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冲刺60天2012年高考文科数学解题策略 专题七 选择填空题解题策略第二节 选择题的解题策略(2)


【解法五】

图解法:

据题设条件作出研究问题的曲线或有关图形, 借助几何图形的直观性作出正确判断. 习惯上也叫数 形结合法. 例1 设函数 f ( x) ? 4sin(2 x ? 1) ? x ,则在下列区间中函数 f ( x ) 不 存在 . ) B. ? ?2,0? D. ? 2,4 ? 转 图 关

零点的是(

A. ??4, ?2?
C. ?0, 2?

点拨:此题考查函数零点问题,可 化为两个熟悉函数的交点问题 . 画 时应注意两个函数在与选项有关的 键点(如分界点)的函数值大小关 系. 解:将 f ?x ? 的零点转化为函数 g ?x ? ? 4 sin ?2 x ? 1?与h?x ? ? x 的交点,数形结合,答案选 A. 易错点:图像不准确,忽略关键点,易解错.

例 2 (2011 高考江西卷理)若曲线 C1 : x 2 ? y 2 ? 2 x ? 0 与曲线 C2 : y( y ? mx ? m) ? 0 有 4 个不同 的交点,则实数 m 的取值范围是( A. (? ) B. (?

3 3 , ) 3 3 3 3 , ] 3 3

3 3 ,0) ? (0, ) 3 3 3 3 ) ? ( ,??) 3 3
y

C.

[?

D. (??,?

点拨: 此题考查直线与曲线的公共点问题,应利用数形结合的 思想进行求解. 曲线 C1 : ( x ? 1) ? y ? 1,图像为圆心为(1,0) ,半径为 1
2 2

l1

的 圆 ; 曲 线 C2 : y ? 0 , 或 者 y ? mx ? m ? 0 , 直 线

?1

O

1

x

y ? mx ? m ? 0 恒过定点 (?1,0) ,即曲线 C2 图像为 x 轴与恒过
定点 (?1,0) 的两条直线。作图分析:

l2

k1 ? tan30? ?

3 3 , k 2 ? ? tan30? ? ? ,又直线 l1 (或直线 l 2 ) 、 x 轴与圆共有四个不同的交点, 3 3 3 3 ,0) ? (0, ) 3 3

结合图形可知 m ? k ? (?

易错点: (1)忽略曲线方程 C2 : y( y ? mx ? m) ? 0 表示的是两条直线(2)求直线与曲线相切时 m 的 值时不结合图像取值导致错误. 例 3 直线 y ?

? 3 ? x ? 3 ? 3 cos ? ,(? ?[0, 2? )) x ? 2 与圆心为 D 的圆 ? 3 y ? 1 ? 3 sin ? ? ?


交于 A、B 两点,则直线 AD 与 BD 的倾斜角之和为 (

A.

7 ? 6

B.

5 ? 4

C.

4 ? 3

D.

5 ? 3
?
6
,? ?

点拨:此题是直线与圆的综合题,考查圆的参数方程,直线的倾斜角及圆的性质,应用图解. 解:数形结合,设直线 AD 与 BD 的倾斜角分别为 ? , ? ,则 ? ? ?EAD ? 的性质可知

?
6

? ?ABD ,由圆

?ABD ? ?BAD ,故

? ? ? ? ?EAD ?

?
6

?

?
6

? ?ABD ?? ?

? ? ?EAD ? ?ABD ? ?
以答案选 C.

?
3

?
3

?

4 ? . 3



易错点:考虑代数解法,利用圆的方程和直 方程进行求解,过程复杂,计算困难导致错 误.

线

点评:严格地说,图解法并非属于选择题解题思路范畴,而是一种数形结合的解题策略. 但它在解 有关选择题时非常简便有效.不过运用图解法解题一定要对有关函数图像,方城曲线,几何图形较熟悉, 否则错误的图像会导致错误的选择.

【解法六】

分析法:

(1) 特征分析法:根据题目所提供的信息,如数值特征、结构特征、位置特征等,进行快速推理,迅 速作出判断的方法. 例 4 已知 sin ? ?

