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2015年重庆一中高2016级高三上半期考试 理科数学试题

秘密★启用前

重庆一中高 2016 级 2015—2016 学年度上学期半期考试 数 学 试 题 卷(理科)2015.11
数学试题共 4 页,满分 150 分,考试时间 120 分钟。 注意事项: 1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。 2.答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦擦干净后,再选涂其他答案标号。 3.答非选择题时,必须使用 0.5 毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置 上。 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效。
第 I 卷(选择题,共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的。

1. 已知集合 A ? ? ??, ?1? U ? 2, ?? ? , B ? ? x log 2 ? x ? 2 ? ? 3? , 则 A ? B ? (
A.

) D. ? 3,6?

? 2, 6 ?

B. ? ??, ?1? U ? 2,6?

C. ? ?2, ?1? U ? 2,6? )

2 复数是( 2. 已知复数 z ? 1 ? i ( i 是虚数单位),则 ? z 2 的共轭 .. z
A. 1 ? 3i B. 1 ? 3i
2 2

C. ?1 ? 3i

D. ?1 ? 3i

3. 已知双曲线
( ) A. 2

x y ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线与直线 y ? 2 x ? 5 平行,则双曲线的离心率等于 2 a b
B. 5 C. 5 D. 6

4. 已知倾斜角为 ? 的直线 l ,与直线 m : x ? 3 y ? 1 ? 0 垂直,则
A.

sin 2? =( 3sin 2 ? - cos 2 ?
D.

)

13 3
)

B. ?

10 13

C. ?

3 13

10 13

? ? ? ? ? ? ? ? 5. 已知向量 a =(3,1), b =(1,3), c =( k ,?2 ),若 ?a ? c ? ∥ b ,则向量 a 与向量 c 的夹角的余弦是
( A.

5 5

B.

1 5

C. ?

5 5

D. ?

1 5


?? ? 6. 要得到函数 f ?x ? ? sin? 2 x ? ? 的导函数 f '( x) 的图象,只需将 f ( x) 的图象( 6? ?
A.向右平移

? 个单位,再把各点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变) 4

1

? 个单位,再把各点的纵坐标缩短到原来的 2 倍(横坐标不变) 2 ? C.向左平移 个单位,再把各点的纵坐标缩短到原来的 2 倍(横坐标不变) 2 ? D.向左平移 个单位,再把各点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变) 4
B.向右平移 7.下列说法正确的是(
2



A.“若 a ? 1 ,则 a ? 1 ”的否命题是“若 a ? 1 ,则 a2 ? 1 ” . B.“若 tan ? ?
2 2

3 ,则 ? ? ? ”是真命题.
3

C.“ am ? bm ”是“ a ? b ”的充要条件. D.等比数列 ?an ? 中,若 a2 ? ?9, a6 ? ?1 ,则 a4 ? ?3 .

8 . 已知两点 A??1,0?, B?0,2? ,点 P 是圆 ?x ?1?2 ? y 2 ? 1 上任意一点,则 S ?PAB 的最大值是(
A. 2 B. 2 ?

)

5 5 C. 2 5 D. 1 ? 2 2 2 9 . 在数列 {a n } 中, an ? n cosn? (n ? N*) ,则 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a99 ? a100 ? ( ) A. 4950 B. ? 4950 C. 5050 D. ? 5050 10 . 定义在 R 上的偶函数 f ( x) 满足 f ?x ? ? f ?2 ? x ? ,当 x ? ?0,1? 时, f ?x ? ? x .在 ?? 1,3?内, 关于 x 的方程
f ?x? ? kx ? k ? 1, ?k ? R, k ? ?1? 有四个不同的实根,则 k 的取值范围是(
1 ? A. ? ? ? ,0? ? 3 ?
B. ? ? 1 , ? 1 ? ?
? ? 2 4?

)

C. ? ? 1 , 0? ? ? 3 ? ?

1? D. ? ? 0, ? ? 3?

2 2 11 . (原创)已知椭圆 C : x 2 ? y2 ? 1(a>b>0) 的左右焦点分为 F1 , F2 ,椭圆 C 上的点 P 都满足

a b 、B 两点.若 3 ( PF1 ? PF2 ) ? 2 F1 F2 ,过右焦点 F2 且斜率为 k ( k>0) 的直线与椭圆 C 相交于 A
3 AB ,则 k ? ( 4
B. 2 ) C. 3 D. 2
? ? 2 2 ? ?

AF2 ?
A. 1

12 . (原创)定义在 R 上的可导函数 f ? x ? 满足 f ?1? ? 1 ,且 2 f ?? x ? ? 1 ,当 x ? ? ? ? , 3? ? 时,不等式

f ? 2cos x ? ?
? 4? ? A. ? ? , ? ?3 3 ?

3 x ? 2sin 2 的解集为( 2 2
B. ? ?

) C. ? 0,

? ? 4? ? , ? ? 3 3 ?

? ?? ? ? 3?

? ?? D. ? ?? , ? ? 3 3?

