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2014创新设计高中数学(苏教版)第四章 第5讲 两角和与差的正弦、余弦和正切_图文

第5讲 两角和与差的正弦、余弦和正切

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考点梳理
1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 C(α-β):cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β. cos αcos β-sin αsin β C(α+β):cos(α+β)=_________________________. S(α-β):sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β. sin αcos β+cos αsin β S :sin(α+β)=_________________________.
(α+β)

tan α-tan β T(α-β):tan(α-β)= . 1+tan αtan β tan α+tan β T(α+β):tan(α+β)= . 1-tan αtan β
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2.在准确熟练地记住公式的基础上,要灵活运用公式解 决问题:如公式的正用、逆用和变形用等.如T(α±β)可变 形为: tan(α±β)(1?tan αtan β) tan α± β=____________________________, tan
tan α+tan β tan α-tan β 1- = -1 tan?α+β? tan?α-β? tan αtan β=_________________________________.
3.函数 f(α)=acos α+bsin α(a,b 为常数),可以化为 f(α) = a2+b2sin(α+φ)或 f(α)= a2+b2cos(α-φ),其中 φ 可由 a,b 的值唯一确定.

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【助学· 微博】 一个命题规律

本讲在高考中主要考查三角函数式的化简、求值和恒等式
证明,以客观题为主,难度一般不大,有时以向量为载 体,以本讲内容为工具进行考查.在三角式化简、求值

后,进而研究三角函数的性质,是解答三角函数类试题的
必要基本功,要求准确、迅速化到最简.

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两个技巧
(1)拆角、拼角技巧:2α=(α+β)+(α-β);α=(α+β)
? α+β α-β α-β ? β? ?α -β;β= - ; =?α+2?-?2+β?. 2 2 2 ? ? ? ?

(2)化简技巧:切化弦、“1”的代换等.

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三个变化 (1)变角:目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角,其 手法通常是“配凑”.

(2)变名:通过变换函数名称达到减少函数种类的目的,
其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等. (3)变式:根据式子的结构特征进行变形,使其更贴近某

个公式或某个期待的目标,其手法通常有:“常值代换”、
“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与 平方”等.

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考点自测
? π? 3 3π 1.(2012· 宿迁联考)已知 0<α< ,cos?α+4 ?= ,则 tan 4 ? ? 5

α

=________.

解析

? π? 4 3π π π 由 0<α< , <α+ <π, 得 所以 sin?α+4 ?= , 4 4 4 ? ? 5 ? π? ? ? ?? ? π? tan?α+ 4 ?-1 1 π ??α+ ?- ?= α=tan = . ? 4? 4? π? 7 ?? ?α+ ?+1 tan 4? ?

? π? 4 tan?α+4 ?= ,tan ? ? 3

答案

1 7

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2.(2012· 苏北四市调研)已知 则 cos θ=________.

? ?π ? π? 3 cos?θ-4 ?= ,θ∈?2,π?, ? ? 5 ? ?

解析

因为

?π ? θ∈ ?2,π? ,所以 ? ?

π ?π 3π? θ- ∈ ?4, 4 ? ,所以 4 ? ? π 4

? π? 4 sin?θ-4 ?= ,cos ? ? 5 ? π? -sin?θ-4 ?sin ? ?

?? ? π ? π? π? θ=cos??θ-4?+4?=cos?θ-4 ?· cos ? ? ? ?? ?

π 3 2 4 2 2 = × - × =- . 4 5 2 5 2 10

答案

2 - 10

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3.(2012· 苏州检测)函数

? π? f(x)=cos?x+2 ?· ? ?

? π? cos?x+6?的最小正周期为________. ? ?

? π? ? π? 解析 因为 f(x)=cos?x+2?cos?x+6? ? ? ? ? ? 3 ? 3 1 2 1 ? ?=- =-sin x cos x- sin x sin 2x+ sin 4 2 2 ? 2 ? π? 1 ? 2π ?2x- ?,所以最小正周期为 T= =π. cos 3? 2 ? 2

1 x= - 4

答案

π

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答案

3

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5.(2012· 南京市、盐城市三模)已知

? π? sin?α+3 ?+sin ? ?

