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2009年高考数学试题分类汇编——排列组合与二项式定理


2009 年高考数学试题分类汇编——排列组合与二项式定理
一、选择题 1.( 2009 广 东 卷 理 )2010 年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志 愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作,若其中小张和小赵只能从 事前两项工作,其余三人均能从事这四项工作,则不同的选派方案共有 A. 36 种 B. 12 种
1 1

C. 18 种
3

D. 48 种

【解析】分两类:若小张或小赵入选,则有选法 C 2 C 2 A3 ? 24 ;若小张、小赵都入选,则有 选法 A2 A3 ? 12 ,共有选法 36 种,选 A.
2 2

2.(2009 浙江卷理)在二项式 ( x ? ) 的展开式中,含 x 的项的系数是(
2 5

1 x

4

)

w.w.w.k.s.5.u. c.o. m

A. ?10 C. ?5 答案:B

B. 10 D. 5

【解析】对于 Tr ?1 ? C5 ( x )
r

2 5? r

1 r (? )r ? ? ?1? C5r x10?3r ,对于10 ? 3r ? 4,? r ? 2 ,则 x 4 的项 x

的系数是 C5 (?1) ? 10
2 2

3. ( 2009 (
w.w.w.k.s.5.u. c.o. m

北 京 卷 文 ) 若 (1 ? 2) ? a ? b 2(a, b 为 有 理 数 ), 则 a ? b ?
4

) A.33 B. 29 C.23 D.19 【答案】B 【解析】本题主要考查二项式定理及其展开式. 属于基础知识、基本运算的考查.
.w

∵ 1? 2

?

?

4

0 ? C4

? 2?

0

1 ? C4

? 2? ?C ? 2?
1 2 4

2

3 ? C4

? 2? ?C ? 2?
3 4 4

4

? 1 ? 4 2 ? 12 ? 8 2 ? 4 ? 17 ? 12 2 ,
由已知,得 17 ? 12 2 ? a ? b 2 ,∴ a ? b ? 17 ? 12 ? 29 .故选 B. 4. (2009 北京 卷文 )用数 字 1, 2,3 ,4 ,5 组 成的 无重 复数 字的四位 偶数 的个 数为 ( ) A.8 B.24 C.48 D.120 【答案】C 【解析】本题主要考查排列组合知识以及分步计数原理知识. 属于基础知识、基本运算的考 查.
.w

2 和 4 排在末位时,共有 A2 ? 2 种排法,
1

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其余三位数从余下的四个数中任取三个有 A4 ? 4 ? 3 ? 2 ? 24 种排法,
3

于是由分步计数原理,符合题意的偶数共有 2 ? 24 ? 48 (个).故选 C. 5. ( 2009 ( 北 京 卷 理 ) 若 (1 ? 2) ? a ? b 2(a, b 为 有 理 数 ), 则 a ? b ?
5

) A.45 B.55 C.70 D.80 【答案】C 【解析】本题主要考查二项式定理及其展开式. 属于基础知识、基本运算的考查. ∵ 1? 2

?

?

5

0 ? C5

? 2?

0

1 ? C5

? 2? ?C ? 2?
1 2 5

2

3 ? C5

? 2? ?C ? 2?
3 4 5

4

5 ? C5

? 2?

5

? 1 ? 5 2 ? 20 ? 20 2 ? 20 ? 4 2 ? 41 ? 29 2 ,
由已知,得 41 ? 29 2 ? a ? b 2 ,∴ a ? b ? 41 ? 29 ? 70 .故选 C. 6. (2009 北京卷理)用 0 到 9 这 10 个数字,可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 ( ) A.324 B.328 C.360 D.648 【答案】B 【解析】本题主要考查排列组合知识以及分类计数原理和分步计数原理知识. 属于基础知 识、基本运算的考查. 首先应考虑“0”是特殊元素,当 0 排在末位时,有 A9 ? 9 ? 8 ? 72 (个) ,
2

