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导数知识点归纳和练习


一、相关概念
1.导数的概念: f(x 0 )= lim 注意: (1)函数 f(x)在点 x 0 处可导,是指 ?x ? 0 时, 就说函数在点 x 0 处不可导,或说无导数。 (2) ?x 是自变量 x 在 x 0 处的改变量, ?x ? 0 时,而 ?y 是函数值的改变量,可以是零。 2.导数的几何意义 函数 y=f(x)在点 x 0 处的导数的几何意义是曲线 y=f(x)在点 p(x 0 ,f(x 0 ) )处的切 线的斜率。也就是说,曲线 y=f(x)在点 p(x 0 ,f(x 0 ) )处的切线的斜率是 f’(x 0 ) 。 相应地,切线方程为 y-y 0 =f (x 0 ) (x-x 0 ) 。 3.导数的物理意义 若物体运动的规律是 s=s(t) ,那么该物体在时刻 t 的瞬间速度 v= s ? (t) 。 若物体运动的速度随时间的变化的规律是 v=v(t) ,则该物体在时刻 t 的加速度 a=v′(t) 。
/

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y = lim 。 ? x ? 0 ?x ?x
?y ?y 有极限。如果 不存在极限, ?x ?x

二、导数的运算
1.基本函数的导数公式: ① C ? ? 0; (C 为常数) ② xn

? ?? ? nx
x x

n ?1

;

③ (sin x)? ? cos x ; ④ (cos x)? ? ? sin x ; ⑤ (e )? ? e ; ⑥ (a )? ? a ln a ;
x x

⑦ ? ln x ?? ?

1 ; x
1 log a e . x

⑧ ? l o g a x ?? ?

2.导数的运算法则 法则 1:两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差),

即: ( u ? v) ' ? u ' ? v ' . 法则 2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数,即: (uv) ' ? u ' v ? uv' . 法则 3:两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,

? u ' v ? uv ' ?u? 再除以分母的平方: ? ? ? (v ? 0) 。 v2 ?v?
3.复合函数的导数 形如 y=f ?? ( x ) ? 的函数称为复合函数。复合函数求导步骤: 分解——>求导——>回代。 法则:y'| X = y'| U ·u'| X 或者 f ?[? ( x)] ? f ?( ? )*? ?( x) .

三、导数的应用
1.函数的单调性与导数 (1)设函数 y ? f ( x) 在某个区间(a,b)可导,如果 f ' ( x ) ? 0 ,则 f ( x) 在此区间上为 增函数;如果 f ' ( x) ? 0 ,则 f ( x) 在此区间上为减函数。 (2)如果在某区间内恒有 f ' ( x) ? 0 ,则 f ( x) 为常数。 2.极点与极值: 曲线在极值点处切线的斜率为 0,极值点处的导数为 0;曲线在极大值点左侧切线的斜 率为正,右侧为负;曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正; 3.最值: 在区间[a,b]上连续的函数 f ( x ) 在[a,b]上必有最大值与最小值。但在开区间(a,b)内 连续函数 f(x)不一定有最大值,例如 f ( x) ? x , x ? (?1,1) 。
3

(1)函数的最大值和最小值是一个整体性的概念,最大值必须是整个区间上所有函数值中 的最大值,最小值必须在整个区间上所有函数值中的最小值。 (2)函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的,函数的极值是比较极 值点附件的函数值得出来的。函数的极值可以有多有少,但最值只有一个,极值只能在区 间内取得,最值则可以在端点取得,有极值的未必有最值,有最值的未必有极值,极值可 能成为最值,最值只要不在端点处必定是极值。

四、定积分
1.概念 设函数 f(x)在区间[a,b]上连续,用分点 a=x0<x1<…<xi-1<xi<…xn=b 把区间[a,b] 等分成 n 个小区间,在每个小区间[xi-1,xi]上取任一点ξ i(i=1,2,…n)作和式 In

= i=1

?f

n

(ξ i)△x(其中△x 为小区间长度) ,把 n→∞即△x→0 时,和式 In 的极限叫做函

数 f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作:

?

b

a

f ( x)dx

,即

?

b

a

f ( x)dx



lim ? f
n ?? i ?1

n

(ξ i)△x。

这里,a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限,区间[a,b]叫做积分区间,函数 f(x)叫做被 积函数,x 叫做积分变量,f(x)dx 叫做被积式。

基本的积分公式:
x

? 0dx

=C;
x

m ? x dx

1 1 x m ?1 ? x = m ?1 +C(m∈Q, m≠-1) ; x dx=ln

ax e dx e x a dx ln a cos xdx sin xdx +C; ? = +C; ? = +C; ? =sinx+C; ? =-cosx+C
(表中 C 均为常数) 。 2.定积分的性质 ① ② ③

?

b

a
b

kf ( x)dx ? k ? f ( x)dx
a
b a

b

(k 为常数) ;
b a

? ?

