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2014届《高考复习方案》一轮课件:第9单元-概率、统计与统计案例-数学(文科)-新课标-人教A版-安徽_图文

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第九单元

概率、统计与统计案例

第48讲 随机抽样 第49讲 用样本估计总体 第50讲 变量间的相关关系、回归分析及独立性检验 第51讲 随机事件的概率与古典概型

单元网络

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核心导语
一、概率 1.随机事件的概率——理解概率的意义是解题的前 提,互斥事件和对立事件是容易混淆的概念. 2.古典概型——高考考查的重点,通过列表、画树 形图等方法列出基本事件数n和事件A的个数m是解题的基 本方法. 3.几何概型——逐渐形成热点,由于它的事件个数 的不可数性而区别于古典概型.解题中弄清基本事件构成 的区域和要求概率的事件A构成的区域是重点.

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核心导语
二、统计与统计案例 1.抽样方法——三种抽样方法中,合理选择抽样方 法是重点,分层抽样抽取比例是易错点. 2.用样本估计总体——解题中涉及平均数、中位数、 众数、方差、标准差等,重点是频率分布直方图、茎叶图 的使用,对直方图的认识和使用是易错点. 3.统计案例——涉及两类问题:线性回归方程的求 解及应用和独立性检验,这两类问题中,公式多,运算量 大,所以容易出错,要注意提高运算能力.

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使用建议
1.编写意图 本单元包括两部分内容,一部分是“统计与统计案例”, 另一部分是“概率”.本单元内容与实际生产生活结合得 较为紧密,特别是统计与统计案例,数据多,公式多,要 求考生有较强的数据处理能力,公式一般不需要记忆,考 试时会给出公式;古典概型与几何概型也是高考经常考查 的一个知识点,也是对学生应用意识考查的重要载体.根 据考试说明和高考对本单元考查的实际情况,本单元在编 写时注意到以下几点:

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使用建议
(1)注意了基础知识的全面性和系统性; (2) 注意了统计方法的讲解,编写中把各种统计方法的 使用放在首位; (3) 把握基本题型,对各种基本题型进行了详细叙述, 目的是帮助学生构建知识体系,能针对不同的概率类型灵 活选择相应的方法和公式; (4) 注意了高考的发展趋势,重点关注概率与统计相结 合的解答题的训练.

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使用建议
2.教学指导 在复习过程中,要注意以下几个方面: (1)强化概念的教学,本单元概念较多,引导学生结合具 体题目,仔细体会概念的含义,通过适当练习,学会如何 使用概念解题.如互斥事件、对立事件的概率是两个核心 概念,它贯穿概率问题的始终,在教学中一定要通过各种 措施使学生掌握好这两个概念. (2)统计图表是统计中的主要工具,教学中要使学生学会 从图表中提取有关的数据信息、进行统计推断的方法.

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使用建议
(3)把握基本题型,对于常见的求概率的基本题型要 牢固掌握,求概率公式要求记忆准确,针对不同的概率类 型灵活选择相应的方法和公式. (4)加强运算能力的培养,统计的数字计算较繁,要 求学生培养良好的运算习惯,通过统计的复习提高运算能 力.

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使用建议
3.课时安排 本单元包括4讲、1个45分钟滚动基础训练卷和1个120分 钟标准单元能力检测卷,每讲1课时,两份试卷3课时,共 需7课时完成.

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双 向 固 基 础 点 面 讲 考 向 多 元 提 能 力 教 师 备 用 题

第48讲

随机抽样

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考试大纲
1.理解随机抽样的必要性和重要性. 2.会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本;了解 分层抽样和系统抽样方法.

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第48讲
双 向 固 基 础

随机抽样

—— 知 识 梳 理 —— 一、简单随机抽样 1.定义:设一个总体含有N个个体,从中 逐个不放回 地抽取 n 个个体作为样本 (n≤N) ,如果每 ______________ 机会都相等 ,就把 次抽取时总体内的各个个体被抽到的 ____________ 这种抽样方法叫做简单随机抽样. 2 .最常用的简单随机抽样的方法:抽签法和随机数 法.

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第48讲
双 向 固 基 础

随机抽样

二、系统抽样 1.定义:当总体中的个体数目较多时,可将总体 分成均衡的几个部分 ,然后按照___________________ ___________________ , 事先定出的规则 从每一部分抽取1个个体得到所需要的样本,这种抽样方 法叫做系统抽样.

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第48讲
双 向 固 基 础

随机抽样

2.系统抽样的操作步骤:第一步,利用随机的方式将 总体中的个体编号;第二步,将总体的编号分段,确定分段 N N N 间隔 k.当 是整数时,k= ;当 不是整数时,通过从总体 n n n 中剔除一些个体使剩下的个体数 N′能被 n 整除,这时 k= N′ ;第三步,在第 1 段用简单随机抽样确定第一个个体编 n 号 l(l≤k);第四步,按事先确定的规则抽取样本,通常是将 l 加上间隔 k 得到第 2 个个体编号(l+k),将(l+k)加上 k,得 到第 3 个个体编号(l+2k),这样继续下去,直到获取整个样 本(注:这是个常用方法,但不是唯一的方法).

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第48讲
双 向 固 基 础

随机抽样

三、分层抽样 互不交叉的层 , 1 .定义:在抽样时,将总体分成 _______________ 比例 然后按照一定的 ________,从各层独立地抽取一定数量的 个体,将各层取出的个体合在一起作为样本,这种抽样的 方法就叫做分层抽样. 2.分层抽样的操作步骤:第一步,确定样本容量与总 体个数的比;第二步,计算出各层需抽取的个体数;第三 步,采用简单随机抽样或系统抽样在各层中抽取个体;第 四步,将各层中抽取的个体合在一起,就是所要抽取的样 本.

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第48讲
双 向 固 基 础

随机抽样

四、三种抽样方法的区别与联系

类别

简单随机抽样

系统抽样

分层抽样

共同点

抽样过程中每个个体被抽到的机会均等,不放回抽样

各自特 点

从总体中逐个抽 取

将总体均分成几 部分,按事先确 定的规则在各部 分抽取

将总体分n层,按 比例分层进行抽 取

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第48讲
双 向 固 基 础 类别

随机抽样

(续表)
简单随机抽样 系统抽样 分层抽样

相互联 系

各层抽样采用简单 在起始部分抽样时 随机抽样或系统抽 采用简单随机抽样 样

适用范 围

总体中个体数 较少

总体中个体数较多

总体由差异明显的 几部分组成

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第48讲
双 向 固 基 础

随机抽样

—— 疑 难 辨 析 ——
1.简单随机抽样的识别 (1)在简单随机抽样中,某一个个体被抽到的可能性与第 几次抽取有关,第一次抽到的可能性最大.( ) (2)从 20 个零件中用简单随机抽样一次性抽取 3 个进行 质量检测.( ) (3)从 100 件玩具中随机拿出一件,放回后再拿出一件, 连续拿 5 次,是简单随机抽样.( )

[答案] (1)× (2)× (3)×

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第48讲
双 向 固 基 础

随机抽样

[解析] (1)在简单随机抽样中,某一个个体被抽到的 可能性与第几次抽取无关,每一次抽到的可能性相等. (2)简单随机抽样的抽取方法是逐个抽取. (3)简单随机抽样的抽取方法是不放回地抽取.

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第48讲
双 向 固 基 础

随机抽样

2.系统抽样的应用 (1)当总体中个体数较多时,应采取系统抽样法.( ) (2)要从 1 002 个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为 20 的样本, 需要剔除 2 个学生, 这样对被剔除者不公平. ( )

[答案] (1)√ (2)×

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第48讲
双 向 固 基 础

随机抽样

[解析] (1)当总体中个体数较多时,用简单随机抽样, 操作不方便,如果样本之间差异不大,也不需要分层,所以 用系统抽样法较好. (2)因为剔除个体时是随机的, 每个学生被剔除的可能性 20 相等, 在整个抽样过程中, 每个学生被抽取的概率仍是 . 1 002

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第48讲
双 向 固 基 础

随机抽样

3.对分层抽样的理解 (1)分层抽样中,每个个体被抽到的可能性与层数及 分层有关.( ) (2)某地区教育部门要调查中小学生的近视情况及形 成原因,要抽取 1% 的学生进行调查,可用分层抽样进 行.( )

[答案] (1)× (2)√

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第48讲
双 向 固 基 础

随机抽样

[解析] (1)分层抽样中, 每层的样本数量与每层的个 体数量的比,与这一层的个体数量与总体数量的比相等, 每个个体被抽到的可能性相等,与层数及分层无关. (2)因为不同年龄段的学生的近视情况可能存在明显 差异,因此,宜将全体学生分成高中、初中和小学三部分 分别抽样.

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第48讲
双 向 固 基 础

随机抽样

4.三种抽样方法的比较 (1)某班有 45 人,现抽取 5 人参加一项社会活动,则 可以用简单随机抽样法抽取.( ) (2)某校即将召开学生代表大会,现要从高一、高二、 高三共抽取 60 名代表, 则可用分层抽样方法抽取. ( ) (3)三种抽样方法,不论是哪一种,总体中每一个个 体被抽到的机会均等.( )

[答案] (1)√ (2)√ (3)√

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第48讲
双 向 固 基 础

随机抽样

[解析] (1)由于人数不多,用简单随机抽样比较方 便. (2)考虑到不同年级学生的差异,用分层抽样方法抽 取代表比较合适. (3)根据三种抽样方法的规则可知,每个个体被抽到 的机会均等.

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第48讲

随机抽样

考点统计
点 面 讲 考 向 1.简单随机抽样 2.系统抽样

题型(考频)
填空(1) 0

题型示例(难度)
2010年T14(B)

3.分层抽样
4.三种抽样方法的综合应用

0
0

说明:A表示简单题,B表示中等题,C表示难题,示 例均选自2008年~2012年安徽卷.
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第48讲

随机抽样

?

探究点一

简单随机抽样

点 面 讲 考 向

例 1 第 30 届夏季奥运会于 2012 年 7 月 27 日在伦敦成 功举行,伦敦某大学为了支持奥运会,从报名的 60 名大三 学生中选 10 人组成志愿小组,请用抽签法和随机数表法设 计抽样方案.

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第48讲

随机抽样

点 面 讲 考 向

[思考流程] 条件: 从 60 名大三学生中选 10 人; 目标: 设计选取 10 人的方案;方法:考虑到总体中个体数较少, 利用抽签法或随机数表法均可容易获取样本,可按随机数 表法的操作步骤和抽签法的操作步骤进行:抽签法应“编 号、制签、搅匀、抽取”;随机数表法应“编号、确定起 始数、读数、取得样本”.

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第48讲

随机抽样

点 面 讲 考 向

解:(1)抽签法: 第一步:将 60 名学生编号,编号为 01,02,?,59, 60; 第二步:将 60 个号码分别写在 60 张外形完全一样的 纸张上,并揉成团,制成号签; 第三步: 将 60 个号签放入一个不透明的盒子中, 充分 搅匀; 第四步: 从盒子中逐个抽取 10 个号签, 并记录上面的 编号,编号对应的志愿者,就是选出的学生志愿者成员.

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第48讲

随机抽样

点 面 讲 考 向

(2)随机数表法: 第一步: 将 60 名志愿者编号, 编号为 01, 02, 03, ?, 60; 第二步:在随机数表中任选一数作为开始,按任意方 向读数,比如第 8 行第 29 列的数 7 开始,向右读; 第三步:从数 7 开始,向右读,每次取两位,凡不在 01~60 中的数,或已读过的数,都跳过去不作记录,依次 可得到 12,58,07,44,39,52,38,33,21,34; 第四步:找出以上号码对应的志愿者,就是志愿小组 的成员.

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第48讲

随机抽样

[点评] 总体的个数较少,利用随机数表法或抽签法 可容易获得样本.
点 面 讲 考 向

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第48讲

随机抽样

点 面 讲 考 向

归纳总结 简单随机抽样是最简单、最基本的抽样, 比较容易理解,步骤性强,操作方便.关键是掌握操作步 骤:随机数表法的操作要点:编号、选起始数、读数、获 取样本;抽签法的操作要点:编号、制签、搅匀、抽取.

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第48讲

随机抽样

点 面 讲 考 向

变式题 下面的抽样方法是简单随机抽样的是( ) A.在某年明信片销售活动中,规定每 100 万张为一 个开奖组, 通过随机抽取的方式确定号码的后四位 为 2709 的为三等奖 B.某车间包装一种产品,在自动包装的传送带上, 每隔 30 分钟抽一包产品,称其重量是否合格 C.某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取 2 人、14 人、4 人了解学校机构改革的意见 D.用抽签法从 10 件产品中选取 3 件进行质量检验

[答案] D

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第48讲

随机抽样

[解析] A,B 不是简单随机抽样,因为抽取的个体间 的间隔是固定的;C 不是简单随机抽样,因为总体的个体 有明显的层次;D 是简单随机抽样.
点 面 讲 考 向

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第48讲

随机抽样

?

