tceic.com
学霸学习网 这下你爽了
赞助商链接
当前位置:首页 >> >>

考研数学真题总结专题三导数的应用


专题三导数的应用 知识点一 利用导数研究函数的性态 1. 单调性
(1) (2) (3) 若在 (a, b) 内 f ?( x) ? 0 ,则在 (a, b) 内 f ( x) ? C (常数) 若在 (a, b) 内 f ?( x) ? 0 ,则在 (a, b) 内 f ( x) 单调增加 若在 (a, b) 内 f ?( x) ? 0 ,则在 (a, b) 内 f ( x) 单调减少

2. 凹凸性 (1) 若在 (a ,b ) 内 f ??( x) ? 0 ,则在 (a ,b ) 内 f ( x) 向下凸(即向上凹,曲线图形
为 )

(2) 若在 (a ,b ) 内 f ??( x) ? 0 ,则在 (a ,b ) 内 f ( x) 向上凸(即向下凹,曲线图形


)

(3) 设 f ( x) 在区间 I 上有定义,若对于 I 中任意两点 x1 , x2 ,恒有
f( x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) x ?x f ( x1 ) ? f ( x2 ) ( f( 1 2)? ) )? 2 2 2 2

则称 f ( x) 在 I 上是向上凸的(或上凹的)。

3. 拐点
若 f ??( x0 ) ? 0 或 f ??( x0 ) 不存在,且 f ??( x) 在 x0 的左右变号,则 ( x0 , f ( x0 )) 为曲 线 y ? f ( x) 的拐点。拐点的定义为曲线上向上、下凸的分界点。

4. 极值点的判断
若 f ?( x0 ) ? 0, f ??( x0 ) ? 0 ,则 x0 为 f ( x) 的极点。若 f ??( x0 ) ? 0 则 x0 为极小点, 若 f ??( x0 ) ? 0 则 x0 为极大点。 【注】 以上这些结论中由一阶导数的信息得到函数本身的结论,都是用微分中值 定理证明的。 而由 f ??( x) 的信息得到函数本身的结论,都是用 Taylor。如

f ?( x0 ) ? 0, f ??( x0 ) ? 0 ? x0 必是 f ( x) 的极点的证明:

f ( x) ? f ( x0 ) ? f ?( x0 )( x ? x0 ) ? ? f ( x) ? f ( x0 ) ?

f ??( x0 ) ( x ? x0 ) 2 ? o(( x ? x0 ) 2 ) 2!

f ??( x0 ) ( x ? x0 ) 2 ? o(( x ? x0 ) 2 ) 2!

当 x ? x0 很小时, f ( x) ? f ( x0 ) 的符号由

f ??( x0 ) ( x ? x0 )2 确定. 2!

5. 渐近线
(1) 水平渐近线 若 lim f ( x) ? b 或 lim f ( x) ? b ,则称 y ? b 为函数 y ? f ( x) 在右侧或左侧的水平
x ??? x ???

渐近线。 (2) 铅直渐近线 若 lim? f ( x) ? ? 或 lim? f ( x ) ? ? ,则称 x ? x0 为函数 y ? f ( x) 的铅直渐近线。
x ? x0 x ? x0

(3) 斜渐近线 f ( x) 若 a ? lim , b ? lim [ f ( x) ? ax] ,则称 y ? ax ? b 为 y ? f ( x) 的右侧斜渐近线; x ??? x ??? x f ( x) 若 a ? lim , b ? lim [ f ( x) ? ax] ,则称 y ? ax ? b 为 y ? f ( x) 的左侧斜渐近线 x ??? x ??? x

