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2018年高考数学一轮总复习专题31导数的概念及运算练习文!


专题 3.1 导数的概念及运算
真题回放 1. 【2017 浙江,7】函数 y=f(x)的导函数 y ? f ?( x) 的图像如图所示,则函数 y=f(x)的图像可能是

【答案】D 【解析】 试题分析:原函数先减再增,再减再增,且由增变减时,极值点大于 0,因此选 D. 【考点】 导函数的图象 【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系:若导函数图象与 x 轴的交点为 x0 ,且图 象在 x0 两侧附近连续分布于 x 轴上下方,则 x0 为原函数单调性的拐点,运用导数知识来讨论函数单 调性时,由导函数 f ' ( x) 的正负,得出原函数 f ( x) 的单 调区间. 2. 【2017 天津,文 10】已知 a ? R ,设函数 f ( x) ? ax ? ln x 的图象在点(1, f (1) )处的切线为 l, 则 l 在 y 轴上的截距为 【答案】 1 【解析】 .

【考点】导 数的几何意义 【名师点睛】本题考查了导数的几何意义,属于基础题型,函数 f ? x ? 在点 x0 处的导数 f ? ? x0 ? 的几

1

何 意 义 是 曲 线 y ? f ? x ? 在 点 P ? x0 , y0 ? 处 的 切 线 的 斜 率 . 相 应 地 , 切 线 方 程 为

y ? y0 ? f ? ? x0 ?? x ? x0 ? .注意:求曲线切线时,要分清在点 P 处的切线与过点 P 的切线的不同,谨
记,有切点直接带入切点,没切点设切点,建立方程组求切点. 3. 【2017 北京,文 20】已知函数 f ( x) ? ex cos x ? x . (Ⅰ)求曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 [0, ] 上的最大值和最小值. 【答案】(Ⅰ) y ? 1 ;(Ⅱ)最大值 1;最小值 ? 【解析】

π 2

?
2

.

(Ⅱ)设 h( x) ? e x (cos x ? sin x) ?1 ,则 h?( x) ? e x (cos x ? sin x ? sin x ? cos x) ? ?2e x sin x . 当 x ? (0, ) 时, h?( x) ? 0 , 所以 h( x) 在区间 [0, ] 上单调递减. 所以对任意 x ? (0, ] 有 h( x) ? h(0) ? 0 ,即 f ?( x) ? 0 . 所以函数 f ( x ) 在区间 [0, ] 上单调递减. 因此 f ( x ) 在区间 [0, ] 上的最大值为 f (0) ? 1 ,最小值为 f ( ) ? ? 【考点】1.导数的几何意义;2.利用导数求函数的最值. 【名师点睛】这道导数题并不难,比一般意义上的压轴题要简单很多,第二问比较有特点是需要求二 阶导数, 因为 f ? ? x ? 不能判断函数的单调性, 所以需要再求一次导数, 设 h ? x? ? f ? ? x? , 再求 h? ? x ? , 一般这时就可求得函数 h? ? x ? 的零点,或是 h? ? x ? 恒成立,这样就能知道函数 h ? x ? 的单调性,根据单

π 2

π 2

π 2

π 2

π 2

π 2

π . 2

2

调性求最值,从而判断 y ? f ? x ? 的单调性,求得最值. 考点分析 考点 导数的概念 导数的几何意义 导数的运算 了解 A A B B 掌握 B 灵活运用 C

高考对导数的考查,主要是考查导数的概念、计算、几何意义以及导数在研究函数中的应用;从 考查形式上看, 基本上是以一道小题和一道大题形式出现, 其中导数的几何意义考查, 试题难度较低, 有选择题、填空题,有时作为解答题中的关键一步,常常与直线的斜率、倾斜角、直线的方程、三角 函数等相结合. 融会贯通 题型一 导数的计算 典例 1. 求下列函数的导数. 1 cos x 2 (1)y=x sin x;(2)y=ln x+ ;(3)y= x . x e