探究点二

系统抽样

点 面 讲 考 向

例 2 (1)[2012·银川一中月考] 要从已经编号(1~60) 的 60 枚最新研制的某种型号导弹中随机抽取 6 枚来进行发 射试验,用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定 所选的 6 枚导弹的编号可能是( ) A.5,10,15,20,25,30 B.2,12,22,32,42,52 C.6,13,38,31,45,58 D.5,10,23,33,43,59

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第48讲

随机抽样

点 面 讲 考 向

(2)[2012·牡丹江一中月考] 将参加夏令营的 600 名学 生编号为:001,002,?,600,采用系统抽样方法抽取一 个容量为 50 的样本,且随机抽得的号码为 003,这 600 名学 生分住在三个营区, 从 001 到 300 在第Ⅰ营区, 从 301 到 495 在第Ⅱ营区,从 496 到 600 在第Ⅲ营区,三个营区被抽中的 人数依次为( ) A.26,16,8 B.25,17,8 C.26,16,9 D.24,17,9

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第48讲

随机抽样

点 面 讲 考 向

[思考流程] (1)分析:符合系统抽样的特点,按系统抽 样的方法进行抽样;推理:按照系统抽样的等距性对每个 选项进行检验;结论:只有选项 B 符合条件. (2)分析:使用系统抽样的方法;推理:按照等距的特 征,抽取的号码组成等差数列,得出通项公式;结论:位 于各个营区的项即为所求.
[答案] (1)B (2)B

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第48讲

随机抽样

点 面 讲 考 向

[解析] (1)按系统抽样,分为 6 组,每组 10 个编 号,每个被抽取的编号之间相差 10,只有选项 B 符合条 件,选 B. (2)首先考虑系统抽样.从 600 名学生中选出 50 名, 随机抽取的号码为 003,则由系统抽样的特点,被抽取的 600 相邻号码之间的间隔应该是 =12,故被抽取的号码成 50 等差数列.其次考虑等差数列.该等差数列是以 3 为首 项,12 为公差,则其通项公式为 an=12n-9(n∈N*).

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第48讲

随机抽样

所以在第 I 营区的学生数需满足 0<12n-9≤300,解
点 面 讲 考 向

9 得 <n≤25,故第 I 营区有 25 人;在第 II 营区的学生数 12 需满足 300<12n-9≤495,解得可知在第 II 营区的学生 数为 17 人;在第 III 营区的学生数需满足 496≤12n- 9≤600,解得可知在第 III 营区的学生数为 8 人.综上可 知选择 B.

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第48讲

随机抽样

点 面 讲 考 向

归纳总结 一般地,系统抽样是等距离抽样,若第一 组抽取号码a,然后以d为间距依次等距离抽取后面的编号, 抽出的所有号码为a+dk(k=0,1,2,?,n-1)其中n是 组数.值得注意的是,并不是所有的系统抽样都是等距离 抽样,这要看所给的抽样规则.

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第48讲

随机抽样

点 面 讲 考 向

变式题 (1)某班级共有 52 名学生, 现将学生随机编号, 用系统抽样方法(等距抽样),抽取一个容量为 4 的样本, 已知 6 号,32 号,45 号学生在样本中,那么在样本中还有 一个学生的编号是________号. (2)高三(10)班有 45 位同学, 现要从中抽取 5 位同学参 加社会实践活动, 下面给出了 4 种抽样结果: ①2, 15, 17, 35,41;②1,12,25,35,40;③3,13,23,33,43; ④9,18,27,36,44.其中是系统抽样的是________.

[答案] (1)19

(2)②③④

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第48讲

随机抽样

点 面 讲 考 向

[ 解析] (1)用系统抽样抽出的四个学生的号码从 小到大成等差数列,因此,另一学生编号为 6+45-32 =19. (2)将 45 人均分为 5 段, 1~9, 10~18, 19~27, 28~ 36,37~45,每段抽取 1 人,结果①中在同段中抽取了 2 人,不符合条件;结果②中抽样规则可视为随机抽样, 符合条件;结果③中抽样规则可视为等距抽样符合条件; 结果④中前四段的抽样规则可视为等距抽样,后一段抽 样规则可视为随机抽样符合条件.所以有②③④符合条 件.

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第48讲

随机抽样

?

探究点三

分层抽样

点 面 讲 考 向

例 3 (1)[2012· 浙江卷] 某个年级有男生 560 人, 女生 420 人,用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为 280 的样本,则此样本中男生人数为________. (2)[2012·湖南六校联考] 某校共有学生 2 000 名,各年级 男、女学生人数如下表.已知在全校学生中随机抽取 1 名,抽到 二年级女生的概率是 0.19,现用分层抽样的方法在全校抽取 64 名学生,则应在三年级抽取的学生人数为___________. 一年级 二年级 三年级 373 x y 377 370 z
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女生 男生

第48讲

随机抽样

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[思考流程] (1)分析:只要求出男女抽取比例即可; 推理:男女生的人数比例与抽取的男女生的人数比例相 同;结论:根据比例计算. (2)分析:由于三年级学生数未知,可以先求出在一、 二年级中应抽取的学生数, 再确定在三年级中应抽取的学 生数;推理:先求出二年级女生数,再确定抽取比例,按 此比例确定一、二年级应抽取的人数;结论:将抽取的总 人数减去一、二年级被抽取的人数可得结论.
[答案] (1)160 (2)16

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第48讲

随机抽样

点 面 讲 考 向

设样本中男生、女生的人数分别为 x、y, 4 且 x∶y=4∶3,那么 x=280× =160. 7 (2)根据题意可知, 二年级女生的人数应为 2 000×0.19 =380,故一年级共有 750 人,二年级共有 750 人,这两 750 个年级各均抽取 64× =24 人,则应在三年级抽取的 2 000 学生人数为 64-24×2=16.

[解析]

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第48讲

随机抽样

[点评] 分层抽样解题的关键是抽取比例,比例确定 之后,各层以同一比例抽取样本,这样就保证了各个个体
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被抽取的机会均等;在求解的过程中,要注意比例的性质、 解方程的方法的应用.

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第48讲

随机抽样

点 面 讲 考 向

归纳总结 应用分层抽样应遵循的两点:①分层,将 相似的个体归为一类,即为一层,分层要求每层的各个个 体互不交叉,即不重复不遗漏;②分层保证每个个体等可 能被抽取,需遵循在各层中进行简单随机抽样,每层样本 数量与每层个体数量的比与这层个体数量与总体容量的比 相等.

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第48讲

随机抽样

点 面 讲 考 向

变式题 (1)[2012·湖北卷] 一支田径运动队有男运动 员 56 人,女运动员 42 人.现用分层抽样的方法取若干人, 若抽取的男运动员有 8 人,则抽取的女运动员有________ 人. (2)[2012· 惠州调研] 为了保证食品安全,现采用分层 抽样的方法对某市场甲、乙、丙、丁四个厂家生产的奶粉 进行检测,若甲、乙、丙、丁四个厂家生产的奶粉分别为 120 袋、100 袋、80 袋、60 袋,已知从甲、乙两个厂家抽 取的袋数之和比从另外两个厂家抽取的袋数之和多 8 袋, 则从四个厂家共抽取了________袋.
[答案] (1)6 (2)36

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随机抽样

点 面 讲 考 向

(1)设抽取的女运动员为 x 人,因为分层 8 x 抽样在每个层次抽取的比例是相等的,所以 = , 解 56 42 得 x=6.故抽取女运动员 6 人. (2)设甲乙共抽取 x 袋,则丙丁共抽取(x-8)袋,所以 x-8 x = ,得 x=22,一共抽取了 2×22-8= 120+100 80+60 36(袋).

[解析]

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随机抽样

?

探究点四

三种抽样方法的综合应用

点 面 讲 考 向

例 4 某单位有 2 000 名职工,老年、中年、青年分布在 管理、技术开发、营销、生产各部门中,如下表所示: 人数 管理 技术开发 营销 生产 共计 老年 40 40 40 80 200 中年 80 120 160 240 600 青年 40 160 280 720 1 200 共计 160 320 480 1 040 2 000 (1)若要抽取 40 人调查身体状况,则应怎样抽样? (2)若要开一个 25 人的讨论单位发展与薪金调整方面的座 谈会,则应怎样抽选出席人? (3)若要抽 20 人调查对广州亚运会筹备情况的了解,则应 怎样抽样?
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第48讲

随机抽样

点 面 讲 考 向

[思考流程] (1)条件: 2 000 名职工中, 从年龄上看, 有老、 中、青三类,从工作岗位上看有管理、技术开发、营销、生产 四类;目标:抽取 40 人调查身体状况;方法:调查身体状况, 与年龄有关,按老年、中年、青年的人数比例分层抽样. (2)条件:2 000 名职工中,从年龄上看,有老、中、青三 类,从工作岗位上看有管理、技术开发、营销、生产四类;目 标:抽取 25 人开一个讨论单位发展与薪金调整座谈会;方法: 讨论单位发展与薪金调整,与工作部门有关,按部门人数比例 分层抽样. (3)条件:2 000 名职工中,从年龄上看,有老、中、青三 类,从工作岗位上看有管理、技术开发、营销、生产四类;目 标:抽 20 人调查对广州亚运会筹备情况的了解;方法:调查 对亚运会的关注,没明显区别,按系统抽样.

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随机抽样

点 面 讲 考 向

解:(1)调查身体状况,按老年、中年、青年人数的比 200 例用分层抽样抽取,老年应抽取的人数为 40× =4, 2 000 600 中年应抽取的人数为 40× =12,青年应抽取的人数 2 000 1 200 为 40× =24. 2 000

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随机抽样

点 面 讲 考 向

(2)讨论单位发展与薪金调整,按管理、技术开发、营 销、生产人数的比例用分层抽样抽取,管理应抽取的人数 160 320 为 25× =2, 技术开发应抽取的人数为 25× =4, 2 000 2 000 480 营销应抽取的人数为 25× =6, 生产应抽取的人数为 2 000 1 040 25× =13;用分层抽样,并按管理 2 人,技术开发 4 2 000 人,营销 6 人,生产 13 人抽取.

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随机抽样

点 面 讲 考 向

(3)调查对广州亚运会筹备情况的了解,用系统抽样: 对全部 2 000 人随机编号,号码从 0001~2000,每 100 号 分为一组,从第一组中用随机抽样抽取一个号码,然后将 这个号码分别加 100,200,?,1 900,共 20 人组成一个 样本.

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第48讲

随机抽样

[点评] 本题审题的关键是确定抽样方法,主要依据 抽查的内容、样本的特征差异是否明显以及样本容量的大
点 面 讲 考 向

小;抽样方法是统计问题的基础,三种抽样方法各有其使 用环境,解题时,要根据具体情况选择方法.对于多种方

法交叉使用的问题,要将问题细化,在不同的层面上,使
用合理的抽样方法.

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第48讲

随机抽样

点 面 讲 考 向

归纳总结 三种抽样方法的联系:简单随机抽样是最 基本的抽样方法,是其他两种方法的基础,适用范围不同, 要根据总体的具体情况选用不同的方法;它们的共同点都 是等概率抽样,即抽样过程中每个个体被抽取的概率相等, 体现了这三种抽样方法的客观性和公平性.若样本容量为 n,总体的个体数为N,则用这三种方法抽样时,每一个 n 个体被抽到的概率都是 .
N

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第48讲

随机抽样

点 面 讲 考 向

变式题 (1)现要完成下列 3 项抽样调查: ①从 10 盒酸 奶中抽取 3 盒进行食品卫生检查;②科技报告厅有 32 排, 每排有 40 个座位,有一次报告会恰好坐满了听众,报告会 结束后,为了听取听众意见,需要请 32 位听众进行座谈; ③东方中学共有 160 名教职工,其中一般教师 120 名,行 政人员 16 名,后勤人员 24 名.为了了解教职工对学校在 校务公开方面的意义,拟抽取一个容量为 20 的样本.较为 合理的抽样方法是( ) A.①简单随机抽样,②系统抽样,③分层抽样 B.①简单随机抽样,②分层抽样,③系统抽样 C.①系统抽样,②简单随机抽样,③分层抽样 D.①分层抽样,②系统抽样,③简单随机抽样

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第48讲

随机抽样

点 面 讲 考 向

(2)[2012·永州四中月考] ①某学校为了了解 2011 年 高考数学学科的考试成绩, 在高考后对 1 200 名学生进行抽 样调查,其中文科 400 名考生,理科 600 名考生,艺术和 体育类考生共 200 名,从中抽取 120 名考生作为样本;② 从 10 名家长中抽取 3 名参加座谈会. 设Ⅰ.简单随机抽样法, Ⅱ.系统抽样法,Ⅲ.分层抽样法.问题与方法配对正确的是 ( ) A.①Ⅲ,②Ⅰ B.①Ⅰ,②Ⅱ C.①Ⅱ,②Ⅲ D.①Ⅲ,②Ⅱ
[答案] (1)A (2)A

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第48讲

随机抽样

点 面 讲 考 向

[解析] (1)①总体较少,宜用简单随机抽样;②已分 段,宜用系统抽样;③各层间差距较大,宜用分层抽样, 故选 A. (2)通过分析可知, 对于问题①应采用分层抽样法, 对 于问题②应采用简单随机抽样法,故选 A.

