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2017-2018学年数学人教A版选修4-4优化练习:第一讲 一 平面直角坐标系 Word版含解析


[课时作业] [A 组 基础巩固] 1. ?ABCD 中三个顶点 A, B, C 的坐标分别为(-1,2), (3,0), (5,1), 则 D 点的坐标为( A.(9,-1) C.(1,3) 解析:设 D 点坐标为(x,y), 根据 AC 的中点与 BD 的中点重合,得 3 -1+5 = , ?x+ 2 2 ?y+0 2+1 ? 2 = 2 , 答案:C 2.将点 P(-2,2)变换为 P′(-6,1)的伸缩变换公式为( 1 ? ?x′=3x, A.? ? ?y′=2y x′=3x, ? ? C.? 1 ?y′=2y ? 解析:因为 P(-2,2),P′(-6,1), x′=3x, ? ? 1 而-6=-2×3,1=2× ,故? 1 2 ? ?y′=2y. 故选 C. 答案:C 3.动点 P 到直线 x+y-4=0 的距离等于它到点 M(2,2)的距离,则点 P 的轨迹是( A.直线 C.双曲线 B.椭圆 D.抛物线 ) 1 ? ?x′=2x, B.? ? ?y′=3y
? ?x′=3x, D.? ?y′=2y ? ?x=1, ? 即? 故选 C. ? ?y=3.

)

B.(-3,1) D.(2,2)

)

解析:因为点 M(2,2)在直线 x+y-4=0 上,故动点 P 的轨迹是过点 M 且垂直于直线 x +y-4=0 的直线,选 A. 答案:A

?x′=xsin6, 4.在平面直角坐标系上伸缩变换的表达式为? π ?y′=ycos6,
变换下得到的曲线的方程是( )

π

正弦曲线 y=sin x 在此

A.y=2sin 2x 2 3 C.y= sin 2x 3

B.y=

3 sin 2x 2

D.y= 3 sin 2x 1 x=2x′, ? ? ∴? 2 y= y′. ? 3 ?

?x′=2x, 解析:由题知? 3 ?y′= 2 y,
代入 y=sin x 得 ∴y′= 即是 y= 答案:B

2 y′=sin 2x′. 3

3 sin 2x′, 2 3 sin 2x 为所求,故选 B. 2

5.给出以下四个命题,其中不正确的一个是(

)

? ?3x′=5x, A.点 M(3,5)经过 φ:? 变换后得到点 M′的坐标为(5,3) ?5y′=3y, ? ? ?x′=x-1, B.函数 y=2(x-1)2+2 经过平移变换 φ 1:? 后再进行伸缩变换 φ 2: ?y′=y-2 ?

?x′=2x, ? 1 ?y′=8y,

1

最后得到的函数解析式为 y=x2

? ?x′=2x, C.若曲线 C 经过伸缩变换 φ:? 变换后得到的曲线方程为 x2-y2=1,则曲 ?y′=3y ?

线 C 的方程是 4x2-9y2=1 x2 y2 D.椭圆 + =1 经过伸缩变换 φ 变换后得到的图形仍为椭圆,并且焦点一定还在 x 16 9 轴上
? ? ? ?x=3, ?3x′=5x, ?x′=5, 解析:对于 A:将? 代入? 得? 故 M′(5,3),正确;对于 ?y=5 ?5y′=3y ? ? ? ?y′=3, ? ?x=2x′, B:y=2(x-1)2+2 经 φ1 变换后得到 y=2x2,再将? 代入得 8y′=8x′2 即 y′= ?y=8y′ ? ?x′=2x, ? x′2,因此最后所得函数解析式为 y=x2 正确;对于 C:将? 代入 x′2-y′2=1 ?y′=3y ?

? ?x′=λx, 得 4x2-9y2=1,故变换前方程为 4x2-9y2=1 也正确.对于 D:设伸缩变换 φ:? ?y′=μy, ?