α=-

4 3 π ,- <α<0,则 cos α=________. 5 2 1 3 3 3 解析 由 sin α+ cos α+sin α= sin α+ cos α 2 2 2 2 ? π? 4 3 4 ?α+ ?=- . =- ,得 sin 6? 5 5 ? ? π? π π π π 又- <α<0,所以- <α+ < ,所以 cos?α+6 ? 2 3 6 6 ? ? ? π π? π? 3 3 ? = .因此 cos α=cos?α+6-6 ?= cos?α+6 ?+ 5 2 ? ? ? ? π? 1 ? 3 3 1 4 3 3-4 ?α+ ?= sin 6 ? 2 ×5-2×5= 10 . 2 ?
答案 3 3-4 10
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考向一

三角函数式的化简、求值
? θ??sin ?

?1+sin θ+cos 【例 1】 (1)化简

θ θ? -cos ? 2 2?

2+2cos θ

(0<θ<π);

? 1 ? 1+cos 20° ? ? -tan 5°; (2)求值: -sin 10°tan 5° 2sin 20° ? ? (3)求值:tan 20° +tan 40° 3tan 20° 40° + tan .

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(1)原式 ? ?? θ θ θ θ? 2θ ?2sin cos +2cos ??sin -cos ? 2 2 2 ?? 2 2? ? = 2θ 4cos 2 ? θ? 2θ θ 2θ ?sin -cos ? -cos · θ cos cos 2 2? 2? 2 = = ? ? θ? θ? . ?cos ? ?cos ? 2? 2? ? ? θ π θ 因为 0<θ<π,所以 0< < ,所以 cos >0, 2 2 2 所以原式=-cos θ.

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?cos 5° sin 5° ? 2cos210° ? ? - (2)原式= -sin 10°sin 5° cos 5°= ? ? 2×2sin 10° 10° cos cos25° -sin25° cos 10° -sin 10° · 2sin 10° sin 5° 5° cos cos 10° cos 10° cos 10° = -sin 10° · .= -2cos 10° 2sin 10° 1 2sin 10° sin 10° 2 cos 10° -2sin 20° cos 10° -2sin?30° -10° ? = = 2sin 10° 2sin 10° ?1 ? 3 ? cos 10° ? cos 10° -2 - sin 10° 2 3sin 10° 3 ?2 ? = = = . 2sin 10° 2sin 10° 2

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tan 20° +tan 40° (3)∵tan 60° =tan(20° +40° )= = 3, 1-tan 20° 40° tan ∴tan 20° +tan 40° 3- 3tan 20° 40° = tan , ∴tan 20° +tan 40° 3tan 20° 40° 3. + tan = [方法总结] (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则,一看
角,二看名,三看式子结构与特征.

(2)对于给角求值问题,往往所给角都是非特殊角,解决
这类问题的基本思路有: ①化为特殊角的三角函数值; ②化为正、负相消的项,消去求值; ③化分子、分母出现公约数进行约分求值.
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?sin α+cos α-1??sin α-cos α+1? 【训练 1】 (1)化简: ; sin 2α (2)求[2sin 50° +sin 10° (1+ 3tan 10° 2sin280° )]· 的值. 解 (1)法一 原式 ? ?? ? α α α α 2α 2α ?2sin cos -2sin ??2sin cos +2sin ? 2 2 2 ?? 2 2 2? ? = α α 4sin cos cos α 2 2 ? α α?? α α? α ?cos -sin ??cos +sin ?sin 2 2 ?? 2 2? 2 ? = α cos cos α 2 ? ? α 2α 2α ?cos -sin ?sin 2 2? 2 α ? = =tan . α 2 cos cos α 2
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法二

利用三角函数的其他公式. [sin α+?cos α-1?][sin α-?cos α-1?] 原式= sin 2α sin2α-cos2α+2cos α-1 2cos α-2cos2α = = sin 2α 2sin αcos α 2cos α?1-cos α? 1-cos α = = 2sin αcos α sin α α 2α 2sin sin 2 2 α = α α= α=tan 2. 2sin cos cos 2 2 2

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? (2)原式=?2sin ? ?

