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2008年高考数学考题复习之数形结合思想




《新课标》高三数学(人教版)第二轮复习专题讲座

第一讲
一.知识探究:

数形结合思想

数形结合作为一种重要的数学思想方法历年来一直是高考考察的重点之一。数形结 合是数学解题中常用的思想方法,使用数形结合的方法,很多问题能迎刃而解,且解法 简捷。所谓数形结合,就是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决 数学问题的一种重要思想方法。数形结合思想通过“以形助数,以数解形” ,使复杂问题 简单化,抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质,它 是数学的规律性与灵活性的有机结合。 这种思想方法体现在解题中,就是指在处理数学问题时,能够将抽象的数学语言与 直观的几何图象有机结合起来思索,促使抽象思维和形象思维的和谐复合,通过对规范 图形或示意图形的观察分析,化抽象为直观,化直观为精确,从而使问题得到简捷解决。 1.数形结合的途径 (1)通过坐标系形题数解 借助于建立直角坐标系、复平面可以将图形问题代数化。这一方法在解析几何中体 现的相当充分(在高考中主要也是以解析几何作为知识载体来考察的) ;值得强调的是, 形题数解时,通过辅助角引入三角函数也是常常运用的技巧(这是因为三角公式的使用, 可以大大缩短代数推理) 实现数形结合,常与以下内容有关:①实数与数轴上的点的对应关系;②函数与图 象的对应关系;③曲线与方程的对应关系;④以几何元素和几何条件为背景,建立起来 的概念,如复数、三角函数等;⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。

如等式( x ? 2) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 4
(2)通过转化构造数题形解 许多代数结构都有着对应的几何意义,据此,可以将数与形进行巧妙地转化.例如, 将 a > 0 与 距 离 互 化 , 将 a
2

与 面 积 互 化 , 将

a +b +ab=a +b -

2

2

2

2

2 a b cos? (? ? 60?或? ? 120?) 与余弦定理沟通,将 a≥b≥c>0 且 b+c>a 中的 a、b、 c 与三角形的三边沟通,将有序实数对(或复数)和点沟通,将二元一次方程与直线、将 二元二次方程与相应的圆锥曲线对应等等 .这种代数结构向几何结构的转化常常表现为 构造一个图形 (平面的或立体的) 。 另外, 函数的图象也是实现数形转化的有效工具之一, 正是基于此,函数思想和数形结合思想经常借助于相伴而充分地发挥作用。 2.数形结合的原则
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(1)等价性原则 在数形结合时,代数性质和几何性质的转换必须是等价的,否则解题将会出现漏洞. 有时,由于图形的局限性,不能完整的表现数的一般性,这时图形的性质只能是一种直 观而浅显的说明,但它同时也是抽象而严格证明的诱导。 (2)双向性原则 在数形结合时,既要进行几何直观的分析,又要进行代数抽象的探索,两方面相辅 相成,仅对代数问题进行几何分析(或仅对几何问题进行代数分析)在许多时候是很难 行得通的。 例如,在解析几何中,我们主要是运用代数的方法来研究几何问题,但是在许多时 候,若能充分地挖掘利用图形的几何特征,将会使得复杂的问题简单化。 (3)简单性原则 就是找到解题思路之后,至于用几何方法还是用代数方法、或者兼用两种方法来叙 述解题过程,则取决于那种方法更为简单.而不是去刻意追求一种流性的模式——代数问 题运用几何方法,几何问题寻找代数方法。

二.命题趋势
纵观多年来的高考试题,巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题, 可起到事半功倍的效果,数形结合的重点是研究“以形助数” 。

三.例题点评
题型 1:利用数轴、韦恩图解决集合与函数问题 例 1. (1) (2003 上海春,5)已知集合 A={x||x|≤2,x∈R},B={x|x≥a},且 A B, 则实数 a 的取值范围是_____. (2) (1999 全国,1)如图所示,I 是全集,M、P、S 是 I 的 3 个子集,则阴影部分所表示的集合是( ) A.(M∩P)∩S B.(M∩P)∪S C.(M∩P)∩
IS

D.(M∩P)∪

IS

解析: (1)a≤-2; ∵A={x|-2≤x≤2},B={x|x≥a},又 A ? B,利用数轴 上覆盖关系, 因此有 a≤-2. (2)C;由图知阴影部分表示的集合是 M∩P 的子集 且是
IS