【解题技巧与方法总结】 求导之前,应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简,然后求导,这样可以减少运算量, 提高运算速度,减少差错; 遇到函数的商的形式时, 如能化简则化简, 这样可避免使用商的求导法则, 减少运算量. 【变式训练】(1)f(x)=x(2 016+ln x),若 f′(x0)=2 017,则 x0 等于( A.e
2

)

B.1

C.ln 2 D.e
4 2

(2)若函数 f(x)=ax +bx +c 满足 f′(1)=2,则 f′(-1)等于( A.-1 B.-2 C.2 D.0

)

3

【答案】(1)B (2)B

【知识链接】 1.导数与导函数的概念 (1)一般地,函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是Δ lim x→0 Δy f?x0+Δ x?-f?x0? = lim ,我们称 Δ x Δ x→0 Δx Δy = lim Δ x Δ x→0

它 为 函 数 y = f(x) 在 x = x0 处 的 导 数 , 记 作 f ? ? x0 ? 或y? |x=x0 , 即 f′(x0) = Δ lim x→0

f?x0+Δ x?-f?x0? . Δx
(2)如果函数 y=f(x)在开区间(a, b)内的每一点处都有导数,其导数值在(a,b)内构成一个新函数, 这个函数称为函数 y=f(x)在开区间内的导函数.记作 f′(x)或 y′. 2.基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数

f(x)=c(c 为常数) f(x)=xα (α ∈Q*) f(x)=sin x f(x)=cos x f(x)=e
x

f′(x)=0 f′(x)=α xα -1 f′(x)=cos x f′(x)=-sin x f′(x)=ex f′(x)=axln a f′(x)= x f′(x)= xln a
1 1

f(x)=ax(a>0,a≠1) f(x)=ln x f(x)=logax(a>0,a≠1)

3.导数的运算法则 若 f′(x),g′(x)存在,则有 (1)′=f′(x)±g′(x); (2)′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x); (3)[

f?x? f′?x?g?x?-f?x?g′?x? ]′= (g(x)≠0). 2 g?x? [g?x?]

4

题型二 导数的几何 意义 典例 2 (1)已知 f(x)为偶函数,当 x<0 时,f(x)=ln(-x)+3x,则曲线 y=f(x)在点(1,-3)处 的切线方程是 . )

(2)已知函数 f(x)=xln x, 若直线 l 过点(0, -1), 并且与曲线 y=f(x)相切, 则直线 l 的方程为( A.x+y-1=0 C.x+y+1=0 【答案】 (1)2x+y+1=0 (2)B B.x-y-1=0 D.x-y+1=0

典例 3 (1) 函数 y=e 的切线方程为 y=mx,则 m=
x

.

1 2 7 (2) 已知 f(x)=ln x,g(x)= x +mx+ (m<0),直线 l 与函数 f(x),g(x)的图象都相切,与 f(x) 2 2 图象的切点为(1,f(1)),则 m 等于( A.-1 B.-3 C.-4 D.-2 【答案】 (1)e (2)D 【解析】 (1)设切点坐标为 P(x0,y0),由 y′=e , 得 y? |x=x0 =e 0,
x
x

)

从而切线方程为 y-ex0=ex0 ( x-x0 ), 又切线过定点(0,0),从而 -e 0=e 0 (-x0 ), 解得 x0=1,则 m=e. 1 (2)∵f′(x)= ,
x x

x

∴直线 l 的斜率 k=f′( 1)=1. 又 f(1)=0,∴切线 l 的方程为 y=x-1.
5

g′(x)=x+m,
设直线 l 与 g(x)的图象的切点为(x0,y0), 1 2 7 则有 x0+m=1,y0=x0-1,y0= x0 +mx0+ ,m<0, 2 2 于是解得 m=-2.故选 D. 题型 3 导数与函数图象的关系 典例 4 如图,点 A(2,1),B(3,0),E(x,0)(x≥0),过点 E 作 OB 的垂线 l.记△AOB 在直线 l 左侧部 分的面积为 S,则函数 S=f(x)的图象为下图中的( )