则当 λ=4,μ=3 时变换后的图形是圆 x2+y2=1,当 λ=4,μ=1 时变换后的图形为椭圆 x2 y2 + =1,此时焦点在 y 轴上,故 D 不正确. 9 答案:D 6.若曲线 C1:x2-y2=0 与 C2:(x-a)2+y2=1 的图象有 3 个交点,则 a=________. 解析:x2-y2=0?(x+y)(x-y)=0?x+y=0 或 x-y=0,这是两条直线. 由题意,要使 C1 与 C2 有 3 个交点,必有如图所示情况:

由图(x-a)2+y2=1 过原点,则 a2=1,即 a=± 1. 答案:± 1 7 . △ ABC 中 , B( - 2,0) , C(2,0) , △ ABC 的 周长 为 10 , 则 点 A 的 轨迹 方 程 为 ________________. 解析:∵△ABC 的周长为 10, ∴|AB|+|AC|+|BC|=10,其中|BC|=4, 则有|AB|+|AC|=6>4, ∴点 A 的轨迹为除去两点的椭圆,且 2a=6,2c=4. ∴a=3,c=2,b2=5. x2 y2 ∴点 A 的轨迹方程为 + =1(y≠0). 9 5 x2 y2 答案: + =1(y≠0) 9 5 8.已知函数 f(x)= ?x-1?2+1+ ?x+1?2+1,则 f(x)的最小值为________. 解析:f(x)可看作是平面直角坐标系中 x 轴上的一点(x,0)到两定点(-1,1)和(1,1)的距离 之和,数形结合可得 f(x)的最小值为 2 2. 答案:2 2 9.△ABC 中,若 BC 的长度为 4,中线 AD 的长为 3,求 A 点的轨迹方程. 解析:取 B,C 所在直线为 x 轴,线段 BC 的中垂线为 y 轴,建立直角坐标系(图略), 则 D(0,0),B(-2, 0),C(2,0). 设 A(x,y)为所求轨迹上任意一点, 则|AD|= x2+y2, 又| AD|=3,

∴ x2+y2=3,即 x2+y2=9(y≠0). ∴A 点的轨迹方程为 x2+y2=9(y≠0).
? ?x′=2x, 10.求 4x2-9y2=1 经过伸缩变换? 后的图形所对应的方程. ?y′=3y ?

?x′=2x, ? 解析:由伸缩变换? 得 ?y′=3y ?

?x=2x′, ? 1 ?y=3y′,

1

将其代入 4x2-9y2=1, 1 1 得 4· ( x′)2-9· ( y′)2=1. 2 3 整理得:x′2-y′2=1. ∴经过伸缩变换后图形所对应的方程为 x′2-y′2=1. [B 组 能力提升] → 则动点 P(x,y)的轨迹方程为( A.y2=8x C.y2=4x → → ) B.y2=-8x D.y2=-4x → → → → → → → → 1. 已知两点 M(-2,0), N(2,0), 点 P 为坐标平面内的动点, 满足|MN|· |MP|-MN· NP=0,

解析:由题意,得MN=(4,0),MP=(x+2,y),NP=(x-2,y),由|MN|· |MP|-MN· NP= 0 得 4 ?x+2?2+y2-4(x-2)=0,整理得 y2=-8x. 答案:B 2.在同一坐标系中,将曲线 y=3sin 2x 变为曲线 y′=sin x′的伸缩变换是( x=2x′ ? ? A.? 1 ? ?y=3y′
? ?x=2x′ C.? ?y=3y′ ? ?x′=λx?λ>0?, ? 解析:设? ? ?y′=μy?μ>0?,

)

x′=2x ? ? B.? 1 y′= y ? 3 ?
? ?x′=2x D.? ?y′=3y ?