第 II 卷(非选择题,共 90 分) 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题 ~ 第 21 题为必考题,每个试题考生都必须作答。第 22 题 ~ 第 24 题为选考题,考生根据要求作答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。

13. 设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S9 ? 72 ,则 a3 ? a4 ? a8 ?

2

?x ? y ? 2 ? 0 14. 已知实数 x, y 满足不等式组 ? ? x ? y ? 4 ? 0 ,目标函数 z ? y ? ax(a ? R ) ,若目标函数取最大值时 ?2 x ? y ? 5 ? 0 ?
的唯一 最优解是 ?1,3? ,则实数 a 的取值范围是 ..

15. 函 数 f ?x ? ? a x?1 ? 2 的 图 象 恒 过 点 A ( 其 中 实 数 a 满 足 a ? 0 且 a ? 1 ) , 若 点 A 在 直 线
2 2 m x ? ny ? 2 ? 0 上,且 mn ? 0 ,则 m ? 2 ? n 的最小值是________

m

n ?1

16 . ( 原创 ) 在 ?ABC 中 , 角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c , O 是 ?ABC 的外心,若 b 2 ? c 2 ? 2b ,则

AO ? BC 的取值范围是
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17. (本小题满分 12 分)各项均为正数的数列 ?a n ? 中, S n 是数列 ?a n ? 的前 n 项和,对任意 n ? N ? ,
有 2S n ? an ? an . (1)求数列 ?a n ? 的通项公式;
n (2)求数列 a n ? 2 的前 n 项和 Tn .

2

?

?

? ? 18. (本小题满分 12 分)(原创)已知向量 m ? ?sin x, cos2x?, n ? 2 3 cos x,1 ,
满足 f ? x ? ? m ? n . (1)当 x ? ? , k ? 时, f ? x ? 的值域是 ?? 2,1? ,求实数 k 的取值范围; 3 (2)在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,满足 a ? 2, f ?

?

?

? ?
? ?

?? ?

? A? ? ? 2, 求 S ?ABC 的最大值. ?2?

19. ( 本小 题满分 12 分)( 原创 )在直 角坐 标系 xOy 中 ,以 坐标原 点 O 为 圆心的 圆与 直线 3x ? 4 y ? 10 ? 0 相切. (1)求圆 O 的方程;
(2)若 M ?x0 , y0 ? 是圆上的动点,如果 x0 ? 3 y0 ? k 恒成立,求实数 k 的取值范围;

?1 ? (3)过点 P ? ,1? 的直线 l 与圆 O 交于 A、B 两点,当 ?AOB 最小时,求直线 l 的方程. ?2 ?

20.(本小题满分 12 分)已知椭圆的中心在坐标原点 O ,焦点在 x 轴上,椭圆的短轴端点和焦点所组 成的四边形为正方形,两准线间的距离为 4 .
3

(1)求椭圆的方程; (2)过点 E ?? 1,0 ? 且不与坐标轴垂直的直线 l 交此椭圆于 C , D 两点, 若线段 CD 的垂直平分线与 x 轴交 于点 M ?x0 ,0? ,求实数 x 0 的取值范围.

b ? ln x ?a, b ? R ? . x (1)若函数 f ( x ) 在 ?1, e ? 上单调递增( e 为自然对数的底数),求 b 的取值范围; (2)若 b ? 1时, f ( x ) 恰有一个零点,求 a 的取值集合;
21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? a ? (3)若 b ? 1时, f ( x ) 恰有两个零点 x1 , x2 (0 ? x1 ? x2 ) ,求证: x1 ? x2 ? 2 .

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。作答时请写清题号 22.(本小题满分 10 分)选修 4 - 1:几何证明选讲 如图,⊙O 的半径 OB 垂直于直径 AC,M 为 AO 上一点,BM 的延长线交 ⊙O 于 N,过点 N 的切线交 CA 的延长线于 P. PM PC (1)求证: ; ? PA PN (2)若⊙O 的半径为 2 3 ,OA= 3 OM,求 MN 的长.

23. (本小题满分 10 分)选修 4 - 4:坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与 x 轴的正半轴重合。已知直线 l 的参数方程是

? 2 t ?x ? ?? ? ? 2 (t是参数) ,圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2 sin ? ? ? ? . ? 2 ?4 ? ? y? t?4 2 ? 2 ?
(1)求圆心 C 的直角坐标; (2)已知 P 是直线 l 上的动点,PA、PB 是圆 C 的切线,A、B 是切点,C 是圆心, 求四边形 PACB 面积的最小值.

24. (本小题满分 10 分)(原创)选修 4 - 5:不等式选讲 2 若不等式 2 x ? 3 ? 4 与不等式 x ? px ? q ? 0 的解集相同.
(1).求实数 p, q 值; (2).若实数 a, b, c ? R? ,满足 a ? b ? c ? 2 p ? 4q ,求证: a ? b ? c ? 3 .

命题人:黄勇庆 审题人:王 明

4

5

6

7

8


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