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安徽省滁州市定远县育才学校2018_2019学年高二数学上学期期末考试试题实验班文

育才学校 2018-2019 学年度上学期期末考试 高二实验班文科数学
(考试时间:120 分钟 ,满分:150 分) 一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.设命题 p : ?x ? ? 0, ??? ,3 ? 2 ;命题 q : ?x ?? ??,0? ,3x ? 2x ,则下列命题为真命题
x x

的是( A. p ? q

) B. p ? ? ?q ? C. ? ?p ? ? q D. ? ?p ? ? ? ?q ? )

n 2.设命题 p :“ ?a ? ?1 , ln e ? 1 ?

?

?

1 ”,则 ? p 为( 2

1 2 1 n C. ?a ? ?1 , ln e ? 1 ? 2
n A. ?a ? ?1 , ln e ? 1 ?

?

?

?

?

1 2 1 n D. ?a ? ?1 , ln e ? 1 ? 2
n B. ?a ? ?1 , ln e ? 1 ?

?

?

?

?

3.已知椭圆

(a>b>0) 的左顶点和上顶点分别为 A, B, 左、 右焦点分别是 F1 , )

F2 , 在线段 AB 上有且仅有一个点 P 满足 PF1⊥PF2 , 则椭圆的离心率为( A. B. C. D.

4.已知抛物线 y2=8x 的焦点 F 到双曲线 C:
2

(a>0,b>0)渐近线的距离为



点 P 是抛物线 y =8x 上的一动点,P 到双曲线 C 的上焦点 F1(0,c)的距离与到直线 x=﹣2 的距离之和的最小值为 3,则该双曲线的方程为( A. D. 5.设 f ? x ? 为可导函数,且 f ? ? 2 ? ? A. 1 6.已知点 P 在双曲线 , B. ?1 B. ) C.

f ?2 ? h? ? f ?2 ? h? 1 ,求 lim 的值( h ?0 2 h
C.

) D. ?

1 2
(t∈R),且 的最大值为( )

1 2

上,点 A 满足 ,则

A. D. 7.已知抛物线

B.

C.

的焦点 F 与双曲线

的右焦点重合,抛物线的准线与 x 轴 , 则△AFK 的面积为( )

的交点为 K,点 A 在抛物线上且 A.4 D.32
x 8.函数 f ? x ? ? xe ?

B.8

C.16

1 2 x ? x 的零点个数为( 2
B. 1

) C. 2

A. 0 D. 3 9. 设 e ?

c 5 是 函 数 a ? 2 的 导 函 数 , b2 ? c 2 ? a 2 ? 1 的 图 象 如 右 图 所 示 , 则 ? a 2

x2 ? y 2 ? 1的图象最有可能的是 4

A.

B.

C.

D.

10. 已知 y ? f ? x? 是定义在 R 上的偶函数,且当 x ? ? ??,0? , f ? x ? ? xf ' ? x ? ? 0 成立

( f ' ? x ? 是函数 f ? x ? 的导数) , 若a ? 则 a, b, c 的 大小关系是( A. a ? b ? c 11.过抛物线 两点 ( A. D. 12.已知双曲线 C : 在 ) B. b ? a ? c (

1 f log 2 2 , b ? ? ln2? f ? ln2? , c ? 2 f ? ?2? , 2

?

?

C. c ? a ? b 作斜率大于 , 若

D. a ? c ? b 的直线 交抛物线于 , 则 C. ( , )

)的焦点

的上方) , 且 与准线交于点 B.

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) , O 为坐标原点,点 M , N 是双曲线 C 上异 a 2 b2

于顶点的关于原点对称的两点, P 是双曲线 C 上任意一点, PM , PN 的斜率都存在,则

kPM · kPN 的值为(
A.



a2 b2

B.

b2 a2

C.

b2 c2

D. 以上答案都不对 二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 命 题 “ ?x ? R ,ax 2 ? 2ax ? 3 ? 0 恒 成 立 ” 是 真 命 题 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 .

