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2015高考数学试题分类汇编函数与导数部分


2015 年高考理科数学试题分类汇编函数、导数、定积分部分 (新课标全国 II)5.设函数 f ( x) ? ? A.3 【答案】C 【解析】 试 题 分 析 : 由 已 知 得 B.6 C.9

?1 ? log 2 (2 ? x ), x ? 1,
x ?1 ?2 , x ? 1,

, f (?2) ? f (log2 12) ? (

)

D.12

f (? 2 ? )

, 又 , 所 ? 12 l o ? g 4 l3 o2 g ? 1 2 1 以

f (log2 12) ? 2log2 12?1 ? 2log2 6 ? 6 ,故 f (?2) ? f (log2 12) ? 9 ,故选 C.
考点:分段函数. (新课标全国 II)10.如图,长方形 ABCD 的边 AB ? 2 ,BC ? 1 ,O 是 AB 的中点,点 P 沿着边 BC , CD 与 DA 运动,记 ?BOP ? x .将动 P 到 A 、 B 两点距离之和表示为 x 的 函数 f ( x ) ,则 y ? f ( x) 的图像大致为( )

D

P

C

x A O B

【答案】B 【解析】

考点:函数的图象和性质. (新课标全国 II)12.设函数 f ' ( x) 是奇函数 f ( x)( x ? R) 的导函数, f (?1) ? 0 ,当 x ? 0 时, xf ' ( x) ? f ( x) ? 0 ,则使得 f ( x) ? 0 成立的 x 的取值范围是( A. (??, ?1) C. (??, ?1) 【答案】A 【解析】 )

(0,1) (?1, 0)

B. (?1, 0) D. (0,1)

(1, ??) (1, ??)

xf ' ( x )? f x ( ) f ( x) ' 试 题 分 析 : 记 函 数 g ( x) ? , 则 g ( x) ? ,因为当 x?0 时, 2 x x

x f' ( x )?

x ? 0 时, g ' ( x) ? 0 ,所以 g ( x) 在 (0, ??) 单调递减;又因为函数 f( x ? ) ,故当 0

f ( x)( x ? R) 是 奇 函 数 , 故 函 数 g ( x) 是 偶 函 数 , 所 以 g ( x) 在 (??, 0) 单 调 递 减 , 且 g (? 1)? g (1) ? .当 0 0 ? x ? 1 时, g ( x) ? 0 ,则 f ( x) ? 0 ;当 x ? ?1 时, g ( x) ? 0 ,则 f ( x) ? 0 ,综上所述,使得 f ( x) ? 0 成立的 x 的取值范围是 (??, ?1) (0,1) ,故选 A.
考点:导数的应用、函数的图象与性质. (新课标全国 II)21. (本题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? emx ? x2 ? mx . (Ⅰ )证明: f ( x ) 在 (??, 0) 单调递减,在 (0, ??) 单调递增; (Ⅱ )若对于任意 x1 , x2 ?[?1,1] ,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? e ?1,求 m 的取值范围. 【答案】(Ⅰ )详见解析; (Ⅱ )[?1,1] . 【解析】 试题分析:(Ⅰ )先求导函数 f ( x) ? m(e
' mx

?1) ? 2x ,根据 m 的范围讨论导函数在 (??, 0) 和

(0, ??) 的 符 号 即 可 ; ( Ⅱ )

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? e ?1 恒 成 立 , 等 价 于

f ( x1 ) ? f ( x2 ) max ? e ?1 .由 x1 , x2 是两个独立的变量,故可求研究 f ( x) 的值域,由(Ⅰ)
可得最小值为 f (0) ? 1 ,最大值可能是 f (?1) 或 f (1) ,故只需 ?

? f (1) ? f (0) ? e ? 1, ,从 ? f (?1) ? f (0) ? e ? 1,

而得关于 m 的不等式,因不易解出,故利用导数研究其单调性和符号,从而得解.

考点:导数的综合应用. (新课标全国 I)12. 设函数 f ( x ) = e x (2 x ? 1) ? ax ? a ,其中 a 1,若存在唯一的整数

x0,使得 f ( x0 ) 0,则 a 的取值范围是( ) A.[- ,1) 【答案】D 【解析】 试题分析: 设 g ( x) = ex (2 x ?1) ,y ? ax ? a , 由题知存在唯一的整数 x0 , 使得 g ( x0 ) 在直线 y ? ax ? a 的下方. B. [- , ) C. [ , ) D. [ ,1)

1 1 因为 g ?( x) ? ex (2x ? 1) ,所以当 x ? ? 时, g ?( x) <0,当 x ? ? 时, g ?( x) >0, 2 2
1 ? 1 所以当 x ? ? 时, [ g ( x)]max = -2e 2 , 2

当 x ? 0 时, g (0) =-1, g (1) ? 3e ? 0 ,直线 y ? ax ? a 恒过(1,0)斜率且 a ,故
?a ? g (0) ? ?1,且 g (?1) ? ?3e?1 ? ?a ? a ,解得

3 ≤ a <1,故选 D. 2e

考点:导数的综合应用 13(新课标全国 I)若函数 f (x )=x ln(x + a ? x )为偶函数,则 a=
2

【答案】1

考点:函数的奇偶性 (新课标全国 I) (本小题满分 12 分) 已知函数 f (x)= x ? ax ?
3

1 , g ( x) ? ? ln x 4

(Ⅰ)当 a 为何值时,x 轴为曲线 y ? f ( x) 的切线; (Ⅱ)用 min

?m, n?

表示 m,n 中的最小值,设函数 h( x) ? min f ( x), g ( x)

?

? (x ? 0)



讨论 h(x)零点的个数

3 3 5 3 5 ; (Ⅱ) 当 a ? ? 或 a ? ? 时,h( x) 由一个零点; 当 a ? ? 或a ? ? 4 4 4 4 4 5 3 时, h( x) 有两个零点;当 ? ? a ? ? 时, h( x) 有三个零点. 4 4
【答案】 (Ⅰ)a ?

【解析】 试题分析: (Ⅰ) 先利用导数的几何意义列出关于切点的方程组, 解出切点坐标与对应的 a 值; (Ⅱ)根据对数函数的图像与性质将 x 分为 x ? 1, x ? 1, 0 ? x ? 1 研究 h( x) 的零点个数,若 零点不容易求解,则对 a 再分类讨论. 试题解析: (Ⅰ)设曲线 y ? f ( x) 与 x 轴相切于点 ( x0 ,0) ,则 f ( x0 ) ? 0 , f ?( x0 ) ? 0 ,即

1 ? 3 1 3 ? x0 ? ax0 ? ? 0 ,解得 x0 ? , a ? . 4 ? 2 4 ?3x 2 ? a ? 0 ? 0
因此,当 a ?

3 时, x 轴是曲线 y ? f ( x) 的切线. 4

??5 分

(Ⅱ)当 x ? (1, ??) 时, g ( x) ? ? ln x ? 0 ,从而 h( x) ? min{ f ( x), g ( x)} ? g ( x) ? 0 , ∴ h( x) 在(1,+∞)无零点.

5 5 , 则 f (1) ? a ? ? 0 ,h(1) ? min{ f (1), g (1)} ? g (1) ? 0 ,故 x =1 4 4 5 5 是 h( x) 的零点; 若a ? ? , 则 f (1) ? a ? ? 0 , h(1) ? min{ f (1), g (1)} ? f (1) ? 0 ,故 x =1 4 4
当 x =1 时, 若a ? ? 不是 h( x) 的零点. 当 x ? (0,1) 时, g ( x) ? ? ln x ? 0 ,所以只需考虑 f ( x ) 在(0,1)的零点个数. (ⅰ)若 a ? ?3 或 a ? 0 ,则 f ?( x) ? 3x2 ? a 在(0,1)无零点,故 f ( x ) 在(0,1)单调,而

f (0) ?

1 5 , f (1) ? a ? ,所以当 a ? ?3 时, f ( x ) 在(0,1)有一个零点;当 a ? 0 时, 4 4

f ( x) 在(0,1)无零点.
(ⅱ)若 ?3 ? a ? 0 ,则 f ( x ) 在(0, ?

a a )单调递减,在( ? ,1)单调递增,故 3 3

当 x= ?

a a 1 a 2a ? ? .学科网 时, f ( x ) 取的最小值,最小值为 f ( ? ) = 3 3 3 4 3
3 a ) >0,即 ? < a <0, f ( x) 在(0,1)无零点. 4 3 3 a ) =0,即 a ? ? ,则 f ( x) 在(0,1)有唯一零点; 4 3



若 f( ?



若 f( ?



若 f( ?