【答案】 D

【解题技巧与方法总结】 导数的几何意义是切点处切线的斜率,应用时主要体现在以下几个方面: (1)已知切点 A(x0,f(x0))求斜率 k,即求该点处的导数值:k=f′(x0). (2)已知斜率 k,求切点 A(x1,f(x1)),即解方程 f′(x1)=k.

6

(3)若求过点 P(x0,y0)的切线方程,可设切点为(x1,y1),由? 可.

?y1=f?x1?, ? ?y0-y1=f′?x1??x0-x1? ?

求解即

(4)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况,由切线的倾斜 程度可以判断出函数图象升降的快慢.

x 1 【变式训练】(1)(2017·郑州月考)已知曲线 y= -3ln x 的一条切线的斜率为 ,则切点的横坐标 4 2
为( )

2

1 A.3 B.2 C.1 D. 2 1+cos x π (2)(2017·昆明模拟)设曲线 y= 在点( ,1)处的切线与直线 x-ay+1=0 平行,则实数 a sin x 2 等于( )

1 A.-1 B. C.-2 D.2 2 【答案】 (1)A (2)A

【知识链接】 导数的几何意义: 函数 y=f(x)在点 x0 处的导数的几何意义, 就是曲线 y=f(x)在点 P(x0, f(x0)) 处的切线的斜率 k,即 k=f′(x0). 练习检测 1. 【 重 庆 市 巴 蜀 中 学 2017 届 高 三 三 诊 考 试 文 科 数 学 试 卷 】 若 函 数 f ? x ? ? lnx 与 函 数

7

g ? x ? ? ax2 (a ? 0) 有两个公切线,则实数 a 的取值范围是(
A. ? 0, ? 【答案】D



? ?

1? e?

B. ? 0,

? ?

1 ? ? 2e ?

C. ? , ?? ?

?1 ?e

? ?

D. ?

? 1 ? , ?? ? ? 2e ?

2 【解析】设公切线在若函数 f ? x ? ? lnx 与函数 g ? x ? ? ax (a ? 0) 的切点为 ? x1 , lnx1 ? , x2 , ax2

2

?

?

则由 f ? ? x ? ?

1 1 ax2 ? lnx1 1 , g ? ? x ? ? 2ax 得 ? 2ax2 ? 2 ? x12 ? lnx1 ? 1? 有两个不同的 , 化简得 ? x 4a x1 x2 ? x1
2

正根, 令 y ? x1 ? lnx1 ?1? ,则 y? ? x1 ? 2lnx1 ? 1? ? 0 ? x1 ? e ,当 x1 ? 0, e 当 x1 ?

?

?

时, y? ? 0 ;

?

e , ??

?

时, y? ? 0 ,因此 y ? ? ?

1 e 1 ? e ? ?? ?a? ,选 D. , ?? ? ,从而 ? 4a 2 2e ? 2 ?

2. 【安徽省巢湖市柘皋中学 2017 届高三最后一次模拟考试数学(文)试题】若倾斜角为 ? 的直线 l 与
2 曲线 y ? x4 相切于点 ?1,1? ,则 cos ? ? sin2? 的值为(



A. ?

1 2

B. 1

C. ?

3 5

D. ?

7 17

【答案】D 【 解 析 】 y ' ? 4x
3

, 当 x ?1

时 ,

y' ? 4

时 , 则 t a?n?

4, 所 以

cos 2? ? sin2? ?

cos 2? ? 2sin? cos? 1 ? 2tan? 7 ? ?? ,故选 D. 2 2 n cos ? ? sin ? 1 ? 2tan ? 17
3 3 x ?2在x ?1 3

3. 【天津市耀华中学 2017 届高三第一次校模拟考试数学 (文) 试题】 曲线 f ? x ? ? ? 处的切线倾斜角是( A. ) C.