知识点二 关于方程求根
1.关于方程 f ( x) ? 0 的根(或 f ( x) 的零点)的存在性的证明思路 (1) 只知 f ( x) 在[a,b]或(a,b)上连续,而没有说明 f ( x) 是否可导,则一般用闭 区间上连续函数的零点存在定理证明。 (2) 做出 f ( x) 的一个原函数 F ( x) ,证明 F ( x) 满足罗尔定理条件, 从而得出 f ( x) 的零点的证明。 2. 方程 f ( x) ? 0 的根的个数的讨论 (1) 求出 f ( x) 的驻点和使 f ?( x) 不存在的点,划分 f ( x) 的单调增减性区间; (2) 求出各单调区间的极值(或最值); (3) 分析极值(或最值)与 x 轴的相对位置。 3.方程 f ( x) ? 0 的根的唯一性的研究 (1) 利用零点存在定理(或 Rolle 定理)证明 f ( x) ? 0 至少存在一个根;

(2) 利用函数的单调性证明 f ( x) ? 0 最多只有一个根。 题型一:判断函数的凹凸性或判断曲线的拐点 (20110101) 曲线 y ? ( x ? 1)( x ? 2) 2 ( x ? 3)3 ( x ? 4) 4 的一个拐点是( )
A (1,0) B (2,0)
3 2

C (3,0)

D (4,0)

(20100312) 若曲线 y ? x ? ax ? bx ? 1 有拐点(-1,0),则 b=___________ (20070317) 设函数 y ? y ( x) 由方程 y ln y ? x ? y ? 0 确定,试判断曲线 y ? y ( x) 在点 (1,1)附近的凹凸性.

题型二:利用函数的单调性证明不等式 1 1 1 (20110118)○证明对任意正整数 n ,都有 1 ? ln(1 ? ) ? 成立; n ?1 n n 4 2 2 2 (20040115) 设 e ? a ? b ? e , 证明 ln b ? ln a ? 2 (b ? a) e
(20060317) 证明:当 0 ? a ? b ? ?时, b sin b ? 2cos b ? ? b ? a sin a ? 2cos a ? ? a (20050319) 设 f(x),g(x)在[0,1]上的导数连续,且 f(0)=0, f ?( x) ? 0 , g ?( x) ? 0 .证明:对任何 a ? [0,1] , 有

?

a

0

g ( x) f ?( x)dx ? ? f ( x) g ?( x)dx ? f (a) g (1).
0

1

(20040317) 设 f (x) , g(x)在[a , b]上连续,且满足
b b
b b

?a f (t )dt ? ?a g (t )dt ,x ? [a , b),

x

x

?a f (t )dt ? ?a g (t )dt .证明: ?a xf ( x)dx ? ?a xg( x)dx
题型三:求方程的根或函数的零点 (20110117)求方程 k arctan x ? x ? 0 不同实根的个数,其中 k 为参数.
(20080101) 设函数 f ( x) ?

?

x2

0

ln(2 ? t )dt 则 f ?( x) 的零点个数(



? A? 0

? B? 1
n

?C ? 2

? D? 3

(20040118) 设有方程 x ? nx ? 1 ? 0 ,其中 n 为正整数. 证明此方程存在惟一正实根 x n (20110318) 证明 4 arctan x ? x ?

4? ? 3 ? 0 恰有 2 实根。 3
3 2

(20050307) 当 a 取下列哪个值时,函数 f ( x) ? 2 x ? 9 x ? 12 x ? a 恰好有两个不同的零点. (A) 2. (B) 4. (C) 6. (D) 8.

题型四:利用导数研究函数的图形
(20090103) 设函数 y ? f ? x ? 在区间 ? ?1,3? 上的图形为:

f ( x)
O 0 -1
x

-2 则函数 F ? x ? ?

1

2

3

x


? f ?t ? dt 的图形为(
0

f ( x)
1 0 -1

f ( x)
1

-2

1

2

3

x

-2

0 -1

1

2

3

x

? A? .

? B? .

f ( x)
1 0

f ( x)
1

-1

1

2

3

x

-2

0 -1

1

2

3

x

?C ? .

? D? .

题型五:求曲线的渐近线 1 x (20070102) 曲线 y ? ? ln(1 ? e ) ,渐近线的条数为 x
(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.

