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广东省东莞市东华高中2015届高三数学重点临界辅导试题(2)理


理科数学重点临界辅导材料(2)
一、选择题 1. 已知角 θ 的顶点与原点重合, 始边与 x 轴的正半轴重合, 终边在直线 y=2x 上, 则 cos 2θ 等于( 4 A.- 5 3 B.- 5 3 C. 5 4 D. 5 )

2.定义:|a×b|=|a||b|sin θ ,其中 θ 为向量 a 与 b 的夹角,若|a|=2,|b|=5,a·b=-6,则|a ×b|等于( A.-8 ) B.8 C.-8 或 8 D.6 )

π? ? 3.设函数 f(x)= 3cos(2x+φ )+sin(2x+φ )?|φ |< ?,且其图象关于直线 x=0 对称,则( 2? ?

? π? A.y=f(x)的最小正周期为 π ,且在?0, ?上为增函数 2? ? ? π? B.y=f(x)的最小正周期为 π ,且在?0, ?上为减函数 2? ?
π ? π? C. y=f(x)的最小正周期为 ,且在?0, ?上为增函数 4? 2 ? π ? π? D.y=f(x)的最小正周期为 ,且在?0, ?上为减函数 4? 2 ? 1 ? ?( )x,x≥4 4.已知函数 f(x)=? 2 ? ?f(x+1),x<4 A. 1 24 B. 1 12 1 C. 6

,则 f(2+log23)的值为(

)

1 D. 3

→ 5.如图所示,A,B,C 是圆 O 上的三点,线段 CO 的延长线与线段 BA 的延长线交于圆 O 外的点 D,若OC=

mOA+nOB,则 m+n 的取值范围是(
A.(0,1) B.(1,+∞)





) C.(-∞,-1) D.(-1,0)

? ?x-y-1≤0, 6.已知 x,y 满足约束条件? ?2x-y-3≥0, ?

当目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)在该约束条件下取到最小

值 2 5时,a +b 的最小值为( A.5 二、填空题 B.4

2

2

) C. 5 D.2

π 3π → → 7.已知 A,B,C 三点的坐标分别是 A(3,0),B(0,3),C(cos α ,sin α ),α ∈( , ),若AC·BC= 2 2 1+tan α -1,则 的值为________. 2 2sin α +sin 2α 8. 已知二次函数 y=f(x)的图象如图所示, 则它与 x 轴所围图形的面积为________.

2 2 9.设函数 f(x)=x + (x≠0).当 a>1 时,方程 f(x)=f(a)的实根个数为________.

x

10.(2014·安徽)若直线 l 与曲线 C 满足下列两个条件: (1)直线 l 在点 P(x0,y0)处与曲线 C 相切; (2)曲线 C 在点 P 附近位于直线 l 的两侧,则称直线 l 在点 P 处“切过”曲线 C. 下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号). ①直线 l:y=0 在点 P(0,0)处“切过”曲线 C:y=x ; ②直线 l:x=-1 在点 P(-1,0)处“切过”曲线 C:y=(x+1) ; ③直线 l:y=x 在点 P(0,0)处“切过”曲线 C:y=sin x; ④直线 l:y=x 在点 P(0,0)处“切过”曲线 C:y=tan x; ⑤直线 l:y=x-1 在点 P(1,0)处“切过”曲线 C:y=ln x. 三、解答题 1 11.已知向量 a=(cos ω x,sin ω x),b=(cos ω x, 3cos ω x),其中 0<ω <2.函数 f(x)=a·b- , 2 π 其图象的一条对称轴为 x= . 6 (1)求函数 f(x)的表达式及单调递增区间; (2)在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边,S 为其面积,若 f? ?=1,b=1,S△ABC= 3,求 a 的 ?2? 值.
3 3

?A?

12.设函数 f(x)=ln x,g(x)=f(x)+f′(x). (1)求函数 g(x)的单调区间和最小值;

?1? (2)讨论 g(x)与 g? ?的大小关系; x ? ?
1 (3)求实数 a 的取值范围,使得 g(a)-g(x)< 对任意 x>0 成立.

a

13

1 已知函数 f(x)= x (x∈R). 4 +2

1 (1)证明:f(x)+f(1-x)= ; 2 (2)若数列{an}的通项公式为 an=f( )(m∈N ,n=1,2,?,m),求数列{an}的前 m 项和 Sm; 1 1 1 1 2 (3)设数列{bn}满足 b1= ,bn+1=bn+bn,Tn= + +?+ ,若(2)中的 Sm 满足对不小于 2 的任 3 b1+1 b2+1 bn+1 意正整数 m,Sm<Tn 恒成立,试求正整数 m 的最大值.