3 1 5 a ) <0,即 ?3 ? a ? ? ,由于 f (0) ? , f (1) ? a ? ,所以当 4 4 4 3

?

5 3 5 ? a ? ? 时, f ( x) 在(0,1)有两个零点;当 ?3 ? a ? ? 时, f ( x) 在(0,1)有一 4 4 4

个零点.?10 分

3 5 3 5 或 a ? ? 时, h( x) 由一个零点;当 a ? ? 或 a ? ? 时, h( x) 有两个 4 4 4 4 5 3 零点;当 ? ? a ? ? 时, h( x) 有三个零点. ??12 分 4 4
综上,当 a ? ? 考点:利用导数研究曲线的切线;对新概念的理解;分段函数的零点;分类整合思想 (2015 安徽) (2)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是( (A) y ? cos x 【答案】A )

(B) y ? sin x (C) y ? ln x (D) y ? x2 ? 1

考点:1. 函数的奇偶性;2. 函数零点的概念.

(2015 安徽)函数 f ? x ? ?

ax ? b

? x ? c?

2

的图象如图所示,则下列结论成立的是( (B) a ? 0 , b ? 0 , c ? 0 (D) a ? 0 , b ? 0 , c ? 0



(A) a ? 0 , b ? 0 , c ? 0 (C) a ? 0 , b ? 0 , c ? 0

【答案】C

考点:1. 函数的图象与应用. (2015 安徽)15. 设 x3 ? ax ? b ? 0 ,其中 a , b 均为实数,下列条件中,使得该三次方程仅 有一个实根的 是 . (写出所有正确条件的编号)

① a ? ?3, b ? ?3 ; ② a ? ?3 ③ a ? ?3 ④a ? 0 ⑤a ? 1 , b? 2 ; , b? 2 ; , b? 2 ; , b? 2 . 【答案】①③④⑤

考点:1 函数零点与方程的根之间的关系;2. 函数的单调性及其极值. (2015 安徽) (18) (本小题满分 12 分) 设 n ? N , x n 是曲线 y ? x
*

2 n? 2

2) 处的切线与 x 轴交点的横坐标. ? 1 在点 (1,

(Ⅰ)求数列{xn } 的通项公式; (Ⅱ)记 Tn ? x1 x3 【答案】 (1) xn ? 【解析】
2 2 2 T ? x2 n ?1 ,证明 n

1 . 4n

1 n ; (2) Tn ? . 4n n ?1

试题分析: (Ⅰ)对题中所给曲线进行求导,得出曲线 y ? x2n?2 ? 1 在点 (1, 2) 处的切线斜 率为 2n ? 2 . 从而可以写成切线方程为 y ? 2 ? (2n ? 2)( x ? 1) . 令 y ? 0 . 解得切线与 x 轴交点

1 n . ? n ?1 n ?1 1 (Ⅱ)要证 Tn ? ,需考虑通项 x2 n ?12 ,通过适当放缩能够使得每项相消. 先表示出 4n
的横坐标 xn ? 1 ?

考点:1. 曲线的切线方程;2. 数列的通项公式;3. 放缩法证明不等式. (2015 安徽) (21) (本小题满分 13 分) 设函数 f ( x) ? x ? ax ? b .
2

(Ⅰ)讨论函数 f (sin x) 在 ( ?

? ?

, ) 内的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值; 2 2

2 (Ⅱ)记 f0 ( x) ? x ? a0 x ? b0 ,求函数 f (sin x) ? f0 (sin x) 在 [ ?

? ?

, ] 上的最大值 D; 2 2

(Ⅲ)在(Ⅱ)中,取 a0 ? b0 ? 0 ,求 z ? b ?

a2 满足 D ? 1 时的最大值. 4

【答案】 (Ⅰ)极小值为 b ?

a2 ; (Ⅱ) D ?| a ? a0 | ? | b ? b0 | ; (Ⅲ)1. 4

试题解析: (Ⅰ) f (sin x) ? sin2 x ? a sin x ? b ? sin x(sin x ? a) ? b , ?

?
2

?x?

?
2

.

[ f (sin x)]' ? (2sin x ? a) cos x , ?

?
2

?x?

?
2

.

(2015 北京)7.如图,函数 f ? x ? 的图象为折线 ACB ,则不等式 f ? x ? ≥ log2 ? x ? 1? 的解集 是
y 2 C

A -1

O

B 2

x

A. ?x | ?1 ? x ≤ 0? C. ?x | ?1 ? x ≤1? 【答案】C 【解析】

B. ?x | ?1 ≤ x ≤1? D. ?x | ?1 ? x ≤ 2?

考点:1.函数图象;2.解不等式. (2015 北京)8.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程,下图描述了甲、 乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是

A.消耗 1 升汽油,乙车最多可行驶 5 千米 B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多 C.甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时,消耗 10 升汽油

D.某城市机动车最高限速 80 千米/小时. 相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油 【答案】 【解析 】 试题分析:“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程,A 中乙车消耗 1 升汽油, 最多行驶的路程为乙车图象最高点的纵坐标值, A 错误; B 中以相同速度行驶相同路程, 甲燃油效率最高, 所以甲最省油,B 错误, C 中甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时, 甲车每消耗 1 升汽油行驶的里程 10km, 行驶 80km,消耗 8 升汽油,C 错误,D 中某城 市机动车最高限速 80 千米/小时. 由于丙比乙的燃油效率高,相同条件下,在该市用丙 车比用乙车更省油, 选 D. 考点:1.函数应用问题;2.对“燃油效率”新定义的理解;3.对图象的理解.

(2015 北京)

[来源: 学 #科 #网 Z # X#X# K]

考点:1. 函数的单调性、极值与最值;2. 绝对值不等式的应用. (2015 北京)

? 2x ? a ? x ? 1? ? 14.设函数 f ? x ? ? ? ? ?4 ? x ? a ?? x ? 2a ? ? x ≥1.
① 若 a ? 1 ,则 f ? x ? 的最小值为 ; .

② 若 f ? x ? 恰有 2 个零点,则实数 a 的取值范围是

【答案】(1)1,(2)

1 ? a ? 1或a ? 2 . 2

考点:1.函数的图象;2.函数的零点;3.分类讨论思想. (2015 北京)18.(本小题 13 分) 已知函数 f ? x ? ? ln

1? x . 1? x

(Ⅰ)求曲线 y ? f ? x ? 在点 ? 0 ,f ? 0?? 处的切线方程;
? x3 ? 1? 时, f ? x ? ? 2 ? x ? ? ; (Ⅱ)求证:当 x ? ? 0 , 3? ? ? x3 ? 1? 恒成立,求 k 的最大值. (Ⅲ)设实数 k 使得 f ? x ? ? k ? x ? ? 对 x ? ? 0 , 3? ?

【答案】 (Ⅰ) 2x ? y ? 0 , (Ⅱ)证明见解析, (Ⅲ) k 的最大值为 2.

试题解析: (Ⅰ)

f(x ) ? ln

1?x 2 ,x ? (?1,1),f ? (x ) ? ,f ? (0) ? 2,f(0) ? 0 ,曲线 1?x 1 ? x2

y ? f ? x ? 在点 ? 0 ,f ? 0?? 处的切线方程为 2x ? y ? 0 ;

x ? x3 ? (x ? ) ? 0 ,对 1? 时, f ? x ? ? 2 ? x ? ? ,即不等式 f(x ) ? 2 (Ⅱ)当 x ? ? 0 , 3? 3 ?
?x ? (0,1)成立,设

3

F(x ) ? ln

1?x x3 x3 ?2 (x ? ) ? ln(1 ? x ) ? ln(1 ? x ) ? 2 (x ? ),则 1?x 3 3

2x 4 (x ) ? 0 ,故 F (x )在(0,1)上为增函数,则 F ?(x ) ? 1? 时, F ? ,当 x ? ? 0 , 1 ? x2

F(x ) ? F(0) ? 0 ,因此对 ?x ? (0,1),

f(x ) ? 2(x ?

x3
3

)成立;学科网

? x3 ? 1? ,等价于 (Ⅲ)使 f ? x ? ? k ? x ? ? 成立, x ? ? 0 , 3? ?

1?x x3 F(x ) ? ln ? k(x ? ) ? 0 , x ??0 , 1? ; 1?x 3

F ?(x ) ?

2 kx 4 ? 2 ? k 2 , ? k(1 ? x ) ? 1 ? x2 1 ? x2

(x ) ? 0 ,函数在(0,1)上位增函数, F(x ) ? F(0) ? 0 , 当 k ? [0,2]时, F ?
符合题意;

(x ) ? 0,x 0 当 k ? 2 时,令 F ?