? m?3 4 ? 2m ? , cos ? ? ( ? ? ? ? ) ,则 tan 等于( 2 m?5 m?5 2
B.

)

A.

m?3 9?m

m?3 9?m

C.

1 3

D. 5

点拨:此题考查同角三角函数关系及半角公式,可先利用同角正余弦平方和为 1 求 m 的值,再根据半角

公式求 tan

? ,运算较复杂,试根据答案数值特征分析. 2
2 2

解:由于受条件 sin ? ? cos ? ? 1 的制约, m 为一确定的值,进而推知 tan

?
2

? ? ? ? ,因而
2

?
4

?

?
2

?
2

?
2

,故 tan

?
2

? 也为一确定的值,又 2

? 1 ,所以答案选 D.

易错点:忽略 sin ? ? cos ? ? 1 , m 为一确定的值导致结果与 m 有关. (2) 逻辑分析法:通过对四个选项之间的逻辑关系的分析,达到否定谬误项,选出正确项的方法. 例 5 当 x ? [?4, 0] 时, a ? ? x 2 ? 4 x ?

4 x ? 1 恒成立,则 a 的一个可能值是( 3



A. 5

B. 5

3

C. ? 5

D.-5

3

点拨:此题是有关不等式恒成立的问题,可运用数形结合的思想进行求解,较复杂. 解:由 ?x2 ? 4x ? 0 知 A 真 ? B 真 ? C 真 ? D 真,假设 A,B,C 真,则均有两个以上正确答案,所以根 据选择题答案唯一的特点,答案选 D. 也可利用数形结合思想求解. 易错点:忽略不等式的特点,平方转化为二次不等式,导致错误. (3) 定性分析法:通过题干中已知条件对结论进行定性分析,再通过与选项的对比得出结论.

【解法七】估值法:
对于选项是数值的选择题,可以通过估计所要计算值的范围来确定唯一的正确选项. 例 6 若 cos a ? ? 则 sin( a ?

?

4 , a 是第三象限的角, 5

4
B.

) =(



A. ?

7 2 10

7 2 10

C. ?

2 10

D.

2 10
据角的

点拨:此题考查同角三角函数关系及两角和公式,可根 范围先求出 a 的正弦值,再根据两角和公式求

sin( a ?

?

4

).

解:根据单位圆估算 sin(a ?

?
4

)? ?

2 , 所以答案选 2

A.

易错点:忽略角的范围,求正弦值得出两个答案,以致思路受阻. 例 7 据 2002 年 3 月 5 日第九届全国人大五次会议《政府工作报告》 : “2001 年国内生产总值达到 95933 亿元,比上年增长 7. 3%. 如果“十五”期间(2001-2005 年)每年的国内生产总值都按此年增长率 增长,那么到“十五”末我国国内年生产总值约为( ) A.115000 亿元 B. 120000 亿元 C. 127000 亿元 D. 135000 亿元 点拨:此题考查等比数列在实际生活中的应用,容易列式,但结果的数值难算,应进行估算. 解: 95933(1 ? 7.3%) ? 96000(1 ? 7.3%) ? 96000(1? 4 ? 7.3%) ? 96000 ?1.3
4 4

? 124800 且 95933(1 ? 7.3%)4 ? 95000(1 ? 7%)4 ? 95000(1? 4 ? 7%) ? 95000 ?1.28 ? 121600
所以答案选 C. 易错点:没有想清楚 2005 年生产总值是以 95933 为首项,(1 ? 7.3%) 为公比的等比数列的第五项,错列 式 95933(1 ? 7.3%)5 导致错误. 例 8 已知过球面上 A, B, C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半,且 AB ? BC ? CA ? 2 ,则球 面面积是( ) B.

A.

16 ? 9

8 ? 3

C. 4?

D.

64 ? 9

点拨:此题考查球的性质及球面面积公式,可先求截面圆半径,结合球心到截面的距离,利用勾股定理 求出球半径,再求球面面积. 解:球的半径 R 不小于△ ABC 的外接圆半径 r ? 选 D. 点评:估值法,省去了很多推导过程和比较复杂的计算,节省了时间,从而显得快捷. 其应用广泛, 减少了运算量,却加强了思维的层次,是人们发现问题、研究问题、解决问题的一种重要方法.

