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圆锥曲线 10
1.如图，M 是抛物线上 y2=x 上的一点，动弦 ME、MF 分别交 x 轴于 A、B 两点，且 MA=MB. （1）若 M 为定点，证明：直线 EF 的斜率为定值；
2 （2）若 M 为动点，且∠EMF=90° ，求△EMF 的重心 G 的轨迹解： （1）设 M（y 0 ,y0） ，直线
ME 的斜率为 k(l>0)
2 （2） 当?EMF ? 90?时, ?MAB ? 45? , 所以k ? 1, 直线 ME 的方程为 y ? y0 ? k ( x ? y0 )
2 ? ? y ? y0 ? x ? y 0 由? 得 E((1 ? y0 )2 ,1 ? y0 ) 2 ? ?y ? x
同理可得 F ((1 ? y0 )2 , ?(1 ? y0 )).
2 2 ? ? (1 ? y0 ) 2 ? (1 ? y0 ) 2 2 ? 3 y0 xM ? xE ? xF y0 x ? ? ? ? ? 3 3 3 设重心 G（x, y） ，则有 ? ? x ? xM ? xE ? xF ? y0 ? (1 ? y0 ) ? (1 ? y0 ) ? ? y0 ? 3 3 3 ?
2 消去参数 y0 得 y ?
1 2 2 x ? ( x ? ). 9 27 3
2．如图，设抛物线 C : y ? x 2 的焦点为 F，动点 P 在直线 l : x ? y ? 2 ? 0 上运动，过 P 作抛 物线 C 的两条切线 PA、PB，且与抛物线 C 分别相切于 A、B 两点. （1）求△APB 的重心 G 的轨迹方程. （2）证明∠PFA=∠PFB.
F A
y
B
x
O
P
l
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-22 解： （1）设切点 A、B 坐标分别为 ( x, x0 )和( x1, x12 )(( x1 ? x0 ) ，
2 ∴切线 AP 的方程为： 2x0 x ? y ? x0 ? 0;
2 切线 BP 的方程为： 2x1 x ? y ? x1 ? 0;
解得 P 点的坐标为： x P ?
x0 ? x1 , y P ? x0 x1 2 x0 ? x1 ? x P ? xP ， 3
所以△APB 的重心 G 的坐标为 xG ?
2 2 y0 ? y1 ? yP x0 ? x12 ? x0 x1 ( x0 ? x1 )2 ? x0 x1 4 xP ? y p yG ? ? ? ? , 3 3 3 3
所以 y p ? ?3 yG ? 4xG ，由点 P 在直线 l 上运动，从而得到重心 G 的轨迹方程为：
2
1 x ? (?3 y ? 4 x 2 ) ? 2 ? 0, 即y ? (4 x 2 ? x ? 2). 3
方法 2：①当 x1 x0 ? 0时,由于x1 ? x0 , 不妨设x0 ? 0, 则y0 ? 0, 所以 P 点坐标为 (
x1 ,0 ) ， 2
则 P 点到直线 AF 的距离为： d1 ?
2 即 ( x1 ? ) x ? x1 y ?
| x1 | 1 ; 而直线BF的方程 : y ? ? 2 4
x12 ? x1
1 4 x,
1 4
1 x1 ? 0. 4
1 x x 1 |x | | ( x12 ? ) 1 ? 1 | ( x12 ? ) 1 4 2 4 ? 4 2 ? | x1 | 所以 P 点到直线 BF 的距离为： d 2 ? 1 2 1 x12 ? ( x12 ? )2 ? ( x1 )2 4 4
所以 d1=d2，即得∠AFP=∠PFB.
