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正_余弦定理应用举例_图文

1.2.1《正弦余弦应用举例》

解应用题中的几个角的概念
1、仰角、俯角的概念: 在测量时,视线与水平线 所成的角中,视线在水平线 上方的角叫仰角,在水平线 下方的角叫做俯角。如图:

2、方向角:指北或指南 方向线与目标方向线所成 的小于90°的水平角,叫 方向角,如图

测量问题: 1、水平距离的测量

①两点间不能到达, 又不能相互看到。 需要测量CB、CA的长和角C的大小,由余弦定理,
AB2 ? CA2 ? CB2 ? 2CA?CB cos C 可求得AB的长。

②两点能相互看到,但不能到

达。 需要测量BC的长、角B和角C的大小, 由三角形的内角和,求出角 A 然后 由正弦定理,
AB BC ? sin C sin A 可求边AB的长。

例1、设A、B两点在河的两岸,要测量两点之间的距离。

测量者在A的同测,在所在的河岸边选定一点C, 测出AC的距离是55cm,∠BAC=51o, ∠ACB =75o,求A、B两点间的距离(精确到0.1m)
分析:已知两角一边,可以用正弦定理解三角形

AB AC = sin C sin B

二、应用举例

例1.设A、B两点在河的两岸,要测量两点之间的距离。 测量者在A的同侧,在其所在的河岸边选定一点C,测出 AC的距离是55m,∠BAC=51o, ∠ACB=75o,求A、 B两点间的距离(精确到0.1m) B 解:如图,在△ABC中, B=180o-(51o+75o)=54o o o AB AC 51 75 A C ? 55m 所以由 sin C sin B

AC sin C 55sin 75? ? ? 65.7(m) 可得 AB ? ? sin B sin 54
答:A,B两点间的距离约为65.7米。

③两点都不能到达 第一步:在△ACD中,测角∠DAC,

由正弦定理

AC DC ? sin ?ADC sin ?DAC

求出AC的长; 第二步:在△BCD中求出角∠DBC,

由正弦定理

BC DC ? sin ?BDC sin ?DBC

求出BC的长;

第三步:在△ABC中,由余弦定理 AB2 ? CA2 ? CB2 ? 2CA? CB cos C 求得AB的长。

例2、A、B两点都在河的对岸(不可到达),设计一种 测量两点间的距离的方法。

分析:用例1的方法,可以计算出河的这一岸的一 点C到对岸两点的距离,再测出∠BCA的大小, 借助于余弦定理可以计算出A、B两点间的距离。

二、应用举例 例2.A、B两点都在河的对岸(不可到达),设计一种 测量两点间的距离的方法。 A B 解:如图,测量者可以在 河岸边选定两点C、D,设 CD=a,∠BCA=α, δ ∠ACD=β,∠CDB=γ, α γ β ∠ADB=δ D a C a sin(? ? ? ) a sin(? ? ? ) AC ? ? ? sin?180 ? ( ? ? ? ? ? )? sin( ? ? ? ? ? ) a sin ? a sin ? BC ? ? ? sin?180 ? (? ? ? ? ? )? sin(? ? ? ? ? )

AB ? AC ? BC ? 2 AC ? BC cos ?
2 2

三、练习 为了测定河对岸两点A、B间的距离,在岸边选定1公里长 的基线CD,并测得∠ACD=90o, ∠BCD=60o,∠BDC=75o, ∠ADC=30o,求A、B两点的距离.

CD 2 3 CD sin 600 6 AD ? ? ;BD ? ? ; 0 0 0 0 cos30 3 sin(180 ? 60 ? 75 ) 2 AB ? 30 AD ? BD ? 2 ? AD ? BD ? cos(75 ? 30 ) ? 6 B D A
2 2 0 0

C

例题3:在山顶铁塔上B 处测得地面上一点 A 的俯 角 ? ? 60?,在塔底 C 处测得点 A 的俯角 ? ? 45?, 已知铁塔BC 部分高 32 米,求山高CD 。
解 : 在 △ A B C 中 , ∠ABC=30,∠ACB =135°, ∴ ∠ C A B = 1 8 0 ° - (∠ACB+∠ABC) =180°-(135°+30°)=15° 又BC=32,
BC AC ? 由正弦定理 , sin ?BAC sin ?ABC

BC sin ?ABC 32sin 30? 16 ? ? 得 AC ? sin ?BAC sin15? sin15?

例题3:在山顶铁塔上B 处测得地面上一点 A 的俯 角 ? ? 60?,在塔底 C 处测得点 A 的俯角 ? ? 45?, 已知铁塔BC 部分高 32 米,求山高CD 。 在等腰Rt△ACD中,故

2 2 16 8 2 CD ? AC ? ? ? ? 16( 3 ? 1) 2 2 sin15? sin15?
∴山的高度为16( 3 ? 1) 米。

练习1.一艘船以32.2n mile / h的速度向正北航 行。在A处看灯塔S在船的北偏东20o的方向, 30min后航行到B处,在B处看灯塔在船的北偏 东65o的方向,已知距离此灯塔6.5n mile 以外 的海区为航行安全区域,这艘船可以继续沿正 北方向航行吗? 解:在?ASB中,?SBA=115?,

?S ? 45?,由正弦定理得 AB sin 20? 16.1sin 20? SB ? ? ? 7.787( n mile ) sin 45? sin 45? 设点S到直线AB的距离为h, 则 h ? SB sin 65? ? 7.06( n mile ) ? h ? 6.5n mile ? 此船可以继续沿正北方向航行 答:此船可以继续沿正北方向航行

练习2.自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计 算油泵顶杆BC的长度.已知车厢的最大仰角是60°,油泵 顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m,AB与水平线之间 的夹角为6°20’,AC长为1.40m,计算BC的长(精确到 0.01m). 已 知 △ ABC 中 AB=1.95m,AC= 最大角度 1.40m,夹角∠ CAB=66°20′,求 BC.

解:由余弦定理,得

C A

66? 20?
B

答:顶杆BC约长1.89m。

三、练习
(2009 宁夏海南卷理) 为 了测量两山顶 M, N 间的 距离,飞机沿水平方向在 A,B 两点进行测量,A, B,M,N 在同一个铅垂 平面内 (如示意图) , 飞机能够测量的数据有俯角和 A, B 间的距离,请设计一个方案,包括:①指出需要测 量的数据(用字母表示,并在图中标出) ;②用文字 和公式写出计算 M,N 间的距离的步骤。

A

? ? 1?
1 2

B
?2

M

N

三、练习

A

? ? 1?
1 2

B

?2
N

M

三、练习

A

? ? 1?
1
2

B

?2
N

M

解应用题的基本思路

实际问题

抽象概括 示意图

数学模型
推 理 演 算

实际问题的解

还原说明

数学模型的解


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