? cos 10° 3sin 10° + ? 50° +sin 10° × ?· 2sin 80° cos 10° ? 1 3 ? ? cos 10° + sin 10° ? ? 2 2 =? ?× 2cos 10° 2sin 50° +2sin 10° × ? cos 10° ? =2 2[sin 50°cos 10° · +sin 10°cos(60° · -10° )] 3 =2 2sin(50° +10° )=2 2× = 6. 2

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考向二

三角函数式的给值求值

【例 2】 (2012· 苏北四市质检)已知向量 a=(4,5cos α),b= ? π? (3,-4tan α),α∈?0,2?,若 a⊥b,求: ? ? (1)|a+b|; ? π? (2)cos?α+4 ?的值. ? ? 解 (1)因为 a⊥b,所以 a· b=0,所以 4×3+5cos α· (- 3 4tan α)=0,所以 sin α= . 5 ? π? 4 3 ?0, ?, 由于 α∈ tan 从而 a=(4,4), 2 ? 所以 cos α=5, α=4, ? b=(3,-3), 所以 a+b=(7,1),从而|a+b|= 72+12= 50=5 2.
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3 4 (2)由(1)得 sin α= ,cos α= , 5 5 所以
? π? cos?α+4 ?=cos ? ?

π π 4 2 3 2 αcos -sin αsin = × - × 4 4 5 2 5 2

2 = . 10
[方法总结] 三角函数的给值求值,关键是把待求角用已知 角表示: ①已知角为两个时,待求角一般表示为已知角的和与差.

②已知角为一个时,待求角一般与已知角成“倍”的关系或
“互余互补”关系.
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【训练 2】 (1)已知

? π? α,β∈?0,2 ?,sin ? ?

4 1 α= ,tan(α-β)=- , 5 3

求 cos β 的值.
?π ? 3 12 (2)已知 sin(2α-β)= ,sin β=- ,且 α∈?2,π?,β∈ 5 13 ? ? ? π ? ?- ,0?,求 sin α 的值. ? 2 ? ? π? π π 解 (1)∵α,β∈?0, 2 ?,∴- <α-β< , 2 2 ? ? 1 π 又∵tan(α-β)=- <0,∴- <α-β<0. 3 2 1 10 2 ∴ 2 =1+tan (α-β)= . 9 cos ?α-β? 3 10 10 ∴cos(α-β)= ,sin(α-β)=- . 10 10

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4 3 又∵sin α= ,∴cos α= . 5 5 ∴cos β=cos[α-(α-β)] =cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β) 3 3 10 4 ? 10 10? ?- ?= = × + × . 5 10 5 ? 10 ? 10 π (2)∵ <α<π,∴π<2α<2π. 2 π π 又- <β<0,∴0<-β< . 2 2 5π 3 ∴π<2α-β< .而 sin(2α-β)= >0, 2 5 5π 4 ∴2π<2α-β< ,cos(2α-β)= . 2 5

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π 12 又- <β<0 且 sin β=- , 2 13 5 ∴cos β= , 13 ∴cos 2α=cos[(2α-β)+β] =cos(2α-β)cos β-sin(2α-β)sin β 4 5 3 ? 12? 56 = × - ×?-13?= . 5 13 5 ? ? 65 9 2 2 又 cos 2α=1-2sin α,∴sin α= , 130 ?π ? 3 130 ? ,π?,∴sin α= 又 α∈ 2 . 130 ? ?