16 2 3 2 2 ? ? 5? ,所以答案 ,则 S球 =4? R ? 4? r ? 3 3

【解法八】逆推法:
假设选项正确,以部分条件作为已知条件进行推理,看是否能推出与已知条件矛盾的结论,从而找 出正确答案. 例 9 用 min{a, b} 表示 a , b 两数中的最小值. 若函数 f ( x) ? min{ x , x ? t } 的图像关于直线 x ? ?

1 对 2

称,则 t 的值为( ). A. ? 2 B. 2 C. ?1 D. 1 点拨:此题考查对新定义符号的理解及图像的对称性,应考虑画图像,由于 t 的值未知,图像不容易确 定,所以从选项假设出发. 解:根据图像, t ? ?2 时,函数 f ( x ) 的图像关于直线 x ? 1 对称, t ? 2 时,函数 f ( x ) 的图像关于直 线 x ? ?1 对称, t ? ?1 时,函数 f ( x ) 的图像关于直线 x ?

1 对称,所以答案选 D. 2

例 10 在 ABC 中,?A, ?B, ?C 所对的边分别为 a, b, c , 若 sin C ? A.等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 点拨:此题考查解三角形,条件比较难转化,考虑从选项出发.

sin A ? sin B , 则 ABC 是 ( cos A ? cos B
D. 锐角三角形



解:等边三角形是等腰三角形和锐角三角形的特殊情况,故先假设选项 B 正确.此时 A ? B ? C ? 60 ,

3 3 ? 3 sin A ? sin B 2 ? 3 ,不满足题目条件,所以 A, B,C 均不满足题意,故答 , sin C ? ? 2 1 1 2 cos A ? cos B ? 2 2
案选 C. 易错点:利用正弦定理边化角及三角函数和差化积直接求解, 忽略三角形内角和 180 . 例 11 平行四边形的周长等于 26m, ?ABC ? 120 , BCD 的内切圆半径等于 3m ,已知 AD ? AB , 则它的边长是( ). B. AD ? 8m, AB ? 5m D. AD ? 9m, AB ? 4m

A. AD ? 5m, AB ? 8m
C. AD ?

26 13 m, AB ? m 3 3

点拨:此题考查解三角形问题,条件多而复杂,考虑从选项出发. 解: AD ? AB ,显然 A 选项不符合. 以“周长等于

A

D

26m, ?ABC ? 120 ”为条件,假设选项 B 正确,即
AD ? 8m, AB ? 5m ,则在 BCD 中,
B C

BC ? 8m, CD ? 5m, ?C ? 60 ,根据余弦定理可求得 BD ? 7 ,从而 BCD 的内切圆半径
1 ? 5 ? 8 ? sin 60 10 3 r? 2 ? ? 3 ,恰好符合条件,所以答案选 B. 1 10 ? (5 ? 7 ? 8) 2
点评:逆推法常用于由题干条件直接推导结论较复杂的选择题,逆向思维,常结合逻辑法,排除法进 行运用,是只适用于选择题的特殊方法. 与验证法不同的是它需要推理,且由条件得出的答案唯一. 从考试的角度来看,解选择题只要选对就行,至于用什么“策略” 、 “手段”都是无关紧要的,但平 时做题时要尽量弄清每一个选项正确的理由与错误的原因. 另外,在解答一道选择题时,往往需要同时 采用几种方法进行分析、推理,只有这样,才会在高考时充分利用题目自身提供的信息,化常规为特殊, 避免小题大作,真正做到准确,快速. 总之,解答选择题既要看到各类常规题的解题思想,但更应该充分挖掘题目的“个性” ,寻求简便方 法,充分利用选项的暗示作用,迅速地作出正确的选择. 这样不但可以迅速、准确地获取正确答案,还 可以提高解题速度,为后续解题节省时间.