图 1—1

的子集,故答案为C。

点评:本题主要利用数轴、韦恩图考查集合的概念和集合的关系。 例 2. (1) (06 重庆卷)如图所示,单位圆中弧 AB 的长为 x,f(x)表示弧 AB 与弦 AB
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所围成的弓形面积的2倍,则函数 y=f(x)的图象是(



(2) (06 浙江卷)对 a,b ? R,记 max|a,b|= ? 的最小值是 。

?a , a ? b 函数 f(x)=max||x+1|,|x-2||(x ? R) ?b, a<b

解析: (1)如图所示,单位圆中 ? AB 的长为 x , f ( x)表示弧 ? AB 与弦 AB 所围成的 弓形面积的 2 倍, 当? 函数 y ? f ( x) 的值增加的越来越快, 当? AB 的长小于半圆时, AB 的 长大于半圆时,函数 y ? f ( x) 的值增加的越来越慢,所以函数 y ? f ( x) 的图像是 D。 (2)由 x ? 1 ? x ? 2 ? ? x ? 1? ? ? x ? 2 ? ? x ?
2 2

1 , 2

? ? x ?1 故 f ?x ? ? ? ? ?x?2 ? ?

1? ? ?x ? ? 2 ? ,其图象如右, ? 1? ? ?x ? ? 2? ?

y ? x?2

y ? x ?1

则 f min ?x ? ? f ? ? ?

?1? ?2?

1 3 ?1 ? 。 2 2

点评:数学中考查创新思维,要求必须要有良 好的数学素养,考查新定义函数的理解、解绝对值 不等式,中档题,借形言数。 题型 2:解决方程、不等式问题
2 例 3.若方程 lg ? x ? 3x ? m ? lg?3 ? x ? 在 x ? 0,3 内有唯一解,求实数 m 的

?

?

?

?

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取值范围。 解析: (1)原方程可化为 ?? x ? 2? ? 1 ? m?0 ? x ? 3?
2

设 y1 ? ?? x ? 2? ? 1 ?0 ? x ? 3?,y2 ? m
2

在同一坐标系中画出它们的图象 (如图) 。 由原方程在 (0, 3) 内有唯一解, 知 y1 与y 2 的图象只有一个公共点,可见 m 的取值范围是 ?1 ? m ? 0 或 m ? 1。

例 4.已知 u ? 1,v ? 1 且 ?log a u? ? ?log a v ? ? log a au
2 2

求 log a ?uv ? 的最大值和最小值。 解析:令 x ? log a u,y ? log a v , 则已知式可化为

? ? ? log ?av ? ?a ? 1? ,
2 2 a

? ?x ? 0,y ? 0? 与圆弧 ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 4 ? x ? 0,y ? 0? 相切时,截距 t 取最大值
再 设 t ? log a ?uv? ? x ? y x ? 0,y ? 0 ,由图 3 可见, 则当线 段 y ? ? x ? t
2 2

? x ? 1? 2 ? ? y ? 1? 2

?

? 4 ? x ? 0,y ? 0? ,

(如图 3 中 CD 位置) ; 当线段端点是圆弧端点时, t 取最小值 t min ? 1 ? 3 t max ? 2 ? 2 2 (如图中 AB 位置) 。因此 log a (uv ) 的最大值是 2 ? 2 2 ,最小值是 1 ? 3 。

点评:数形结合的思想方法,是研究数学问题的一个基本方法。深刻理解这一观点, 有利于提高我们发现问题、分析问题和解决问题的能力。 题型 3:解决三角函数、平面向量问题

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例 5. (1) (06 安徽卷)将函数 y ? sin ? x(? ? 0) 的图象按向量 a ? ? ? 平移后的图象如图所示,则平移后的图象所对应函数的解析式是( A. y ? sin( x ? C. y ? sin(2 x ? )

? ? ? , 0 ? 平移, ? 6 ?

?

?
3

6

) )

B. y ? sin( x ? D. y ? sin(2 x ?

?
6

) )

?
3

x ? (2) ( 06 江 苏 卷 ) 为 了 得 到 函 数 y ? 2 sin( ? ), x ? R 的 图 像 , 只 需 把 函 数 3 6
y ? 2 sin x, x ? R 的图像上所有的点(



(A)向左平移 变) (B)向右平移 变) (C)向左平移 变) (D)向右平移 变)

?
6

1 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不 3

?

1 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不 6 3

?
6

个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不

?
6

个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不

? ? ? , 0 ? 平移,平移后的图 ? 6 ? ? 7? ? 3? ? )? 象所对应的解析式为 y ? sin ? ( x ? ) ,由图象知,? ( ,所以 ? ? 2 ,因 6 12 6 2
解析: (1)将函数 y ? sin ? x(? ? 0) 的图象按向量 a ? ? ?