(20050101) 曲线 y ?

x2 的斜渐近线方程为 _____________ 2x ? 1

(20070306) 曲线 y ?

A. 0

B. 1

1 ? ln(1 ? e x ), 渐近线的条数为( x C. 2 D. 3



题型六:利用导数判断函数的极值点
(20030107) (1)设函数 f ( x) 在 (??,??) 内连续,其导函数的图形如图所示,则 f ( x) 有 (A)一个极小值点和两个极大值点 (C)两个极小值点和两个极大值点 (B)两个极小值点和一个极大值点 (D)三个极小值点和一个极大值点

【思路】根据导函数的图形可知,一阶导数为零的点有 3 个,而 x=0 则是导数不存在的点. 三个一阶 导数为零的点左右两侧导数符号不一致,必为极值点,且两个极小值点,一个极大值点;在 x=0 左侧一 阶导数为正,右侧一阶导数为负,可见 x=0 为极大值点,故 f(x)共有两个极小值点和两个极大值点,应 选(C). (20100303) 设函数 f(x),g(x)具有二阶导数, g ??( x) ? 0. 若 g ( x0 ) ? a 是 g(x)的极值, f(g(x))在 x0 取极 且 则 大值的一个充分条件是 A f ?(a) ? 0 B f ?(a) ? 0 C f ??(a) ? 0 D f ??(a) ? 0

(20050310) 设 f ( x) ? x sin x ? cos x ,下列命题中正确的是 (A)f(0)是极大值, f ( ) 是极小值. (C)f(0)是极大值, f ( ) 也是极大值.

?

?

2

(B) f(0)是极小值, f ( ) 是极大值. (D) f(0)是极小值, f ( ) 也是极小值.

? ?

2 2

2

(20040309) 设 f (x) = |x(1 ? x)|,则 (A) x = 0 是 f (x)的极值点,但(0 , 0)不是曲线 y = f (x)的拐点. (B) x = 0 不是 f (x)的极值点,但(0 , 0)是曲线 y = f (x)的拐点. (C) x = 0 是 f (x)的极值点,且(0 , 0)是曲线 y = f (x)的拐点. (D) x = 0 不是 f (x)的极值点,(0 , 0)也不是曲线 y = f (x)的拐点.

题型:求曲面的面积 题型:求旋转体的体积 (20030113) 过坐标原点作曲线 y ? ln x 的切线,该切线与曲线 y ? ln x 及 x 轴围成平面图形 D . (1)求 D 的面积 A . (2)求 D 绕直线 x ? e 旋转一周所得旋转体的体积 V .


推荐相关:

2016考研数学 导数的应用三.doc

2016考研数学 导数的应用三 - 中公考研提供考研大纲解析,考研复习资料,考研历年真题等,更多考研相关信息,请访问中公考研!

考研数学三真题解读之高数高频考点总结.doc

考研数学三真题解读之高数高频考点总结_研究生入学考试_高等教育_教育专区。由跨...在知识点 的归类上,此题属于导数的应用,值得一提的是:此题也出现在了数学二...

2016考研数学三真题分析之导数的经济应用_教育指南_百度教育攻略.pdf

2016考研真题|数学三真题答案解析汇总 2015考研数学真题解析:导数的概念 2015考研数学三真题解析:导数的经济应用 2016 考研数学三真题及答案解析 2016 考研数学(三)真...

2015考研数学三真题解析:导数的经济应用_教育指南_百度教育攻略.pdf

2015考研数学三真题解析:导数的经济应用2017-03-01 147人浏览 中

2015考研数学 复习之导数的应用.doc

2015考研数学 复习之导数的应用 - 2015考研数学 中公考研数学频道提供考研数学大纲解析,考研数学真题,考研数学复习计划,历年考研数学复习资料等,更多考研数学相关信息,...

8年真题分析总结考研数学试题的三个特点.doc

8年真题分析总结考研数学试题的三个特点_研究生入学...2015 年数学一、三考查了考生熟悉的导数的四则运算...数三要求掌握经济应用问题,2015 年以解答题的形式考...