当 0 不排在末位时,有 A4 ? A8 ? A8 ? 4 ? 8 ? 8 ? 256 (个) ,
1 1 1

于是由分类计数原理,得符合题意的偶数共有 72 ? 256 ? 328 (个).故选 B. 7.(2009 全国卷Ⅱ文)甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门,则甲、乙所选的课程中恰有 1 门相同的选法有 (A)6 种 答案:C 解析:本题考查分类与分步原理及组合公式的运用,可先求出所有两人各选修 2 门的种数 (B)12 种 (C)24 种 (D)30 种

C 4 C 4 =36, 再求出两人所选两门都相同和都不同的种数均为 C 4 =6, 故只恰好有 1 门相同
的选法有 24 种 。 8.(2009 全国卷Ⅰ理)甲组有 5 名男同学,3 名女同学;乙组有 6 名男同学、2 名女同学。若 从甲、乙两组中各选出 2 名同学,则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有( D ) (A)150 种 (B)180 种 (C)300 种 (D)345 种 解: 分两类(1) 甲组中选出一名女生有 C5 ? C3 ? C6 ? 225 种选法;
1 1 2
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2

2

2

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(2) 乙组中选出一名女生有 C5 ? C6 ? C2 ? 120 种选法.故共有 345 种选法.选 D
2 1 1

9.(2009 江西卷理) (1 ? ax ? by) 展开式中不含 x 的项的系数绝对值的和为 243 ,不含 y 的
n

项的系数绝对值的和为 32 ,则 a, b, n 的值可能为 A. a ? 2, b ? ?1, n ? 5 C. a ? ?1, b ? 2, n ? 6 答案:D 【解析】 (1 ? b) ? 243 ? 3 , (1 ? a) ? 32 ? 2 ,则可取 a ? 1, b ? 2, n ? 5 ,选 D
n 5 n 5

B. a ? ?2, b ? ?1, n ? 6 D. a ? 1, b ? 2, n ? 5

w.w.w.k.s. 5.u. c.o. m

10.(2009 湖北卷理)将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班,每个班至少分到一名学生, 且甲、乙两名学生不能分到同一个班,则不同分法的种数为

A.18
【答案】C

B.24

C.30

D.36

【解析】用间接法解答:四名学生中有两名学生分在一个班的种数是 C42 ,顺序有 A33 种,而甲
2 3 3 乙被分在同一个班的有 A33 种,所以种数是 C4 A3 ? A3 ? 30

11.(2009

湖 北 卷 理 ) 设(

2 ? x)2 n ? a0 ? a1 x ? a 2 x 2 ? ... ? a2 n ?1 x 2 n ?1 ? a2 n x 2 n , 则 2

lim[(a0 ? a2 ? a4 ? ... ? a2 n ) 2 ? (a1 ? a3 ? a5 ? ... ? a2 n ?1 ) 2 ] ?
n ??

A. ? 1
【答案】B

B.0

C.1

D.

2 2

【解析】令 x ? 0 得 a0 ? ( 令 x ? 1时 (

2 2n 1 ) ? n 2 2

2 ? 1)2n ? a0 ? a1 ? a2 ? ??? ? a2 n 2 2 ? 1)2 n ? a0 ? a1 ? a2 ? ??? ? a2 n 2

令 x ? ?1 时 (

两式相加得: a0 ? a2 ? ??? ? a2 n ?

(

2 2 ? 1)2n ? ( ? 1)2n 2 2 2 ( 2 2 ? 1)2 n ? ( ? 1)2 n 2 2 2

两式相减得: a1 ? a3 ? ??? ? a2 n ?1 ? 代入极限式可得,故选 B
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12.(2009 四川卷文)2 位男生和 3 位女生共 5 位同学站成一排,若男生甲不站两端,3 位女 生中有且只有两位女生相邻,则不同排法的种数是 A. 60 B. 48 C. 42 D. 36 【答案】B 【解析】 解法一、 3 名女生中任取 2 人 从 “捆” 在一起记作 A, 共有 C3 A2 ? 6 种不同排法) (A ,
2 2