1 则 μy=sin λx,即 y= sin λx. μ 1 1 比较 y=3sin 2x 与 y= sin λx,可得 =3,λ=2, μ μ

x′=2x, ? ? 1 ∴μ= ,λ=2.∴? 1 3 ? ?y′=3y. 答案:B y2 3. 把圆 x2+y2=16 沿 x 轴方向均匀压缩为椭圆 x2+ =1, 则坐标变换公式是________. 16
? ?x′=λx,?λ>0?, y′2 μ2y2 2 ? 解析:设变换公式为 代入 x′ + =1 中得 λ2x2+ =1,即: 16 16 ?y′=μy,?μ>0?, ?

16λ2x2+μ2y2=16,
2 ? ?16λ =1, 与 x +y =16 比较得? 2 ?μ =1, ? 2 2

1 ? ?λ=4, 所以? ? ?μ=1. 1 ? ?x′=4x, 答案:? ? ?y′=y 4.台风中心从 A 地以 20 km/h 的速度向东北方向移动,离台风中心 30 km 内的地区为 危险区,城市 B 在 A 地正东 40 km 处,则城市 B 处于危险区内的时间为________h.

解析:以 A 为坐标原点,AB 所在直线为 x 轴,建立平面直角坐标系,则 B(40,0),以点 B 为圆心,30 为半径的圆的方程为(x-40)2+y2=302,台风中心移动到圆 B 内时,城市 B 处 于危险区,台风中心移动的轨迹为直线 y=x,与圆 B 相交于点 M, N,点 B 到直线 y=x 的距离 d= 40 =20 2. 2

求得|MN|=2 302-d2=20(km), 故 |MN| =1,所以城市 B 处于危险区的时间为 1 h. 20

答案:1 5.已知 AD,BE,CF 分别是△ABC 的三边上的高,求证:AD, BE,CF 相交于一点. 证明:如图所示,以 BC 边所在直线为 x 轴,BC 边上的高所在直 线 AD 为 y 轴, 建立直角坐标系. 不妨设点的坐标分别为 A(0, a), B(b,0), C(c,0).

根据斜率公式得 a a kAB=- ,kAC=- ,kBC=0, b c 又根据两直线垂直的充要条件及直线点斜式方程,容易求出三条高所在的直线方程分 别为 AD:x=0,BE:cx-ay-bc=0,CF:bx-ay-bc=0.这三个方程显然有公共解 x=0, bc y=- ,从而证明了三角形的三条高相交于一点. a x2 y2 x0x y0y 6.求证:过椭圆 2+ 2=1(a>b>1)上一点 P(x0,y0)的切线方程为 2 + 2 =1. a b a b

x′=x, ? ? x2 y2 证明:证法一 将椭圆 2+ 2=1(a>b>1)上的点(x,y)按 φ:? a a b ? ?y′=by,

?by′?2 x′2 ?a ? 变换为 2 + =1, a b2
即得圆 x′2+y′2=a2,椭圆上的点 P(x0,y0)的对应点为 P′(x′,y′),即 a ? 2 2 2 P′? ?x0,by0?在圆 x′ +y′ =a 上. 可得过圆 x′2+y′2=a2 上的点 a ? P′? ?x0,by0?的切线方程为 a x0x′+ y0y′2=a2, b x′=x, ? ? a a x0x y0y 该切线方程按 φ:? 变换前的直线方程为 x0x+ y0· y=a2,即 2 + 2 =1, a b b a b ?y′=by ? x2 y2 这就是过椭圆 2+ 2=1(a>b>1)上一点 P(x0,y0)的切线方程. a b x2 y2 证法二 由椭圆的对称性,只需证明椭圆 2+ 2=1 在 x 轴上方部分即可,由题意,得 a b b y= a a2-x2, b x y′=- · 2 2, a a -x b x0 所以 k=y′|x=x0=- · 2 2 a a -x0

b x0 b2 x0 =- · 2 =- 2· . a a y0 a 2 · y b2 0 由直线的点斜式方程,得切线的方程为 b2 x0 y-y0=- 2· (x-x0), a y0
2 2 2 2 即 b2x0x+a2y0y=b2x2 0+a y0=a b ,

x0x y0y 所以 2 + 2 =1 为切线方程. a b


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