1 ? 6

B.

1 ? 3

5 ? 6

D.

2 ? 3 2π .故本题答案选 D . 3
,且满足

【答案】D 【解析】对函数求导则 f ' ? x ? ? ? 3x 2 ,则 k ? f ' ?1? ? ? 3 ,则倾斜角为 4. (2017 湖南长沙雅礼中学高考模拟 2,6). 已知函数 ,则 A. B. -1 C. 1 D. ( ) 的导函数为

8

【答案】B

考点:导数 5. (2017 黄冈中学高三三模,5). 已知函数 所示, 则一定有( ) ,若函数 的图象如图

A. 【答案】B 【解析】

B.

C.

D.

, 从左到右先增后减后增,所以二次函数

因为函数 的图象开

口向上,

, 因为函数 ,

的极值点都为正, 所以 ,故选 B.

有两个不同的正根,所以

6.(2017 惠州市 2017 届第二次调研,13)已知直线 x ? y ? 1 ? 0 与曲线 y ? ln x ? a 相切,则 a 的值 为___________. 【答案】2. 【解析】
' 试题分析:根据题意 y ?

1 ? 1 ,求得 1 ,从而求得切点为 (1, a) ,该点在切线上,得 1 ? a ? 1 ? 0 , x

即a ? 2. 考点:导数的几何意义. 7. (2017 吉安一中月考,16)若函数 f ? x ? ? ln x ? ax 存在与直线 2 x ? y ? 0 平行的切线,则实数 a 的取值范围是_____________. 【答案】 ? ??, 2 ? ? ? ? 2 ? , 2 ?

? ?

1? ? e? ?

1 e

? ?

9

考点:导数几何意义 8. 【 辽 宁 省 实 验 中 学 2017 届 高 三 下 学 期 第 六 次 模 拟 考 试 数 学 ( 文 ) 试 卷 】 已 知 函 数

f ? x ? ? ax3 ? x2 ? bx ? 2 中 , a , b 为 参 数 , 已 知 曲 线 y ? f ? x ? 在 ?1, f ?1? ? 处 的 切 线 方 程 为
y ? 6 x ? 1 ,则 f ? ?1? ? __________.
【答案】1

?? ? 【 解 析 】 f ?? x ? ,b f1 ? 3 ? a 2? ? ? 3 a x? 2 x
2

解5 得 a ? b ?1 , b ?? 6, ??3 ?, b ? f 1? a

f ? ?1? ? ?a ? 3 ? b ? 1 ,填 1.
9. 【黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学 2017 年高三第三次模拟考试数学(文)试题】已知函数 f ? x ? 为偶函数,当 x>0 时, ______. 【答案】 y ? ? x ? e 【解析】由题设可得 f ? ? x ? ? 1? lnx ?1 ? lnx ,所以由偶函数的对称性可知曲线在点 ?e, f ? ?e ? 处 的切线的斜率 k ? ?lne ? ?1 ,切线方程为 y ? 0 ? ? ? x ? e ? ,即 y ? ? x ? e ,应填答案 y ? ? x ? e 。 10.(2017 黄冈中学高三三模,15). 设 且 【答案】 分别是定义在 上的奇函数和偶函数,当 的解集是__________. 时,

f ? x ? ? xlnx ? x ,则曲线 y ? f ? x? 在点 ? ?e, f ? ? e? ? 处的切线方 程为

?

?

,则不等式

10

11.(2017 辽宁沈阳东北育才学校高三八模,21). 已知函数 函数,在 上是增函数,函数 在 上有三个零点.