4

?

k ?2 ? (0,1), k

x
F? (x )
F (x )

(0,x 0 )
[ 来源 :Z xxk .Co m]

x0
0 极小值

(x 0 ,1)
+

F(x ) ? F(0),显然不成立,
综上所述可知: k 的最大值为 2. 考点:1.导数的几何意义;2.利用导数研究函数的单调性,证明不等式;3.含参问题讨 论. (2015 福建)2.下列函数为奇函数的是( A. y ? 【答案】D )

x B. y ? sin x C. y ? cos x D. y ? ex ? e? x

考点:函数的奇偶性. (2015 福建)10.若定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足 f ? 0? ? ?1 ,其导函数 f ? ? x ? 满足

f ? ? x ? ? k ? 1 ,则下列结论中一定错误的是(
A. f ?



?1? 1 ?? ?k? k

B. f ?

1 ?1? ?? ? k ? k ?1

C. f ?

1 ? 1 ? ?? ? k ?1 ? k ?1

D. f ?

k ? 1 ? ?? ? k ?1 ? k ?1

【答案】C

考点:函数与导数. (2015 福建) 14. 若函数 f ? x ? ? ? 则实数 a 的取值范围是 【答案】 (1, 2]

?? x ? 6, x ? 2, (a ? 0 且a ? 1 ) 的值域是?4, ??? , ?3 ? log a x, x ? 2,


考点:分段函数求值域. (2015 福建)20 已知函数 f( x) = ln(1 + x) , g ( x) = kx,(k (Ⅰ)证明:当 x > 0时,f(x)< x ; (Ⅱ)证明:当 k < 1 时,存在 x0 > 0 , 使得对 任意x ? (0,x0 ), 恒有 f( x) > g ( x); (Ⅲ)确定 k 的所以可能取值,使得存在 t > 0 ,对任意的 x ? (0,t), 恒有 | f( x) - g ( x) |< x2 . 【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)详见解析;(Ⅲ) k =1 . 【解析】学科网 试题分析: (Ⅰ)构造函数 F ( x) = f( x) - x = ln(1 + x) - x, x ? (0,

R),

), 只需求值域的右端点并 ), 即 G ( x) ? 0 ,

和 0 比较即可;(Ⅱ)构造函数 G( x) = f( x) - g ( x) = ln(1 + x) - kx, x ? (0,

( x) = 求导得 G?

1 -k 1+x

=

- kx + (1 - k) ,利用导数研究函数 G ( x) 的形状和最值,证明当 k < 1 时,存在 x0 > 0 ,使 1+x
故 ), g ( x) > x > f( x),

得 G ( x) ? 0 即可; ( Ⅲ ) 由 ( Ⅰ ) 知,当 k > 1 时,对 于 " x 违 (0, +

g ( x) > f( x) , 则 不 等 式 | f x ( -) g x (< )2 | x变 形 为 k x - l n (+ 1x < )2x , 构 造 函 数

M( x = )

k x-

,只需说 l n+(x1 -2 x) 违 x, , + [0 ) 明 M ( x ) ? 0 , 易 发 现 函 数 M ( x) 在

k - 2 + (k - 2)2 +8(k - 1) x ?(0, ) 递增,而 M (0) ? 0 ,故不存在;当 k < 1 时,由(Ⅱ)知, 4
存 在 x0 > 0 , 使 得 对 任 意 的 任 意 的 x ? ( 0 ,x0 ),恒 有 f (x )> g (x ), 此 时 不 等 式 变 形 为
2 , ln(1 +x ) - k x <x 2 + l xn ( 1 x





N x( = )

违 x ) ,+x k

, ,易

发 现 [ 0



数 )

N ( x)



- (k +2) + (k +2)2 +8(1 - k) x ?(0, ) 递增,而 N (0) ? 0 ,不满足题意;当 k =1 时,代入证 4
明即可. 试 题 解 析 : 解 法 一 : (1) 令 F ( x) = f( x) - x = ln(1 + x) - x, x ? (0,

), 则 有

F? (x ) =

1 x - = 11 + x 1 x +
), F ? ( x) < 0 , 所以 F ( x) 在 (0, + ) 上单调递减;

当 x ? (0,

故当 x > 0 时, F ( x) < F (0) = 0, 即当 x > 0 时, f(x)< x . (2)令 G( x) = f( x) - g ( x) = ln(1 + x) - kx, x ? (0, 当 k ? 0 G? ( x) > 0 , 所以 G( x) 在 [0, + 故对任意正实数 x0 均满足题意. 当 0 < k < 1 时,令 G? ( x) = 0, 得 x = 取 x0 =

( x) = ), 则有 G?

1 - kx + (1 - k) -k= 1+x 1+x

) 上单调递增, G( x) > G(0) = 0

1- k 1 = - 1>0. k k

1 - 1, , 0 )恒 , 有 G?(x ) 对 任 意 x? ( 0x , 所 以 G (x )在 [0, x 0 ) 上 单 调 递 增 , > 0 k

G( x) > G(0) = 0 , 即 f( x) > g ( x) .

综上,当 k < 1 时,总存在 x0 > 0 , 使得对任意的 x ? (0,x0 ), 恒有 f( x) > g ( x) . (3)当 k > 1 时,由(1)知,对于 " x 违 (0, + 故 g ( x) > f( x) , ), g ( x) > x > f( x),

| f( x) - g ( x) |= g ( x) - f ( x) = k x - ln(1 + x) ,


M( x) = k x - ln(1 + x) - x2 , x 违 [0,+ )
x2 ) - x +k k 1+ x 2 + 2







1 M? x = - ( - x 1+ x
故 当

(

=

k

-

2 ,

k - 2+ x ?(0,

-( 4

2

k +

-2

)

)



8



(

k 1 ) M? x ( > ),

M( 0 x)



k - 2 + (k - 2)2 +8(k - 1) [0, ) 上单调递增,故 M( x) > M(0) = 0 , 即 | f( x) - g ( x) |> x2 , 所以 4
满足题意的 t 不存在. 当 k < 1 时,由(2)知存在 x0 > 0 , 使得对任意的任意的 x ? (0,x0 ), 恒有 f( x) > g ( x) . 此时 | f( x) - g ( x) |= f( x) - g ( x) = ln(1 + x) - k x , 令

N( x) = ln(1 + x) - k x - x2 , x 违 [0,+ )
1 -) k- x 1+ x x2 -x - k + 2 1+ x
2







N ' (x =

2

=

-

(

k

,

+

2





- (k x ?(0,

) ++ 2 4

+(

k

+ 2 ) 时



)

8 ( 1 k ) N? x (> ) , M( 0 x)



- (k + 2) + (k + 2)2 +8(1 - k) [0, ) 上单调递增,故 N( x) > N (0) = 0 , 即 f( x) - g ( x) > x2 , 记 4 - (k + 2) + (k + 2)2 + 8(1 - k) x0 与 中较小的为 x1 , 4
则当 x ? (0,x1 )时,恒有 | f( x) g ( x) |> x ,故满足题意的 t 不存在.
2

(0, + 当 k =1 ,由(1)知, 当x 违
2

), | f( x) - g ( x) |= g ( x) - f ( x) = x - ln(1 + x) ,
( x) = 1 ) ,则有 H? 1 -2 x 2 - x - 2x= , 1+ x 1+ x

令 H( x) = x - ln(1 + x) - x , x 违 [0,+

当 x > 0 时, H? 上单调递减,故 H( x) < H (0) = 0 , ( x) < 0 , 所以 H( x) 在 [0, +? ) 故当 x > 0 时,恒有 | f( x) - g ( x) |< x2 , 此时,任意实数 t 满足题意. 综上, k =1 . 解法二: (1) (2)同解法一. (3)当 k > 1 时,由(1)知,对于 " x 违 (0, + , ), g ( x) > x > f( x),

故 | f( x) - g ( x) |= g ( x) - f ( x) = k x - ln(1 + x) > k x - x = (k - 1) x , 令 (k - 1) x > x2 , 解得0 < x < k - 1 ,

[来源: 学 。科。 网Z 。X。X 。K]

从而得到当 k > 1 时, 对于x ? (0, k 1) 恒有 | f( x) - g ( x) |> x2 , 所以满足题意的 t 不存在. 当 k < 1 时,取 k1 =

k+1 ,从而k < k1 < 1 2

由(2)知存在 x0 > 0 , 使得 任意x ? (0,x0 ), 恒有 f( x) > k1 x > kx = g ( x) . 此时 | f( x) - g ( x) |= f( x) - g ( x) > (k1 - k) x = 令

1- k x, 2

1- k 1- k x > x 2 , 解得0 < x < ,此时 f( x) - g ( x) > x2 , 2 2 1-k 记 x0 与 中较小的为 x1 ,则当 x ? (0,x1 )时,恒有 | f( x) g ( x) |> x2 , 2
故满足题意的 t 不存在. 当 k =1 ,由(1)知, 当x 违 (0, +

