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2[1].2.1向量的线性运算


思考:
从景点O到景点A的位移为OA,从景 点A到景点B的位移为AB,。那么经过 这两次位移后,她们的合位移是OB。

问题:
向量OA,AB,OB三者 之间有什么样的关系呢? B

O

OA+AB=OB A

§2.2.1

向量的加法

向量的加法的概念
求两个向量和的运算叫做向量的加法。
已知向量a和b, 在平面内任取一点O, 则向量OB叫做a与b的和, 作OA=a,AB=b, 记作a+b。 a O a 即: b A

.

a+b=OA+AB=OB

B “三角形法则”
1

b

向量加法的三角形法则
(1)平面内任取一点O; (2)以O为起点,作出第一个向量;

(3)以第一个向量的终点为起点,作出第二个向量;
(4)由O指向第二个向量的终点的向量,即为所求。

a

b

A

a b

.O
B
2

a+b=OA+AB=OB

向量加法的三角形法则
特别地:
(1)对于零向量和任一向量a,有

a+0= 0+a=a
(2)对于相反向量,有 a + (-a) = (-a) + a = 0
思考:三角形ABC中,AB+BC+CA=____ 0 化简:(PQ+OM)+(QO+MQ)=____ PQ 3

向量加法的平行四边形法则
(1)平面内任取一点O; (2)以O为起点,作出第一个向量;

(3)以O为起点,作出第二个向量;
(4)分别以这两个向量为邻边作平行四边形; (5)则以O为起点的对角线 所示向量即为所求;

a b
A

a
a+b=OA+AB=OC

.O b
C

B
4

向量加法的两个法则
两点说明:
(1)用向量加法的三角形法则作图时, 两向量是首尾相连。 (2)用向量加法的平行四边形法则作图时, 两向量是起点相同。

5

向量加法的两个规律
(1)向量加法的交换律

a+b= b+a
(2)向量加法的结合律 (a +b)+c = a +(b+c)
6

例题:如图,一艘船从A点出发以2 3 km 的速度向垂直于对岸 h 的方向行驶,同时河水的流速为2 km ,求船实际航行速度的 h 大小和方向。(用与水流速间的夹角表示)

?? ? 解:如图,设AD表示船向垂直于对岸行驶的速度 ?? ? AB表示水流的速度,以AD、AB为邻边作平行四边形 ?? ? ABCD,则AC就是船实际航行的速度。

??? ? ??? ? 在Rt△ABC中 | AB |? 2, | BC |? 2 3 ???? ??? ? 2 ??? ?2 ?| AC |? | AB | ? | BC | ? 4 ∵tan ?CAB ? 3 ??CAB ? 60?。

D

A

B

小结 (1)向量加法的概念; (2)向量加法的两个法则:
1)向量加法的三角形法则 2)向量加法的平行四边形法则

(3)向量加法的两个规律;
1)向量加法的交换律 2)向量加法的结合律
7

(1)课本P68 习题2.2 (2)《数学之友》T9.2

1 、3

8


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