上是减

(1)求 的值; (2)若 1 是其中一个零点,求 (3)若 说明理由. 【答案】(1) b=0;(2) ( ,+∞);⑶过点(2,5)可作 2 条曲线 y=g(x)的切线 【解析】试题分析: (1)由题意得 根据 ,即得 b=0.(2)由 f(1)=0,得 c=1? a,所以 f(2)= 3a? 7, 的取值范围; (3)先设切点 ,转化研究方程 先减后增,结合零点存在定理可得函数 ,根据导 解的个数,令 有两个零点,即 的取值范围; ,试问过点(2,5)可作多少条直线与曲线 y=g(x)相切?请

在 上有三个零点可得 的取值范围,代入可得

数几何意义可求切线方程 h(x)= 可作 2 条切线 试题解析:(1)∵f(x)=? x3+ax2+bx+c, ∴f′(x)=? 3x +2ax+b, ∵f(x)在(? ∞,0)上是减函数,在(0,1)上是增函数, ∴当 x=0 时,f(x)取到极小值,即 ∴b=0. (2)由(1)知 f(x)=? x3+ax2+c, .
2

,则利用导数可得函数

11

∵1 是函数 f(x)的一个零点,即 f(1)=0, ∴c=1? a, ∵f′(x)=? 3x2+2ax=0 的两个根分别为 x1=0,x2= , f(x)在(0,1)上是增函数,且函数 f(x)在 R 上有三个零点, ∴x2= >1,解得 , ,

∴f(2)=? 8+4a+(1? a)=3a? 7> ∴f(2)的取值范围是(

,+∞).

12 . 【四川省 师范大学附属中学 2017 届高三下学期 5 月模拟考试数学(理)试卷】已知函数

be x ?2 5 f ? x ? ? ae lnx ? , 曲 线 y ? f ? x ? 在 点 ?1, f ? 1 ? ? 处 的 切 线 方 程 为 y ? e ? x ? 1? ? ( 其 中 e x
x

e ? 2.71828?是自然对数的底数).
(I)求实数 a、 b 的值; (II)求证: f ? x ? ? 1 . 【答案】 (I) a ? 1 ; b ? 5 .(II)见解析.

12

(II)要证明 f ? x ? ? 1 ,即证明 xlnx ? 5e 单增,同时函数 y ?

?2

? 1? ?1 ? ? xe? x ,而函数 y ? xlnx 在 ? 0, ? 上单减,在 ? , ? ? 上 ? e? ?e ?

x 在 ? 0,1? 上 单 增 , 在 ?1, ?? 上 单 减 ( 此 处 证 明 略 ) ,因此只须证明 ex

xlnx ? 5e?2 ?

1 ? 1? ?x ? x ? ? ? xe 在 ? 0,1? 上恒成立. 2? 2 e?

首先证明 g ? x ? ? xlnx ? 5e ?2 ?

1 1 ? 1? ? g ? ? x0 ? ? 0 ? lnx0 ? ? x ? ? ? 0 ,因 g ? ? x ? ? 1 ? lnx ? 2? 2 e 2 e?

1 2 e

?1

(0 ? x0 ? 1) ? g ? x0 ? ? x0lnx0 ? 5e?2 ?
5 1 ? ? x0 ? g ? x ? ? g ? x0 ? ? 0 ; 2 e 4 e
然 后 证 明

1 ? 1? 1 ? 1? ? 1 ? ? 1? ? 5e?2 ? ? x0 ? ? ? x0 ? ? x0 ? ? ? 2? 2? 2 e? 2 e? ?2 e ?

h ? x ? ? xe? x ?

1 ? 1? ?x? ??0 2? 2 e?





h? ? x ? ?

1? x 1 x? ? ? h?? ? x ? ? ?0 x e e 2 e

2 ? x ? ( ? h? ? x 0?

1

)

在 ? 0,1? 上单减,且 h? ?

?1? ? 1? ?1 ? ?1? ? ? 0 ? h ? x ? 在 ? 0, ? 上单增,在 ? ,1? 上单减, ? h ? x ? ? h ? ? ? 0 . ?2? ?2? ? 2? ?2 ?