), | f( x) - g ( x) |= g ( x) - f ( x) = x - ln(1 + x) ,

1 ?2 x 2 ? x ? 2x ? , 令 M( x) ? x ? ln(1 ? x) ? x , x ?[0,+?) ,则有 M?( x) ? 1 ? 1? x 1? x
2

当 x > 0 时, M? 上单调递减,故 M( x) < M(0) = 0 , ( x) < 0 , 所以 M( x ) 在 [0, +? ) 故当 x > 0 时,恒有 | f( x) - g ( x) |< x2 , 此时,任意实数 t 满足题意. 综上, k =1 . 考点:导数的综合应用. (2015 广东)3.下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是 A . y ? x?e D. y ? 1 ? x 2
x

[来 源: 学 _科 _ 网]

B. y ? x?

1 x

C. y?2 ?
x

1 2x

【答案】 A . 【解析】令 f ? x ? ? x ? ex ,则 f ?1? ? 1 ? e , f ? ?1? ? ?1 ? e?1 即 f ? ?1? ? f ?1? ,

f ? ?1? ? ? f ?1? ,所以 y ? x ? ex 既不是奇函 数也 不是偶函数,而 BCD 依次是奇函数、偶
函数、偶函数,故选 A . 【考点定位】本题考查函数的奇偶性,属于容易题. (2015 广东)19. (本小题满分 14 分) 设 a ? 1 ,函数 f ( x) ? (1 ? x2 )e x ? a 。 (1) 求 f ( x) 的单调区间 ; (2) 证明: f ( x) 在 ? ??, ??? 上仅有一个零点; (3) 若曲线 y = f ( x) 在点 P 处的切线与 x 轴平行, 且在点 M (m, n) 处的切线与直线 OP 平 行( O 是坐标原点),证明: m ? 3 a ?

2 ?1. e

【答案】 (1) ? ??, ?? ? ; (2)见解析; (3)见解析. 【解析】 (1)依题 f ' ? x ? ? 1 ? x 2 ' e x ? 1 ? x 2 ∴ f ? x ? 在 ? ??, ?? ? 上是单调增函数;

?

?

?

?? e ? ' ? ?1 ? x ?
x

2

ex ? 0 ,

【考点定位】本题考查导数与函数单调性、零点、不等式等知识,属于中高档题. (2015 湖南)5.设函数 f ( x) ? ln(1 ? x) ? ln(1 ? x) ,则 f ( x) 是( A.奇函数,且在 (0,1) 上是增函数 C. 偶函数,且在 (0,1) 上是增函数 【答案】A. )

B. 奇函数,且在 (0,1) 上是减函数 D. 偶函数,且在 (0,1) 上是减函数

考点:函数的性质.
2 (2015 湖南)11. ? 0 ( x ? 1)dx ?

.

【答案】 0 .

考点:定积分的计算.

? x3 , x ? a 13.(2015 湖南)已知 f ( x) ? ? 2 ,若存在实数 b ,使函数 g ( x) ? f ( x) ? b 有两个 ?x , x ? a
零点,则 a 的取值范围 是 .

【答案】 (??,0) ? (1,??) . 【解析】 试题分析:分析题意可知,问题等价于方程 x3 ? b( x ? a) 与方程 x 2 ? b( x ? a) 的根的个数 和为 2 ,

? 1 3 ?b ? a ? 若两个方程各有一个根:则可知关于 b 的不等式组 ? b ? a 有解,从而 a ? 1 ; ? ?? b ? a ?
若方程 x ? b( x ? a) 无解 ,方 程 x ? b( x ? a) 有 2 个 根: 则可 知关 于 b 的不等式组
3 2

? 1 ?b 3 ? a 有解,从而 ? ? ? b ? a ?
a ? 0; ,综上,实数 a 的取值范围是 (??,0) ? (1,??) .
考点:1. 函数与方程;2. 分类讨论的数学思想.

(2015 湖南)21. 已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ? eax sin x( x ?[0, ??)) . 记 x n 为 f ( x) 的从小到大 的第 n (n ? N * ) 个极值点, 证明: (1)数列 { f ( xn )} 是等比数列 (2)若 a ?

1 e ?1
2

,则对一切 n ? N * , xn ?| f ( xn ) | 恒成立.

【答案】 (1)详见解析; (2)详见解析. 【解析】 试 题 分 析 : ( 1 ) 求 导 , 可 知

f ' ( x) ? aeax sin x ? eax cos x ? eax (a sin x ? cos x) ? a2 ?1eax sin( x ? ? ) ,求
得 f ( x) 的极值点诶 xn ? n? ? ? (n ? N * ) ,即可得证; (2)分析题意可知,问题等价于

a2 ? 1 e a? n? ? ? ? et ? 恒成立,构造函数 g(t)= ,利用导数判断其单调性即可得证 a a ? n? ? ? ? t
试题解析: (1) f ' ( x) ? aeax sin x ? eax cos x ? eax (a sin x ? cos x) ? a2 ?1eax sin( x ? ? ) 其中 tan ? =

1 ? ,0< ? < . 令 f ' ( x) =0,由 x ? 0 得 x+ ? =mx, a 2

* 即 x= m? - ? ,m ? N .

对 k ? N,若 2k ? <x+ ? <( 2k+1) 若(2k+1) ? <x+ ? <(2k+2)

? ,即 2k? - ? <x<(2k+1) ? - ? ,则 f ' ( x) >0;

? ,即(2k+1)? - ? <x<(2k+2) ? - ? ,则 f ' ( x) <0.

因此,在区间( (m-1) ? ,m ? - ? )与(m ? - ? ,m ? )上, f ' ( x) 的符号总相反. 于是 当 x= m ? - ? (m ? N )时, f ( x) 取得极值,所以 xn ? n? ? ? (n ? N * ) .
*

此时, f ( xn ) ? e

a? n? ?? ?

sin(n? ? ? ) ? (?1)n?1 e

a? n? ?? ?

sin ?. 易知 f ( xn ) ? 0,而

f ( xn ?1 ) (?1) n ? 2 e ?? ? ? sin ? ? ? ?e ax 是 常 数 , 故 数 列 a ? n? ? ? ? n ?1 f ( xn ) (?1) e sin ?
a ? n ?1 ? ? ? ?

? f ( xn )?

是 首 项 为

f ( x1 ) = e

a? n? ? ? ?

(2)由(I)知, sin ? = sin ? ,公比为 ?eax 的等比数列;

1 a2 ? 1

,于是

对一切 n ? N , x n <| f ( xn ) |恒成立,即
*

n? ? ? ?

1 a2 ? 1

e

a ? n? ? ? ?

恒成立, 等价于

a2 ? 1 e a? n? ? ? ? ? (?) 恒成立 (因为 a>0) , a a ? n? ? ? ?

设 g(t)=

et et (t ? 1) ' ' (t)0) ,则 g .令 g =0 得 t=1, ( t) = ( t) t t2

' 当 0<t<1 时, g ( t) < 0 ,所以 g(t)在区间(0,1)上单调递减; ' 当 t>1 时, g ( t) > 0 ,所以 g(t)在区间(0,1)上单调递增.

从而当 t=1 时,函数 g(t)取得最小值 g(1)=e 因此,要是( ? )式恒成立,只需

a2 ? 1 1 . ? g (1) ? e ,即只需 a ? a e2 ? 1

而当 a=

1 e ?1
2

时,tan ? =

1 ? 2 = e ? 1 ? 3 且 0 ? ? ? . 于是 a 2

? ?? ?
*

2? 3? ? e 2 ? 1 ,且当 n ? 2 时, n? ? ? ? 2? ? ? ? ? e2 ? 1 . 因此对一切 3 2

a2 ? 1 n ? N , axn ? . 故( ? )式亦恒成立. ? 1 ,所以 g( axn ) ? g (1) ? e ? a e2 ? 1
综上所述,若 a ?

n? ? ?

1 e ?1
2

,则对一切 n ? N , xn ?| f ( xn ) | 恒成立.
*

考点:1. 三角函数的性质;2. 导数的运用;3. 恒成立问题. (2015 江苏)13.已知函数 f ( x) ?| ln x | , g ( x) ? ?