?

此选 C; (2)解析:本题主要考三角函数的图象变换,这是一道平时训练的比较多的一种类 型。

x, x ? R 的 图 象 向 左 平 移 先 将 y ? 2s i n

y?2 s i n x? ( 6

?

? 个单位长度,得到函 数 6

x)? , 的图象,再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的 R 3 倍(纵坐 x ? ? ), x ? R 的图像,选择 C。 3 6

标不变)得到函数 y ? 2 sin(

点评: 由函数 y ? sin x, x ? R 的图象经过变换得到函数 y ? A sin(? x ? ? ), x ? R (1)
第 5 页 共 11 页

y=Asinx,x?R(A>0 且 A?1)的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长 (A>1) 或缩短(0<A<1)到原来的 A 倍得到的; (2)函数 y=sinω x, x?R (ω >0 且ω ?1)的图象,可 看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(ω >1)或伸长(0<ω <1)到原来的 倍(纵坐标不 ? 变) ; (3)函数 y=sin(x+ ? ),x∈R(其中 ? ≠0)的图象,可以看作把正弦曲线上所有点 向左(当 ? >0 时)或向右(当 ? <0 时=平行移动| ? |个单位长度而得到 (用平移法注
王新敞
奎屯 新疆

1

意讲清方向: “加左” “减右”),可以先平移变换后伸缩变换,也可以先伸缩变换后平移 变换,但注意:先伸缩时,平移的单位把 x 前面的系数提取出来。 例 6. (06 湖南卷)如图,OM∥AB,点 P 在由射线 OM、线段 OB 及 AB 的延长线围成的 P 阴影区域内(不含边界)运动,且 M ??? ? ??? ? ??? ? OP ? xOA ? yOB , 则 x 的 取 值 范 围 是 是 ;当 x ? ?

B

1 时, y 的取值范围 2

。 解析:如图, OM // AB , 点 P 在由射

O

A

线 OM , 线段 OB 及 AB 的延长线围成的区域内 (不含边界)运动, 且 OP ? xOA ? yOB , 由向量加法的平行四边形法则,OP 为平行四边形的对角线,该四边形应是以 OB 和 OA 的反向延长线为两邻边,∴ x 的取值范围是(-∞,0);

1 3 1 时, 要使 P 点落在指定区域内, 即 P 点应落在 DE 上, CD= OB, CE= OB, 2 2 2 1 3 ∴ y 的取值范围是( , )。 2 2
当x ? ? 点评:平面向量经常和平面图形结合到一块,利用平面图形的几何意义以及具有几 何性质的平面向量基本定理处理实际问题。 题型 4:解析几何问题

? x ? 1, ? 2 2 例 7. (1) (06 湖南卷)已知 ? x ? y ? 1 ? 0, 则 x ? y 的最小值是 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?



(2) (06 全国 II)过点(1, 2)的直线 l 将圆(x-2)2+y2=4 分成两段弧,当劣弧 所对的圆心角最小时,直线 l 的斜率 k= 。

?x ? 1 ? 2 2 解析: (1)由 ? x ? y ? 1 ? 0 ,画出可行域,得交点 A(1,2),B(3,4),则 x ? y ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?
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的最小值是 5。 (2) (数形结合) 由图形可知点 A (1, 2) 在圆 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 的内部, 圆心为 O(2,0) 要使得劣弧所对的圆心角最小,只能是直线 l ? OA ,所以 kl ? ? 1 ? ? 1 ? 2 。 kOA 2 ? 2 点评:线性规划是借助平面区域表示直线、不等式等代数表达式,最终借助图形的 性质解决问题;对于直线与圆的位置关系以及一些相关的夹角、弦长问题,往往要转化 为点到线的距离问题来解决。 例 8. (1) (06 上海卷)若曲线 y 2 =| x |+1 与直线 y = kx + b 没有公共点,则 k 、 b 分别应满足的条件 是 。 解析:作出函数 y 2 ?| x | ?1? ?

右图所示:所以, k ? 0, b?(?1,1) ;

? x ?1, x ? 0 的图象,如 ?? x ?1, x ? 0

x2 y 2 (2) (06 江西卷) 如图, 椭圆 Q: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a b
的右焦点为 F (c, 0) ,过点 F 的一动直线 m 绕点 F 转动,并且交椭圆于 A, B 两点, P 为线段 AB 的中点. (1)求点 P 的轨迹 H 的方程;
2 (2)若在 Q 的方程中,令 a ? 1 ? cos ? ? sin ? , b 2 ? sin ? ? 0 ? ? ≤

? ?