a b

f ( x) ? g ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? g ( x)dx f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx
a c c b



a

(其中 a<c<b ) 。

3.定积分求曲边梯形面积 由三条直线 x=a,x=b(a<b) ,x 轴及一条曲线 y=f(x)(f(x)≥0)围成的曲边梯的面积

S ? ? f ( x)dx
a

b



如果图形由曲线 y1=f1(x),y2=f2(x)(不妨设 f1(x)≥f2(x)≥0) ,及直线 x=a,x=b ( a<b ) 围 成 , 那 么 所 求 图 形 的 面 积 S = S 曲 边 梯 形 AMNB - S 曲 边 梯 形 DMNC =

?

b

a

f1 ( x)dx ? ? f 2 ( x)dx
a

b



4.牛顿——布莱尼茨公式 如果 f(x)是区间[a,b]上的连续函数, 并且 F (x)=f(x),则


?

b

a

f ( x )dx ? F( b) ? F(a )

【练习题】
题型 1:导数的基本运算
2 【例1】 (1)求 y ? x ( x ?

1 1 ? ) 的导数; x x3

(2)求 y ? ( x ? 1)( (3)求 y ? x ? sin

1 x

? 1) 的导数;

x x cos 的导数; 2 2

x2 (4)求 y= 的导数; sin x
(5)求 y=

3x 2 ? x x ? 5 x ? 9 x

的导数。

3 解析: (1)? y ? x ? 1 ?

1 2 ' 2 ,? y ? 3 x ? 3 . 2 x x

(2)先化简, y ?
1 '

x?
3

1

1 ? 1 ? ?y ?? x 2 ? x 2 2 2

?1 ? ?x ? x x ?1 ? 1 ? ? ?1 ? ?. 2 x ? x? x

? x?

1

1 2

?

1 2

(3)先使用三角公式进行化简.

x x 1 y ? x ? sin cos ? x ? sin x 2 2 2

1 1 1 ? ? ? y ' ? ? x ? sin x ? ? x ' ? (sin x) ' ? 1 ? cos x. 2 2 2 ? ?
( x 2 )'sin x ? x 2 * (sin x)' 2 x sin x ? x 2 cos x (4)y’= = ; sin 2 x sin 2 x
(5)? y= 3 x -x+5- 9 x
3 2
3 2 ? 1 2

'

? 3 1 '- x '+5'-9 ( x ) '=3 * x 2 -1+0-9 *(- ) x 2 = ? y’ =3 *( x ) 2 2

1 2

1

3

9 1 x (1 ? 2 ) ? 1 。 2 x
题型 2:导数的几何意义 【例2】 已经曲线 C:y=x3-x+2 和点 A(1,2)。 (1)求在点 A 处的切线方程?(2)求过点 A 的切线方程?(3)若曲线上一点 Q 处的切线恰好平行于直线 y=11x-1,则 Q 点坐标为 ____________,切线方程为_____________________

思考:导数不存在时,切线方程为什么? 【例3】 (06 安徽卷)若曲线 y ? x 的一条切线 l 与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直,则 l 的方
4

程为( A. 4 x ? y ? 3 ? 0

) B. x ? 4 y ? 5 ? 0 C. 4 x ? y ? 3 ? 0 D. x ? 4 y ? 3 ? 0

【例4】 (06 全国 II)过点(-1,0)作抛物线 y ? x2 ? x ? 1 的切线,则其中一条切线为 ( )

(A) 2 x ? y ? 2 ? 0 (B) 3x ? y ? 3 ? 0 (C) x ? y ? 1 ? 0 (D) x ? y ? 1 ? 0 解析: (1)与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直的直线 l 为 4 x ? y ? m ? 0 ,即 y ? x4 在某一点的导 数为 4,而 y? ? 4 x3 ,所以 y ? x4 在(1,1)处导数为 4,此点的切线为 4 x ? y ? 3 ? 0 ,故 选 A;
2 (2) y? ? 2 x ? 1 ,设切点坐标为 ( x0 , y0 ) ,则切线的斜率为 2 x0 ? 1 ,且 y0 ? x0 ? x0 ?1 ,

于是切线方程为 y ? x0 ? x0 ?1 ? (2x0 ? 1)( x ? x0 ) ,因为点(- 1,0 )在切线上,可解得
2

x0 =0 或-4,代入可验正 D 正确,选 D。
题型 3:借助导数处理单调性、极值和最值 【例5】 (06 江西卷)对于 R 上可导的任意函数 f(x) ,若满足(x-1) f ?(x) ?0,则必 有( ) A.f(0)+f(2)?2f(1) C.f(0)+f(2)?2f(1) B. f(0)+f(2)?2f(1) D. f(0)+f(2)?2f(1)

【例6】 (06 天津卷)函数 f ( x) 的定义域为开区间 ( a, b) ,导函数 f ?( x) 在 ( a, b) 内的图 象如图所示,则函数 f ( x) 在开区间 ( a, b) 内有极小值点( A.1 个 B.2 个 C.3 个 D. 4 个 )

【例7】 (06 全国卷 I)已知函数 f ? x ? ?