? 0,0 ? x ? 1 ,则方程 2 ?| x ? 4 | ?2, x ? 1

| f ( x) ? g ( x) |? 1 实根的个数为
【答案】4

考点:函数与方程 (2015 江苏)17.(本小题满分 14 分) 某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一 条连接两条公路的山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为 l 1, l2 ,山区边界曲线 为 C,计划修建的公路为 l,如图所示,M,N 为 C 的两个端点,测得点 M 到 l 1, l2 的距离分 别为 5 千米和 40 千米,点 N 到 l 1, l2 的距离分别为 20 千米和 2.5 千米,以 l 1, l2 所在的直线 分别为 x,y 轴,建立平面直角坐标系 xOy,假设曲线 C 符合函数 y ? 常数)模型.

a (其中 a,b 为 x ?b
2

(1)求 a,b 的值; (2)设公路 l 与曲线C 相切于 P 点,P 的横坐标为 t. ①请写出公路 l 长度的函数解析式 f ? t ? ,并写出其定义域; ②当 t 为何值时,公路 l 的长度最短?求出最短长度.

【答案】 (1) a ? 1000, b ? 0; (2)① f (t ) ?

9 ? 106 9 2 ? t , 定义域为 [5, 20] ,② t4 4

t ? 10 2, f (t )min ? 15 3 千米

(2)①由(1)知, y ?

1000 ? 1000 ? ( 5 ? x ? 20 ) ,则点 ? 的坐标为 ? t , 2 ? , 2 x ? t ? 2000 , x3

设在点 ? 处的切线 l 交 x , y 轴分别于 ? , ? 点, y ? ? ?

考点:利用导数求函数最值,导数几何意义 (2015 江苏)19.(本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? b(a, b ? R) . (1)试讨论 f ( x) 的单调性; (2)若 b ? c ? a (实数 c 是 a 与无关的常数) ,当函数 f ( x) 有三个不同的零点时,a 的取值范围恰好是 (?? ,?3) ? (1, ) ? ( ,?? ) ,求 c 的值. 【答案】 (1)当 a ? 0 时, f ? x ? 在 ? ??, ??? 上单调递增; 当 a ? 0 时, f ? x ? 在 ? ??, ?

3 2

3 2

? ?

2a ? ? 2a ? ? , ? 0, ??? 上单调递增,在 ? ? , 0 ? 上单调递减; 3 ? ? 3 ? 2a ? ? 2a ? ? , ?? ? 上单调递增,在 ? 0, ? ? 上单调 递减. 3 ? ? 3 ? ?

当 a ? 0 时, f ? x ? 在 ? ??,0? , ? ? (2) c ? 1.

考点:利用 导数求函数单调性、极值、函数零点 ( 2015 陕 西 ) 9. 设 f ( x) ? ln x,0 ? a ? b , 若 p ? f ( ab ) , q ? f (

a?b ) , 2

r?

1 ( f (a ) ? f (b)) ,则下列关系 2
) B. q ? r ? p C. p?r?q

式中正确的是( A. q ?r ? p D. p ? r ? q 【答案】C

考点:1、基本不等式;2、基本初等函数的单调性. (2015 陕西)12.对二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c (a 为非零整数) ,四位同学分别给出下列 结论,其中有且仅有 一个结论是错误的,则错误的结论是( A.-1 是 f ( x ) 的零点 C.3 是 f ( x ) 的极值 【答案】A ) B.1 是 f ( x ) 的极值点 D. 点 (2,8) 在曲线 y ? f ( x) 上

考点:1、函数的零点; 2、利用导数研究函数的极值. (2015 陕西)15.设曲线 y ? e x 在点(0,1)处的切线与曲线 y ? 垂直,则 p 的坐标 为 .

1 ( x ? 0) 上点 p 处的切线 x

【答案】 ?1,1? 【解析】 试题分析:因为 y ? e ,所以 y? ? e ,所以曲线 y ? e 在点 ? 0,1? 处的切线的斜率
x x x

k1 ? y?

x?0

? e0 ? 1 ,设 ? 的坐标为 ? x0 , y0 ? ( x0 ? 0 ) ,则 y0 ?

1 1 ,因为 y ? ,所以 x x0

y? ? ?

1 1 ,所以曲线 y ? 在点 ? 处的切线的斜率 k2 ? y? 2 x x

x ? x0

??

1 ,因为 k1 ? k2 ? ?1 , 2 x0

所以 ?

1 2 ? ?1 ,即 x0 ? 1 ,解得 x0 ? ?1 ,因为 x0 ? 0 ,所以 x0 ? 1 ,所以 y0 ? 1 ,即 ? 的 2 x0

坐标是 ?1,1? ,所以答案应填: ?1,1? . 考点:1、导数的几何意义;2、两条直线的位置关系. (2015 陕西)16.如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛 物线型(图中虚线表 示) ,则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 .

【答案】 1.2 【解析】 试题分析:建立空间直角坐标系,如图所示:

1 ? ?10 ? 10 ? 2 ? 2 ? ? 2 ? 16 ,设抛物线的方程为 x2 ? 2 py ( p ? 0 ) , 2 25 25 2 2 2 y ,即 y ? x , 因为该抛物线过点 ? 5, 2 ? ,所以 2 p ? 2 ? 52 ,解得 p ? ,所以 x ? 4 2 25
原始的最大流量是 所以当前最大流量是

?

5

?5

2 2? 2 3? ? ? ? 2 ? x ? dx ? ? 2 x ? x ? 25 ? 75 ? ? ?

5 ?5

2 2 40 3? ? ? ? ? ? 2 ? 5 ? ? 53 ? ? ? 2 ? ? ?5? ? ? ? ?5? ? ? , 75 75 ? ? ? ? 3

故原始的最大流量与当前最大流量的比值是

16 ? 1.2 ,所以答案应填:1.2 . 40 3

考点:1、定积分;2、抛物线的方程;3、定积分的几何意义.

(2015 陕西)21. (本小题满分 12 分)设 fn ? x ? 是等比数列 1 , x , x 2 , ??? , x n 的各项和, 其中 x ? 0 , n ? ? , n?2. ( I ) 证 明 : 函 数 Fn ? x ? ? fn ? x ? ? 2 在 ?

? 1 ? 内有且仅有一个零点(记为 ) xn , 且 ,1? ?2 ?

xn ?

1 1 n ?1 ? xn ; 2 2

gn ? x ? ,比较 fn ? x ?

( II )设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列,其各项和为 与 gn ? x ? 的大小,并加以证明.

【答案】 (I)证明见解析; (II)当 x = 1 时, f n ( x) = gn ( x) ,当 x ? 1 时, f n ( x) < gn ( x) , 证明见解析. 【解析】 试题分析: (I )先利用零点定理可证 Fn ? x ? 在 ? 单 调 性可 证 Fn ? x ? 在 ?

?1 ? ,1? 内至少存在一个零点,再利用函数的 ?2 ?

?1 ? ,1? 内 有且 仅有 一 个零 点, 进 而利 用 xn 是 Fn ? x ? 的 零 点 可 证 ?2 ?

xn ?

1 1 n ?1 ? xn ; (II) 先设 h ? x ? ? fn ? x ? ? gn ? x ? , 再对 x 的取值范围进行讨论来判断 h ? x ? 2 2

与 0 的大小,进而可得 fn ? x ? 和 gn ? x ? 的大小. 试题解析: (I) Fn ( x) = f n ( x) - 2 = 1 + x + x2 +

xn - 2, 则 Fn (1) = n - 1 > 0,

1 1 ?1? Fn ( ) ? 1 ? ? ? ? ? 2 2 ?2?

2

?1? 1? ? ? n ?1? ?2? ? ? ?2? 1 ?2? 1? 2

n ?1

?2? ?

1 ? 0, 2n

所以 Fn ( x) 在 ?

?1 ? ,1? 内至少存在一个零点 xn . ?2 ? ?1 ? nx n ?1 ? 0 ,故在 ? ,1? 内单调递增, ?2 ?

又 Fn? ( x) ? 1 ? 2 x ?

所以 Fn ( x) 在 ?

?1 ? ,1? 内有且仅有一个零点 xn . ?2 ?