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第48讲

随机抽样

答题模板

12

抽样方法解答题解答的关键点

例 [2012· 郑州检测] 调查郑州某初中 1 000 名学生 的肥胖情况,得下表: 偏瘦 正常 偏胖 女生(人) 100 173 y 男生(人) x 177 z 已知从这批学生中随机抽取 1 名学生,抽到偏瘦男生 的概率为 0.15. (1)求 x 的值; (2)若用分层抽样的方法,从这批学生中随机抽取 50 名,问应在偏胖学生中抽多少名?
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多 元 提 能 力

第48讲

随机抽样

x 解:(1)由题意可知, =0.15,∴x=150.5 分 1 000 (2)由题意可知,偏胖学生人数为 y+z=400,8 分 m 50 设应在偏胖学生中抽取 m 人,则 = ,∴m= 400 1 000 20.11 分 答:应在偏胖学生中抽 20 名.12 分
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第48讲

随机抽样

[ 方法解读 ] 现实中正确的分层抽样一般有三个步 骤:首先,辩明突出的统计特征和分类;其次,确定每个 分层在总体上的比例,利用这个比例,可计算出样本中每 组(层)应抽取的人数;最后,必须从每层中抽取独立简单 随机样本.
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第48讲

随机抽样

多 元 提 能 力

自我检评 (1)[2013·海南农垦中学月考] 某中学 有高三文(1)、高三文(2)两个实验班,现用分层抽样方法从 这两个文科实验班抽取 10 名同学参加“党的十八大知 识”竞赛.已知高三文 (1)的每个学生被抽到的概率都为 1 ,则这两个文科实验班共有学生________人. 12 (2)[2012·福建卷] 一支田径队有男女运动员 98 人, 其中男运动员有 56 人,按男女比例用分层抽样的方法, 从全体运动员中抽出一个容量为 28 的样本,那么应抽取 女运动员人数是________.
[答案] (1)120 (2)12

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第48讲

随机抽样

[解析] 因为每个学生被抽到的概率是相等的,因此,可 10 1 设两个文科实验班的学生数为 x,则 = ?x=120. x 12 (2)解题的关键是记住分层抽样中最基本的比例关系,即 可解决分层抽样的所有计算问题.抽取女运动员的人数是: 98-56 42 28× =28× =12. 98 98
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第48讲

随机抽样

【备选理由】 本例中涉及三种抽样方法,用以巩固学生所学知识、 熟练掌握方法.

教 师 备 用 题
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第48讲

随机抽样

例 某中学举行了为期 3 天的迎国庆体育运动会,同时 进行全校精神文明擂台赛.为了解这次活动在全校师生中产 生的影响, 分别在全校 500 名教职员工、 3 000 名初中生、 4 000 名高中生中作问卷调查,如果要在所有答卷中抽出 120 份用 于评估. (1)应如何抽取才能得到比较客观的评价结论? (2)要从 3 000 份初中生的答卷中抽取一个容量为 48 的样 本,如果采用简单随机抽样,应如何操作? (3)为了从 4 000 份高中生的答卷中抽取一个容量为 64 的 样本,如何使用系统抽样抽取到所需的样本?
教 师 备 用 题
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第48讲

随机抽样

解:(1)由于这次活动对教职员工、初中生和高中生产生 的影响不会相同,所以应当采取分层抽样的方法进行抽样. 因为样本容量为 120,总体个数为 500+3 000+4 000= 120 2 2 2 7 500, 则抽样比: = , 所以 500× =8, 3 000× 7 500 125 125 125 2 =48,4 000× =64,所以在教职员工、初中生、高中生 125 中抽取的个体数分别是 8,48,64.

教 师 备 用 题
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第48讲

随机抽样

分层抽样的步骤是: ①分层:分为教职员工、初中生、高中生,共三层. ②确定每层抽取个体的个数:在教职员工、初中生、高 中生中抽取的个体数分别是 8,48,64. ③各层分别按简单随机抽样或系统抽样的方法抽取样 本. ④综合每层抽样,组成样本. 这样便完成了整个抽样过程,就能得到比较客观的评价 结论.
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第48讲

随机抽样

(2) 由于简单随机抽样有两种方法:抽签法和随机数 法.如果用抽签法,要作 3 000 个号签,费时费力,因此采 用随机数表法抽取样本,步骤是: ①编号:将 3 000 份答卷都编上号码:0001,0002, 0003,?,3 000. ②在随机数表上随机选取一个起始位置. ③规定读数方向:向右连续取数字,以 4 个数为一组, 如果读取的 4 位数大于 3 000,则去掉,如果遇到相同号码 则只取一个,这样一直到取满 48 个号码为止.
教 师 备 用 题
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第48讲

随机抽样

(3)由于 4 000÷ 64=62.5 不是整数, 则应先使用简单随机 抽样从 4 000 名学生中随机剔除 32 个个体, 再将剩余的 3 968 个个体进行编号:1,2,?,3 968,然后将整体分为 64 个 部分,其中每个部分中含有 62 个个体,如第 1 部分个体的 编号为 1,2,?,62.从中随机抽取一个号码,如若抽取的 是 23,则从第 23 号开始,每隔 62 个抽取一个,这样得到容 量为 64 的样本: 23, 85, 147, 209, 271, 333, 395, 457, ?, 3 929.

教 师 备 用 题
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双 向 固 基 础 点 面 讲 考 向 多 元 提 能 力 教 师 备 用 题

第49讲

用样本估计总体

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考试大纲
1.了解分布的意义和作用,会列频率分布表,会画 频率分布直方图、频率折线图、茎叶图,理解它们各自的 特点. 2.理解样本数据平均数和标准差的意义和作用,会 计算数据平均数和标准差,知道平均数和标准差是样本数 据基本的数字特征. 3.会用样本的频率分布估计总体分布,会用样本的 基本数字特征估计总体的基本数字特征,理解用样本估计 总体的思想. 4.会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想, 解决一些简单的实际问题.
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第49讲 用样本估计总体
双 向 固 基 础

—— 知 识 梳 理 —— 一、用样本频率分布估计总体分布 1 .样本中所有数据 ( 或者数据组 ) 的频数和样本容量 频率 ,所有数据 ( 或者数据组 ) 的 的比,就是该数据的 _______ 频率分布,可以用样本频率表、 频率的分布变化规律叫做________ 频率分布直方图 、频率分布折线图、茎叶图等来表示. _______________

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第49讲 用样本估计总体
双 向 固 基 础

2.作频率分布直方图的步骤:(1)求极差,即一组数

据中________与________ 组距与组数 ; 最小值 的差;(2)决定____________

列频率分布表 ;(5)画频率分 (3)将数据________ 分组 ;(4) _____________

最大

布直方图.
频率 在频率分布直方图中,纵轴表示_________ ,数据落 组距

在各小组内的频率用各小长方形的________ 面积 表示,各小长
等于1 . 方形的面积总和________

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第49讲 用样本估计总体
双 向 固 基 础

3.总体密度曲线

(1)频率分布折线图:连接频率分布直方图中各小长方
形上端的_______ 中点 ,就得到频率分布折线图; (2)总体密度曲线:如果样本容量不断增大,作图所分
组距 减小,则相应的频率分 组数 增加,分组的_________ 的_______ 光滑曲线 ,这条 布折线图会越来越接近于一条 _________________ 光滑曲线 就叫做总体密度曲线. _____________

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第49讲 用样本估计总体
双 向 固 基 础

4.茎叶图:统计中还有一种被用来表示数据的图叫

茎叶图,茎是指中间的_____________ ,叶是从茎的旁边 一列数
生长出来的数 . ________________

在样本数据较少、较为集中,且位数不多时,用茎叶 图表示数据的效果较好,茎叶图表示数据有两个突出的优
原始数据 点:一是它较好地保留了 _____________ 信息,二是能够 分布 展示数据的____________ 情况,方便记录与表示.

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二、样本的数字特征 次数 1.众数:一组数据中出现______________ 最多的数 据叫做众数; 2.中位数:将一组数据从小到大(或从大到小)依次 最中间 数据(或_____________ 最中间两数据 的平均数)叫 排列,把__________ 做中位数,中位数把样本数据分成了相同个数的两部分;

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第49讲 用样本估计总体
双 向 固 基 础

1 (x1+x2+?+xn) n __________________________ .

3.平均数:x1,x2,?,xn 的平均数 x =

注:由于众数仅能刻画某一数据出现的次数较多,中位 数对极端值不敏感,而平均数又受极端值左右,因此这些因 素制约了仅依赖这些数字特征来估计总体数字特征的准确 性.

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4.标准差与方差 考察样本数据的分散程度的大小,最常用的统计量是 标准差.标准差是样本数据到平均数的一种平均距离,一 般用s表示. s=_____________________________________________. 标准差的平方s2叫做方差,
1 2 2 2 [( x - x ) + ( x - x ) +?+ ( x - x ) ] 1 2 n 2 n s =___________________________________,
平均数 . 样本容量 , 是________ 第n个数 ,n是__________ 其中xn是__________

1 [( x1- x)2+( x2- x)2+ ?+( xn- x)2] n

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第49讲 用样本估计总体
双 向 固 基 础

—— 疑 难 辨 析 ——
1.频率分布直方图的特征 (1) 在 频 率 分 布 直 方 图 中 , 小 矩 形 的 高 表 示 频 率.( ) (2) 频 率 分 布 直 方 图 中 各 个 长 方 形 的 面 积 之 和 为 1.( )

[答案] (1)× (2)√

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双 向 固 基 础

[解析] (1)在频率分布直方图中,纵轴(即小矩形的高) 频率 表示 . 组距 (2)根据频率分布直方图的构成特点, 各个长方形的面积 表示对应样本数据区间的频率,所有频率之和等于 1,所以 各个长方形的面积之和为 1.

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2.茎叶图的特点 (1)茎叶图中的数据都是原始数据.( (2)茎叶图只能分析一组数据.( )

)

[答案] (1)√ (2)×

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双 向 固 基 础

[解析] (1)茎叶图中的数据是原始数据的直接记录, 没有进行任何加工.在数据较少时,用茎叶图记录数据 较方便. (2)茎叶图可用来分析单组数据,也可以对两组数据 进行分析比较.

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双 向 固 基 础

3.中位数、众数、平均数的求法 (1)对于数据 1,3,4,6,8,9,这组数据的中位数是 4 或 6.( ) (2)比赛中,计算选手得分时,去掉一个最高分和最低 分对比赛结果影响不大.( ) (3)在频率分布直方图中,众数左边和右边的直方图的 面积相等.( )

[答案] (1)× (2)× (3)×

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双 向 固 基 础

[解析] (1)把一组数据按顺序排列,当数据是奇数个, 中间的数据就是中位数;当数据是偶数个,中位数是最中间 两个数据的平均数,因此,中位数为 5. (2)平均数受极端数值的影响较大, 去掉一个最高分和最 低分的做法是防止个别评委给出过高或过低的分数,对选手 得分造成较大的影响. (3)在频率分布直方图中, 中位数左边和右边的直方图的 面积相等,由此可以估计中位数的值,众数是最高的矩形的 中点的横坐标.

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双 向 固 基 础

4.对标准差与方差的理解 (1)标准差越小,样本数据的波动也越小.( ) (2)用样本的数字特征估计总体的数字特征时,只需求 出平均数就可以了.( )

[答案] (1)√ (2)×

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[解析] (1)标准差是反映数据波动大小的量. (2)样本的数字特征包括平均数、众数、中位数、方差、 标准差等,在估计总体的数字特征时,往往将这些数据求出 来,进行综合分析.

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第49讲 用样本估计总体

考点统计 1.利用样本的频率分布估计总体 分布

题型(考频) 解答(2)

题型示例(难度) 2010年T18(B),

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2012年T18(B)
2.茎叶图在数据处理中的应用 3.利用样本数字特征估计总体的 数字特征 解答(1) 0 2009年T17(A)

说明:A表示简单题,B表示中等题,C表示难题,示 例均选自2008年~2012年安徽卷.
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?

探究点一

利用样本的频率分布估计总体分布

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例 1 (1)[2012·琼海一模] 为了了解某校高三 400 名学 生的数学学业水平测试成绩,制成样本频率分布直方图如图 9 -49-1,规定不低于 60 分为及格,不低于 80 分为优秀,则 及格率与优秀人数分别是( )

图 9-49-1 A.60%,60 C.80%,80 B.60%,80 D.80%,60
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(2)[2012· 南阳联考] 某乡镇供电所为了调查农村居民用 电量情况, 随机抽取了 500 户居民去年的用电量(单位: kW/h), 将所得数据整理后,画出频率分布直方图如图 9-49-2;其 中直方图从左到右前 3 个小矩形的面积之比为 1∶2∶3.该乡 镇月均用电量在[37,39)之内的居民共有________户.

