%; 落在区间(μ-3σ,μ +3σ)上的概率约为 99.7%. 6.中心极限定理 在独立地大数量重复试验时,就平均而言,任何一个随机变量的分布都将趋近于正态 分布,这就是中心极限定理. 1.在正态分布 X~N(μ,σ 2)中,μ 就是随机变量 X 的均值,σ 2 就是随机变量 X 的方 差,它们分别反映 X 取值的平均大小和稳定程度. 2.正态密度曲线的性质 (1)曲线位于 x 轴上方,与 x 轴不相交; (2)曲线是单峰的,它关于直线 x=μ 对称; 1 (3)曲线在 x=μ 处达到峰值 ; σ 2π (4)曲线与 x 轴之间的面积为 1; (5)当 σ 一定时,曲线随着 μ 的变化而沿 x 轴平移,如图①; (6)当 μ 一定时,曲线的形状由 σ 确定,σ 越小,曲线越“尖陡”;σ 越大,曲线越“扁 平”,如图②. [例 1] 如图所示是一个正态密度曲线.试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解 析式,求出随机变量的均值和方差. [思路点拨] 解答本题可首先借助图象观察该函数的对称轴及最大值, 然后结合 φμ, σ(x) = (x-μ)2 e- 可知 μ 及 σ 的值. 2σ2 2πσ 1 [精解详析] 从给出的正态密度曲线可知,该正态密度曲线关于直线 x=20 对称,最大 1 值是 ,所以 μ=20. 2 π 1 1 = ,解得 σ= 2. 2π ·σ 2 π 于是概率密度函数的解析式是 (x-20)2 1 f(x)= · e- ,x∈(-∞,∞). 4 2 π 随机变量的均值是 μ=20, 方差是 σ2=( 2) =2. 2 [一点通] 利用图象求正态密度曲线的方程.关键是确定 μ,σ.结合图象,利用正态密 度曲线的两条性质: 一是对称轴, 二是最值即可求出 μ, σ.相应参数确定了, 代入 f(x)= 1 2πσ (x-μ)2 e- 即可. 2σ2 1.下列函数是正态密度函数的是________. 1 (1)f(x)= e 2π σ (2)f(x)= (x-μ)2 2σ 2 ,μ ,σ (σ>0)都是实数 2π x2 e- 2 2π (x-1)2 1 (3)f(x)= e- 4 2 2π 1 x (4)f(x)= e2 2π 2 解析:本题考查正态密度函数,可对照 f(x)= (x-μ)2 e- , 2σ 2 2π·σ 1 其中指数部分的σ应与系数的分母处的σ保持一致,系数为正数且指数为负数. (1)有两处错误,分别是 2π·σ错为 2πσ,指数错为正数.(3)从系数可得 σ=2,从而 指数处可得 σ= 2,显然不符.(4)中指数为正,错误. 答案:(2) 2.若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数,且该函数的最大值为 正态分布的概率密度函数的解析式. 解:由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数,所以其图象关于 y 轴对称,即 μ= 0. 由于 1 2πσ = ,得 σ=4, 2π·4 1 1 .求该 4 2π 故该正态分布的概率密度函数的解析式是 φμ,σ(x)= 1 2π 4 e- x2 ,x∈(-∞,+∞). 32 [例 2] 关于正态曲线 φ(x)= (x-μ) 1 e- ,x∈(-∞,+∞),σ >0 有以下命题: 2σ 2 2π σ 2 ①正态密度曲线关于直线 x=μ 对称; ②正态密度曲线关于直线 x=σ 对称; ③正态密度曲线与 x 轴一定不相交; ④正态密度曲线与 x 轴一定相交; ⑤正态密度曲线所代表的函数是偶函数; ⑥曲线对称轴由 μ 确定,曲线的形状由σ 决定; ⑦当μ 一定时,σ 越大,曲线越“扁平” ,σ 越小,曲线越“尖陡” . 其中正确的是________(填序号). [思路点拨] 根据正态分布曲线的性质可直接判断. [精解详析] 根据正态分布曲线的性质可得,由于正态密度曲线是一条关于直线 x=μ 对称,在 x=μ 处于最高点并由该点向左、右两边无限延伸,逐渐降低的曲线,该曲线总是 位于 x 轴的上方,曲线形状由 σ 决定,而且当 μ 一定时,比较若干个不同的 σ 对应的正态 曲线,可以发现σ 越大,曲线越“扁平” ,σ 越小,曲线越“尖陡” .故①③⑥⑦正确. [答案] ①③⑥⑦ [一点通] 解决正态曲线的性质问题,应对正态曲线的简单性质要熟练掌握并且能够应 用,尤其是对称性,最高点的位置,曲线左右无限延伸并逐渐降低,要结合正态曲线的图象 理解并掌握. 3. 设两个正态分布 N(μ1, σ2 σ2 则 1)(σ1>0)和 N(μ2, 2)(σ2>0)的密度函数图象如图所示. 下列说法正确的是________. ①μ ②μ ③μ ④μ 1<μ 2,σ 1<σ 2; 1<μ 2,σ 1>

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