2015考研数学 数三大纲分析和历年考题规律总结.doc

2015考研数学 数三大纲分析和历年考题规律总结_研究生入学考试_高等教育_教育专区...从最近 15 年的考题规律分析,重要考点主要有:函数极限、导数的应用、定积 分...

2018考研数学真题最强解析及点评全集_图文.pdf

2018考研数学(一/二/三) 试题分析、评价及备考建议...识点数学思维的应用,这要求考生对数学基本知识点要...简称《金讲》)第70页有专题详解 绝对值函数的导数...

2019版高考数学一轮总复习第三章导数及应用专题研究导....ppt

2019版高考数学一轮总复习第三章导数及应用专题研究导数的综合运用课件理_高考_...利用导数研究单调性知其变化趋势,利用导数求极 值(最值)研究零点. 思考题 1 ...

2018考研数学 导数三大建议.doc

2018考研数学 导数三大建议_其它_总结/汇报_实用文档...考研数学 导数三大建议 导数考察在历年考题中是常...第三个模块:导数的应用。其中极值本身的概念也是一...

19考研数学二最必看的真题超级解析及复习建议_图文.ppt

考研数学超级金讲》(以 下简称《金讲》)第70页有专题详解绝对值函数 的导数...的 提醒,在暑期集训中也反复强调这一结论,并给出了不少于3 道以上试题的应用...

19考研数学一,最必看的18真题超级解析及19复习建议_图文.pdf

考研数学超级金 讲》(以下简称《金讲》)第70页有专题详解 绝对值函数的导数...见《金讲》91页的 总结及92页同型例题详解,属送分题。但有些同 学见到被...

专题讲座:高中数学“导数及其应用”教学研究.doc

专题讲座:高中数学导数及其应用”教学研究_数学_...最后由某个人或几个人总结完成的,微积分也是这样. ...这样可减少运算量.(如(1) (2)题的方法二较方法...

高三总复习导数专题总结归纳.doc

高三总复习导数专题总结归纳_数学_高中教育_教育专区。有关倒数的历年高考...解答题中的两个设问, 考查的核心是导数 研究函数性质的方法和函数性质的应用;...

...高三数学二轮复习教案 专题一 第5讲 导数及其应用.doc

《导学教程》高三数学二轮复习教案 专题一 第5讲 导数及其应用 - 第5讲 自主学习导引 导数及其应用 真题感悟 1 1.(2012 辽宁)函数 y=2x2-ln x 的单调...

函数、导数及其应用专题复习策略探讨_图文.ppt

函数、导数及其应用专题复习策略探讨_高三数学_数学_...(x)|是奇函数 3.(2013年新课标Ⅰ卷文科第9题)...利用数学归纳法证明数列不等式. 3.分类与整合思想、...

...2节导数在研究函数中的应用第五课时利用导数研究函....ppt

节导数在研究函数中的应用第五课时利用导数研究函数零点专题课件理_数学_高中教育...零点问题是导数的应用之一,也是高考考查的热点题型, 常作为解答的一问出现,...

...届高三数学一轮复习第2节导数在研究函数中的应用第....ppt

研究函数中的应用第三课时利用导数证明不等式专题...常作为解答的一问出现,难度较大,解决此类问题一般...2 3 n 2 ? n ? 1? 法二 用数学归纳法证明....

中学数学专题研究导数.doc

中学数学专题研究导数 中学数学专题研究导数...包括应用题的最优化问题,增加这部分内容不仅是函数的...速度引出导数的概念, 从导数的定义归纳出求导数的...

2017版高考数学专题3导数及其应用18用倒数研究函数的单....doc

2017版高考数学专题3导数及其应用18用倒数研究函数的单调性文_高考_高中教育_教育专区。2017 【步步高】 (江苏专用) 2017 版高考数学 专题 3 导数及其应用 18 用...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 学霸学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com