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考向三

三角函数式的给值求角

【例 3】 (2012· 无锡期末质量调研)设函数 f(x)=2mcos2x- ? π? 2 3msin x· x+n(m>0)的定义域为?0,2?,值域为[1,4]. cos ? ?

(1)求m,n的值;

(2)若f(x)=2,求x的值.
解 (1)f(x)=m(1+cos 2x)- 3msin 2x+n= ? π? 2mcos?2x+ 3 ?+m+n. ? ? ? ? π? π? ? 1? π ?π 4π? 因为 x∈?0, 2 ?, 所以 2x+ ∈?3, 3 ?, ?2x+ 3 ?∈?-1,2?. cos 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? π? 因为 m>0,2mcos?2x+ 3 ?∈[-2m,m], ? ? 所以 f(x)max=2m+n=4,f(x)min=-m+n=1,m=1,n= 2.
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(2)由(1)可知,m>0 所以

? π? 时,f(x)=2cos?2x+3 ?+3=2. ? ?

? π? 1 ?2x+ ?=- ,所以 cos 3? 2 ?

π x= . 6

[方法总结] 通过求角的某种三角函数值来求角, 在选取 函数时,遵照以下原则:①已知正切函数值,选正切函 数;②已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数;若角 ? π? 的范围是?0, 2 ?, 选正、 余弦皆可; 若角的范围是(0, π), ? ? ? π π? 选余弦较好;若角的范围为?-2,2?,选正弦较好. ? ?

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1 13 π 【训练 3】 (1)已知 cos α= ,cos(α-β)= ,且 0<β<α< ,求 β. 7 14 2 1 1 (2)已知 α,β∈(0,π),且 tan(α-β)= ,tan β=- ,求 2α 2 7
-β 的值. π π 4 3 解 (1)∵0<β<α< ,∴0<α-β< ,∴sin α= . 2 2 7 13 又∵cos(α-β)= , 14 3 3 2 ∴sin(α-β)= 1-cos ?α-β?= , 14 ∴cos β=cos[α-(α-β)] =cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β) 1 13 4 3 3 3 1 = × + × = . 7 14 7 14 2 π π 又∵0<β< ,∴β= . 2 3
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tan?α-β?+tan β (2)∵tan α=tan[(α-β)+β]= 1-tan?α-β?tan β 1 1 - 2 7 1 π = = >0,∴0<α< , 1 1 3 2 1+ × 2 7 1 2× 3 3 2tan α π 又∵tan 2α= = = >0,∴0<2α< , ?1?2 4 2 1-tan2α ? ? 1- 3 ? ? 3 1 + tan 2α-tan β 4 7 ∴tan(2α-β)= = =1. 3 1 1+tan 2αtan β 1- × 4 7 1 π ∵tan β=- <0,∴ <β<π,-π<2α-β<0, 7 2 3π ∴2α-β=- . 4
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考向四

应用和(差)角公式研究三角函数的性质
2?

π? 【例 4】 (2012· 徐州考前信息卷)已知函数 f(x)=sin x-6? ? ? π? +sin x+6?. ? ?
2?

?

?

(1)判断函数f(x)的奇偶性,并给出证明; (2)求函数f(x)的最小正周期;
(3)若
? π π? x∈?-3,6 ?,求函数 ? ?

f(x)的值域.



(1)f(x)为偶函数. ? ? π? π? 2? 2? ∵f(-x)=sin -x-6 ?+sin -x+6 ? ? ? ? ? ? ? π? π? 2? 2? =sin x+6 ?+sin x-6 ?=f(x), (x∈R), ? ? ? ? ∴f(x)为偶函数.
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(2)f(x)=

? π? 1-cos?2x-3 ? ? ?

2



? π? 1-cos?2x+3 ? ? ?