剩下一名女生记作 B,两名男生分别记作甲、乙;则男生甲必须在 A、B 之间(若甲在 A、B 两端。则为使 A、B 不相邻,只有把男生乙排在 A、B 之间,此时就不能满足男生甲不在两端 的要求)此时共有 6×2=12 种排法(A 左 B 右和 A 右 B 左)最后再在排好的三个元素中选出 四个位置插入乙,所以,共有 12×4=48 种不同排法。 解法二;同解法一,从 3 名女生中任取 2 人“捆”在一起记作 A, 共有 C3 A2 ? 6 种不同排 (A
2 2

法) ,剩下一名女生记作 B,两名男生分别记作甲、乙;为使男生甲不在两端可分三类情况: 第一类:女生 A、B 在两端,男生甲、乙在中间,共有 6 A2 A2 =24 种排法; 第二类: “捆绑”A 和男生乙在两端,则中间女生 B 和男生甲只有一种排法,此时共有
2 6A2 =12 种排法 2 2

第三类:女生 B 和男生乙在两端,同样中间“捆绑”A 和男生甲也只有一种排法。 此时共有 6A2 =12 种排法 三类之和为 24+12+12=48 种。 13. (2009 全国卷Ⅱ理)甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门。则甲、乙所选的课程中至少 有 1 门不相同的选法共有 A. 6 种 B. 12 种 C. 30 种 D. 36 种
w.w.w.k.s.5.u. c.o.m

2

解:用间接法即可. C4 ? C4 ? C4 ? 30 种. 故选 C
2 2 2

14.(2009 辽宁卷理)从 5 名男医生、4 名女医生中选 3 名医生组成一个医疗小分队,要求其 中男、女医生都有,则不同的组队方案共有 (A)70 种 (B) 80 种 (C) 100 种 (D)140 种 【解析】直接法:一男两女,有 C51C42=5×6=30 种,两男一女,有 C52C41=10×4=40 种,共计 70 种 间接法:任意选取 C93=84 种,其中都是男医生有 C53=10 种,都是女医生有 C41=4 种, 于是符合条件的有 84-10-4=70 种. 【答案】A 15.(2009 湖北卷文)从 5 名志愿者中选派 4 人在星期五、星期六、星期日参加公益活动,每 人一天,要求星期五有一人参加,星期六有两人参加,星期日有一人参加,则不同的选派方 法共有 A.120 种 【答案】C 【解析】5 人中选 4 人则有 C 5 种,周五一人有 C 4 种,周六两人则有 C 3 ,周日则有 C1 种,故
4 1 2 1

B.96 种

C.60 种

D.48 种

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共有 C 5 × C 4 × C 3 =60 种,故选 C 16.(2009 湖南卷文)某地政府召集 5 家企业的负责人开会,其中甲企业有 2 人到会,其余 4 家企业各有 1 人到会,会上有 3 人发言,则这 3 人来自 3 家不同企业的可能情况的种数为 【 B 】 A.14
3 2

4

1

2

B.16
1

C.20

D.48

解:由间接法得 C6 ? C2 ? C4 ? 20 ? 4 ? 16 ,故选 B. 17.(2009 全国卷Ⅰ文)甲组有 5 名男同学、3 名女同学;乙组有 6 名男同学、2 名女同学, 若从甲、乙两组中各选出 2 名同学,则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有 (A)150 种 (B)180 种 (C)300 种 (D)345 种

【解析】本小题考查分类计算原理、分步计数原理、组合等问题,基础题。 解:由题共有 C 5 C 6 C 2 ? C 5 C 3 C 6 ? 345,故选择 D。
2 1 1 1 1 2

18.(2009 四川卷文)2 位男生和 3 位女生共 5 位同学站成一排,若男生甲不站两端,3 位女 生中有且只有两位女生相邻,则不同排法的种数是 A. 60 B. 48 C. 42 D. 36 【答案】B 【解析】 解法一、 3 名女生中任取 2 人 从 “捆” 在一起记作 A, 共有 C3 A2 ? 6 种不同排法) (A ,
2 2