1 ? x ? ax e 。 (Ⅰ)设 a ? 0 ,讨论 y ? f ? x ? 的单 1? x

调性; (Ⅱ)若对任意 x ? ? 0,1? 恒有 f ? x ? ? 1 ,求 a 的取值范围。

解析: (1)依题意,当 x?1 时,f?(x)?0,函数 f(x)在(1,+?)上是增函数;当 x?1 时,f?(x)?0,f(x)在(-?,1)上是减函数,故 f(x)当 x=1 时取得最小值,即 有 f(0)?f(1) ,f(2)?f(1) ,故选 C; (2)函数 f ( x) 的定义域为开区间 ( a, b) ,导函数 f ?( x) 在 ( a, b) 内的图象如图所示, 函数 f ( x) 在开区间 ( a, b) 内有极小值的点即函数由减函数变为增函数的点,其导数值为由 负到正的点,只有 1 个,选 A。 (3) :(Ⅰ)f(x)的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞).对 f(x)求导数得 f '(x)= ax2+2-a -ax e 。 (1-x)2

(ⅰ)当 a=2 时, f '(x)=

2x2 - e 2x, f '(x)在(-∞,0), (0,1)和(1,+ ∞)均大于 0, 所以 f(x)在 (1-x)2

(-∞,1), (1,+∞).为增函数; (ⅱ)当 0<a<2 时, f '(x)>0, f(x)在(-∞,1), (1,+∞)为增函数.; a-2 (ⅲ)当 a>2 时, 0< <1, 令 f '(x)=0 ,解得 x1= - a 当 x 变化时, f '(x)和 f(x)的变化情况如下表: x (-∞, - + ↗ f(x)在(-∞, - 函数。 a-2 ), ( a a-2 ) a (- a-2 , a - ↘ a-2 ) a ( a-2 ,1) a + ↗ (1,+∞) a-2 , x2= a a-2 ; a

f '(x) f(x)

+ ↗ a-2 , a a-2 )为减 a

a-2 ,1), (1,+∞)为增函数, f(x)在(- a

(Ⅱ)(ⅰ)当 0<a≤2 时, 由(Ⅰ)知: 对任意 x∈(0,1)恒有 f(x)>f(0)=1; 1 2 a-2 ∈(0,1),则由(Ⅰ)知 f(x0)<f(0)=1; a

(ⅱ)当 a>2 时, 取 x0=

1+x - (ⅲ)当 a≤0 时, 对任意 x∈(0,1),恒有 >1 且 e ax≥1, 1-x 1+x -ax 1+x e ≥ >1. 综上当且仅当 a∈(-∞,2]时,对任意 x∈(0,1)恒有 f(x)>1。 1-x 1-x

得:f(x)=

【例8】 (06 浙江卷) f ( x) ? x3 ? 3x2 ? 2 在区间 ??1,1? 上的最大值是( ) (A)-2 (B)0 (C)2 (D)4

【例9】 (06 山东卷)设函数 f(x)= 2 x3 ? 3(a ?1) x2 ? 1, 其中a ? 1. (Ⅰ)求 f(x)的单调区 间; (Ⅱ)讨论 f(x)的极值。

解析: (1) f ?( x) ? 3x2 ? 6x ? 3x( x ? 2) ,令 f ?( x) ? 0 可得 x=0 或 2(2 舍去) ,当 -1?x?0 时, f ?( x ) ?0,当 0?x?1 时, f ?( x ) ?0,所以当 x=0 时,f(x)取得最大值为 2。 选 C; (2)由已知得 f ( x) ? 6x ? x ? (a ?1)? ,令 f ' ( x) ? 0 ,解得 x1 ? 0, x2 ? a ? 1。
'

(Ⅰ)当 a ? 1 时, f ' ( x) ? 6 x2 , f ( x ) 在 (??, ??) 上单调递增;
' ' 当 a ? 1 时, f ( x ) ? 6 x ? ? x ? ? a ? 1? ? ? , f ( x), f ( x) 随 x 的变化情况如下表:

x f ( x)
'

(??, 0)
+

0 0 极大值

(0, a ? 1)

a ?1
0 极小值

(a ? 1, ??)

?
?

?
?

f ( x)

?

从 上 表 可 知 , 函 数 f ( x ) 在 ( ??, 0) 上 单 调 递 增 ; 在 ( 0 ,a ? 1) 上单调递减;在 上单调递增。 (a ? 1,? ? ) (Ⅱ)由(Ⅰ)知,当 a ? 1 时,函数 f ( x ) 没有极值;当 a ? 1 时,函数 f ( x ) 在

x ? 0 处取得极大值,在 x ? a ? 1 处取得极小值 1 ? (a ?1)3 。


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