图 9-49-2
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[思考流程] (1)分析:理解频率分布直方图与频率的 关系;推理:求出各组的频率;结论:得出及格率与优秀 人数. (2)分析:直方图中各区间的频率没有完全给出,要依 据它们的和为 1 进行推理;推理:利用五个小矩形面积之 和为 1 可求出前 3 个小矩形的面积之和,再运用它们的面 积比求出[37,39)之内的频率;结论:用[37,39)之内的频 率乘以 500 即得结果.
[答案] (1)C (2)125

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[解析] (1)由直方图,得 60 分以上的频率之和为(0.025 + 0.035 + 0.010 + 0.010)×10 = 0.8 , 80 分以上的频率之和为 (0.010+0.010)×10=0.2, 则及格率为 80%,优秀人数为 400×0.2=80,故选 C. (2)由直方图可知,从左到右前 3 个小矩形的面积之和=1 - (0.087 5 + 0.037 5)×2 = 0.75 , 又三个矩形的面积之比为 2 1∶2∶3,所以第 2 个矩形的面积= ×0.75=0.25,故 1+2+3 该乡镇月均用电量在 [37 , 39) 之内的居民共有 0.25×500 = 125(户).

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归纳总结 解决频率分布直方图的问题, 关键在于找出 图中数据之间的联系.这些数据中,比较明显的有组距、
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频率 ,间接的有频率、小长方形的面积,合理使用这些数 组距 频率 据,再结合两个等量关系:小长方形面积=组距× = 组距 频率,小长方形面积之和等于 1,即频率之和等于 1,就可 以解决直方图的有关问题.

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变式题 (1)[2012·三明联考] 在样本的频率分布 直方图中,共有 11 个小长方形,若中间一个小长方形的面 1 积等于其他 10 个小长方形的面积和的 ,且样本容量为 4 160,则中间一组的频数为( ) A.32 B.0.2 C.40 D.0.25

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第49讲 用样本估计总体
(2)[2013·江南十校联考] 根据《中华人民共和国道路安全交通 法》规定:车辆驾驶员血液酒精浓度在 20~80 mg/100 mL(不含 80) 之间,属于酒后驾车;血液酒精浓度在 80 mg/100 mL(含 80)以上时, 属醉酒驾车.据有关报道,在某个时期某地区查处酒后驾车和醉酒 驾车共 500 人,如图 9-49-3 是对这 500 人血液中酒精含量进行检 测所得结果的频率分布直方图,则属于醉酒驾车的人数约为 ________.

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图 9-49-3
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[答案] (1)A (2)75
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[解析] (1)频率等于长方形的面积,所有长方形的面 1 1 积等于 1,中间长方形的面积等于 S,则 S= (1-S),S= . 4 5 x 1 设中间一组的频数为 x,则 = ,得 x=32. 160 5 (2) 由频率分布直方图得 (0.01×10 + 0.005×10)×500 =75.

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?

探究点二

茎叶图在数据处理中的应用

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例 2 (1)[2012· 陕西卷] 对某商店一个月内每天的顾客 人数进行了统计,得到样本的茎叶图(如图 9-49-4 所示), 则该样本中的中位数、众数、极差分别是( )

A.46,45,56 C.47,45,56

图 9-49-4 B.46,45,53 D.45,47,53
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(2)[2012· 吉安二模] 某学校举办一次以班级为单位的广播 操比赛,9 位评委给高一(1)班打出的分数如茎叶图 9-49-5 所 示,统计员在去掉一个最高分和一个最低分后,算得平均分为 91, 复核员在复核时, 发现有一个数字(茎叶图中的 x)无法看清, 若记分员计算无误,则数字 x 应该是( )

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A.2

B.3 C.4

图 9-49-5 D.5

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[思考流程] (1)分析:使用中位数、众数、极差的概 念;推理:按照茎叶图从小到大排列数据得出中位数、根 据各个数字出现的次数确定众数,最大数与最小数之差为 极差;结论:结合选项得出答案. (2)分析:要在去掉一个最高分和一个最低分后才能计 算平均分,因此数字 x 是否为最大要进行分类讨论;推理: 利用计算平均数公式,分两种情况列方程,计算 x 的值并 检验所求出的 x 的值是否符合题意;结论:结合选项得出 答案.
[答案] (1)A (2)A

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[解析] (1)本题主要考查茎叶图数据的读取和数 据特征的简单计算,由所给的茎叶图可知所给出的数据 共有 30 个,其中 45 出现 3 次为众数,处于中间位置的 两数为 45 和 47,则中位数为 46;极差为 68-12=56. 故选 A.

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(2)若 x 对应的是最高分,则有平均分为 88+89+91+92+92+93+94 2 x= =91 ≠91,所以 7 7 x 对应的不是最高分.那么最高分为 94,于是 88+89+91+92+92+93+90+x x= =91, 7 解得 x=2. 故选 A.

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[点评] 统计图给出了数据的分布情况,特别是茎叶 图给出了全部的数据,根据给出的数据即可对数据的数字 特征进行分析、计算.

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归纳总结 茎叶图刻画数据的优点:①所有数据信息 都可由茎叶图看到;②茎叶图便于记录和表示,且能够展 示数据的分布情况.

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变式题 [2012·郑州质检] 第 30 届夏季奥运会于 2012 年 7 月 27 日在伦敦成功举行,当地某学校招募了 8 名男志愿者 和 12 名女志愿者.将这 20 名志愿者的身高编成茎叶图如图 9 -49-6(单位:cm): 若身高在 180 cm 以上(包括 180 cm)定义为“高个子”,身 高在 180 cm 以下(不包括 180 cm)定义为“非高个子”. (1)求 8 名男志愿者的平均身高和 12 名女志愿者身高的中位 数; (2)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中 抽取 5 人, 再从这 5 人中选 2 人, 那么至少有一人是“高个子” 的概率是多少?

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图 9-49-6

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解:(1)8 名男志愿者的平均身高为 168+176+177+178+183+184+187+191 =180.5(cm); 8 12 名女志愿者身高的中位数为 175.

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(2)根据茎叶图,有“高个子”8 人,“非高个子”12 人, 5 1 用分层抽样的方法,每个人被抽中的概率是 = , 20 4 1 所以选中的“高个子”有 8× =2 人,设这两个人为 A,B; 4 1 “非高个子”有 12× =3 人,设这三个人为 C,D,E. 4 从这五个人 A,B,C,D,E 中选出两个人共有:(A,B),(A, C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C, E),(D,E)10 种不同方法; 其中至少有一人是“高个子”的选法有:(A,B),(A,C),(A, D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E)共 7 种. 7 因此,至少有一人是“高个子”的概率是 . 10
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?

探究点三

用样本数字特征估计总体的数字特征

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例 3 (1)甲、乙两种水稻试验品种连续 5 年的平均 单位面积产量如下(单位:t/hm2),根据这组数据估计产 量比较稳定的水稻品种是________. 品种 第 1 年 第 2 年 第 3 年 第 4 年 第 5 年 甲 乙 9.8 9.4 9.9 10.3 10.1 10.8 10 9.7 10.2 9.8

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(2) 某医院急诊中心关于病人等待急诊的时间记录如下 (单位:min):
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等待 [0,5) [5,10) [10, 15) [15, 20) [20, 25] 时间 频数 4 8 5 2 1 用上表分组资料计算病人平均等待时间的估计值是 ________min.

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第49讲 用样本估计总体

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[思考流程] (1)分析:判定产量是否稳定,关键看方差 的大小,方差越小越稳定;推理:利用方差计算公式算出两 组数据的方差;结论:根据方差值的大小作结论. (2)分析:以区间中点值作为平均等待时间的估计值;推 理:先求出各个时间段的等待总时间的估计值,再求总的平 均等待时间的估计值;结论:依据计算结果作结论.

[答案] (1)甲

(2)9.5

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[解析] (1)甲品种的样本平均数为 10,样本方差为 [(9.8 - 10)2 + (9.9 - 10)2 + (10.1 - 10)2 + (10 - 10)2 + (10.2-10)2]÷ 5=0.02. 乙品种的样本平均数也为 10,样本方差为 [(9.4 - 10)2 + (10.3 - 10)2 + (10.8 - 10)2 + (9.7 - 10)2 + (9.8-10)2]÷ 5=0.244. 因为 0.244>0.02,所以,由这组数据可以认为甲种水 稻的产量比较稳定.

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第49讲 用样本估计总体
(2)等待时间在[0,5)内的 4 个人的等待总时间的估计值为 0+5 ×4=10; 2 等待时间在[5,10)内的 8 个人的等待总时间的估计值为 5+10 ×8=60; 2 同理,其余三个时间段等待总时间的估计值分别为 62.5, 35,22.5. 所以病人平均等待时间的估计值 10+60+62.5+35+22.5 为 =9.5(min). 4+8+5+2+1

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第49讲 用样本估计总体

[点评] 平均值是样本数字特征中的一个重要特征, 它能够反映样本的总体水平.样本的数字特征除了平均值
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外,还有众数、中位数、方差、标准差等,在进行数据分 析时,这些数字特征往往会结合起来使用.

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第49讲 用样本估计总体

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归纳总结 众数、中位数、平均数的异同: (1)众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的 量,平均数是最重要的量. (2)平均数的大小与一组数据里每个数据均有关系,任何 一个数据的变动都会引起平均数的变动,而中位数和众数 都不具备此性质. (3)众数体现各数据出现的频率,当一组数据中有若干数 据多次出现时,众数往往更能反映问题. (4)中位数仅与数据的排列位置有关,中位数可能出现在 所给数据中,也可能不在所给数据中,当一组数据中的个 别数据变动较大时,可用中位数描述其集中趋势.
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变式题 (1)[2012·广东卷] 由正整数组成一组数据 x1, x2,x3,x4,其平均数和中位数都是 2,且标准差等于 1,则这 组数据为________.(从小到大排列)

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第49讲 用样本估计总体
(2)[2012· 西安质检] 某校甲、乙两个班级各有 5 名编 号为 1,2,3,4,5 的学生进行投篮练习,每人投 10 次, 投中的次数如下表:
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学生 甲班 乙班 =( ) 2 A. 5

1号 6 6

2号 7 7

3号 7 6

4号 8 7

5号 7 9

则以上两组数据的方差中较小的一个为 s2,则 s2 4 B. 25 6 C. 5 D.2

[答案] (1)1,1,3,3

(2)A
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第49讲 用样本估计总体

[解析] (1)设四个数从小到大分别是:x1,x2,x3,x4,根据 已知可以得到方程组:
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?x2+x3 ? 2 =2, ?x2+x3=4, ? ? ?x1+x2+x3+x4 即?x1+x2+x3+x4=8,又因为四个数 =2, ? 2 2 2 2 ? 4 ?x1+x2+x3+x4=20. ?2 ?s =1, 都是正整数,根据第一个式子知 x2=1,x3=3 或 x2=2,x3=2, 则 x1=1,x4=3 或 x1=2,x4=2,代入第三个式子,只有 x1=1, x2=1,x3=3,x4=3 满足条件,所以四个数分别是 1,1,3,3.

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第49讲 用样本估计总体

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(2)本题主要考查样本的数字特征.属于基础知识、 基本运算的考查. 1 2 x 甲=7,s甲= [(6-7)2+(7-7)2+(7-7)2+(8-7)2+ 5 2 2 (7-7) ]= , 5 1 2 x 乙=7,s乙= [(6-7)2+(7-7)2+(6-7)2+(7-7)2+ 5 6 2 (9-7) ]= . 5 2 2 2 两组数据的方差中较小的一个为 s甲,s甲= . 5

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易错究源

17

频率分布直方图中概念不清致误

例 [2012· 广东卷改编] 某校 100 名学生期中考试语文成绩 的频率分布直方图如图 9-49-7 所示,其中成绩分组区间是: [50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],那么图中 a 的值等于( )
多 元 提 能 力

A.0.05

图 9-49-7 B.0.06 C.0.005 D.0.006
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第49讲 用样本估计总体

[错解] A 由频率分布直方图可知 0.04+0.03+0.02+2a =1.所以 a=0.05.故选 A.

[错因] 没有弄清频率分布直方图中的概念,错把纵 坐标当成频率了.
多 元 提 能 力

[ 正解] C 由频率分布直方图可知,(0.04+ 0.03+ 0.02+2a)×10=1.所以 a=0.005.故选 C.

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第49讲 用样本估计总体
自我检评 (1)[2012·山东卷] 如图 9-49-8 是根据部分城市 某年 6 月份的平均气温(单位:℃)数据得到的样本频率分布直方图, 其中平均气温的范围是[20.5,26.5],样本数据的分组为[20.5,21.5), [21.5, 22.5), [22.5, 23.5), [23.5, 24.5), [24.5, 25.5), [25.5, 26.5]. 已 知样本中平均气温低于 22.5℃的城市个数为 11,则样本中平均气温 不低于 25.5℃的城市个数为________.