剩下一名女生记作 B,两名男生分别记作甲、乙;则男生甲必须在 A、B 之间(若甲在 A、B 两端。则为使 A、B 不相邻,只有把男生乙排在 A、B 之间,此时就不能满足男生甲不在两端 的要求)此时共有 6×2=12 种排法(A 左 B 右和 A 右 B 左)最后再在排好的三个元素中选出 四个位置插入乙,所以,共有 12×4=48 种不同排法。 解法二;同解法一,从 3 名女生中任取 2 人“捆”在一起记作 A, 共有 C3 A2 ? 6 种 (A
2 2

不同排法) ,剩下一名女生记作 B,两名男生分别记作甲、乙;为使男生甲不在两端可分三类 情况: 第一类:女生 A、B 在两端,男生甲、乙在中间,共有 6 A2 A2 =24 种排法; 第二类: “捆绑”A 和男生乙在两端,则中间女生 B 和男生甲只有一种排法,此时共有
2 6A2 =12 种排法 2 2

第三类:女生 B 和男生乙在两端,同样中间“捆绑”A 和男生甲也只有一种排法。 此时共有 6A2 =12 种排法 三类之和为 24+12+12=48 种。 19.(2009 陕西卷文)若 (1 ? 2 x) 的值为
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2009

2

? a0 ? a1 x ? ? ? a2009 x 2009 ( x ? R) ,则

a a1 a2 ? 2 ? ? ? 2009 2 2 22009

-5-

(A)2 答案:C.

(B)0
w.w.w.k.s.5.u. c.o. m

(C) ?1
1 1 2008

(D) ?2
2008

解析:由题意容易发现 a1 ? C2009 (?2) ? ?2 ? 2009 , a2008 ? C2009 (?2) 则

? (?2)2008 ? 2009 ,

a a a a1 a a a a ? ?2009, 2008 ? 2009,即 1 + 2008 =0 , 同理可以得出 2 + 2007 =0 , 3 + 2006 =0 ……… 2008 2008 2 2007 2 2 2 2 2 2 23 22006
亦即前 2008 项和为 0, 则原式=

a C 2009 (?2)2009 a a1 a2 ? ?1 故选 C. ? 2 ? ? ? 2009 = 2009 ? 2009 2009 2 2 2 22009 22009

20.(2009 陕西卷文)从 1,2,3,4,5,6,7 这七个数字中任取两个奇数和两个偶数,组成 没有重复数字的四位数,其中奇数的个数为 (A)432 (B)288 (C) 216 (D)108


答案:C. 解析:首先个位数字必须为奇数,从 1,3,5,7 四个中选择一个有 C 4 种,再丛剩余 3 个奇数 中选择一个,从 2,4,6 三个偶数中选择两个,进行十位,百位,千位三个位置的全排。则 共有 C4C3C3 A3 ? 216个 故选 C.
1 1 2 3
w.w.w.k.s.5.u. c.o.m

1

21.(2009 湖南卷理)从 10 名大学生毕业生中选 3 个人担任村长助理, 则甲、 乙至少有 1 人入选, 而丙没有入选的不同选法的种数位 [ C]
w.w.w.k.s.5.u. c.o. m

A 85 【答案】 :C

B 56

C 49

D 28

【解析】解析由条件可分为两类:一类是甲乙两人只去一个的选法有: C2 ? C7 ? 42 ,另一类
1 2

是甲乙都去的选法有 C2 ? C7 =7,所以共有 42+7=49,即选 C 项。
2 1

22.(2009 四川卷理)3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排,若男生甲不站两端,3 位女 生中有且只有两位女生相邻,则不同排法的种数是 A. 360 B. 188 C. 216 D. 96

【考点定位】本小题考查排列综合问题,基础题。 解析:6 位同学站成一排,3 位女生中有且只有两位女生相邻的排法有 A3 C 3 A4 A2 ? 332 种,
3 2 2 2

