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余弦定理及其证明

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余弦定理及其证明
步骤 1. 在锐角△ABC 中,设三边为 a,b,c。作 CH⊥AB 垂足为 点H CH=a·sinB CH=b·sinA ∴a·sinB=b·sinA 得到 a/sinA=b/sinB 同理,在△ABC 中, b/sinB=c/sinC 步骤 2. 证明 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R: 如图,任意三角形 ABC,作 ABC 的外接圆 O. 作直径 BD 交⊙O 于 D. 连接 DA. 因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90 度 因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D 等于∠C. 所以 c/sinC=c/sinD=BD=2R a/SinA=BC/SinD=BD=2R 类似可证其余两个等式。 2.三角形的余弦定理证明:
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精品文档 平面几何证法: 在任意△ABC 中 做 AD⊥BC. ∠C 所对的边为 c,∠B 所对的边为 b,∠A 所对的边为 a 则有 BD=cosB*c,AD=sinB*c,DC=BC-BD=a-cosB*c 根据勾股定理可得: AC =AD +DC b =(sinB*c) +(a-cosB*c) b =sin B*c +a +cos B*c -2ac*cosB b =(sin B+cos B)*c -2ac*cosB+a b =c +a -2ac*cosB cosB=(c +a -b )/2ac 3 在△ABC 中,AB=c、BC=a、CA=b 则 c =a +b -2ab*cosC a =b +c -2bc*cosA b =a +c -2ac*cosB 下面在锐角△中证明第一个等式,在钝角△中证明以此 类推。 过 A 作 AD⊥BC 于 D,则 BD+CD=a 由勾股定理得:
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精品文档 c =(AD) +(BD) ,(AD) =b -(CD) 所以 c =(AD) -(CD) +b =(a-CD) -(CD) +b =a -2a*CD +(CD) -(CD) +b =a +b -2a*CD 因为 cosC=CD/b 所以 CD=b*cosC 所以 c =a +b -2ab*cosC 题目中 表示平方。 2 谈正、余弦定理的多种证法 聊城二中 魏清泉 正、余弦定理是解三角形强有力的工具,关于这两个定 理有好几种不同的证明方法.人教 A 版教材《数学》(必修 5) 是用向量的数量积给出证明的,如是在证明正弦定理时用到 作辅助单位向量并对向量的等式作同一向量的数量积,这种 构思方法过于独特,不易被初学者接受.本文试图通过运用 多种方法证明正、余弦定理从而进一步理解正、余弦定理, 进一步体会向量的巧妙应用和数学中“数”与“形”的完 美结合. 定理:在△ABC 中,AB=c,AC=b,BC=a,则 (1)(正弦定理) = = ;
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精品文档 (2)(余弦定理) c2=a2+b2-2abcos C, b2=a2+c2-2accos B, a2=b2+c2-2bccos A. 一、正弦定理的证明 证法一:如图 1,设 AD、BE、CF 分别是△ABC 的三条高。 则有 AD=b?sin∠BCA, BE=c?sin∠CAB, CF=a?sin∠ABC。 所以 S△ABC=a?b?csin∠BCA =b?c?sin∠CAB =c?a?sin∠ABC. 证法二:如图 1,设 AD、BE、CF 分别是△ABC 的 3 条高。 则有 AD=b?sin∠BCA=c?sin∠ABC, BE=a?sin∠BCA=c?sin∠CAB。 证法三:如图 2,设 CD=2r 是△ABC 的外接圆 的直径,则∠DAC=90°,∠ABC=∠ADC。 证法四:如图 3,设单位向量 j 与向量 AC 垂直。 因为 AB=AC+CB, 所以 j?AB=j?(AC+CB)=j?AC+j?CB.
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精品文档 因为 j?AC=0, j?CB=| j ||CB|cos(90°-∠C)=a?sinC, j?AB=| j ||AB|cos(90°-∠A)=c?sinA . 二、余弦定理的证明 法一:在△ABC 中,已知 ,求 c。 过A作 , 在 Rt 中, , 法二: ,即: 法三: 先证明如下等式: ⑴ 证明: 故⑴式成立,再由正弦定理变形,得 结合⑴、 有 即. 同理可证 . 三、正余弦定理的统一证明 法一:证明:建立如下图所示的直角坐标系,则 A=(0, 0)、B=(c,0),又由任意角三角函数的定义可得:C=(bcos A,bsin A),以 AB、BC 为邻边作平行四边形 ABCC′,则
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精品文档 ∠BAC′=π -∠B,
∴C′(acos(π -B),asin(π -B))=C′(-acos B,asin B).
根据向量的运算: =(-acos B,asin B), = - =(bcos A-c,bsin A), (1)由 = :得 asin B=bsin A,即 =. 同理可得: = . ∴==. (2)由 =(b-cos A-c)2+(bsin A)2=b2+c2-2bccos A, 又| |=a, ∴a2=b2+c2-2bccos A. 同理: c2=a2+b2-2abcos C; b2=a2+c2-2accos B. 法二:如图 5, ,设 轴、 轴方向上的单位向量分别为 、 ,将上式的 两边分别与 、 作数量积,可知 , 即
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精品文档 将(1)式改写为 化简得 b2-a2-c2=-2accos B. 即 b2=a2+c2-2accos B.(4)
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