习题 7-2
1. 若 a?0,b?0,则不等式 ?b ?

1 ? a 等价于( x



1 1 ? x ? 0 或0 ? x ? b a 1 1 C. x ? ? 或 x ? a b
A. ? 2.已知以 T ? 4 为周期的函数 f ( x) ? ? 数解,则 m 的取值范围为( )

B. ?

1 1 ?x? a b 1 1 D. x ? ? 或 x ? b a

? ?m 1 ? x 2 , x ? (?1,1] ,其中 m ? 0 .若方程 3 f ( x) ? x 恰有 5 个实 1 ? x ? 2 , x ? (1,3] ? ?
4 8 3 3 4 3

A. (

15 8 , ) 3 3

B. (

15 , 7) 3

C. ( , )

D. ( , 7)

3. 如图,在多面体 ABCDEF 中,已知面 ABCD 是 边长为 3 的正方形, EF ∥ AB , EF ? 的距离为 2 ,则该多面体的体积为( A.

3 , EF 与面 AC 2


E D A

F

9 2

B. 5

C. 6

D.

15 2


C B

4. 已知 sin x ? cos x ? A. ?

4 3

1 ,且 0 ? x ? ? ,则 tan x 的值是( 5 3 4 3 B. ? C. D. 4 3 4

5. 如 图 ,在 Δ ABC 中, AD ? AB , BC ? 3 BD , AD ? 1 , 则

A

AC ? AD=(
A. 2 3



B

D

C

B.

3 2

C.

3 3

D. 3

6.将正奇数 1,3,5, 7,9, ??? ,排成 5 列,按右图的格式排下去, 在的列从左数起是( ) A.第一列 B. 第二列 C. 第三列 D. 第四列

1 3 15 13 11 17 19

5 9

7

1985 所

21 23

2 7. 如果 log a ? 1 ,那么 a 的取值范围是( ) 3 2 2 A. 0 ? a ? B. a ? 3 3 2 2 ? a ?1 C. D. 0 ? a ? 或a ? 1 3 3

31 29 27 25 33 35 37 39 ... ... ... ...

【答案】

习题 7-2

1. D. 提示: (特例法)可令 a ? 1, b ? ? ,x ? 2 ,代入知 D 为真. 也可解不等式直接判断. 2.B. 提示: (图解法)直线 y ?

1 2

x 与 y ? f ( x) 图像要有五个交点时须保证直线与函数在 [3,5] 上的图像(半椭 3

圆)有两个交点,与 [7,9] 上的图像没有交点,相切是临界位置.

3. D. 提示:法一:(直接法)将几何体分割成一个三棱柱和一个四棱锥. 法 二: (估 值法) 由已知条 件可 知, EF ∥ 平面 ABCD , 则 F 到 平面 ABCD 的 距离 为 2 ,所 以

1 VF ? ABCD ? ? 32 ? 2 ? 6 ,而多面体的体积必大于 6,故选择 D. 3
4. A. 提示: (逆推法)假设 tan x ? ?

4 4 3 ,且 0 ? x ? ? ,易得 sin x ? , cos x ? ? ,满足题意.也可将等式两 3 5 5

边平方得到 sin x ? cos x ,联立方程求出 sin x, cos x ,进而求出 tan x . 5. D. 提示:(图解法)本题主要考查平面向量、解三角形等基础知识,考查化 归与转化的数学思想,有点难度.作 CE 垂直 AD 的延长线于 E,则 CE∥AB,利用平面几何知识进行求解.

A

AC ? AD = | AD | ?(| AC | ? cos ?DAC) ? | AD | ? | AE | ,


B

D E

C

| AE | | BC | ? ? 3 ,即 AC ? AD ? 3 | AD |2 = 3 . | AD | | BD |

也可将 AC 转化. 6.C.

提示:(特征分析法)第一列数被 16 除余 15,第二列数被 16 除余 1 或 13,第三列数被 16 除余 3 或 11, 第四列数被 16 除余 5 或 9, ,第五列数被 16 除余 7.也可直接找规律. 7.D. 提示:(逆推法)


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