1 - xn n+1 1 1 - 2 = 0 ,故 xn = + xn n +1 . 因为 xn 是 Fn ( x) 的 零点,所以 Fn ( xn )=0 ,即 2 2 1 - xn

( n +1) (1 + x ) . (II)解法一:由题设, g ( x) =
n n

2

设 h( x) = f n ( x) - gn ( x) = 1 + x + x 2 + 当 x = 1 时, f n ( x) = gn ( x) 当 x ? 1 时, h?( x) ? 1 ? 2 x ? 若

x

n

( n +1) (1 + x ) , x > 0. n

2

nx

n ?1

n ? n ? 1? x n?1 ? . 2

0 < x < 1 , h?( x) ? x n ?1 ? 2 x n ?1 ?

nx n ?1 ?

n ? n ? 1? n ?1 n ( n +1) n- 1 n ( n +1) n- 1 x = x x = 0. 2 2 2

若 x > 1 , h?( x) ? x

n ?1

? 2 x n ?1 ?

nx n ?1 ?

n ? n ? 1? n ?1 n ( n +1) n- 1 n ( n +1) n- 1 x = x x = 0. 2 2 2

所以 h( x) 在 (0,1) 上递增,在 (1, ??) 上递减, 所以 h( x) < h(1) = 0 ,即 f n ( x) < gn ( x) . 综上所述,当 x = 1 时, f n ( x) = gn ( x) ;当 x ? 1 时 f n ( x) < gn ( x)
2

解法二

由题设, f n ( x) = 1 + x + x +

( n +1) (1 + x ) , x > 0. x , g ( x) =
n n n

2

当 x = 1 时, f n ( x) = gn ( x) 当 x ? 1 时, 用数学归纳法可以证明 f n ( x) < gn ( x) . 当 n = 2 时, f 2 ( x ) - g 2 ( x ) = -

1 (1 - x) 2 < 0, 所以 f 2 ( x) < g2 ( x) 成立. 2

假设 n ? k (k ? 2) 时,不等式成立,即 f k ( x) < gk ( x) . 那么,当 n = k +1 时,

f k+1 ( x) = f k ( x) + x k +1 < g k ( x) + x k +1 =

( k +1) (1 + x ) + x
k

k +1

2

=

2 x k +1 +( k +1) x k + k +1 . 2

2 x k +1 +( k +1) x k + k +1 kx k +1 - ( k +1) x k +1 = 又 g k+1 ( x) 2 2


hk ( x) = kxk +1 - ( k +1) xk +1(x > 0)





hk ? ( x) ? k (k ? 1) x k ? k ? k ? 1? x k ?1 ? k ? k ? 1? x k ?1 (x ? 1)

? ( x) ? 0 , hk ( x) 在 (0,1) 上递减; 所以当 0 < x < 1 , hk
? ( x) ? 0 , hk ( x) 在 (1, ??) 上 递增. 当 x > 1 , hk
所以 hk ( x) > hk (1) = 0 ,从而 g k+1 ( x) >

2 x k +1 +( k +1) x k + k +1 2

故 f k +1 ( x) < gk +1 ( x) .即 n = k +1 ,不等式也成立. 所以,对于一切 n ? 2 的整数,都有 f n ( x) < gn ( x) . 解法三 : 由已知,记等差数列为 {ak } , 等比数列为 {bk } , k = 1, 2,

, n +1. 则 a1 = b1 = 1 ,

an+1 = bn+1 = xn ,
所以 ak ? 1+ ? k ? 1? ?

xn ?1 (2 ? k ? n) , bk ? xk ?1 (2 ? k ? n), n

令 mk (x) ? ak ? bk ? 1 ?

? k ?1? ? xn ?1?
n

? x k ?1 , x ? 0(2 ? k ? n).

当 x = 1 时, ak =bk ,所以 f n ( x) = gn ( x) .

k ? 1 n ?1 nx ? (k ? 1) x k ? 2 ? ? k ? 1? x k ? 2 ? x n ? k ?1 ? 1? n 而 2 ? k ? n ,所以 k - 1 > 0 , n ? k ? 1 ? 1 .
当 x ? 1 时, mk ? ( x) ? 若 0 < x <1, x 当 x >1 , x
n - k +1 n - k +1

< 1, mk ? ( x ) ? 0 ,

? ( x) ? 0 , > 1, mk

从而 mk ( x) 在 (0,1) 上递减, mk ( x) 在 (1, ??) 上递增.所以 mk ( x) > mk (1) = 0 ,

时,ak ? bk (2 ? k ? n), 又 a1 = b1 , an+1 = bn+1 ,故 f n ( x) < gn ( x) 所以当 x ? 0且x ? 1
综上所述,当 x = 1 时, f n ( x) = gn ( x) ;当 x ? 1 时 f n ( x) < gn ( x) 考点:1、零点定理;2、利用导数研究函数的单调性. 9. (2015 四川)如果函数 f ? x ? ? 单调递减,则 mn 的最大值为(

1 ?1 ? n ? 0 ? 在区间 ? , 2 ? m ? 2 ? x 2 ? ? n ? 8? x ? 1? m ? 0, 2 ?2 ? ?


(A)16 【答案】B 【解析】

(B)18

(C)25

(D)

81 2

试题分析: m ? 2 时,抛物线的对称轴为 x ? ?

n ?8 n ?8 . 据题意,当 m ? 2 时,? ?2即 m?2 m?2

2m ? n ? 12 .

2m ? n ?

2m ? n ? 6,? mn ? 18 . 由 2m ? n 且 2m ? n ? 12 得 m ? 3, n ? 6 . 2 n ?8 1 ? 即 m?2 2

当 m ? 2 时,抛物线开口向下,据题意得, ?

m ? 2n ? 18 .

2n ? m ?

2n ? m 81 ? 9,? mn ? . 由 2n ? m 且 m ? 2n ? 18 得 m ? 9 ? 2 , 2 2

故应舍去. 要使得 mn 取得最大值,应有 m ? 2n ? 18 (m ? 2, n ? 8) . 所以

mn ? (18 ? 2n)n ? (18 ? 2 ? 8) ? 8 ? 16 ,所以最大值为 18. 选 B..
考点:函数与不等式的综合应用. (2015 四川)13. 某食品的保鲜时间 y(单位:小时)与储存温度 x(单位: C )满足函数 关系 y ? ekx?b ( e ? 2.718 ? 为自然对数的底数,k、b 为常数) 。若该食品在 0 C 的保鲜时
? ?

间设计 192 小时, 在 22 C 的保鲜时间是 48 小时, 则该食品在 33 C 的保鲜时间是 时. 【答案】24

?

?



考点:函数及其应用. (2015 四川)15. 已知函数 f ( x) ? 2 x , g ( x) ? x 2 ? ax (其中 a ? R ). 对于不相等的实数

x1 , x2 ,设 m ?
现有如下命题:

f ( x1 ) ? f ( x2 ) g ( x1 ) ? g ( x2 ) ,n ? . x1 ? x2 x1 ? x2

(1)对于任意不相等的实数 x1 , x2 ,都有 m ? 0 ; (2)对于任意的 a 及任意不相等的实数 x1 , x2 ,都有 n ? 0 ; (3)对于任意的 a,存在不相等的实数 x1 , x2 ,使得 m ? n ;

(4)对于任意的 a,存在不相等的实数 x1 , x2 ,使得 m ? ?n . 其中的真命题有 【答案】① ④ (写出所有真命题的序号).

对(4) ,由 m=-n 得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? g ( x2 ) ? g ( x1 ) ,即 f ( x1 ) ? g ( x1 ) ? f ( x2 ) ? g ( x2 ) . 令 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? 2x ? x2 ? ax ,则 h?( x) ? 2x ln 2 ? 2x ? a . 由 h?( x) ? 0 得: 2 ln 2 ? ?2 x ? a ,作出 y ? 2x ln 2, y ? ?2 x ? a 的图象知,方程
x

2x ln 2 ? ?2x ? a 必一定有解,所以 h( x) 一定有极值点,即对 于任意的 a,一定存在不相等
的实数 x1 , x2 ,使得 h( x1 ) ? h( x2 ) ,即一定存在不相等的实数 x1 , x2 ,使得 m ? ?n . 故正确. 所以(1) (4) 考点:函数与不等式的综合应用. (2015 四川)21. 已知函数 f ( x) ? ?2( x ? a)ln x ? x 2 ? 2ax ? 2a 2 ? a, 其中a ? 0. (1)设 g ( x)是f ( x)的导函数,讨论g ( x)的单调性; (2) 证明: 存在 a ? (0,1) , 使得 f ( x) ? 0 在区间(1,+?)内恒成立, 且 f ( x) ? 0 在(1,+?) 内有唯一解. 【答案】 (1)当 0 ? a ?

1 1 ? 1 ? 4a 1 ? 1 ? 4a ), ( , ??) 上单调递增, 时, g ( x) 在区间 (0, 4 2 2

在区间 (

1 1 ? 1 ? 4 a 1 ? 1 ? 4a , ) 上单调递减;当 a ? 时, g ( x) 在区间 (0, ??) 上单调递 4 2 2

增. (2)详见解析. 【解析】 试题分析: (1)首先对函数 f ( x ) 求导,得 g ( x) ? f ?( x) ? 2 x ? 2a ? 2 ln x ? 2(1 ?

a ) ,然 x

1 1 2( x ? )2 ? 2(a ? ) 2 2a 2 4 . 利用导数的符号即得其单调性. 此题 后再求导得 g ?( x) ? 2 ? ? 2 ? x x x2
分 2( a ? ) ? 0 和 2( a ? ) ? 0 两种情况讨论. (2)要使得 f ( x) ? 0 在区间(1,+?)内恒成 立,且 f ( x) ? 0 在(1,+?)内有唯一解,则这个解 x0 应为极小值点,且极小值为 0 . 所以我 们应考虑求 f ( x ) 的极小值. 由 f ?( x0 ) ? 0 ,解得 a ?

