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高中数学人教b版选修2-3学案:2.1.2 离散型随机变量的分布列 含解析

2.1.2 离散型随机变量的分布列 1.理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念与性质. 2.会求出某些简单的离散型随机变量的分布列.(重点) 3.理解二点分布的定义,并能简单的运用.(难点) [基础· 初探] 教材整理 1 离散型随机变量的分布列 阅读教材 P41~P42 例 1 以上部分,完成下列问题. 1.定义 要掌握一个离散型随机变量 X 的取值规律,必须知道:①X 所有可能取的值 x1,x2,?,xn;X 取每一个值 xi 的概率 p1,p2,?,pn,需要列出下表: X P x1 p1 x2 p2 ? ? xi pi ? ? xn pn 此表称为离散型随机变量 X 的概率分布, 或称为离散型随机变量 X 的分布列. 2.性质 (1)pi≥0,i=1,2,3,?,n; (2)p1+p2+?+pn=1. 判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)在离散型随机变量分布列中,每一个可能值对应的概率可以为任意的实 数.( ) (2)离散型随机变量的分布列的每个随机变量取值对应概率都相等.( (3)在离散型随机变量分布列中,所有概率之和为 1.( 【解析】 (1)× ) ) 因为在离散型随机变量分布列中每一个可能值对应随机 事件的概率均在[0,1]范围内. (2)× 发生的事件. (3)√ 由分布列的性质可知,该说法正确. (1)× (2)× (3)√ 因为分布列中的每个随机变量能代表的随机事件,并非都是等可能 【答案】 教材整理 2 二点分布 阅读教材 P42 例 1 以下部分,完成下列问题. 如果随机变量 X 的分布列为 X P 0 1-p 1 p 则称离散型随机变量 X 服从二点分布,并称 p=P(X=1)为成功概率. 一批产品分为一、二、三级,其中一级品是二级品的两倍,三级品为二级品 5? ?1 的一半,从这批产品中随机抽取一个检验,其级别为随机变量 ξ,则 P? ≤ξ≤ ? 3? ?3 = ________. k 7k 【解析】 设二级品有 k 个, ∴一级品有 2k 个, 三级品有 个, 总数为 个. 2 2 ∴分布列为 ξ P 5? 4 ?1 P? ≤ξ≤ ?=P(ξ=1)= . 3 3 7 ? ? 【答案】 4 7 1 4 7 2 2 7 3 1 7 [质疑· 手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1: 解惑: 疑问 2: 解惑: 疑问 3: 解惑: [小组合作型] 分布列及其性质的应用 i 设随机变量 X 的分布列为 P(X=i)= (i=1,2,3,4),求: a (1)P(X=1 或 X=2); 7? ?1 (2)P? <X< ?. 2 2? ? 1 7 【精彩点拨】 先由分布列的性质求 a, 再根据 X=1 或 X=2, <X< 的含义, 2 2 利用分布列求概率. 【自主解答】 ∴a=10, 则 P(X=1 或 X=2) =P(X=1)+P(X=2) = 1 2 3 + = . 10 10 10 4 1 2 3 4 (1)∵ ?pi= + + + =1, a a a a i=1 (2)由 a=10, 7? ?1 可得 P? <X< ? 2? ?2 =P(X=1)+P(X=2)+P(X=3) = 1 2 3 3 + + = . 10 10 10 5 利用分布列及其性质解题时要注意以下两个问题:? ?1?X 的各个取值表示的事件是互斥的.? ?2?不仅要注意 ? pi=1,而且要注意 pi≥0,i=1,2,?,n. i=1 n [再练一题] 1.若离散型随机变量 X 的分布列为: X P 求常数 a 及相应的分布列. 【解】 由分布列的性质可知:3a2+a+4a-1=1, 0 4a-1 1 3a2+a 1 即 3a2+5a-2=0,解得 a= 或 a=-2, 3 1 又因 4a-1>0,即 a> ,故 a≠-2. 4 1 1 2 所以 a= ,此时 4a-1= ,3a2+a= . 3 3 3 所以随机变量 X 的分布列为: X P 0 1 3 1 2 3 求离散型随机变量的分布列 口袋中有 6 个同样大小的黑球,编号为 1,2,3,4,5,6,现从中随机取 出 3 个球,用 X 表示取出的最大号码,求 X 的分布列. 【精彩点拨】 X 的可能取值为 3,4,5,6,是离散型随机变量.可以利用组合 数公式与古典概型概率公式求各种取值的概率. 【自主解答】 随机变量 X 的可能取值为 3,4,5,6. 从袋中随机取 3 个球, 包含的基本事件总数为 C3 6,事件“X=3”包含的基本 1 2 事件总数为 C3 3,事件“X=4”包含的基本事件总数为 C1C3,事件“X=5”包含的 2 1 2 基本事件总数为 C1 1C4,事件“X=6”包含的基本事件总数为 C1C5. C3 1 3 从而有 P(X=3)= 3= , C6 20 P(X=4)= P(X=5)= P(X=6)= 2 C1 3 1C3 , 3 = C6 20 2 C1 3 1C4 , 3 = C6 10 2 C1 1 1C5 3 = , C6 2 所以随机变量 X 的分布列为 X P 3 1 20 4 3 20 5 3 10 6 1 2 1.求离散型随机变量的分布列的步骤 (1)找出随机变量 ξ 的所有可能的取值 xi(i=1,2,?,n). (2)求出取每一个值的概率 P(ξ=xi)=pi. (3)列出表格. 2.求离散型随机变量分布列时应注意的问题 (1)确定离散型随机变量 ξ 的分布列的关键是要搞清 ξ 取每一个值对应的随 机事件,进一步利用排列、组合知识求出 ξ 取每一个值的概率.对于随机变量 ξ 取值较多时,应由简单情况先导出一般的通式,从而简化过程. (2)在求离散型随机变量 ξ 的分布列时,要充分利用分布列的性质,这样不 但可以减少运算量,还可验证分布列是否正确. [再练一题] 2.从装有 6 个白球,4 个黑球

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