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数学同步优化指导(湘教版必修3)课件:6.2.3 第2课时


第 6章 立体几何初步 6.2 空间的直线与平面 6.2.3 垂直关系 第2课时 平面与平面垂直 1.掌握平面与平面垂直的判定与性质定理.(重点) 2.理解线线垂直,线面垂直、面面垂直的内在联系.(难 点) 1.面面垂直的判定定理 另一个平面的一条垂线 , ①定理:如果一个平面经过 ________________________ 那么这两个平面垂直. ②图形表述:如图所示. ③符号语言:b⊥α,b?β?β⊥α. 2.面面垂直的性质定理 文字语言 一个平面内 垂直 两个平面垂直,则其中____________ 交线 的直线与另一个平面________ 垂直 于________ α⊥β ? ? α∩β=l ? ??a⊥β a ? α _________ ? ? a⊥l _________ ? 符号语言 图形语言 作用 线面 垂直 ①面面垂直?________ ②作面的垂线 平面与平面垂直的判定 如图, AB 是⊙ O 的直径, PA 垂直于⊙ O 所在的平 面,C是圆周上异于 A、B的任意一点,求证:平面PAC⊥平面 PBC. 【思路探究】 由C是圆周上异于直径 AB的点→ AC⊥BC→ 由 PA垂直于⊙ O所在的 平 面 → PA⊥BC→BC⊥ 平 面 PAC→ 平 面 PAC⊥平面PBC. 解:连接AC,BC,则BC⊥AC,又PA⊥平面ABC,BC?平 面ABC, ∴PA⊥BC,而PA∩AC=A,∴BC⊥平面PAC, 又BC?平面PBC,∴平面PAC⊥平面PBC. 面面垂直的判定定理是证明面面垂直的常 用方法,即要证面面垂直,只需转证线面垂直,关键是在其中 一个平面内寻找一直线与另一个平面垂直. 1 .如图,四棱锥 P—ABCD 的底面是正方形, PD⊥底面 ABCD,点E在棱PB上.求证:平面AEC⊥平面PDB. 证明: ∵ PD⊥ 平面 ABCD , AC? 平面 ABCD, ∴PD⊥AC. ∵AC⊥BD,PD,BD为平面PDB内两 条相交直线, ∴AC⊥平面PDB. 又 ∵ AC? 平面 AEC , ∴ 平面 AEC⊥ 平 面PDB. 平面与平面垂直的性质 如图, P 是△ ABC 所在平面外的 一点,且 PA⊥平面 ABC ,平面 PAC⊥平面 PBC,求证:BC⊥AC. 【思路探究】 平面PAC⊥平面PBC 引辅助线, 作AE⊥PC 面面垂直的性质 线面垂直的定义 ――→ BC⊥平面PAC ――→ BC⊥AC 解: 过 A 作 AE⊥PC 于 E ,由平面 PAC⊥ 平面 PBC ,且平面 PAC∩平面PBC=PC,可知AE⊥平面PBC. 又BC?平面PBC,故AE⊥BC. 又PA⊥平面ABC,BC?平面ABC,故PA⊥BC. ∵PA∩AE=A,∴BC⊥平面PAC. 又AC?平面PAC,故BC⊥AC. 在运用面面垂直的性质定理时,若没有与 交线垂直的直线,一般需作辅助线,基本作法是过其中一个平 面内一点作交线的垂线,这样便把面面垂直问题转化为线面垂 直问题,进而转化为线线垂直问题. 2.如图,四棱锥V—ABCD的底面是矩形,侧面VAB⊥底面 ABCD,又VB⊥平面VAD. 求证:平面VBC⊥平面VAC. 证明:∵平面VAB⊥面ABCD,且BC⊥AB. ∴BC⊥平面VAB,VA?平面VAB,∴BC⊥VA, 又VB⊥平面VAD,∴VB⊥VA, 又VB∩BC=B, ∴VA⊥平面VBC, ∵VA?平面VAC. ∴平面VBC⊥平面VAC. 线

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