n m

*

参考答案 1. 已知角 θ 的顶点与原点重合, 始边与 x 轴的正半轴重合, 终边在直线 y=2x 上, 则 cos 2θ 等于( 4 3 A.- B.- 5 5 答案 B 解析 设 P(t,2t)(t≠0)为角 θ 终边上任意一点, 则 cos θ = . 5|t| 5 5 ;当 t<0 时,cos θ =- . 5 5 3 4 C. D. 5 5 )

t

当 t>0 时,cos θ =

2 3 2 因此 cos 2θ =2cos θ -1= -1=- . 5 5 2.定义:|a×b|=|a||b|sin θ ,其中 θ 为向量 a 与 b 的夹角,若|a|=2,|b|=5,a·b=-6,则|a ×b|等于( ) D.6

A.-8 B.8 C.-8 或 8 答案 B

解析 由|a|=2,|b|=5,a·b=-6, 3 可得 2×5cos θ =-6? cos θ =- . 5 4 又 θ ∈[0,π ],所以 sin θ = . 5 4 从而|a×b|=2×5× =8. 5 1 ? ?( )x,x≥4 3.已知函数 f(x)=? 2 ? ?f(x+1),x<4 A. 1 1 1 1 B. C. D. 24 12 6 3

,则 f(2+log23)的值为(

)

答案 A 解析 因为 2+log23<4,所以 f(2+log23)=f(3+log23),而 3+log23>4, 所以 f(2+log23)= ( )

1 2

3? log 2 3

1 log 3 1 1 1 1 = ×( ) 2 = × = . 8 8 3 24 2
)

π? ? 4.设函数 f(x)= 3cos(2x+φ )+sin(2x+φ )?|φ |< ?,且其图象关于直线 x=0 对称,则( 2? ?

? π? A.y=f(x)的最小正周期为 π ,且在?0, ?上为增函数 2? ? ? π? B.y=f(x)的最小正周期为 π ,且在?0, ?上为减函数 2? ?
π ? π? C.y=f(x)的最小正周期为 ,且在?0, ?上为增函数 4? 2 ? π ? π? D.y=f(x)的最小正周期为 ,且在?0, ?上为减函数 4? 2 ? 答案 B π ? ? 解析 f(x)=2sin?2x+ +φ ?,其图象关于直线 x=0 对称, 3 ? ? π π ∴f(0)=±2,∴ +φ =kπ + ,k∈Z. 3 2 π π π ∴φ =kπ + ,又|φ |< ,∴φ = . 6 2 6 π? ? ∴f(x)=2sin?2x+ ?=2cos 2x. 2? ?

? π? ∴y=f(x)的最小正周期为 π ,且在?0, ?上为减函数. 2? ?
5.如图所示,A,B,C 是圆 O 上的三点,线段 CO 的延长线与线段 BA 的延长线交于圆 O → → → 外的点 D,若OC=mOA+nOB,则 m+n 的取值范围是( A.(0,1) C.(-∞,-1) 答案 D 解析 依题意,由点 D 是圆 O 外一点, → → 可设BD=λ BA(λ >1), → → → 则OD=OB+λ BA → → =λ OA+(1-λ )OB. → → 又 C,O,D 三点共线,令OD=-μ OC(μ >1), λ → 1-λ → → 则OC=- OA- OB(λ >1,μ >1), μ μ λ 1-λ 所以 m=- ,n=- . μ μ λ 1-λ 1 故 m+n=- - =- ∈(-1,0).故选 D. μ μ μ
? ?x-y-1≤0, 6.(2014·山东)已知 x,y 满足约束条件? ?2x-y-3≥0, ?

)

B.(1,+∞) D.(-1,0)

当目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)在该约束条

件下取到最小值 2 5时,a +b 的最小值为( A.5 B.4 C. 5 答案 B D.2

2

2

)

解析 方法一 线性约束条件所表示的可行域如图所示.
? ?x-y-1=0, 由? ?2x-y-3=0, ?

解得?

? ?x=2, ?y=1, ?

所以 z=ax+by 在 A(2,1)处取得最小值,故 2a+b=2 5,

a2+b2=a2+(2 5-2a)2=( 5a-4)2+4≥4.
方法二 画出满足约束条件的可行域知, 当目标函数过直线 x-y-1=0 与 2x-y-3=0 的交点(2,1)时取得最小值, 所以有 2a+b=2 5. 又因为 a +b 是原点(0,0)到点(a,b)的距离的平方, 故当 a +b 为原点到直线 2a+b-2 5=0 的距离时最小, |-2 5| 2 2 所以 a +b 的最小值是 =2, 2 2 2 +1 所以 a +b 的最小值是 4.故选 B. π 3π → → 7.已知 A,B,C 三点的坐标分别是 A(3,0),B(0,3),C(cos α ,sin α ),α ∈( , ),若AC·BC= 2 2 1+tan α -1,则 的值为________. 2 2sin α +sin 2α 9 答案 - 5 → → 解析 由AC=(cos α -3,sin α ),BC=(cos α ,sin α -3), → → 得AC·BC=(cos α -3)cos α +sin α (sin α -3)=-1, 2 ∴sin α +cos α = , 3 5 ∴2sin α cos α =- , 9 sin α 1+ cos α 1+tan α = 2 2 2sin α +sin 2α 2sin α +2sin α cos α = 1 9 =- . 2sin α cos α 5
2 2 2 2 2 2

8.已知二次函数 y=f(x)的图象如图所示,则它与 x 轴所围图形的面积为________.