多 元 提 能 力

图 9-49-8
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第49讲 用样本估计总体
(2)有一个容量为 200 的样本,其频率分布直方图如图 9 -49-9 所示, 根据样本的频率分布直方图估计, 样本数据落 在区间[10,12)内的频数为( ) A.18 B.36 C.54 D.72

多 元 提 能 力

图 9-49-9
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第49讲 用样本估计总体

[答案] (1)9

(2)B

多 元 提 能 力

[解析] (1)本题考查频率分布直方图及样本估计总体 的知识,考查数据处理能力,容易题. 11 样本容量= =50,样本中平均气温 1×(0.10+0.12) 不低于 25.5℃的城市个数为 50×1×0.18=9. (2)样本数据落在区间[10,12)内的频率为 1-(0.19+0.15+0.05+0.02)×2=0.18, 则样本数据落 在区间[10,12)内的频数为 0.18×200=36.

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第49讲 用样本估计总体

【备选理由】 例1、例2均为统计在实际中的应用.

教 师 备 用 题
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第49讲 用样本估计总体

教 师 备 用 题

例 1 某市 2013 年 4 月 1 日—4 月 30 日对空气污染指数 的监测数据如下(主要污染物为可吸入颗粒物): 61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101, 103,95,91,77,86,81,83,82,82,64,79,86,85, 75,71,49,45, (1)完成频率分布表; (2)作出频率分布直方图; (3)根据国家标准,污染指数在 0~50 之间时,空气质量为 优:在 51~100 之间时,为良;在 101~150 之间时,为轻微 污染;在 151~200 之间时,为轻度污染. 请你依据所给数据和上述标准, 对该市的空气质量给出一 个简短评价.

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第49讲 用样本估计总体
解:(1)频率分布表:
分组 [41,51) [51,61) [61,71) [71,81) [81,91) 频数 频率 2 1 4 6 10 5 2 2 30 1 30 4 30 6 30 10 30 5 30 2 30
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教 师 备 用 题

[91,101) [101,111)

第49讲 用样本估计总体

(2)频率分布直方图:

教 师 备 用 题

图 9-49-10

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第49讲 用样本估计总体
(3)答对下述两条中的一条即可: ①该市一个月中空气污染指数有 2 天处于优的水平,占当 1 13 月天数的 ,有 26 天处于良的水平,占当月天数的 ,处于 15 15 14 优或良的天数共有 28 天,占当月天数的 .说明该市空气质量 15 基本良好. 1 ②轻微污染有 2 天,占当月天数的 .污染指数在 80 以上 15 的接近轻微污染的天数有 15 天,加上处于轻微污染的天数, 17 共有 17 天,占当月天数的 ,超过 50%,说明该市空气质量 30 有待进一步改善.

教 师 备 用 题

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第49讲 用样本估计总体

例 2 对甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进行了 6 次测试,测得他们的最大速度(m/s)的数据如下表. 甲 27 38 30 37 35 31 乙 33 29 38 34 28 36 (1)画出茎叶图,由茎叶图你能获得哪些信息? (2)分别求出甲、 乙两名自行车赛手最大速度(m/s)数据的 平均数、中位数、标准差,并判断选谁参加比赛更合适.
教 师 备 用 题
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第49讲 用样本估计总体

解:(1)画茎叶图,中间数为数据的十位数,

图 9-49-11 从茎叶图上可以看出,甲、乙的得分情况都是分布均 匀的,只是乙更好一些;乙的中位数是 33.5,甲的中位数 是 33.因此乙发挥比较稳定,总体得分情况比甲好. (2)计算可得:x 甲=33;x 乙=33; s 甲≈3.96, s 乙≈3.56;
教 师 备 用 题

甲的中位数是 33, 乙的中位数是 33.5.综合比较选乙参加比 赛较为合适.
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双 向 固 基 础 点 面 讲 考 向 多 元 提 能 力 教 师 备 用 题

第50讲 变量间的相关关系、 回归分析及独立性检验

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考试大纲
1.会作两个有关联变量的数据的散点图,并利用散 点图认识变量间的相关关系. 2.了解最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归 方程系数公式建立线性回归方程(线性回归方程系数公式 不要求记忆). 3.了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用. 4.了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、 方法及其简单应用.

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第50讲 变量间的相关关系、回归分析及独立性检验
双 向 固 基 础

—— 知 识 梳 理 —— 一、变量间的相关关系 1 .常见的两变量之间的关系有两类:一类是函数关 相关关系 系,另一类是_________ 相关关系 ;与函数关系不同,___________ 是一种非确定性关系. 2 .从散点图上看,点分布在从左下角到右上角的区 域内,两个变量的这种相关关系称为 _______________ , 正相关 点分布在左上角到右下角的区域内,两个变量的相关关系 负相关 为_____________ .

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第50讲 变量间的相关关系、回归分析及独立性检验
双 向 固 基 础

3.相关关系与函数关系的区别与联系
类别 函数关系 区别 联系

相关关系

1.在一定条件下可以 相互转化.如对于具 有线性相关的两个变 量而言,当求得其回 归方程后,可以用一 种确定关系对两个变 1.相关关系是一种随机性关系; 量间的取值进行估计; 2.相关关系不一定是因果关系 2.相关关系在现实生 ,也可能是伴随关系.如学习 活中大量存在.函数 关系是一种理想的关 态度差,学业成绩也很差 系模型,相关关系是 一种更为一般的情况. 1.函数关系中两个变量间是一 种确定关系; 2.函数关系是一种因果关系, 有这样的因,必有这样的果

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第50讲 变量间的相关关系、回归分析及独立性检验
双 向 固 基 础

二、回归直线方程

1 .回归直线:观察散点图的特征,如果散点图中点
的分布从整体上看大致在一条直线附近,就称这两个变量
线性相关 关系,这条直线叫做____________ 之间具有__________ 回归直线 .

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第50讲 变量间的相关关系、回归分析及独立性检验
双 向 固 基 础

2.回归直线方程的求法——最小二乘法 设具有线性相关关系的两个变量 x, y 的一组观察值为(xi, yi)(i=1,2,?,n),则回归直线方程^ y=^ a+^ bx 的系数为:

? ?xi- x ??yi- y ?
^ b=
i= 1

n

? ?xi- x ?2
i= 1

n

^= ^ ^x, ,a y-b

1n 1n 中心 其中 x = ?xi,y = ?yi, ( x ,y )称为样本点的________. ni=1 ni=1

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第50讲 变量间的相关关系、回归分析及独立性检验
双 向 固 基 础

3.求回归直线方程的步骤:⑴列表 xi,yi,xi yi; (2)计算 x , y ,

x2 i, i=1

?

n



i=1

b,^ a的值;(4)写出 ?xiyi;(3)代入公式计算^

n

^x+a ^. 回归直线方程^ y=b

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第50讲 变量间的相关关系、回归分析及独立性检验
双 向 固 基 础

三、回归分析的基本思想及其初步应用
相关 关系的两个变量进行统 1.回归分析是对具有_______ 散点图 ,求出回归 计分析的方法,其一般步骤是画出__________

直线方程,并利用回归直线方程进行预报. 2.对n个样本数据(x1,y1),(x2,y2),?,(xn,yn),
( x , y ) 称为样本点的中心. __________

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第50讲 变量间的相关关系、回归分析及独立性检验
双 向 固 基 础

3.除用散点图外,还可以用样本相关系数 r 来衡量两个 变量 x,y 相关关系的强弱,其中

?
i=1

n

?xi- x ??yi- y ?
n

r=

?
i=1

n

?xi- x ?2? ?yi- y ?2
i=1


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第50讲 变量间的相关关系、回归分析及独立性检验
双 向 固 基 础

正相关 ,当r<0,表明两 当r>0,表明两个变量_________ 负相关 ,r的绝对值越接近于1,表明两个变量 个变量_________

的线性相关性越强;r的绝对值越接近于0,表明两个变量
>0.75 之间______________ 线性相关关系,通常|r|___________ 在
几乎不存

时,认为这两个变量具有很强的线性相关关系.

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第50讲 变量间的相关关系、回归分析及独立性检验
双 向 固 基 础

4.用相关指数 R2 来刻画回归的效果,公式是

?
i =1

n

?yi-yi?

^

2

R2=1-

?
i =1

n

? y i- y ?

2

R2 的值越大,说明残差平方和越小,也就是说模型拟合 越好 效果___________.

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第50讲 变量间的相关关系、回归分析及独立性检验
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四、独立性检验的基本思想及其初步应用 个体所属的不同类别 , 1.若变量的不同“值”表示___________________ 则这类变量称为分类变量. 2.列出的两个分类变量的_______ 频数 表,称为列联表.

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双 向 固 基 础

假设有两个分类变量X和Y,它们的可能取值分别为{x1, x2}和{y1,y2},其样本频数列联表(称为2×2列联表)为

Y X x1 x2 总计

y1
a c a+ c

y2
b d b+ d

总计
a+ b c+d a+b+c+d

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3.利用随机变量K2来判断“两个分类变量有关系” 独立性检验 的方法称为____________________ . 独立性检验公式K2=
n(ad-bc)2 (a+b)(a+c)(b+d)(c+d) _______________________________________ .

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—— 疑 难 辨 析 ——
1.变量间的相关关系 (1)相关关系与函数关系都是一种确定性的关系,也 是一种因果关系.( ) (2)“名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学 生的水平成正相关关系.( )

[答案] (1)× (2)√

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[ 解析] (1)相关关系与函数关系均是指两个变量的 关系,函数关系是一种确定的关系,相关关系是一种非 确定的关系;函数关系是一种因果关系,而相关关系不 一定是因果关系,也可能是伴随关系. (2)高水平的教师有很大的趋势教出高水平的学生, 所以教师的教学水平与学生的水平成正相关关系.

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2.散点图的作用 (1)如果散点图中的点的分布几乎没有什么规则, 则两个 变量之间不具有相关关系.( ) (2)散点图是判断两个变量是否相关的一种重要方法和 手段.( )

[答案] (1)√ (2)√

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[解析] (1)从散点图可以看出,如果变量之间存在某 种关系,这些点会有一个集中的大致趋势. (2)在正确作出散点图的基础上,散点图可以初步有 效地判定变量之间的相关关系,因此散点图可以作为判 断两个变量是否相关的一种重要方法和手段.

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3.回归直线方程的特点 (1)任何一组数据都对应着一个回归直线方程. ( ) (2)某同学研究卖出的热饮杯数 y 与气温 x(℃)之间的 关系,得回归方程^ y=-2.352x+147.767,则气温为 2℃ 时,一定可卖出 143 杯热饮.( )

[答案] (1)×

(2)×

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双 向 固 基 础

[解析] (1)两个变量具有线性相关关系时,这一组 数据才能确定一个回归方程, 如果有一个确定的回归方程 也不一定是回归直线方程. (2)将 x=2℃代入回归方程, 得^ y=143.063, 这个值是 预测值,不是实际值.

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4.回归分析的特点 (1)回归模型都是确定性的函数,且回归模型都是线 性的.( ) (2)只有两个变量有相关关系,所得到的回归模型才 有预测价值.( )

[答案] (1)× (2)√

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双 向 固 基 础

[解析] (1)由于收集的数据的不同,所建立的回归 模型也会不同,回归模型有线性的,也有非线性的. (2)如果两个变量没有相关关系,即使求得了回归模 型, 这个模型对这两个变量之间的变化趋势的预报也是不 准确的.

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第50讲 变量间的相关关系、回归分析及独立性检验
双 向 固 基 础

5.独立性检验的应用 (1)事件 X,Y 关系越密切,则由观测数据计算得到的 K2 的观测值越大.( ) (2)由独立性检验可知,有 99%的把握认为物理成绩优秀 与数学成绩有关,某人数学成绩优秀,则他有 99%的可能物 理优秀.( )

[答案] (1)√ (2)×

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双 向 固 基 础

[解析] (1)由统计假设,如果由观测数据计算得到的 K2 的观测值越大,就拒绝假设,即拒绝事件“X 与 Y 无关”, 从而认为它们是有关的. (2)某人数学成绩优秀,只能说其物理成绩优秀的可能性 较大,有 99%的把握认为物理成绩优秀与数学成绩有关,但 并没有理由认为数学成绩优秀者有 99% 的可能物理成绩优 秀.

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考点统计 点 面 讲 考 向

题型(考频)

题型示例(难度)

1.利用散点图判断两个变量的相关 关系
2.线性回归方程的求法及回归分析

0

解答(1)

2011年T20(C)

3.独立性检验

0

说明:A表示简单题,B表示中等题,C表示难题,示 例均选自2008年~2012年安徽卷.
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?

探究点一

利用散点图判断两个变量的相关关系

点 面 讲 考 向

例 1 某棉业公司的科研人员在 7 块并排、形状大小相同 的试验田上对某棉花新品种进行施化肥量 x 对产量 y 影响的试 验,得到如下表所示的一组数据(单位:kg):

施化肥量 x

15

20

25

30

35

40

45

棉花产量 y

330 345 365 405 445 450 455

(1)画出散点图; (2)判断是否具有相关关系.
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第50讲 变量间的相关关系、回归分析及独立性检验

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[思考流程] 条件: 施化肥量 x 与产量 y 的对应数据表; 目标:画出散点图,判断是否具有相关关系;方法:用 x 轴表示化肥施用量,y 轴表示棉花产量,逐一画点,根据 散点图,分析两个变量是否存在相关关系.