其中男生甲站两端的有 A2 A2 C 3 A3 A2 ? 144 ,符合条件的排法故共有 188
1 2 2 2 2

解析 2:由题意有 2 A2 ? (C3 ? A2 ) ? C2 ? C3 ? A2 ? (C3 ? A2 ) ? A4 ? 188 ,选 B。
2 2 2 1 1 2 2 2 2

23.(2009 重庆卷文) ( x ? 2) 的展开式中 x 的系数是(
6

3



w.w.w.k.s.5.u.c. o. m

A.20 【答案】D
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B.40

C.80

D.160

-6-

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解法 1 设含 x 的为第 r ? 1 ,则 Tr ? 1 ? Cn x
3
r

6? r

? 2r ,令 6 ? r ? 3 ,得 r ? 3 ,故展开式

3 中 x 的系数为 C6 ? 2 ? 160 。
3 3

解法 2 根据二项展开式的通过公式的特点: 二项展开式每一项中所含的 x 与 2 分得的次 数和为 6,则根据条件满足条件 x 的项按 3 与 3 分配即可,则展开式中 x 的系数为
3 C6 ? 23 ? 160 。

3

3

24. 2009 重庆卷文) 个篮球队中有 3 个强队, ( 12 将这 12 个队任意分成 3 个组 (每组 4 个队) , 则 3 个强队恰好被分在同一组的概率为( ) A.

1 55

B.

3 55

C.

1 4

D.

1 3

【答案】B
4 4 4 C12 C8 C 4 解析因为将 12 个组分成 4 个组的分法有 种, 3 个强队恰好被分在同一组分法 而 A3 3 4 C3C1 C8 C 4 3 3 1 4 4 2 4 4 4 3 3 9 4 ,故个强队恰好被分在同一组的概率为 C9C9C8 C4 A 2C12C8 C4 A3 = 。 2 A2 55



二、填空题

w.w.w.k.s.5.u.c. o.m

1.(2009 宁夏海南卷理)7 名志愿者中安排 6 人在周六、周日两天参加社区公益活动。若每天 安排 3 人,则不同的安排方案共有________________种(用数字作答) 。 解析: C7 C4 ? 140 ,答案:140
3 3

2.(2009 湖北卷文)已知(1+ax)3,=1+10x+bx3+…+a3x3,则 b= 【答案】40 【解析】因为 Tr ?1 ? C5 ? (ax ) ∴ C 5 ? a ? 10
r r
1 1

.

2 C3 ? a 2

? b .解得 a ? 2, b ? 40
6
2

3.(2009 湖南卷文)在 (1 ?

x )4 的展开式中, x 的系数为
r

(用数字作答).

r r 解: ? Tr ?1 ? C4 ( x )r ? C4 ( x) 2 ,故 r ? 2 得 x 的系数为 C4 ? 6.

4. ( 2009 全 国 卷 Ⅰ 文 ) ( x ? y ) 的 展 开 式 中 , x y 的 系 数 与 x y 的 系 数 之 和 等 于
10

7

3

3

7

_____________. 【解析】本小题考查二项展开式通项、基础题。 (同理 13) 解: 因 Tr ?1 ? ( ?1) C 10 x
r r 10? r
3 7 3 y r 所以有 ?C10 ? (?C10 ) ? ?2C10 ? ?240

5.(2009 四川卷文) (2 x ?
m

1 6 ) 的展开式的常数项是 2x

(用数字作答)

w.w.w.k.s.5.u. c.o.