14.已知定义在 R 上的奇函数 f(x),当 x≥0 时,f(x)=log3(x+1).若关于 x 的不等式 f[x2 +a(a+2)]≤f(2ax+2x)的解集为 A, 函数 f(x)在[-8, 8]上的值域为 B, 若“x∈A”是“x ∈B”的充分不必要条件,则实数 a 的取值范围是 15.在平面直角坐标系中, 动点 两定点 为 满足 、 ,使得 为坐标原点, ,直线 、 与直线 是双曲线 . 上的两个动点,

斜率之积为 2,已知平面内存在

为定值,则该定值

16.已知双曲线 的方程为

的离心率为 2,焦点与椭圆

的焦点相同,那么双曲线

三、解答题(共 6 小题,共 70 分) 17. ( 12 分 ) 已 知 函 数 f

? x? ?

1 3 x ? ax ? , b 在 点 M ?1 , f 3

?1 ?? 处 的 切 线 方 程 为

9 x ? 3 y ? 10 ? 0 ,求(1)实数 a , b 的值;(2)函数 f ? x ? 的单调区间以及在区间 ?0,3? 上
的最值. 18. (12 分)如图,已知抛物线 条切线 ,切点分别为 . ,过直线 上任一点 作抛物线的两

(I)求证: (II)求

; 面积的最小值.

19. (12 分)已知双曲线 C: 2 ? (1)求双曲线 C 的方程;

x2 a

y2 ? 1 的离心率为 3 ,实轴长为 2. b2

(2)若直线 y=x+m 被双曲线 C 截得的弦长为 4 2 ,求实数 m 的值. 20.(10 分)已知 p : ?x2 ? 8x ? 20 ? 0, q : x 2 ? 2 x ?1 ? m2 ? 0( m ? 0) . (1)若 p 是 q 充分不必要条件,求实数 m 的取值范围; (2)若“ p ”是“ q ”的充分不必要条件,求实数 m 的取值范围. 21. (12 分)已知椭圆 为 ,经过点 且倾斜角为 的左、右焦点分别为 的直线 交椭圆于 两点. ,离心率
? ?

(1)若 (2)若

的周长为 16,求直线 的方程; ,求椭圆 的方程.

22. (12 分)已知函数 f ? x ? ?

1 ? alnx ( a ? R ). x

(Ⅰ)若 h ? x ? ? f ? x ? ? 2x ,当 a ? ?3 时,求 h ? x ? 的单调递减区间; (Ⅱ)若函数 f ? x ? 有唯一的零点,求实数 a 的取值范围.

参考答案 题号 答案 1 B 2 A 3 D 4 C 5 B 6 B 15. 7 D 8 C 16. 9 C 10 A 11 A 12 B

13. 0 ? a ? 3

14.[-2,0]

17.(1) a ? 4, b ? 4 (2) f ? x ?min ? f ? 2 ? ? ?

4 3

【解析】(1)由题已知点 M 1, f ?1? 处的切线方程 9 x ? 3 y ? 10 ? 0 ,可获得两个条件; 即:点 M ? 1, ?

?

?

? 1? ? 3?

再函数的图像上,令点 M 处的导数为切线斜率。可得两个方程,求出 a , b 的值 (2)由(1)已知函数的解析式,可运用导数求出函数的单调区间和最值。即:

f ? ? x ? ? 0 为函数的增区间,反之为减区间。最值需求出极值与区间端点值比较而得。
试题解析:(1)因为在点 M 1, f ?1? 处的切线方程为 9 x ? 3 y ? 10 ? 0 ,所以切线斜率是

?

?

k ? ?3 ,
且 9 ?1 ? 3 f ?1? ?10 ? 0 ,求得 f ?1? ? 又函数 f ? x ? ?

1 ? 1? ,即点 M ? 1, ? , 3 ? 3?