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解:(1)散点图如图 9-50-1 所示.

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图 9-50-1 (2)由散点图知,各组数据对应点大致都在一条直线附 近,所以施化肥量 x 与产量 y 具有线性相关关系.
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归纳总结 利用散点图判断两个变量是否有相关关系 是比较简便的方法.在散点图中如果所有的样本点都落在 某一函数的曲线上,就用该函数来描述变量之间的关系, 即变量之间具有函数关系.如果所有的样本点落在某一函 数的曲线附近,变量之间就有相关关系;如果所有的样本 点都落在某一直线附近,变量之间就有线性相关关系.

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变式题 [2013·玉溪一中月考] 图 9-50-2 是根据变量 x,y 的观测数据(xi,yi)(i=1,2,?,10)得到的散点图,由这 些散点图可以判断变量 x,y 具有相关关系的图是( )
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图 9-50-2 A.①② B.①④ C.②③ D.③④ [答案] D
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[解析] 相关关系有两种情况: 所有点看上去都在一条 直线附近波动,是线性相关;若所有点看上去都在某一函 数曲线附近波动,是非线性相关.由图可以看出,③④是 线性相关,

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?

探究点二

线性回归方程的求法及回归分析

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例 2 [2012· 石家庄二模] 从某高中随机选取 5 名高三 男生,其身高和体重的数据如下表所示: 身高 x(cm) 160 165 170 175 180 体重 y(kg) 63 66 70 72 74

根据上表可得回归直线方程^ y=0.56x+^ a, 据此模型预报 身高为 172 cm 的高三男生的体重为( A.70.09 kg B.70.12 kg C.70.55 kg D.71.05 kg )

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第50讲 变量间的相关关系、回归分析及独立性检验

[思考流程] 分析:先求回归直线方程,再求预报量; ^,进一步 推理:由于点( x , y )在回归直线上,代入可求a
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确定回归直线方程;结论:将 x=172 代入回归直线方程可 求预报量,对照选项得答案.
[答案] B

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点 面 讲 考 向

160+165+170+175+180 [解析] x = =170, 5 63+66+70+72+74 y= =69, 5 ^, 代入回归方程,得 69=0.56×170+a ^=-26.2,∴^ ∴a y=0.56x-26.2. 当 x=172 时,^ y=0.56×172-26.2=70.12.故选 B.

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第50讲 变量间的相关关系、回归分析及独立性检验

归纳总结 求回归直线方程,关键在于正确求出系数^ a, ^,由于计算量较大,所以计算时要仔细,分步进行,避免 b
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因计算产生失误,特别注意,只有在散点图大体呈线性时, 求出的回归直线方程才有意义.

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变式题 [2013·皖南八校联考] 已知一组观测值具有 ^x+a ^,求得b ^=0.5,x=5.4,y= 线性相关关系,若对^ y=b
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6.2,则线性回归方程为( ) A.^ y=0.5x+3.5 B.^ y=0.5x+8.9 C.^ y=3.5x+0.5 D.^ y=8.9x+3.5
[答案] A

[解析] 由点( x , y )在回归方程上可得 a=3.5,故选 A.

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?

探究点三

独立性检验

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例 3 [2012·武昌区调研] 通过随机询问 110 名性 别不同的行人,对过马路是愿意走斑马线还是愿意走人 行天桥进行抽样调查,得到如下的列联表: 男 走天桥 走斑马线 总计 40 20 60 女 20 30 50 总计 60 50 110

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第50讲 变量间的相关关系、回归分析及独立性检验
2 n ( ad - bc ) 由 K2 = , 算 得 K2 = (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

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110×(40×30-20×20)2 ≈7.8. 60×50×60×50 附表: P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 参照附表,得到的正确结论是( ) A.有 99%以上的把握认为“选择过马路的方式与性别有关” B.有 99%以上的把握认为“选择过马路的方式与性别无关” C.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“选择过马路 的方式与性别有关” D.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“选择过马路 的方式与性别无关”
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第50讲 变量间的相关关系、回归分析及独立性检验

[思考流程] 分析:根据卡方统计量进行判断;推理: 根据卡方统计量,结合临界值表作出判断;结论:结合选 项得结论.
点 面 讲 考 向

[答案] A

[解析] ∵P(K2≥6.635)=0.01=1-99%. ∴有 99%以上的把握认为“选择过马路的方式与性 别有关” .

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第50讲 变量间的相关关系、回归分析及独立性检验

[点评] 解决独立性检验问题,关键是根据样本的数 据,正确作出2×2列联表,利用公式计算K2的观测值,对
点 面 讲 考 向

照临界值表,作出统计推断.

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第50讲 变量间的相关关系、回归分析及独立性检验

归纳总结

利用独立性检验,能够帮助我们对日常生

点 面 讲 考 向

活中的实际问题作出合理的推断和预测.独立性检验就是 考察两个分类变量是否有关系,并能较为准确地给出这种 判 断 的 可 信 度 , 具 体 做 法 是 根 据 公 式 K2 = n(ad-bc)2 , 计算随机变量的观 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 测值 k, k 值越大, 说明“两个变量有关系”的可能性越大.

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第50讲 变量间的相关关系、回归分析及独立性检验

点 面 讲 考 向

变式题 [2012·河南十校联考] 为了评价某个电视栏 目的改革效果,在改革前后分别从居民点抽取了 100 位居 民进行调查,经过计算 K2≈0.99,根据这一数据分析,下 列说法正确的是( ) A.有 99%的人认为该栏目优秀 B.有 99%的人认为该栏目是否优秀与改革有关系 C.有 99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关 系 D.没有理由认为电视栏目是否优秀与改革有关系
[答案] D

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第50讲 变量间的相关关系、回归分析及独立性检验

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[解析] 只有 K2>6.635 才能有 99%的把握认为电视栏 目是否优秀与改革有关系, 而即使 K2>6.635 也只是对"电 视栏目是否优秀与改革有关系"这个论断成立的可能性大 小的结论,不是指有 99%的人认为该栏目是否优秀与改革 有关系.故选 D.

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第50讲 变量间的相关关系、回归分析及独立性检验

易错究源

18

求解线性回归方程中的易错问题

例 [2012· 开封四模 ] 下表是降耗技术改造后生产甲产品过 程中记录的产量 x(吨)与相应的生产能耗 y(吨标准煤)的几组对应 数据, 根据表中提供的数据, 求出 y 关于 x 的线性回归方程^ y=0.7x +0.35,那么表中 m 的值为(
多 元 提 能 力

) 4 m 5 4 D.3 6 4.5

x y A.4

3 2.5

B.3.15 C.4.5

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第50讲 变量间的相关关系、回归分析及独立性检验

[错解]

B 因为 y 关于 x 的线性回归方程^ y=0.7x+0.35,

将点(4,m)的坐标代入方程得 m=0.7×4+0.35=3.15,① 故选 B.
[错因] ①处:这里把线性相关关系理解成函数关系,导致解 题错误.
多 元 提 能 力

3+4+5+6 [正解] D 因为 x = = 4.5 , y = 4 2.5+4+4.5+m 11+m 11+m = .又^ y = 0.7x + 0.35 , 所 以 = 4 4 4 0.7×4.5+0.35?m=3,故选 D.

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第50讲 变量间的相关关系、回归分析及独立性检验

自我检评 [2012·潍坊联考 ] 为了解儿子身高与 其父亲身高的关系,随机抽取 5 对父子的身高数据如下: 父亲身高 x/cm 儿子身高 y/cm
多 元 提 能 力

174 175

176 175

176 176 )

176 177

178 177

则 y 对 x 的线性回归方程为( A.y=x-1 B.y=x+1 1 C.y=88+ x D.y=176 2
[答案] C

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第50讲 变量间的相关关系、回归分析及独立性检验
[解析] 样本点的中心是(176,176),代入选项中的回归 直线方程只有选项 C 中的方程符合要求,故只能是选项 C 中 的方程.

多 元 提 能 力

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第50讲 变量间的相关关系、回归分析及独立性检验

【备选理由】 例1涉及两个主要问题:一个是相关关系与概率的综 合应用,一个是相关关系的实际应用,可以培养学生的应 用意识.例2是独立性检验问题的逆向应用问题,可以培 养逆向思维的灵活性;例3是概率与统计结合的应用题, 综合考查茎叶图、概率与独立性检验.

教 师 备 用 题
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第50讲 变量间的相关关系、回归分析及独立性检验

例 1 某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品 种发芽多少之间的关系进行分析研究,他们分别记录了 12 月 1 日至 12 月 5 日的每天昼夜温差与实验室每天每 100 颗种子中的 发芽数,得到如下资料:

日期 温差 x(℃)
教 师 备 用 题

12 月 1 日 12 月 2 日 12 月 3 日 12 月 4 日 12 月 5 日 10 23 11 25 13 30 12 26 8 16

发芽数 y(颗)

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第50讲 变量间的相关关系、回归分析及独立性检验
该农科所确定的研究方案是:先从这 5 组数据中选取 2 组,用剩下的 3 组数据求线性回归方程,再对被选取的 2 组数 据进行检验. (1)求选取的 2 组数据恰好是不相邻 2 天数据的概率; (2)若选取的是 12 月 1 日与 12 月 5 日的 2 组数据,请根据 12 月 2 日至 12 月 4 日的数据, 求出 y 关于 x 的线性回归方程^ y= ^x+a ^; b (3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据 的误差均不超过 2 颗,则认为得到的线性回归方程是可靠的, 试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠?
教 师 备 用 题
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第50讲 变量间的相关关系、回归分析及独立性检验

解:(1)设抽到不相邻 2 组数据为事件 A,因为从 5 组 数据中选取 2 组数据共有 10 种情况,每种情况都是等可 能出现的,其中抽到相邻 2 组数据的情况有 4 种,所以 4 3 P(A)=1- = . 10 5

教 师 备 用 题
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第50讲 变量间的相关关系、回归分析及独立性检验

(2)由数据求得, x =12, y =27,由公式求得 5 ^ ^ ^ x =-3. b= ,a= y -b 2 5 ^ 所以 y 关于 x 的线性回归方程为y= x-3. 2 5 ^ (3)当 x=10 时,y= ×10-3=22,|22-23|<2; 2 5 ^ 当 x=8 时,y= ×8-3=17,|17-16|<2; 2 其他三个数据也都满足误差不超过 2 颗. 所以该研究所得到的线性回归方程是可靠的.

教 师 备 用 题

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第50讲 变量间的相关关系、回归分析及独立性检验

例 2 有两个变量 x 与 y,其一组观测值如下面的 2×2 列联表所示: y x x1 x2 y1 a 15-a y2 20-a 30+a

教 师 备 用 题

则 a 取何正整数时,有 90%的把握认为“x 与 y 之间有 关系”试写出 a 的一个值.

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第50讲 变量间的相关关系、回归分析及独立性检验
解:由题意知:K2>2.706,而
2 65[ a ( 30 + a )-( 15 - a )( 20 - a ) ] K2= 15×50×45×20

13(13a-60)2 = >2.706, 90×60 即 13a-60>33.5 或 13a-60<-33.5, 所以 a>7.2 或 a<2.所以取 a=8 满足题意.

教 师 备 用 题
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第50讲 变量间的相关关系、回归分析及独立性检验

例 3 某中学将 100 名高一新生分成水平相同的甲、乙两个 “平行班”,每班 50 人.陈老师采用 A、B 两种不同的教学方式 分别在甲、乙两个班级进行教改实验.为了解教学效果,期末考 试后,陈老师分别从两个班级中各随机抽取 20 名学生的成绩进 行统计, 作出茎叶图如下. 记成绩不低于 90 分者为“成绩优秀”.

教 师 备 用 题

图 9-50-3
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第50讲 变量间的相关关系、回归分析及独立性检验
(1)在乙班样本的 20 个个体中,从不低于 86 分的成绩中随 机抽取 2 个,求抽出的两个均“成绩优秀”的概率; (2)由以上统计数据填写下面列联表,并判断是否有 90%的 把握认为“成绩优秀”与教学方式有关. 甲班(A 方式) 成绩优秀 成绩不优秀
教 师 备 用 题

乙班(B 方式)

总计

总计

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第50讲 变量间的相关关系、回归分析及独立性检验

教 师 备 用 题

解:(1)设“抽出的两个均‘成绩优秀’”为事件 A, 从不低于 86 分的成绩中随机抽取 2 个的基本事件为: (86,93),(86,96),(86,97),(86,99),(86,99), (93,96),(93,97),(93,99),(93,99), (96,97),(96,99),(96,99), (97,99),(97,99), (99,99)共 15 个. 而事件 A 包含基本事件: (93,96),(93,97),(93,99),(93,99), (96,97),(96,99),(96,99), (97,99),(97,99),(99,99),共 10 个. 10 2 所以所求的概率为 P(A)= = . 15 3
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第50讲 变量间的相关关系、回归分析及独立性检验

(2)由已知数据得 甲班(A 方式) 成绩优秀 成绩不优秀 1 19 乙班(B 方式) 5 15 20 总计 6 34 40

总计 20 根据列联表中数据,

2 40 × ( 1 × 15 - 5 × 19 ) K2= ≈3.137, 6×34×20×20

教 师 备 用 题

由 3.137>2.706,所以有 90%的把握认为“成绩优秀” 与数学方式有关.