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1 2 x0 ? 1 4 ( x ? 0),即( x 2 ? 1 ) x ? x y ? 1 x ? 0, ②当 x1 x0 ? 0 时， 直线 AF 的方程： y ? ? 0 0 0 4 x0 ? 0 4 4
1 x12 ? 1 4 ( x ? 0), 即( x 2 ? 1 ) x ? x y ? 1 x ? 0, 直线 BF 的方程： y ? ? 1 1 1 4 x1 ? 0 4 4
所以 P 点到直线 AF 的距离为：
x ?x 1 x ?x 1 1 2 | ( x0 ? )( 0 1 ) ? x0 2 x1 ? x0 | | 0 1 )( x0 2 ? ) 4 2 4 2 4 ? | x0 ? x1 | d1 ? ? 1 2 2 1 2 x0 ? ( x0 ? )2 ? x02 4 4
同理可得到 P 点到直线 BF 的距离 d 2 ?
| x1 ? x0 | ，因此由 d1=d2，可得到∠AFP=∠PFB. 2
3. 已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0)，右顶点为 ( 3,0) 。 (1) 求双曲线 C 的方程；
(2) 若直线 l： 且 OA ? OB ? 2 (其 y ? kx ? 2 与双曲线 C 恒有两个不同的交点 A 和 B， 中 O 为原点)，求 k 的取值范围。
而 xA xB ? yA yB ? xA xB ? (kxA ? 2)(kxB ? 2) ? (k 2 ?1) xA xB ? 2k ( xA ? xB ) ? 2
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? (k 2 ? 1)
?9 6 2k 3k 2 ? 7 ? 2 k ? 2 ? . 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 3k 2 ? 1
②
3k 2 ? 7 ?3k 2 ? 9 1 ? 2,即 ? 0, 解此不等式得 ? k 2 ? 3. 于是 2 2 3 3k ? 1 3k ? 1
由①、②得
1 ? k 2 ? 1. 3
故 k 的取值范围为 (?1, ?
3 3 ) ? ( ,1). 3 3
4. 已知椭圆 C1 的方程为
x2 ? y 2 ? 1 ，双曲线 C2 的左、右焦点分别为 C1 的左、右顶点，而 4
C2 的左、右顶点分别是 C1 的左、右焦点。 (1) 求双曲线 C2 的方程；
(2) 若直线 l： y ? kx ? 2 与椭圆 C1 及双曲线 C2 恒有两个不同的交点，且 l 与 C2 的两个交点 A 和 B 满足 OA ? OB ? 6 (其中 O 为原点)，求 k 的取值范围。
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6 2k ?9 设A( x A , y A ), B( xB , yB ), 则x A ? xB ? , x A ? xB ? 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2 ??? ? ??? ? 由OA ? OB ? 6得x A xB ? y A yB ? 6, 而 x A xB ? y A yB ? xA xB ? (kxA ? 2)(kxB ? 2)
? ( k 2 ? 1) x A xB ? 2k ( x A ? xB ) ? 2 ? ( k 2 ? 1) ? ? 3k 2 ? 7 . 3k 2 ? 1
③
?9 6 2k ? 2k ? ?2 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2
3k 2 ? 7 15k 2 ? 13 13 1 于是 2 ? 6,即 ? 0. 解此不等式得 k 2 ? 或k 2 ? . 2 15 3 3k ? 1 3k ? 1
由①、②、③得
1 1 13 ? k 2 ? 或 ? k 2 ? 1. 4 3 15
故 k 的取值范围为 (?1, ?
13 3 1 1 3 13 ) ? (? ,? )?( , )?( ,1) 15 3 2 2 3 15
5．如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点 F1，F2 在 x 轴上，长轴 A1A2 的长为 4，左准线 l 与 x 轴的交点为 M，|MA1|∶|A1F1|＝2∶1． (Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)若直线 l1：x＝m(|m|＞1)，P 为 l1 上的动点，使∠F1PF2 最大的点 P 记为 Q，求点 Q 的坐标(用 m 表示)．
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（II）设 P( m, y0 ),| m |? 1 当 y0 ? 0 时， ?F 1 PF2 ? 0 当 y0 ? 0 时, 0 ? ?F1 PF2 ? ?PF1M ?
?
2
? 只需求 tan ?F1PF2 的最大值即可。
直线 PF1 的斜率 K1 ?
y0 y0 , ，直线 PF2 的斜率 K 2 ? m ?1 m ?1
? tan ?F1PF2 ?|
2
2 | y0 | 1 2 | y0 | K2 ? K1 ? ? |? 2 2 2 1 ? K1K2 m ? 1 ? y0 2 m ? 1? | y0 | m2 ? 1
当且仅当 m ?1 = | y0 | 时， ?F 1PF 2 最大，
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