答案

4 3

解析 根据 f(x)的图象可设 f(x)=a(x+1)(x-1)(a<0). 因为 f(x)的图象过(0,1)点,所以-a=1,即 a=-1. 所以 f(x)=-(x+1)(x-1)=1-x . 所以 S=? -1(1-x )dx=2? 0(1-x )dx=
1 2 1 2 2

? 1 3??1 ? 1? 4 2?x- x ??0=2?1- ?= . ? 3 ?? ? 3? 3

2 2 9.设函数 f(x)=x + (x≠0).当 a>1 时,方程 f(x)=f(a)的实根个数为________.

x

答案 3 2 2 2 2 解析 令 g(x)=f(x)-f(a),即 g(x)=x + -a - ,

x

a

1 2 2 整理得:g(x)= (x-a)(ax +a x-2).

ax

显然 g(a)=0,令 h(x)=ax +a x-2. ∵h(0)=-2<0,h(a)=2(a -1)>0, ∴h(x)在区间(-∞,0)和(0,a)各有一个零点. 因此,g(x)有三个零点,即方程 f(x)=f(a)有三个实数解. 10.(2014·安徽)若直线 l 与曲线 C 满足下列两个条件: (1)直线 l 在点 P(x0,y0)处与曲线 C 相切; (2)曲线 C 在点 P 附近位于直线 l 的两侧,则称直线 l 在点 P 处“切过”曲线 C. 下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号). ①直线 l:y=0 在点 P(0,0)处“切过”曲线 C:y=x ; ②直线 l:x=-1 在点 P(-1,0)处“切过”曲线 C:y=(x+1) ; ③直线 l:y=x 在点 P(0,0)处“切过”曲线 C:y=sin x; ④直线 l:y=x 在点 P(0,0)处“切过”曲线 C:y=tan x; ⑤直线 l:y=x-1 在点 P(1,0)处“切过”曲线 C:y=ln x. 答案 ①③④ 解析 ①中由 y=x 得 y′=3x . 又当 x=0 时,切线斜率为 0, 故函数 y=x 在点(0,0)处的切线方程为 y=0. 结合图象知①正确. ②中由 y=(x+1) 得 y′=3(x+1) .
3 2 3 3 2 3 3 3

2

2

又当 x=-1 时,切线斜率为 0, 故函数 y=(x+1) 在点(-1,0)处的切线方程为 y=0, 故②不正确. ③中由 y=sin x 得 y′=cos x. 又当 x=0 时,切线斜率为 1, 故函数 y=sin x 在点(0,0)处的切线方程为 y=x. 结合图象知③正确. 1 ④中由 y=tan x 得 y′= 2 . cos x 又当 x=0 时,切线斜率为 1, 故函数 y=tan x 在点(0,0)处的切线方程为 y=x. 结合图象知④正确. 1 ⑤中由 y=ln x 得 y′= .
3

x

又当 x=1 时,切线斜率为 1, 故函数 y=ln x 在点(1,0)处的切线方程为 y=x-1, 结合图象可知⑤不正确. 1 11.已知向量 a=(cos ω x,sin ω x),b=(cos ω x, 3cos ω x),其中 0<ω <2.函数 f(x)=a·b- , 2 π 其图象的一条对称轴为 x= . 6 (1)求函数 f(x)的表达式及单调递增区间; (2)在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边,S 为其面积,若 f? ?=1,b=1,S△ABC= 3,求 a 的 ?2? 值. 解 1 (1)f(x)=a·b- 2

?A?

1 2 =cos ω x+ 3sin ω xcos ω x- 2 = 1+cos 2ω x 3 1 + sin 2ω x- 2 2 2

π? ? =sin?2ω x+ ?. 6? ? π ?ω π +π ?=±1, 当 x= 时,sin? 6? 6 ? 3 ? 即 ωπ π π + =kπ + ,k∈Z. 3 6 2

∵0<ω <2,∴ω =1.