1 3 x ? ax ? b ,则 f ? ? x ? ? x2 ? a 3

f ? ?1? ? 1 ? a ? ?3 a?4 所以依题意得 { 1 1 ,解得 { b?4 f ?1? ? ? a ? b ? 3 3
(2)由(1)知 f ? x ? ? 令

1 3 x ? 4 x ? 4 ,所以 f ? ? x ? ? x2 ? 4 ? ? x ? 2?? x ? 2? 3

f ? ? x ? ? 0 , 解 得 x ? 2或x ? ?2 , 当 f ? ? ? x? 0 ? x 或 ? 2 ? ?x 2 ; 当 ? x 2?

f ?? ? x? 0 ? 2 ?

所以函数 f ? x ? 的单调递增区间是 ? ??, 2? , ? 2, ??? ,单调递减区间是 ? ?2, 2 ? 又 x ? 0,3 ,所以当 x 变化时,f(x)和 f′(x)变化情况如下表: X f′(x) 0 (0,2) 2 0 极小值 ? (2,3) + 3 0

? ?

f(x)

4



4 3



1

所以当 x ? 0,3 时, f ? x ?max ? f ? 0? ? 4 , f ? x ?min ? f ? 2 ? ? ? 18.解:(I)设 过点 的切线方程为 , 的斜率分别为

? ?

4 3



,得

所以 (II)由(I)得

所以 ,

所以

综上,当

时,

面积取最小值

.

19.(1) x 2 ?

y2 ? 1 (2) m ? ?1 2

【解析】(1)由题意,解得 a ? 1, c ? 3 ,∴ b2 ? c 2 ? a 2 ? 2 ,∴所求双曲线 C 的方程为

x2 ?

y2 ? 1. 2

y ? x?m
(2) {

? x 2 ? 2mx ? m2 ? 2 ? 0 ,由弦长公式得 y2 x ? ?1 2
2

. 20.(1) m ? 9 ;(2) 0 ? m ? 3 .

【解析】 P : ?2 ? x ? 10 , Q : 1 ? m ? x ? 1 ? m ⑴∵ P 是 Q 的充分不必要条件, ∴ ?2,10 是 1 ? m,1 ? m 的真子集.

?

? ?

?

m ? 0, ?{1 ? m ? ?2, ? m ? 9 . 1 ? m ? 10,
∴实数 m 的取值范围为 . 6分

⑵∵“非 P ”是“非 Q ”的充分不必要条件, ∴ Q 是 P 的充分不必要条件.

m ? 0, ?{1 ? m ? ?2, 1 ? m ? 10,
∴实数 m 的取值范围为 21. 解:(1)由题设得 又 ∴ 得 ∴ ,得 , 消去 且 , , . ,得 ,则 椭圆 C: . 12 分

?0 ? m ? 3 .

(2)解:由题设得 又有 联立 则 ∴ 解得 , 设

从而得所求椭圆 C 的方程为

22.(1) ? 0,

? ?

1? ? 和 ?1, ?? ? (2) ??e? ? ? 0, ??? 2?

【解析】(1) h ? x ? 定义域为 ? 0, ??? ,

h? ? x ? ? ?

? 2 x ? 1?? x ? 1? 1 3 2 x 2 ? 3x ? 1 ? ? 2 ? ? ?? 2 2 x x x x2

? 1? ? h ? x ? 的单调递减区间是 ? 0, ? 和 ?1, ?? ? . ? 2?

1 有唯一的实根 x 1 显然 a ? 0 ,则关于 x 的方程 xlnx ? 有唯一的实根 a
(2)问题等价于 alnx ? 构造函数 ? ? x ? ? xlnx, 则 ?? ? x ? ? 1 ? lnx, 由 ?? ? x ? ? 1 ? lnx ? 0, 得 x ? e?1 当 0 ? x ? e?1 时,
?1

单调递减

当 x ? e 时,?? ? x ? ? 0,? ? x ? 单调递增
?1 ?1 所以 ? ? x ? 的极小值为 ? e ? ?e

? ?

1 的唯一的实根, a 1 1 1 ?1 只需直线 y ? 与曲线 y ? ? ? x ? 有唯一的交点,则 ? ?e 或 ? 0 a a a
如图,作出函数 ? ? x ? 的大致图像,则要使方程 xlnx ? 解得 a ? ?e或a ? 0 故实数 a 的取值范围是


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