【答案】-20
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r 【解析】 Tr ?1 ? (?1) r C6 (2 x) 6?r (
3

1 r r ) ? (?1) r C6 2 6?2 r x 6?2 r ,令 6 ? 2r ? 0 ,得 r ? 3 2x
3

故展开式的常数项为 (?1) C 6 ? ?20 6.(2009 湖南卷理)在 (1 ? x) ? (1 ?
3

x )2 ? (1 ? 3 x ) 的展开式中, x 的系数为___7__(用数字作

答) 【答案】 :7
w.w.w.k.s.5.u. c.o. m

【解析】由条件易知 (1 ? x) , (1 ?
3

2 3 x )3 , (1 ? 3 x )3 展开式中 x 项的系数分别是 C1 , C3 , C3 ,即 3

所求系数是 3 ? 3 ? 1? ? 7 7.(2009 天津卷理)用数字 0,1,2,3,4,5,6 组成没有重复数字的四位数,其中个位、 十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有 个(用数字作答) 【考点定位】本小题考查排列实际问题,基础题。 解析:个位、十位和百位上的数字为 3 个偶数的有: C 3 A3 C 4 ? A3 C 3 ? 90 种;个位、十位
2 3 1 3 1

和百位上的数字为 1 个偶数 2 个奇数的有: C 3 A3 C 4 ? C 3 C 3 A3 C 3 ? 234 种,所以共有
2 3 1 1 2 3 1

90 ? 234 ? 324个。
8.(2009 四川卷理) (2 x ?

1 6 ) 的展开式的常数项是 2x

(用数字作答)

【考点定位】本小题考查二项式展开式的特殊项,基础题。 (同文 13) 解析:由题知 (2 x ?
3 3

1 6 r ) 的通项为 Tr ?1 ? ( ?1) r C 6 2 6? 2 r x 6? 2 r ,令 6 ? 2r ? 0 得 r ? 3 ,故常 2x

数项为 ( ?1) C 6 ? ?20 。 9.(2009 浙江卷理)观察下列等式:
1 C5 ? C5 5 ? 2 3 2 , ? 1 5 9 C9 ? C9 ? C9 ? 27 ? 23 ,
1 5 9 13 C13 ? C13 ? C13 ? C13 ? 211 ? 25 , 1 1 7 1 C1 7? C 51 ? C 9? 7 1?31C ? 2 7 ? 2 5 , 7 1 C 7 1 7

……… 由以上等式推测到一个一般的结论:
* 对于 n ? N , C4 n ?1 ? C4 n ?1 ? C4 n ?1 ? ? ? C4 n ?1 ?
1 5 9 4 n ?1



w.w.w.k.s.5.u.c. o.m

答案: 2

4 n ?1

? ? ?1? 22 n ?1
n n

【解析】这是一种需类比推理方法破解的问题,结论由二项构成,第二项前有 ? ?1? ,二项指 数 分 别 为

24 n ?

n1 ?

,

22 ,
-8-



1







n ? N*



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1 5 9 4 n ?1 C4 n?1 ? C4 n?1 ? C4 n?1 ? ? ? C4 n?1 ? 24 n ?1 ? ? ?1? 22 n ?1
n

10.(2009 浙江卷理)甲、乙、丙 3 人站到共有 7 级的台阶上,若每级台阶最多站 2 人,同一 级台阶上的人不区分站的位置,则不同的站法种数是 答案:336 【解析】对于 7 个台阶上每一个只站一人,则有 A7 种;若有一个台阶有 2 人,另一个是 1 人, 则共有 C3 A7 种,因此共有不同的站法种数是 336 种.
1 2
w.w.w.k.s.5.u.c.o. m

(用数字作答) .

3

11.(2009 浙江卷文)有 20 张卡片,每张卡片上分别标有两个连续的自然数 k , k ? 1 ,其中

k ? 0,1, 2,? ,19.
从这 20 张卡片中任取一张,记事件“该卡片上两个数的各位数字之和(例如:若取到 标有 9,10 的卡片,则卡片上两个数的各位数字之和为 9 ? 1 ? 0 ? 10 )不小于 14 ”为 A , 则 P( A) ? .
w.w.w.k.s.5.u.c. o.m

1 【命题意图】此题是一个排列组合问题,既考查了分析问题,解决问题的能力,更侧重于 4
考查学生便举问题解决实际困难的能力和水平 【解析】 对于大于 14 的点数的情况通过列举可得有 5 种情况, 7,8;8,9;16,17;17,18;18,19 , 即 而基本事件有 20 种,因此 P( A) ?
4