π? ? ∴f(x)=sin?2x+ ?. 6? ? π π π 令- +2kπ ≤2x+ ≤ +2kπ ,k∈Z, 2 6 2 π π ∴kπ - ≤x≤kπ + ,k∈Z, 3 6 π π ∴函数 f(x)的单调递增区间为[kπ - ,kπ + ],k∈Z. 3 6

?A? ? π? (2)f? ?=sin?A+ ?=1, 6? ?2? ?
π π 7 在△ABC 中,0<A<π , <A+ < π , 6 6 6 π π π ∴A+ = ,A= . 6 2 3 1 由 S△ABC= bcsin A= 3,b=1,得 c=4. 2 由余弦定理得 a =4 +1 -2×4×1×cos 故 a= 13. 12.设函数 f(x)=ln x,g(x)=f(x)+f′(x). (1)求函数 g(x)的单调区间和最小值;
2 2 2

π =13, 3

?1? (2)讨论 g(x)与 g? ?的大小关系; ?x?
1 (3)求实数 a 的取值范围,使得 g(a)-g(x)< 对任意 x>0 成立.

a



1 (1)由题意,得 g(x)=ln x+ ,x>0,

x

所以 g′(x)=

x-1 ,且 x>0, x2

令 g′(x)=0,得 x=1, 当 x∈(0,1)时,g′(x)<0, 故(0,1)是 g(x)的单调减区间, 当 x∈(1,+∞)时,g′(x)>0. 故(1,+∞)是 g(x)的单调增区间, 因此,x=1 是 g(x)的唯一极值点,且为极小值点,从而是最小值点.所以最小值为 g(1)=1.

?1? (2)由(1)知 g? ?=-ln x+x, ?x?
1 ?1? 设 h(x)=g(x)-g? ?=2ln x-x+ , x

? ?

x

(x-1) 则 h′(x)=- ,且 x>0. 2

2

x

?1? 当 x=1 时,h(1)=0,即 g(x)=g? ?; x ? ?
当 x∈(0,1)∪(1,+∞)时,h′(x)<0,h′(1)=0, 因此,h(x)在(0,+∞)内单调递减,

?1? 当 0<x<1 时,h(x)>h(1)=0,即 g(x)>g? ?, ?x? ?1? 当 x>1 时,h(x)<h(1)=0,即 g(x)<g? ?. x ? ?
(3)由(1)知,g(x)的最小值为 g(1)=1, 1 1 所以 g(a)-g(x)< 对? x>0 成立?g(a)-1< .

a

a

1 1 则 ln a+ -1< ,即 ln a<1,

a

a

所以 0<a<e. 故实数 a 的取值范围是(0,e). 13 1 已知函数 f(x)= x (x∈R). 4 +2

1 (1)证明:f(x)+f(1-x)= ; 2 (2)若数列{an}的通项公式为 an=f( )(m∈N ,n=1,2,?,m),求数列{an}的前 m 项和 Sm; 1 1 1 1 2 (3)设数列{bn}满足 b1= ,bn+1=bn+bn,Tn= + +?+ ,若(2)中的 Sm 满足对不小于 2 的任 3 b1+1 b2+1 bn+1 意正整数 m,Sm<Tn 恒成立,试求正整数 m 的最大值. 1 (1)证明 因为 f(x)= x , 4 +2 1 4 4 所以 f(1-x)= 1-x = . x= x 4 +2 4+2·4 2(4 +2) 1 4 所以 f(x)+f(1-x)= x + x 4 +2 2(4 +2) = 2+4 1 = . x 2(4 +2) 2
x x x x

n m

*

1 (2)解 由(1),知 f(x)+f(1-x)= , 2

k k 1 * 所以 f( )+f(1- )= (1≤k≤m-1,k∈N ), m m 2
即 f( )+f(

k m

m-k 1 )= . m 2

1 m 1 所以 ak+am-k= ,am=f( )=f(1)= . 2 m 6 又 Sm=a1+a2+?+am-1+am,①

Sm=am-1+am-2+?+a1+am,②
1 m 1 由①+②,得 2Sm=(m-1)× +2am= - , 2 2 6

m 1 * 即 Sm= - (m∈N ). 4 12
1 2 (3)解 由 b1= ,bn+1=bn+bn=bn(bn+1), 3 显然对任意 n∈N ,bn>0, 则 即 1 1
*

bn+1



1 1 1 = - , bn(bn+1) bn bn+1

bn+1 bn bn+1 b1 b2

1 1 = - ,

1 1 1 1 1 1 所以 Tn=( - )+( - )+?+( - )

b2 b3

bn bn+1

1 1 1 = - =3- .

b1 bn+1

bn+1
2

因为 bn+1-bn=bn>0, 所以 bn+1>bn, 即数列{bn}是单调递增数列. 所以 Tn 关于 n 递增,所以当 n∈N 时,Tn≥T1. 1 1 2 1 4 因为 b1= ,b2=( ) + = , 3 3 3 9 1 3 所以 Tn≥T1=3- = . b2 4 3 m 1 3 10 由题意,知 Sm< ,即 - < ,解得 m< , 4 4 12 4 3 所以正整数 m 的最大值为 3.
*


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