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数学:1.3.2《函数的奇偶性》课件(2)(新人教A版必修1)


1.3.2函数的奇偶性 函数的奇偶性(2) 函数的奇偶性

1.偶函数 .
一般地,对于函数 的定义域内的任意一个x, 一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个 , 的定义域内的任意一个 都有f(- 就叫做偶函数 都有 -x)=f(x),那么 就叫做偶函数. ,那么f(x)就叫做偶函数.
2 例如, 函数, 例如,函数 f (x) = x +1, f (x) = x2 +1 都是偶 函数,
2

它们的图象分别如下图(1),(2)所示 所示. 它们的图象分别如下图 , 所示

观察函数f(x)=x和f(x)=1/x的图象 下图 ,你能发 和 的图象(下图 观察函数 的图象 下图),
两个函数图象有什么共同特征吗? 现两个函数图象有什么共同特征吗?

f(-3)=-3=-f(3) f(-2)=-2=-f(2) f(-1)=-1=-f(1)

f(-3)=-1/3=-f(3) f(-2)=-1/2=-f(2) f(-1)=-1=-f(1)

实际上,对于 内任意的一个 都有f(-x)=-x=-f(x),这时 内任意的一个x,都有 实际上,对于R内任意的一个 都有 这时 我们称函数y=x为奇函数 我们称函数 为奇函数.

2.奇函数 .
一般地,对于函数 的定义域内的任意一个x, 一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个 , 的定义域内的任意一个 都有f(- 就叫做偶函数 都有 -x)=f(x),那么 就叫做偶函数. ,那么f(x)就叫做偶函数. 注意: 注意: 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性, 1,函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性, 函数的奇偶性是函数的整体性质; 函数的奇偶性是函数的整体性质; 2,由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的 由函数的奇偶性定义可知, 一个必要条件是,对于定义域内的任意一个x, 一个必要条件是,对于定义域内的任意一个 ,则 也一定是定义域内的一个自变量( -x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关 也一定是定义域内的一个自变量 于原点对称). 于原点对称).

3,奇,偶函数定义的逆命题也成立,即 偶函数定义的逆命题也成立, 有成立. 若f(x)为奇函数,则f(-x)=-f(x)有成立. f(x)为奇函数, 为奇函数 有成立. 若f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x)有成立. f(x)为偶函数, 为偶函数 有成立 4,如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我 ,如果一个函数 是奇函数或偶函数, 是奇函数或偶函数 们就说函数f(x)具有奇偶性 具有奇偶性 们就说函数 具有奇偶性.

例5,判断下列函数的奇偶性: ,判断下列函数的奇偶性:

(1 ) f ( x ) = x (2) f ( x) = x

4 5

1 (3) f ( x ) = x + x 1 (4) f ( x) = 2 x

3.用定义判断函数奇偶性的步骤: 用定义判断函数奇偶性的步骤: 用定义判断函数奇偶性的步骤
(1),先求定义域,看是否关于原点对称; ,先求定义域,看是否关于原点对称; (2),再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立 ,再判断 是否恒成立. 或 是否恒成立

课堂练习
判断下列函数的奇偶性: 判断下列函数的奇偶性:

1 (1) f ( x) = x x (3) f ( x) = 5 (5) f ( x) = x +1

(2) f ( x) = x +1
2

(4) f ( x) = 0 (6) f ( x) = x , x ∈[1,3]
2

3.奇偶函数图象的性质 奇偶函数图象的性质
1,奇函数的图象关于原点对称. ,奇函数的图象关于原点对称 反过来, 反过来,如果一个函数的图象关于原 点对称,那么就称这个函数为奇函数. 点对称,那么就称这个函数为奇函数 2,偶函数的图象关于y轴对称 ,偶函数的图象关于 轴对称 轴对称. 反过来,如果一个函数的图象关于y轴对称 轴对称, 反过来,如果一个函数的图象关于 轴对称, 那么就称这个函数为偶函数. 那么就称这个函数为偶函数
说明:奇偶函数图象的性质可用于: 说明:奇偶函数图象的性质可用于: a,简化函数图象的画法 B,判断函数的奇偶性 ,简化函数图象的画法. ,

是偶函数, 例3,已知函数 ,已知函数y=f(x)是偶函数,它在 轴右边的图 是偶函数 它在y轴右边的图 象如下图,画出在y轴左边的图象 轴左边的图象. 象如下图,画出在 轴左边的图象 解:画法略 y

相等 0 x

y 相等 0 x

本课小结
1,两个定义:对于f(x)定义域内的任意一个 ,两个定义:对于 定义域内的任意一个x, 定义域内的任意一个 如果都有f(- 如果都有 -x)=-f(x) 为奇函数 f(x)为奇函数 如果都有f(- 如果都有 -x)=f(x) f(x)为偶函数 为偶函数

2,两个性质: ,两个性质: 一个函数为奇函数 一个函数为偶函数

它的图象关于原点对称 它的图象关于y轴对称 它的图象关于 轴对称


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