?? ? ,设轨迹 ??

H 的最高点和最低点分别为 M 和 N ,当 tan ? 为何值时, △MNF 为一个正三角形?

x 2 y2 1(a?b?0)上的点 A(x1,y1) 解析:如图, (1)设椭圆 Q: 2 + 2 = 、B(x2,y2) , a b
2 2 2 2 2 2 ? 1) ?b x1+a y1=a b ????( 又设 P 点坐标为 P(x,y) ,则 ? 2 2 2 2 2 2 ? ?b x 2+a y 2=a b ????(2)

1?当 AB 不垂直 x 轴时,x1?x2, 由(1)-(2)得 b2(x1-x2)2x+a2(y1-y2)2y=0,

?

y1-y2 b2 x y , =- 2 = x1-x 2 a y x-c

?b2x2+a2y2-b2cx=0????(3) , 2?当 AB 垂直于 x 轴时,点 P 即为点 F,满足方程(3) ,
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故所求点 P 的轨迹方程为:b2x2+a2y2-b2cx=0,

c 2 (x- ) 2 2 2 + y =( c ) (2)因为轨迹 H 的方程可化为: , a2 b2 2a c bc c bc ?M( , ) ,N( ,- ) ,F(c,0) ,使△MNF 为一个正三角形时, 2 2a 2 2a bc ? b 则 tan = 2 a = ,即 a2=3b2,由于 a 2 ? 1 ? cos ? ? sin ? , c a 6 2
4 ?? ? b2 ? sin ? ? 0 ? ? ≤ ? ,则 1+cos?+sin?=3 sin?,得 tan?= 。 3 ?? ?
点评:对于直线与圆锥曲线的相交及相关问题,借数言形是常用的方法,可以通过 斜率处理垂直、夹角等问题,等等。 题型 5:导数问题 y

y ? f ?( x)

例 9. (06 天津卷)函数 f ( x) 的定义域为 开区间 ( a, b) , 导函数 f ?( x) 在 ( a, b) 内的图象 如图所示, 则函数 f ( x) 在开区间 ( a, b) 内有极 小值点( A.1 个 ) B.2 个 C.3 个 D. 4 个

b

a

O

x

解析: 函数 f ( x) 的定义域为开区间 ( a, b) , 导函数 f ?( x) 在 ( a, b) 内的图象如图所示, 函数 f ( x) 在开区间 ( a, b) 内有极小值的点即函数由减函数变为增函数的点,其导数值为 由负到正的点,只有 1 个,选 A。 点评:通过函数图像分解导函数的正负,对应好原函数的单调递增、单调递减。
3 3

例 10. (06 浙江卷)已知函数 f(x)=x + x ,数列|x n | (x n >0)的第一项 x n =1,以后各项按如下方式取定:曲线 x=f(x)在 ( xn?1 , f ( xn?1 )) 处的切线与经过 (0, 0) 和 (x n ,f (x n )) 两点的直线平行(如图)
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求证:当 n ? N * 时,

n ?1 2 ? xn ? ( ) n?2 。 (Ⅰ)x 2 n ? xn ? 3xn?1 ? 2 xn?1 ; (Ⅱ) ( )

1 2

1 2

证明: (I)因为 f ' ( x) ? 3x2 ? 2 x, 所以曲线 y ? f ( x) 在 ( xn?1 , f ( xn?1 )) 处的切线斜率
2 kn?1 ? 3xn ? 2xn?1. ?1
2 2 因为过 (0, 0) 和 ( xn , f ( xn )) 两点的直线斜率是 xn ? xn ? 3xn?12 ? 2xn?1 . ? xn , 所以 xn

(II)因为函数 h( x) ? x2 ? x 当 x ? 0 时单调递增,
2 而 xn ? xn ? 3xn?12 ? 2xn?1 ? 4xn?12 ? 2xn?1 ? (2xn?1 )2 ? 2xn?1 ,

所以 xn ? 2 xn?1 ,即

xn?1 1 x x x 1 ? , 因此 xn ? n ? n ?1 ????? 2 ? ( )n ?1. xn 2 xn ?1 xn ?2 x1 2
2

2 又因为 xn ? xn ? 2( xn?1 ? xn?1 ), 令 yn ? xn ? xn , 则

2

yn?1 1 ? . yn 2

1 2 1 1 1 2 n?2 n ?1 n?2 因此 xn ? xn ? xn ? ( ) , 故 ( ) ? xn ? ( ) . 2 2 2

2 因为 y1 ? x1 ? x1 ? 2, 所以 yn ? ( ) n ?1 ? y1 ? ( ) n ?2 .