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双 向 固 基 础 点 面 讲 考 向 多 元 提 能 力 教 师 备 用 题

第51讲

随机事件的概率与 古典概型

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考试大纲
1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性, 了解概率的意义,了解频率与概率的区别. 2.了解两个互斥事件的概率加法公式. 3.理解古典概型及其概率计算公式. 4.会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数 及事件发生的概率.

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第51讲 随机事件的概率与古典概型
双 向 固 基 础

—— 知 识 梳 理 ——
一、随机事件的概率 概率的统计定义:一般地,如果随机事件 A 在 n 次试验 中发生了 m 次,当试验的次数 n 很大时,我们可以将发生的 m m n . 频率 作为事件 A 发生的概率的近似值,即 P(A)≈____ n

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第51讲 随机事件的概率与古典概型
双 向 固 基 础

二、事件的关系与运算
名称 包含 关系 定义 符号 图示

事件A发生事件B一定发生,则 称事件B包含事件A(或称事件A B?A 包含于事件B),任何事件都包 或A?B 含不可能事件?. 如果A?B,且A?B,则称事件 A与事件B相等.

相等 关系

A=B

若某事件发生当且仅当事件A 或者 和(并) 发生___________ 事件B发生, 事件 则称此事件为事件A与事件B的 并事件,或者和事件.

A∪B 或A+ B
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第51讲 随机事件的概率与古典概型
双 向 固 基 础

(续表)
名称 定义 符号 图示 若某事件发生当且仅当事件A 且 事件B发生,则称此 积(交) 发生_____ A∩B 事件 事件为事件A与事件B的交事件, 或AB 或者积事件. 不可能事件 , 当A∩B为_______________ 互斥 那么称事件A和事件B互斥,其 事件 含义是:事件A和事件B在任何 一次试验中不会同时发生. 不可能事件 , 当A∩B为____________ A∪B为__________ 必然事件 时,称事件 对立 A和事件B互为对立事件,其含 事件 义是:事件A和事件B,在任何 一次试验中有且只有一个发生. A∩B =?

A∩B =? A∪B =Ω
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第51讲 随机事件的概率与古典概型
双 向 固 基 础

三、概率的基本性质 1.任何事件A的概率都在[0,1]内,即0≤P(A)≤1,不 可能事件?的概率为0,必然事件Ω的概率为1. 2.如果事件A,B互斥,则P(A+B)= P(A)+P(B) . _________________ 3 .事件 A 与它的对立事件 A 的概率满足 P(A) + P(A) = ______ 1 .

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第51讲 随机事件的概率与古典概型
双 向 固 基 础

四、古典概型

1.古典概型的两大特点:
(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个; (2)每个基本事件出现的可能性相等; 2.古典概型的概率计算公式:P(A)=

A包含的基本事件的个数
基本事件的总数 ________________________.

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第51讲 随机事件的概率与古典概型
双 向 固 基 础

一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基

本事件,通常此试验中的某一事件A由几个基本事件组
成.如果一次试验中可能出现的结果有n个,即此试验由n

个基本事件组成,而且所有结果出现的可能性都相等,那 1 么每一基本事件的概率都是 n .如果某个事件A包含的结果 m 有m个,那么事件A的概率为____ n .

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第51讲 随机事件的概率与古典概型
双 向 固 基 础

—— 疑 难 辨 析 ——
1.对随机事件概念的理解 (1)“抛一石块,下落”是必然事件.( ) (2)“在标准大气压下且温度低于 0℃时, 冰融化”是 随机事件.( ) (3)“某人射击一次,中靶”是不可能事件.( ) (4)“如果 a<b,那么 a-b<0”是必然事件.( ) (5)“抛掷一枚骰子, 正面向上的点数是 5”是随机事 件.( )

[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)√

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第51讲 随机事件的概率与古典概型
双 向 固 基 础

[解析] 根据定义, 事件(1)、 (4)是必然事件; 事件(2) 是不可能事件;事件(3)、(5)是随机事件.

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第51讲 随机事件的概率与古典概型
双 向 固 基 础

2.互斥事件与对立事件的关系 (1)一盒子中有 10 个球,其中 5 个红球和 5 个蓝球, 从中任取一球,则事件“取出的球是红球”与事件“取 出的球是蓝球”是对立事件.( ) (2)从 40 张扑克牌(红桃、 黑桃、 方块、 梅花点数从 1~ 10 各 10 张)中, 任取一张, “抽取黑桃”与“抽取方块” 是对立事件.( )

[答案] (1)√ (2)×

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第51讲 随机事件的概率与古典概型
双 向 固 基 础

[解析] (1)取出的一个球不是蓝球,就是红球,只有 这两种可能,所以这两个事件是对立事件. (2)从 40 张扑克牌中,任取一张,“抽取黑桃”与 “抽取方块”是不可能同时发生的, 所以是互斥事件. 同 时,不能保证其中必有一个发生,这是因为还可能抽取 “红桃”或者“梅花” ,因此,二者不是对立事件.

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第51讲 随机事件的概率与古典概型
双 向 固 基 础

3.古典概型的特征 (1)向一个圆内随机地投一个点,该点落在圆内任意 一点都是等可能的,这种试验是古典概型.( ) (2)在适宜的条件下,种下 5 粒种子,观察它的发芽 率,这种试验是古典概型.( ) (3)任意投掷两枚骰子,出现点数和为奇数的概率为 5 .( ) 11

[答案] (1)×

(2)×

(3)×

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第51讲 随机事件的概率与古典概型
双 向 固 基 础

[解析] (1)因为基本事件是无限的,所以不是古典 概型. (2)因为种子发芽与不发芽,在一般情况下不是等可 能的,所以不是古典概型. (3)出现点数和为奇数由数对(奇,偶),(偶,奇)组 18 成, 列表知共有 18 种不同的结果, 故所求的概率为 P= 36 1 = . 2

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第51讲 随机事件的概率与古典概型

考点统计 点 面 讲 考 向 1.随机事件的频率与概率问题

题型(考频) 解答(1)

题型示例(难度) 2012年T18(B)

2.互斥事件与对立事件的概率问题
3.简单的古典概型的概率问题 4.复杂的古典概型的概率问题

0
选择(1) 解答(1) 2011年T9(A) 2008年T18(B)

说明:A表示简单题,B表示中等题,C表示难题,示 例均选自2008年~2012年安徽卷.
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第51讲 随机事件的概率与古典概型

?

探究点一

随机事件的频率与概率问题

点 面 讲 考 向

例 1 下表是使用计算机模拟抛掷硬币时正面出现的次数 的频率的统计表:
1 2 3 4 5 6 7 8 模拟次数 10 模拟次数 100 模拟次数 1000 模拟次数 5000 模拟次数 10000 模拟次数 50000 模拟次数 100000 模拟次数 500000 正面向上的频率 0.3 正面向上的频率 0.53 正面向上的频率 0.52 正面向上的频率 0.4996 正面向上的频率 0.506 正面向上的频率 0.50118 正面向上的频率 0.49904 正面向上的频率 0.50019

据此表格,估计抛掷一枚硬币时正面向上的概率是 ________.
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第51讲 随机事件的概率与古典概型

[思考流程] 根据频率估计概率的思想, 试验次数越多 概率的估计值就越准确.
点 面 讲 考 向

[答案] 0.5

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第51讲 随机事件的概率与古典概型

[解析] 可以看出随着试验次数的逐步增加,正面向 上的次数的频率越来越稳定在 0.5 附近,据此估计抛掷一 枚硬币时正面向上的概率是 0.5.
点 面 讲 考 向

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第51讲 随机事件的概率与古典概型

点 面 讲 考 向

归纳总结 概率是频率的稳定值,可以根据大量的试 验中的频率估计事件发生的概率.概率是一个确定的值, 这个值是客观存在的,但在我们没有办法求出这个值时, 就可以使用大量重复试验中的频率值估计这个概率值.

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第51讲 随机事件的概率与古典概型

变式题 [2012· 太原一中月考] 某运动员在最近的 几场大赛中罚球投篮的结果如下:
点 面 讲 考 向

投篮次数 n 进球次数 m

8 6

10 8

9 7

12 9

10 7

16 12

这位运动员投篮一次,进球的概率是________.
[答案] 0.75

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第51讲 随机事件的概率与古典概型

点 面 讲 考 向

[解析] 根据表格计算几场大赛中罚球进球的频率分别 为:0.75,0.8,0.78,0.75,0.7,0.75.随着罚球投篮的次数 的增加, 进球的频率越来越接近于 0.75, 且在它附近摆动. 故 进球的概率为 0.75.

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第51讲 随机事件的概率与古典概型

?

探究点二

互斥事件与对立事件的概率问题

点 面 讲 考 向

例 2 (1)如图 9-51-1 是由一个圆、 一个三角形和一个 长方形构成的组合体,

图 9-51-1 现用红、蓝两种颜色为其涂色,每个图形只能涂一种颜 色,则三个形状颜色不全相同的概率为( ) 3 3 1 1 A. B. C. D. 4 8 4 8
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第51讲 随机事件的概率与古典概型

点 面 讲 考 向

(2)甲、乙二人下棋,甲获胜的概率是 50%,甲不输的概 率为 95%,则甲、乙二人下成和棋的概率为( ) A.60% B.30% C.10% D.45%

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第51讲 随机事件的概率与古典概型

点 面 讲 考 向

[思考流程] (1)分析:“三个形状颜色不全相同”与 “三个形状颜色全相同”是对立事件;推理:先找出事件 的总数,数出“三个形状颜色完全相同”的事件个数并求 其概率;结论:根据对立事件概率之和为 1 可得结果. (2)分析:事件“甲不输”是两个互斥事件“甲获胜” 与“甲、乙二人下成和棋”的和事件;推理:设甲、乙二 人下成和棋的概率为 P, 利用甲不输的概率为 95%列方程; 结论:方程的根就是所求的答案.
[答案] (1)A (2)D

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第51讲 随机事件的概率与古典概型

点 面 讲 考 向

[解析] (1)分别以 a,b 表示红色和蓝色,则图中自上而 下不同涂色的种数是 8 种:aaa,aab,abb,aba,bbb,bba, baa,bab,其中,“三个形状颜色全相同”有 2 种,其概率 2 1 为 P1= = ,所以“三个形状颜色不全相同”的概率为 P2 8 4 1 3 =1-P1=1- = .故选 A.也可以直接求解. 4 4 (2)甲不输即为“甲获胜”或“甲、乙二人下成和棋”, 设“甲乙二人下成和棋”的概率为 P,则 95%=50%+P,解 得 P=45%.故选 D.

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第51讲 随机事件的概率与古典概型

点 面 讲 考 向

[点评] (1)解决此类问题,首先应结合互斥事件和对 立事件的定义分析出是不是互斥事件或对立事件,再选择 概率公式进行计算.(2)在求某些复杂事件(如“至多、至 少”的概率)时,通常有两种方法:①将所求事件的概率 化为若干互斥事件的概率的和;②求此事件的对立事件的 概率.

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第51讲 随机事件的概率与古典概型

点 面 讲 考 向

归纳总结 互斥的两个事件在一次试验中不可能同时 发生,这两个事件的和满足概率加法公式;如果两个事件 互斥,又在一次试验中必然有一个发生,这样两个事件就 是对立事件,它们的概率之和等于1.在求解概率问题时把 随机事件分解为一些互斥事件的和或者使用事件之间的对 立关系有助于简化计算.

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第51讲 随机事件的概率与古典概型
变式题 命中 环数 概率 (1)某人射击 1 次,命中率如下表所示: 6 环及其以下 (包括脱靶) 0.1

点 面 讲 考 向

10 环 9 环 8 环 7 环 0.12 0.18 0.28 0.32

则射击 1 次,至少命中 7 环的概率为________. (2)有 5 名学生,其中 2 名男生,3 名女生,从中任选 2 名, 恰好是 2 名男生或 2 名女生的概率是________.

[答案] (1)0.9

(2)0.4

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第51讲 随机事件的概率与古典概型

点 面 讲 考 向

[解析] (1)至少命中 7 环的概率为 1-0.1=0.9. (2)记“从中任选 2 名, 恰好是 2 名男生”为事件 A, “从 中任选 2 名,恰好是 2 名女生”为事件 B,则事件 A 与事件 B 为互斥事件,且“从中任选 2 名,恰好是 2 名男生或 2 名 女生”为事件 A+B.从 5 名学生中选 2 名,共 10 种结果,恰 好是 2 名男生的有 1 种, 恰好是 2 名女生的有 3 中, 所以 P(A) 1 3 1 3 2 = ,P(B)= ,所以 P(A+B)=P(A)+P(B)= + = = 10 10 10 10 5 0.4.