2

? π? π ?? 1? ? =1- ?cos?2x- 3 ?+cos?2x+ 3 ?? 2? ? ? ? ?? ? 1?1 3 1 3 =1- ? cos 2x+ sin 2x+ cos 2x- sin 2x? 2?2 2 2 2 ? 1 2π =1- cos 2x,∴f(x)的最小正周期为 T= =π. 2 2 ? π π? ? 2π π? (3)∵x∈?- 3,6 ?,∴2x∈?- 3 ,3 ?, ? ? ? ? ? 1 ? ?1 5? 所以 cos 2x∈?-2,1?,即 f(x)∈?2,4?. ? ? ? ? ?1 5? 故 f(x)的值域为?2,4? ? ?

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[方法总结] 研究函数 f(x)=Asin(ωx+φ)的图象和性质, 先 要应用有关公式化归到这一类型,特别地,要熟悉 f(x)= asin x+bcos x= a2+b2sin(x+φ)(φ 是特殊角).

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【训练 4】 (2012· 青岛模拟)设函数 +a.

? π? f(x)=cos?2x+3?+ ? ?

2sin2(x-π)

3 (1)求函数 f(x)的最小正周期;(2)若 a=- ,求函数 y=f(-x) 2 的单调递减区间.



? π? (1)f(x)=cos ?2x+3 ? +2sin2(x-π)+a=cos ? ?

π 2xcos - 3

π 1 3 2 sin 2xsin +2sin x+a= cos 2x- sin 2x+(1-cos 2x) 3 2 2 ? π? 3 1 +a=- sin 2x- cos 2x+1+a=-sin?2x+6 ?+1+a,所 2 2 ? ? 以 f(x)的最小正周期为 π.
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? π? 1 3 (2)当 a=- 时,f(x)=-sin?2x+ 6 ?- , 2 ? ? 2 ? ? π? 1 π? 1 f(-x)=-sin?-2x+6 ?- =sin?2x- 6 ?- . ? ? 2 ? ? 2

π π 3π π 于是由 2kπ+ ≤2x- ≤2kπ+ (k∈Z), kπ+ ≤x≤kπ 得 2 6 2 3
? π 5π? 5π + (k∈Z),所以 y=f(-x)的单减区间是?kπ+3,kπ+ 6 ? 6 ? ?

(k∈Z).

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方法优化1

三角函数式中公式的正用与逆用

在三角函数式中求值或化三角函数式为正弦型和余弦 型函数,选用三角公式时可以根据需要进行正用与逆用, 特别是逆用,要能真正把握,灵活应用.

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π? 2 ? 【示例】 (2012· 安徽)设函数 f(x)= cos?2x+ 4 ?+sin2x. 2 ? ?
(1)求 f(x)的最小正周期; (2)设函数 g(x)对任意 x∈R,有
? π? 1 ?0, ?时,g(x)= -f(x),求 x∈ 2? 2 ? ? π? g?x+ 2 ?=g(x),且当 ? ?

g(x)在区间[-π,0]上的解

析式.

[教你解题] 正用公式 将 sin2x 降幂.



? π? cos?2x+4 ?展开,逆用公式 ? ?

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π? 2 ? [一般解法] (1)f(x)= cos?2x+ 4?+sin2x 2 ? ? π π? 2? cos = ?cos 2x· 4-sin 2xsin4 ?+sin2x 2? ? 1 1 = cos 2x- sin 2x+sin2x 2 2 1 = (cos2x-sin2x)-sin xcos x+sin2x 2 1 = (cos2x+sin2x)-sin xcos x 2 1 1 = - sin 2x. 2 2 故 f(x)的最小正周期为 π.
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? π? 1 1 ?0, ?时,g(x)= -f(x)= sin (2)当 x∈ 2? 2 2 ? ? π ? π ? π? ①当 x∈?-2,0?时,x+ ∈?0,2?, 2 ? ? ? ? ? π? 1 ? ? π? ? ∴g(x)=g?x+2?= sin?2?x+2?? ? ? 2 ? ? ??

2x.