1 2

点评:切线方程的斜率与函数的导数对应,建立了几何图形与函数值的对应。 题型 6:平面几何问题 例 11.已知 ?ABC 三顶点是 A(4,1), B(7,5), C (?4,7) ,求 ? A 的平分线 AD 的长。 解析:第一步,简单数形结合,在直角坐标系下,描出已知点 A, B, C ,画出 ?ABC 的边及其 ? A 的平分线 AD 。 (如图) 第二步,观察图形,挖掘图形的特性(一般性或特殊性) ,通过数量关系证明(肯 定或否定)观察、挖掘出来的特性。特性有: (1) AB ? AC ; (2) ?BAD ? ?CAD ? 45? ; (3) CD ? 2DB , (4) ?ABC ? 2?ACB ? 60? 等等。

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

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证明:∵ A(4,1), B(7,5), C (?4,7) ∴ AB ? (3, 4), AC ? (?8,6) , AB ? 5, AC ? 10 ∵ AB ? AC ? ?3? 8 ? 4 ? 6 ? 0 ∴(1) AB ? AC ,∵ AD 是 ? A 的平分线;

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

?BAD ? ?CAD ? 45? , ∴ (2) ∵
平分线定理) ;

CD DB

?

AC AB

?

10 ? 2 (角 5

∴(3) CD ? 2DB ,∵ tan ?ABC ? tan ?60? ? 3 ? 2 , ∴(4) ?ABC ? 2?ACB ? 60? 不正确, 第三步, 充分利用图形的属性, 创造性地数形结合, 完成解题。 过点 D 作 DE ? AB , 交 AB 于点 E , 则有 ?BDE ∽ ?BCA 或 DE ? 以口答出) AD ?

??? ?

??? ?

1 10 AC ? 等等。 又在 Rt ?ADE 中, (可 3 3

2 DE ?

10 2 。 3

点评:数形结合的基础是作图要基本准确,切忌随手作图!数形结合的关键是挖掘 图形的几何属性,切忌只重数量关系忽视位置关系!如果把本题的图形随手作成如下一 般平面图形,则失去了数形结合的基础,很难挖掘出图形的几何属性,是很失败的。 例 12.已知 A={(x,y)||x|≤1,|y|≤1},B= { (x,y)|(x – a )2+(y – a )2≤1 , a ∈R } , 若 A∩B≠ ? , 则 是 。 解析:如图,集合 A 所表示的点为正方 形 PQRS 的内部及其边界, 集合 B 所表示的 点为以 C( a , a )为圆心,以 1 为半径的圆的
1 2

a

的 取 值 范 围

?1?

2 2

S

R

O
P

1? 2 Q

2

x

x

x1 2

内部及其边界.而圆心 C( a , a )在直线 y=x 上,故要使 A∩B≠ ? , 则 ?1 ?
2 2 ? a ? 1? 2 2

为所求。

点评:应用几何图象解决问题时,尤其要注意特殊点(或位置)的情况,本题就是 按照这样的思路直接求出实数 a 的取值范围.
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四.思维总结
从目前高考“注重通法,淡化特技”的命题原则来看,对于数形结合的数学思想方 法,我们在复习时,应将重点置于解析几何中图象的几何意义的重视与挖掘以及函数图 象的充分利用之上即可。 数形结合的思想方法应用广泛,常见的如在解方程和解不等式问题中,在求函数的 值域,最值问题中,在求复数和三角函数问题中,运用数形结合思想,不仅直观易发现 解题途径,而且能避免复杂的计算与推理,大大简化了解题过程。这在解选择题、填空 题中更显其优越,要注意培养这种思想意识,要争取胸中有图,见数想图,以开拓自己 的思维视野。 数形结合的思想,其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来,关键是代数问 题与图形之间的相互转化,它可以使代数问题几何化,几何问题代数化。在运用数形结 合思想分析和解决问题时,要注意三点:第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以 及曲线的代数特征,对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义; 第二是恰当设参、合理用参,建立关系,由数思形,以形想数,做好数形转化;第三是 正确确定参数的取值范围。

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