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第51讲 随机事件的概率与古典概型

?

探究点三

简单的古典概型的概率问题

点 面 讲 考 向

例 3 (1)有 3 个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中 一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同 学参加同一个兴趣小组的概率为( ) 1 1 2 3 A. B. C. D. 3 2 3 4 (2)[2012·安徽卷] 袋中共有 6 个除了颜色外完全相同的 球,其中有 1 个红球、2 个白球和 3 个黑球.从袋中任取两球, 两球颜色为一白一黑的概率等于( ) 1 2 3 4 A. B. C. D. 5 5 5 5

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第51讲 随机事件的概率与古典概型
[思考流程] 分析:问题是古典概型;推理:列举基本事 件个数、随机事件含有的基本事件个数;结论:按照古典概 型公式计算.
点 面 讲 考 向

[答案] (1)A (2)B

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第51讲 随机事件的概率与古典概型
[解析] (1)他们参加兴趣小组共 9 种情况,其中参加同一小 1 组情况共 3 中,所以概率为 ,故选 A. 3 (2)用列举法可得:从袋中任取两球有 15 种取法,其中一白 6 2 一黑共有 6 种取法,由等可能事件的概率公式可得 P= = . 15 5

点 面 讲 考 向

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第51讲 随机事件的概率与古典概型

归纳总结

古典概型是基本事件个数有限且每个基本

事件发生的可能性相同的概率模型,遇到一个求解概率的
点 面 讲 考 向

试题首先要判断这个概率问题是否属于古典概型,然后再 根据古典概型的概率计算公式进行计算.

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第51讲 随机事件的概率与古典概型
变式题 (1)[2012·宁夏仿真模拟] 从{1,2,3,4,5}中随 机选取一个数为 a,从{1,2,3}中随机选取一个数 b,则 a>2b 的概率为( ) 1 4 1 6 A. B. C. D. 5 15 3 15

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第51讲 随机事件的概率与古典概型
(2)如图 9-51-2 表示的是甲、乙两人在 5 次综合测评中成 绩的茎叶图,其中一个数字被污损,则甲的平均成绩超过乙的平 均成绩的概率为( )
点 面 讲 考 向

2 A. 5

7 B. 10

图 9-51-2 4 9 C. D. 5 10

[答案] (1)B (2)C

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第51讲 随机事件的概率与古典概型

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[解析] (1)分别从两个集合中各取一个数,共有 15 种取 法,其中满足 a>2b 的有 4 种取法,故所求事件的概率为 P 4 = . 15 (2)设被污损的数字为 x,则 x=0,1,2,?,9 共 10 个 数.若甲的平均成绩超过乙的平均成绩,则有 80×2+17+ 3×90+3>80×3+13+90×2+9+x,解得 x<8,x=0,1, 8 4 2,?,7 共 8 个数.所求的概率为 P= = ,故选 C. 10 5

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探究点四

复杂的古典概型的概率问题

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例 4 [2012· 哈九中四模] 某校高三某班的一次数学测试成绩 的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏,但可见部分如 图 9-51-3,据此解答如下问题: (1)求分数在[50,60)的频率及全班的人数; (2)求分数在[80, 90)之间的频数, 并计算频率分布直方图中[80, 90)间的矩形的高; (3)若要从分数在[80,100]之间的试卷中任取两份分析学生失 分情况,在抽取的试卷中,求至少有一份在[90,100]之间的概率.

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图 9-51-3

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[思考流程] (1)条件:[50,60)之间的频数为 2,矩形的高为 0.008;目标:求分数在[50,60)的频率及全班的人数;方法:运
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某个区间的频数 用频率=矩形的高×组距= . 总频数 (2)条件:全班的人数,茎叶图,直方图;目标:求[80,90) 之间的频数及矩形的高;方法:利用各区间频数之和等于总人 数可求[80,90)之间的频数,再利用“频率=矩形的高×组距” 求解. (3)条件:[80,90)及[90,100)之间的频数;目标:任取两 份,至少有一份在[90,100)之间的概率;方法:列举基本事件, 确定基本事件的总数及所求事件所包含的基本事件数,按照古 典概型公式计算.

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解:(1)分数在[50,60)的频率为 0.008×10=0.08,由茎叶 2 图知分数在[50,60)之间的频数为 2,所以全班人数为 =25. 0.08 (2)由茎叶图可知,分数在[80,90)之间的频数为 25-2-7 4 -10-2=4,频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高为 ÷10 25 =0.016.

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(3)将[80,90)之间的 4 个分数编号为 1,2,3,4,[90,100) 之间的 2 个分数编号为 5,6,在[80,100)之间的试卷中任取两 份的基本事件为:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2, 3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5), (4,6),(5,6),共 15 个基本事件, 其中至少有一份在[90,100]之间的基本事件有(1,5),(1, 6),(2,5),(2,6),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)共 9 个. 9 所以至少有一份在[90,100]之间的概率为 =0.6. 15

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归纳总结

许多古典概型的试题其基本事件个数的计

算没有直接的公式可以套用,一般都是采用列举法,通过
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列举把所有基本事件找出来,对于比较复杂的情形,在列 举时注意借助于图表等进行,有时还要与解析几何、函数

等其他知识结合起来才能确定基本事件的个数.

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变式题 [2012·宿州联考] 一个均匀的正四面体面上分 别涂有 1、2、3、4 四个数字,现随机投掷两次,正四面体面 朝下的数字分别为 b,c. (1)记 z=(b-3)2+(c-3)2,求 z=4 的概率; (2)若方程 x2-bx-c=0 至少有一根 a∈{1,2,3,4}, 就称该方程为“漂亮方程”,求方程为“漂亮方程”的概率.

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解:(1)因为是投掷两次,因此基本事件(b,c)共有 4×4= 16 个,当 z=4 时,(b,c)的所有取值为(1,3),(3,1). 2 1 所以 P(z=4)= = . 16 8 (2)①若方程一根为 x=1,则 1-b-c=0,即 b+c=1,不 成立. ②若方程一根为 x=2,则 4-2b-c=0,即 2b+c=4,所
? ?b=1, 以? ? ?c=2.

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③若方程一根为 x=3,则 9-3b-c=0,即 3b+c=9,所
? ?b=2, 以? ? ?c=3.

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④若方程一根为 x=4,则 16-4b-c=0,即 4b+c=16,
? ?b=3, 所以? 综合知,概率为 ? ?c=4.

3 P= . 16

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答题模板

13

古典概型的解答题的答题技巧

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例 [2012· 哈三中三模] 口袋里装有 4 个大小相同的小球, 其中两个标有数字 1,两个标有数字 2. (1)第一次从口袋里任意取一球, 放回口袋里后第二次再任意 取一球,记第一次与第二次取到小球上的数字之和为 ξ.当 ξ 为何 值时,其发生的概率最大?说明理由; (2)第一次从口袋里任意取一球, 不再放回口袋里, 第二次再 任意取一球,记第一次与第二次取到小球上的数字之和为 η.求 η 大于 2 的概率.

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解:(1)设标号为 1 的球为 A,B,标号为 2 的球为 C, D,1 分 所有基本事件包括:(A,A),(B,B),(C,C),(D, D),(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D), (D,A),(C,A),(B,A),(D,B),(C,B),(D,C)共 16 种.2 分 设事件 A1 表示数字和为 2,包括:(A,A),(B,B), 4 1 (A,B),(B,A),共 4 种,P(A1)= = .3 分 16 4

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设事件 A2 表示数字和为 3, 包括:(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(D,A), 8 1 (C,A),(D,B),(C,B),共 8 种,P(A2)= = ,4 分 16 2 设事件 A3 表示数字和为 4,包括:(C,C),(D,D), 4 1 (C,D),(D,C),共 4 种,P(A3)= = ,5 分 16 4 ∴数字和为 3 时概率最大.6 分

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(2)所有基本事件包括:(A,B),(A,C),(A,D),(B, A),(B,C),(B,D),(C,A),(C,B),(C,D),(D,A), (D,B),(D,C),共 12 种.7 分 设事件 B1 表示数字和为 3,包括:(A,C),(A,D), (B,C),(B,D),(C,A),(C,B),(D,A),(D,B),P(B1) 8 2 = = ,9 分 12 3 设事件 B2 表示数字和为 4,包括:(C,D),(D,C), 2 5 P(B2)= ,数字和大于 2 的概率为 P(B1)+P(B2)= .11 分 12 6 5 ∴数字和大于 2 的概率为 .12 分 6

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[方法解读] 解答古典概型问题的应用题,用列举 法可以使我们明确基本事件的构成,列举时要按规律进 行,通常采用分类列表、树形图等方法,这样可以避免 重复、遗漏.关于不放回抽样,计算基本事件个数时, 既可以看做是无顺序的,也可以看作是有顺序的,其结 果是一样的,但不能选择哪一种方式,观察的角度必须 一致,否则会导致错误.
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自我检评 [2012·太原一模] 某公司有一批专业技术人员,对 他们进行年龄状况和接受教育程度(学历)的调查, 其结果(人数分布) 如下表: 学历 35 岁以下 35~50 岁 50 岁以上 本科 80 30 20 研究生
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x

20

y

(1)在 35~50 岁年龄段的专业技术人员中用分层抽样的方法抽 取一个容量为 5 的样本,将该样本看成一个总体,从中任取 2 人, 求至少有 1 人的学历为研究生的概率; (2)在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方 法抽取 N 个人,其中 35 岁以下 48 人,50 岁以上 10 人,再从这 N 5 个人中随机抽出 1 人,此人的年龄为 50 岁以上的概率为 ,求 x, 39 y 的值.
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解:(1)用分层抽样的方法在 35~50 岁中抽取一个容量为 5 的样本, 设抽取学历为本科的人数为 m, 30 m ∴ = , 解得 m=3. 50 5 ∴抽取了学历为研究生的 2 人,学历为本科的 3 人,分别记 作 S1,S2;B1,B2,B3. 从中任取 2 人的所有基本事件共 10 个: (S1,B1),(S1,B2),(S1,B3),(S2,B1),(S2,B2),(S2,B3), (S1,S2),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3), 其中至少有 1 人的学历为研究生的基本事件有 7 个: (S1,B1),(S1,B2),(S1,B3),(S2,B1),(S2,B2),(S2,B3), (S1,S2), 7 ∴从中任取 2 人,至少有 1 人的学历为研究生的概率为 . 10
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10 5 (2)依题意,得 = ,解得 N=78, N 39 ∴35~50 岁中被抽取的人数为 78-48-10=20. 48 20 10 ∴ = = . 80+x 50 20+y 解得 x=40,y=5.
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【备选理由】 例1是概率与向量结合的题目,具有一定的综合性, 意在培养学生的综合运用知识的能力;例2则是常规概率 问题的逆向思维,对培养学生的思维的灵活性有一定的帮 助.

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例 1 [2011·四川卷] 在集合{1,2,3,4,5}中任取一 个偶数 a 和一个奇数 b 构成以原点为起点的向量 α=(a,b).从 所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行 四边形,记所有作成的平行四边形的个数为 n,其中面积等于 2 m 的平行四边形的个数为 m,则 =( ) n 2 1 4 1 A. B. C. D. 15 5 15 3

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→ =(a1,a2),OQ → =(b1,b2)时, [解析] B 因为当OP → ,OQ → 为邻边的平行四边形的面积 则以OP → ||OQ → |sin∠POQ S=|OP → ||OQ → |· 1-cos2∠POQ =|OP → |2|OQ → |2-?OP →· → ?2 = |OP OQ
2 2 2 2 = (a2 1+a2)(b1+b2)-(a1b1+a2b2) =|a1b2-a2b1|.

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根据条件知平行四边形面积等于 2 可转化为|a1b2- a2b1|=2(※).由条件知,满足条件的向量有 6 个,即 α1 =(2,1),α2=(2,3),α3=(2,5),α4=(4,1),α5=(4, 3), α6=(4, 5), 易知 n=C2 6=15.而满足(※)式的有向量 α1 m 1 和 α4,α1 和 α5,α2 和 α6 共 3 个,即 = . n 5

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例 2 袋中有 12 个小球, 分别是红球、 黑球、 黄球、 绿球. 从 1 5 中任取一球, 得到红球的概率是 , 得到黑球或黄球的概率是 , 3 12 5 得到黄球或绿球的概率也是 .试求得到黑球、得到黄球、得到 12 绿球的概率各是多少?

教 师 备 用 题
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解:从袋中任取一球,记事件“得到红球”、“得到黑球”、 “得到黄球”、“得到绿球”分别为 A,B,C,D,则有 P(B+ 5 C)=P(B)+P(C)= , 12 5 1 ? ? ? ? A P(C+D)=P(C)+P(D)= ,P(B+C+D)=1-P? ?=1- = 12 3 2 1 1 1 ,解得 P(B)= ,P(C)= ,P(D)= . 3 4 6 4 1 1 1 答:得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是 、 、 . 4 6 4
教 师 备 用 题
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