1 4

1 4

x0 ? 1 ? ln x0 ,代入 f ( x ) 得 1 ? x0 ?1

f ( x0 ) ? ?2( x0 ?

x0 ? 1 ? ln x0 x ? 1 ? ln x0 x ? 1 ? ln x0 2 x0 ? 1 ? ln x0 ) ln x0 ? x0 2 ? 2( 0 ) x0 ? 2( 0 ) ? ?1 ?1 1 ? x0 1 ? x0 1 ? x0 ?1 1 ? x0 ?1

. 是否存在令 x0 使得 f ( x0 ) ? 0 呢?为此,令

? ( x) ? ?2( x ?

x ? 1 ? ln x x ? 1 ? ln x x ? 1 ? ln x 2 x ? 1 ? ln x ) ln x ? x 2 ? 2( ) x ? 2( ) ? . ?1 ?1 1? x 1? x 1 ? x ?1 1 ? x ?1 e(e ? 2) e?2 2 ) ? 2( ) ? 0 ,故存在 x0 ? (1, e) ,使得 ? ( x0 ) ? 0 . ?1 1? e 1 ? e ?1

因为 ? (1) ? 1 ? 0, ? (e) ? ?

接下来的问题是,此时的 a 是否满足 a ? (0,1) 呢?令

a0 ?

1 x0 ? 1 ? ln x0 , u ( x) ? x ? 1 ? ln x( x ? 1) . 由 u ?( x) ? 1 ? ? 0 知,函数 u ( x) 在区间 ?1 x 1 ? x0
u (1) u ( x0 ) u (e) e?2 ? ? a0 ? ? ? 1. 即 a0 ? (0,1) . ?1 ?1 1 ? 1 1 ? x0 1? e 1 ? e?1

(1, ??) 上单调递增. 所以 0 ?

当 a ? a0 时,有 f ?( x0 ) ? 0, f ( x0 ) ? ? ( x0 ) ? 0 . 由(1)知,函数 f ?( x ) 在区间 (1, ??) 上单 调递增. 故当 x ? (1, x0 ) 时,有 f ?( x0 ) ? 0 ,从而 f ( x) ? f ( x0 ) ? 0 ;当 x ? ( x0 , ??) 时,有

f ?( x0 ) ? 0 ,从而 f ( x) ? f ( x0 ) ? 0 ;所以,当 x ? (1, ??) 时, f ( x) ? 0 .
试题解析: (1)由已知,函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) ,

a g ( x) ? f ?( x) ? 2 x ? 2a ? 2 ln x ? 2(1 ? ) , x

1 1 2( x ? )2 ? 2(a ? ) 2 2a 2 4 . 所以 g ?( x) ? 2 ? ? 2 ? 2 x x x
当0? a ?

1 1 ? 1 ? 4a 1 ? 1 ? 4a ), ( , ??) 上单调递增, 时, g ( x) 在区间 (0, 4 2 2

在区 间 (

1 ? 1 ? 4a 1 ? 1 ? 4 a , ) 上单调递减; 2 2

当a ?

1 时, g ( x) 在区间 (0, ??) 上单调递增. 4 a x ? 1 ? ln x ) ? 0 ,解得 a ? . x 1 ? x ?1

(2)由 f ?( x) ? 2 x ? 2a ? 2 ln x ? 2(1 ? 令 ? ( x) ? ?2( x ?

x ? 1 ? ln x x ? 1 ? ln x x ? 1 ? ln x 2 x ? 1 ? ln x ) ln x ? x 2 ? 2( ) x ? 2( ) ? . ?1 ?1 1? x 1? x 1 ? x ?1 1 ? x ?1 e(e ? 2) e?2 2 ) ? 2( ) ? 0 ,. ?1 1? e 1 ? e ?1

则 ? (1) ? 1 ? 0, ? (e) ? ?

故存在 x0 ? (1, e) ,使得 ? ( x0 ) ? 0 . 令 a0 ?

x0 ? 1 ? ln x0 , u ( x) ? x ? 1 ? ln x( x ? 1) ,. 1 ? x0 ?1

由 u ?( x ) ? 1 ? 所以 0 ?

1 ? 0 知,函数 u ( x) 在区间 (1, ??) 上单调递增. x

u (1) u ( x0 ) u (e) e?2 ? ? a0 ? ? ? 1. ?1 ?1 1 ? 1 1 ? x0 1? e 1 ? e?1

即 a0 ? (0,1) . 当 a ? a0 时,有 f ?( x0 ) ? 0, f ( x0 ) ? ? ( x0 ) ? 0 ,. 由(1)知,函数 f ?( x ) 在区间 (1, ??) 上单调递增. 故当 x ? (1, x0 ) 时,有 f ?( x0 ) ? 0 ,从而 f ( x) ? f ( x0 ) ? 0 ; 当 x ? ( x0 , ??) 时,有 f ?( x0 ) ? 0 ,从而 f ( x) ? f ( x0 ) ? 0 ; 所以,当 x ? (1, ??) 时, f ( x) ? 0 . 综上所述,存在 a ? (0,1) ,使得 f ( x) ? 0 在区间(1,+?)内恒成立,且 f ( x) ? 0 在(1,+?) 内有唯一解. 考点:本题考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识,考查推理 论证能力、运算求解能力、创新意识,考查函数与方程、数形结合、分类与整合,化归与转 化等数学思想. (2015 天津) (7)已知定义在 R 上的函数 f ? x ? ? 2
x?m

? 1 ( m 为实数)为偶函数,记

a ? f (log0.5 3), b ? f ? log2 5? , c ? f ? 2m? ,则 a, b, c 的大小关系为
(A) a ? b ? c (B) a ? c ? b (C ) c ? a ? b (D) c ? b ? a 【答案】C 【解析】

试题分析:因为函数 f ? x ? ? 2

x ?m

? 1为偶函数,所以 m ? 0 ,即 f ? x ? ? 2 ? 1 ,所以
x
1

log2 1? ? a ? f (log0.5 3) ? f ? log2 ? ? 2 3 ? 1 ? 2log2 3 ? 1 ? 3 ? 1 ? 2, 3? ?

b ? f ?log2 5? ? 2log2 5 ? 1 ? 4, c ? f ?2m? ? f (0) ? 20 ? 1 ? 0
所以 c ? a ? b ,故选 C. 考点:1. 函数奇偶性;2. 指数式、对数式的运算. (2015 天津) (8)已知函数 f ? x ? ? ?

? ?2 ? x , x ? 2, ? ?? x ? 2 ?
2

, x ? 2,

函数 g ? x ? ? b ? f ? 2 ? x? ,其中

b ? R ,若函数 y ? f ? x ? ? g ? x ? 恰有 4 个零点,则 b 的取值范围是
(A) ?

7? ?7 ? ? ? 7? ?7 ? , ?? ? (B) ? ??, ? (C) ? 0, ? (D) ? , 2 ? 4? ?4 ? ? ? 4? ?4 ?

【答案】D 【解析】 试题分析:由 f ? x ? ? ?

? ?2 ? x , x ? 2, ? ?? x ? 2 ? , x ? 2,
2

得 f (2 ? x ) ? ?

? ?2 ? 2 ? x , x ? 0 , 2 x , x ? 0 ? ?

?2 ? x ? x 2 , x?0 ? 0 ? x ? 2, 所以 y ? f ( x ) ? f (2 ? x ) ? ?4 ? x ? 2 ? x , ? 2 ?2 ? 2 ? x ? ( x ? 2) , x ? 2
? x 2 ? x ? 2, x ? 0 ? 即 y ? f ( x ) ? f (2 ? x ) ? ?2, 0? x?2 ? x 2 ? 5 x ? 8, x ? 2 ?
y ? f ( x) ? g ( x) ? f ( x) ? f (2 ? x) ? b , 所以 y ? f ? x ? ? g ? x ? 恰有 4 个零点等价于方程
即函数 y ? b 与函数 y ? f ( x) ? f (2 ? x) 的图象 f ( x) ? f (2 ? x) ? b ? 0 有 4 个不同的解, 的 4 个公共点,由图象可知

7 ? b? 2. 4

8 6 4 2 15 10 5 2 4 6 8 5 10 15

考点:1. 求函数解析式;2. 函数与方程;3. 数形结合. (2015 天津) (11)曲线 y ? x2 与直线 y ? x 所围成的封闭图形的面积为 【答案】 【解析】 试题分析:两曲线的交点坐标为 (0,0),(1,1) ,所以它们所围成的封闭图形的面积 .