1 4

w. w.w.k.s.5. u.c. o. m

3 3 12.(2009 全国卷Ⅱ文) ( x y ? y x ) 的展开式中 x y 的系数为

×

答案:6 解析:本题考查二项展开式,直接用公式展开,注意根式的化简。
7 3 3 7 13. (2009 全国卷Ⅰ理)? x ? y ? 的展开式中,x y 的系数与 x y 的系数之和等于
10



解: ?C10 ? (?C10 ) ? ?2C10 ? ?240
3 7 3

14.(2009 四川卷文) (2 x ?
m

1 6 ) 的展开式的常数项是 2x
6?r

(用数字作答)

w.w.w.k.s.5.u. c.o.

【答案】-20 【解析】 Tr ?1 ? (?1) C6 (2 x)
r r

(
3

1 r r ) ? (?1) r C6 2 6?2 r x 6?2 r ,令 6 ? 2r ? 0 ,得 r ? 3 2x
3
w.w.w.k.s.5. u.c. o. m

故展开式的常数项为 (?1) C 6 ? ?20 15.(2009 全国卷Ⅱ理) x y ? y x 解: x y ? y x

?

? 的展开式中 x y 的系数为
4
3 3

6



?

?

4

? x 2 y 2 ( x ? y )4 ,只需求 ( x ? y ) 4 展开式中的含 xy 项的系数:

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2 C4 ? 6

16.(2009 年上海卷理)某学校要从 5 名男生和 2 名女生中选出 2 人作为上海世博会志愿者, 若用随机变量 ? 表示选出的志愿者中女生的人数,则数学期望 E? ____________(结果用 最简分数表示). 【答案】
w.w.w.k.s.5.u.c. o.m

4 7
C 52 C 72 ? C 1C 1 10 10 , P( ? =1)= 5 2 2 ? , 21 21 C7

【解析】 ? 可取 0,1,2,因此 P( ? =0)=
2 C2

P( ? =2)=

C

2 7

?

1 10 10 1 4 , E? =0× ? 1? ? 2? = 21 21 21 21 7
2

17.(2009 重庆卷理) ( x ? ) 的展开式中 x 的系数是(
8

2 x

4

) D.1120

A.16 【答案】
4

B.70

C.560
r 2 6? r

【解析】设含 x 的为第 r ? 1, Tr ?1 ? C6 ( x )
4 4

2 r ( )r ? C6 2r x16?3r ,16 ? 3r ? 4 x

所以 r ? 4 ,故系数为: C6 2 ? 1120 ,选 D。 18.(2009 重庆卷理)锅中煮有芝麻馅汤圆 6 个,花生馅汤圆 5 个,豆沙馅汤圆 4 个,这三种 汤圆的外部特征完全相同。从中任意舀取 4 个汤圆,则每种汤圆都至少取到 1 个的概率为 ( ) A.

8 91

B.

25 91
4

C.

48 91

D.

60 91

w.w.w.k.s.5. u.c. o.m

【答案】C 【解析】因为总的滔法 C15 , 而所求事件的取法分为三类,即芝麻馅汤圆、花生馅汤圆。豆沙 馅汤圆取得个数分别按 1.1.2;1,2,1;2,1,1 三类,故所求概率为
1 1 2 1 1 2 1 1 C6 ? C5 ? C4 ? C6 ? C52 ? C4 ? C6 ? C5 ? C4 48 ? 4 C15 91

19.(2009 重庆卷理)将 4 名大学生分配到 3 个乡镇去当村官,每个乡镇至少一名,则不同的 分配方案有 种(用数字作答) . 【答案】36 【解析】分两步完成:第一步将 4 名大学生按,2,1,1 分成三组,其分法有
2 1 1 C4 ? C2 ? C1 ;第 2 A2

二 步 将 分 好 的 三 组 分 配 到 3 个 乡 镇 , 其 分 法 有 A3 所 以 满 足 条 件 得 分 配 的 方 案 有

3

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2 1 1 C4 ? C2 ? C1 3 ? A3 ? 36 2 A2

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