1 1 = sin(π+2x)=- sin 2x. 2 2 ? ? π? π? ②当 x∈?-π,-2?时,x+π∈?0,2 ?. ? ? ? ? 1 1 ∴g(x)=g(x+π)= sin[2(x+π)]= sin 2x. 2 2 综上,得 ? π? ?1 ?2sin 2x,x∈?-π,-2 ?, ? ? g(x)=? ? π ? 1 ?- sin 2x,x∈?- ,0?. ? 2 ? 2 ?
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[优美解法]

π? 2 ? (1)f(x)= sin?2x+ 4 ?+sin2x 2 ? ?

π π? 1-cos 2x 2? = ?cos 2xcos4-sin 2xsin 4 ?+ 2? 2 ? 1 1 = - sin 2x. 2 2 故 f(x)的最小正周期为 π. (2)同上面的解法.

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高考经典题组训练
1.(2012· 重庆卷改编)设tan α,tan β是方程x2-3x+2=0 的两根,则tan (α+β)的值为________.
解析
?tan ? 由根与系数关系知? ?tan ?

α+tan β=3, α· β=2, tan

tan α+tan β 3 而 tan(α+β)= = =-3. 1-tan αtan β 1-2

答案

-3

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2.(2012· 大纲全国卷)当函数 y=sin x- 3cos x(0≤x<2π)取 得最大值时,x=________.

解析

y=sin x- 3cos

? π? x=2sin?x-3?,由 ? ?

π 0≤x<2π 得- 3

π 5 π π 5 ≤x- < π,∴当 x- = ,即 x= π 时函数取得最大值. 3 3 3 2 6 5 答案 π 6

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?π ? 1 π π 3.(2011· 浙江卷改编)若 0<α< ,- <β<0,cos?4+α?= , 2 2 ? ? 3 ?π β? cos?4-2?= ? ? ? β? 3 ,则 cos?α+2?=________. 3 ? ?

? ??π ? ?π β?? β? 解析 cos?α+2?=cos??4+α?-?4-2??= ? ? ?? ? ? ?? ?π ? ?π β? ?π ? ?π β? cos?4+α?cos?4-2?+sin?4+α?sin?4-2?, ? ? ? ? ? ? ? ? ?π ? 2 2 π π π 3π ∵0<α< ,则 < +α< ,∴sin?4+α?= . 2 4 4 4 3 ? ? ?π β? π π π β π 6 ? - ?= 又- <β<0,则 < - < ,则 sin 4 2 . 2 4 4 2 2 3 ? ? ? β? 1 3 2 2 6 5 3 ?α+ ?= × 故 cos 2? 3 3 + 3 × 3 = 9 . ?

答案

5 3 9
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4.(2012· 广东卷)已知函数

? π? f(x)=2cos?ωx+6 ?(其中 ? ?

ω>0,x

∈R)的最小正周期为 10π.

(1)求 ω 的值; (2)设
? π? ? 5 ? 5 ? 16 6 ? α,β∈?0,2?,f?5α+3π?=- ,f?5β-6π?= ,求 5 ? ? ? ? ? ? 17

cos(α

+β)的值.
解 2π 1 (1)由已知得 ω =10π,∴ω= . 5

抓住3个考点

突破4个考向

揭秘3年高考

?1 π? (2)∵f(x)=2cos?5x+6 ?, ? ? ?1? ? 5π? π? 5π? ∴f?5α+ 3 ?=2cos?5?5α+ 3 ?+6 ?=-2sin ? ? ? ? ? ? ?1? ? 5π? π? 5π? f?5β- 6 ?=2cos?5?5β- 6 ?+6 ?=2cos β. ? ? ? ? ? ? ? 5π? 5π? 16 6 ? 又 f?5α+ 3 ?=- ,f?5β- 6 ?= , 5 ? ? ? ? 17

α,

3 8 ∴sin α= ,cos β= . 5 17 ? π? 又∵α,β∈?0,2 ?, ? ? 4 15 ∴cos α= ,sin β= . 5 17 ∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β 4 8 3 15 13 = × - × =- . 5 17 5 17 85
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