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第三章 三角恒等变换 第三章 三角恒等变换 第三章 三角恒等变换 3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.1 两角差的余弦公式 栏目 导引 第三章 三角恒等变换 学习导航 学习目标 公式的 运用 重点难点 重点:公式的导出与应用. 两角差的余弦公 掌握 实例 ― ― → 式的推导过程 ― ― → 理解 难点:公式的运用技巧. 栏目 导引 第三章 三角恒等变换 新知初探思维启动 两角差的余弦公式 公式 cos αcos β+sin αsin β cos(α-β)=_______________________ 简记符号 C(α-β) α,β为任意角 使用条件 栏目 导引 第三章 三角恒等变换 想一想 cos(α-β)=cos α-cos β一定成立吗? 提示:cos(α-β)=cos α-cos β不一定成立. 如:cos(60°-30°)≠cos 60°-cos 30°. 做一做 化简:cos 80°cos 20°+sin 80°sin 20°=________. 1 答案: 2 栏目 导引 第三章 三角恒等变换 典题例证技法归纳 题型探究 题型一 例1 【解】 给角求值 计算:(1)cos(-15°); (1)法一:原式= cos(30° - 45° ) (2)cos 80°cos 35°+cos 10°cos 55°. = cos 30° cos 45° + sin 30° sin 45° = 6+ 2 3 2 1 2 × + × = . 2 2 2 2 4 栏目 导引 第三章 三角恒等变换 法二:原式= cos 15° = cos(45° - 30° ) = cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30° 6+ 2 2 3 2 1 = × + × = . 2 2 2 2 4 (2)原式= cos 80° cos 35° + sin 80° sin 35° = cos(80° -35° ) 2 = cos 45° = . 2 栏目 导引 第三章 三角恒等变换 【名师点评】 (1) 对于角度大的式子的化简问题, 应先根据诱导公式将角度化小(一般是化成锐角). (2) 在应用差角的余弦公式求值时,逆用公式是十分 常见的,要注意培养这种能力. 栏目 导引 第三章 三角恒等变换 跟踪训练 1.不查表求下列各式的值: (1)cos 43° cos 88° +sin 43° sin 92° ; 1 3 (2) cos 105° + sin 105° . 2 2 解:(1)原式=cos 43° cos 88° + sin 43° sin 88° 2 = cos(43° - 88° )= cos(-45° )= cos 45° = . 2 (2)原式=cos 60° cos 105° +sin 60° sin 105° 2 = cos(60° - 105° )= cos(- 45° )=cos 45° = . 2 栏目 导引 第三章 三角恒等变换 题型二 给值求值 例2 已知 sin α=4,α∈(π,π),cos β=- 5 ,β 是第三 5 2 13 象限角,求 cos(α- β)的值. π 4 【解】 因为 α∈ ( , π), sin α= , 2 5 由此得 cos α=- 1- sin2α= - 4 3 1-? ?2=- . 5 5 栏目 导引 第三章 三角恒等变换 5 又因为 cos β=- , β 是第三象限角,所以 13 sin β=- 1- cos2β=- 5 12 1-?- ?2=- , 13 13 所以 cos(α- β)= cos αcos β+ sin αsin β 3 5 4 12 33 = (- )× (- )+ × (- )=- . 5 13 5 13 65 栏目 导引 第三章 三角恒等变换 【名师点评】 利用差角的余弦公式求值时,不能 机械地从表面去套公式,而要变通地从本质上使用 公式.即把所求的角分解成某两个角的差,并且这 两个角的正、余弦函数值是已知的或可求的,再代 入公式即可求解. 栏目 导引 第三章 三角恒等变换 跟踪训练 3 15 2.已知 sin α= ,cos β= ,β 为第一象限角, 求 cos(α 5 17 - β)的值. 3 解:∵ sin α= >0,∴ α 为第一、二象限角. 5 4 当 α 为第一象限角时, cos α= ; 5 4 当 α 为第二象限角时, cos α=- . 5 栏目 导引 第三章 三角恒等变换 15 ∵ cos β= 且 β 为第一象限角. 17 8 ∴ sin β= ; 17 ∴当 α 为第一象限角时, 4 15 3 8 84 cos(α- β)= × + × = ; 5 17 5 17 85 当 α 为第二象限角时, 4 15 3 8 36 cos(α- β)= (- )× + × =- . 5 17 5 17 85 栏目 导引 第三章 三角恒等变换 题型三 由三角函数值求角 例3 设A, B为锐角△ ABC的两个内角,向量 a=(2cos A,2sin A),b=(3cos B,3sin B).若a,b的夹角为60°, 求A-B的值. 解:∵a=(2cos A,2sin A),b=(3cos B,3sin B), ∴|a|=2,|b|=3, 又 a,b 的夹角为 60° , ∴a· b=|a||b|cos 60° =2cos A· 3cos B+2sin A· 3sin B, 栏目 导引 第三章 三角恒等变换 1 ∴ 2× 3× = 6cos(A- B), 2 1 ∴ cos(A- B)= . 2 ∵ A、 B 为锐角, π π ∴- <A- B< , 2 2 π ∴ A- B= ± . 3 栏目 导引

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