综上可知, f ? x ? ? 1 成立.

13

13 . 【 湖 南 省 长 沙 市 雅 礼 中 学 2017 届 高 考 模 拟 试 卷 ( 二 ) 数 学 ( 文 ) 】已知函数

1 f ? x ? ? x 3 ? ax ? , g ? x ? ? ?lnx . 4
(1)当 a 为何值时,

x 轴为曲线 y ? f ? x ? 的切线;

(2)用 min ?m, n? 表示 m, n 中的最小值,设函数 h ? x ? ? min f ? x ? , g ? x ? ( x ? 0) ,讨论 h ? x ? 零 点的个数.

?

?

3 3 5 时, x 轴是曲线 y ? f ? x ? 的切线(2)当 a ? ? 或 a ? ? 时, h ? x ? 有 4 4 4 3 5 5 3 一个零点;当 a ? ? 或 a ? ? 时, h ? x ? 有两个零点;当 ? ? a ? ? 时, h ? x ? 有三个零点. 4 4 4 4
【答案】 (1)当 a ? ?

(2)当 x ? ?1, ?? ? 时, g ? x ? ? ?lnx ? 0 ,从而 h ? x ? ? min f ? x ? , g ? x ? ? g ? x ? ? 0 , ∴ h ? x ? 在 ?1, ?? ? 无零点,

?

?

5 5 , 则 f ?1? ? a ? ? 0 , h ?1? ? min ? f ?1? , g ?1?? ? g ?1? ? 0 , 故 x ? 1 是 h ? x? 4 4 5 5 的零点; 若 a ? ? , 则 f ?1? ? a ? ? 0 , h ?1? ? min ? f ?1? , g ?1?? ? f ?1? ? 0 , 故 x ? 1 不是 h ? x ? 4 4
当 x ? 1 时, 若a ? ? 的零点,当 x ? ? 0,1? 时, g ? x ? ? ?lnx ? 0 ,所以只需考虑 f ? x ? 在 ? 0,1? 的零点个数,
2 ( Ⅰ ) 若 a ? ?3 或 a ? 0 , 则 f ? ? x? ? 3 x ? a 在 ? 0,1? 无 零 点 , 故 f ? x ? 在 ? 0,1? 单 调 , 而

1 5 f ? 0 ? ? , f ?1? ? a ? , 4 4
所以当 a ? ?3 时, f ? x ? 在 ? 0,1? 有一个零点; 当 a ? 0 时, f ? x ? 在 ? 0,1? 无零点;

14

14 . 【 河 北 省 石 家 庄 市 2017 届 高 三 毕 业 班 第 二 次 模 拟 考 试 数 学 ( 文 ) 试 题 】 已 知 函 数

f ? x ? ? ? a ? 1? x ? 1 ?

ax ? 1 ,其中 a ? 0 . ex

(Ⅰ)若 a ? 1 ,求函数 y ? f ? x ? 的图象在点 1, f ?1? 处的切线方程; (Ⅱ)若 x ? 0 , f ? x ? ? 0 恒成立,求 a 的取值范围. 【答案】 (1) y ?

?

?

1 3 1 x ? 1 ? (2) 0 ? a ? e e 2

【解析】试题分析: (Ⅰ)先求导数 f ( ' x) ,欲求出切线方程,只须求出其斜率即可,故先利用导数 求出在 x ? 1 处的导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率,从而问题解决. (Ⅱ) f ? ? x ? ? ? a ?1? ? ? ax ? 1 ? a ? e ,令其为 g ? x ? ,则 g? ? x ? ? ? ?ax ? 2a ?1? e .
?x ?x

对 a 进行分类讨论,把不等式成立恒问题转化为判断函数单调性问题解决

15

16


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2018年高考数学一轮总复习专题61数列的概念及其表示练习文.doc

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