1 6

1 ? 1 ?1 S ? ? ? x ? x ? dx ? ? x 2 ? x 3 ? ? . 0 3 ?0 6 ?2
1 2

1

考点:定积分几何意义. (2015 天津) 20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? n x ? x n , x ? R , 其中 n ? N * , n ? 2 .

(I)讨论 f ( x) 的单调性; (II)设曲线 y = f ( x) 与 x 轴正半轴的交点为 P,曲线在点 P 处的切线方程为 y = g ( x) , 求 证:对于任意的正实数 x ,都有 f ( x) ? g ( x) ; (III)若关于 x 的方程 f ( x)=a(a为实数) 有两个正实根 x1,x2 ,求证: | x2 -x1 |<

a +2 1- n

【答案】(I) 当 n 为奇数时, f ( x ) 在 ( ??, ?1) ,(1, ??) 上单调递减,在 ( ?1,1) 内单调递增; 当 n 为偶数时,f ( x ) 在 ( ??, ?1) 上单调递增,f ( x ) 在 (1, ??) 上单调递减. (II) 见解析;(III) 见解析.

试题解析:(I)由 f ( x) ? nx ? x n ,可得,其中 n ? N * 且 n ? 2 , 下面分两种情况讨论: (1)当 n 为奇数时:
[来源: 学 *科 * 网]

令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? 1 或 x ? ?1 , 当 x 变化时, f ?( x ), f ( x ) 的变化情况如下表:

x
f ?( x) f ( x)

( ??, ?1)

( ?1,1)

(1, ??)

?

?

?

所以, f ( x ) 在 ( ??, ?1) , (1, ??) 上单调递减,在 ( ?1,1) 内单调递增. (2)当 n 为偶数时, 当 f ?( x) ? 0 ,即 x ? 1 时,函数 f ( x ) 单调递增; 当 f ?( x) ? 0 ,即 x ? 1 时,函数 f ( x ) 单调递减. 所以, f ( x ) 在 ( ??, ?1) 上单调递增, f ( x ) 在 (1, ??) 上单调递减. (II)证明:设点 P 的坐标为 ( x0 ,0) ,则 x0 ? n n ?1 , f ?( x0 ) ? n ? n ,曲线 y ? f ( x) 在点 P
2

1

处的切线方程为 y ? f ?( x0 ) ? x ? x0 ? ,即 g( x) ? f ?( x0 ) ? x ? x0 ? ,令 F (x) ? f (x) ?g (x) , 即 F ( x) ? f ( x) ? f ?( x0 ) ? x ? x0 ? ,则 F ?( x) ? f ?( x) ? f ?( x0 )

由于 f ?( x) ? ?nxn?1 ? n 在 ?0, ??? 上单调递减,故 F ?( x) 在 ?0, ??? 上单调递减,又因为 所以当 x ? (0, x0 ) 时, F ?( x0 ) ? 0 , 当 x ? ( x0 所以 F ( x ) F ?( x0 ) ? 0 , , ?? ) 时,F ?( x0 ) ? 0 , 在 (0, x0 ) 内单调递增,在 ( x0 , ??) 内单调递减,所以对任意的正实数 x 都有

F ( x) ? F ( x0 ) ? 0 ,即对任意的正实数 x ,都有 f ( x ) ? g ( x ) .
(III)证明: 不妨设 x1 ? x2 , 由(II)知 g ( x ) ? n ? n 2 可得

?

设方程 g ( x ) ? a 的根为 x ? , ??x ? x ? ,
0 2

x2 ? ?

a ? x0 . ,当 n ? 2 时, g ( x ) 在 ? ??, ??? 上单调递减,又由(II)知 n ? n2

g ( x2 ) ? f ( x2 ) ? a ? g ( x2? ), 可得 x2 ? x2? .
类似的,设曲线 y ? f ( x) 在原点处的切线方程为 y ? h( x ) ,可得 h( x ) ? nx ,当

x ? (0, ??) ,

f ( x) ? h( x) ? ? x n ? 0 ,即对任意 x ? (0, ??) , f ( x ) ? h( x ).
设方程 h( x ) ? a 的根为 x1? ,可得 x1? ? 且

a ,因为 h( x ) ? nx 在 ? ??, ??? 上单调递增, n

考点:1.导数的运算;2.导数的几何意义;3.利用导数研究函数性质、证明不等式. (2015 浙江)7. 存在函数 f ( x) 满足,对任意 x ? R 都有( A. )

f (sin 2 x) ? sin x
2

B. f (sin 2 x) ? x ? x
2

C. f ( x ?1) ? x ?1 【答案】D.

D. f ( x ? 2x) ? x ?1
2

考点:函数的概念

2 ? ? x ? ? 3, x ? 1 10. (2015 浙江)已知函数 f ( x) ? ? ,则 f ( f (?3)) ? x ?lg( x 2 ? 1), x ? 1 ?
值是 .

, f ( x) 的最小

【答案】 0 , 2 2 - 3 .

考点:分段函 数 (2015 浙江)12. 若 a ? log4 3 ,则 2 ? 2
a ?a

?



【答案】 【解析】

4 3. 3

a ?a 试题分析:∵ a ? log4 3 ,∴ 4 ? 3 ? 2 ? 3 ,∴ 2 ? 2 ?

a

a

3?

1 4 ? 3. 3 3

考点:对数的计算 (2015 浙江)18. (本题满分 15 分) 已知函数 f(x)= x +ax+b(a,b ? R), 记 M(a,b)是|f(x)|在区间[-1,1]上的最大值。
2

(1)证明:当|a| ? 2 时,M(a,b) ? 2; (2)当 a ,b 满足 M(a,b) ? 2,求|a|+|b|的最大值. 【答案】 (1)详见解析; (2) 3 .

试题分析: (1)分析题意 可知 f ( x ) 在 [?1,1] 上单调,从而可知 (2)分析题意可知 M (a, b) ? max{| f (1) |,| f (?1) |} ,分类讨论 a 的取值范围即可求解. ;

?| a ? b |, ab ? 0 ,再由 M (a, b) ? 2 可得 |1 ? a ? b |?| f (1) |? 2 , | a | ? | b |? ? ?| a ? b |, ab ? 0
|1 ? a ? b |?| f (?1) |? 2 ,即可得证.

考点:1. 二次函数的性质;2. 分类讨论的数学思想. (2015 重庆)16.若函数 f(x)=|x+1|+2|x-a|的最小值为 5,则实数 a=_______. 【答案】 a ? 4 或 a ? ?6

考点:绝对值的性质,分段函数. (2015 重庆)20. (本小题满分 12 分, (1)小问 7 分, (2)小问 5 分)

3x 2 ? ax 设函数 f ? x ? ? ? a ? R? ex
( 1 )若 f ? x ? 在 x ? 0 处取得极值,确定

a 的值,并求此时曲线 y ? f ? x? 在点

?1, f ?1?? 处的切线方程;
(2)若 f ? x ? 在 3, ?? ? 上为减函数,求 a 的取值范围。 【答案】 (1) a ? 0 ,切线方程为 3x - ey = 0 ; ( 2) [ ? 【解析】 试题分析 :本 题考查 求复合 函数的 导数 ,导数 与函数 的关系 ,由 求导法 则可得

?

9 , ??) . 2

?3x 2 ? (6 ? a) x ? a , 由 已 知 得 f' ( 0 ?) , 0可 得 a ? 0 , 于 是 有 f '( x) ? ex 3x 2 f (x ) = x e f ?,( x) ? ?3x 2 ? 6 x 3 3 , f (1) ? , f '(1) ? ,由点斜式可得切线方程; (2)由 x e e e

题意 f '( x) ? 0 在 [3, ??) 上恒成立, 即 g ( x) ? ?3x2 ? (6 ? a) x ? a ? 0 在 [3, ??) 上恒成立,

利用二次函数的性质可很快得结论,由 ? 6

?6 ? a ?3 ? ? ? g (3) ? 0

得a ? ?

9 . 2

试题解析:(1)对 f ( x ) 求导得 f ?( x) ?

? 6 x ? a ? e x ? ?3x2 ? ax ? e x

?e ?

x 2

?3x 2 ? ? 6 ? a ? x ? a ? ex

因为 f ( x ) 在 x = 0 处取得极值,所以 f ?(0) ? 0 ,即 a = 0 .

考点:复合函数的导数,函数的极值,切线,单调性.


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