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高中数学第一章导数及其应用1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念课件新人教A版选修2_2_图文

第一章 §1.1变化率与导数 1.1.1 变化率问题 1.1.2 导数的概念 学习目标 1.了解导数概念的实际背景. 2.会求函数在某一点附近的平均变化率. 3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数. 问题导学 题型探究 达标检测 问题导学 知识点一 函数的平均变化率 新知探究 点点落实 假设如图是一座山的剖面示意图,并建立如图所示平面直角坐标系.A是出 发点,H是山顶.爬山路线用函数y=f(x)表示. 自变量x表示某旅游者的水平位置,函数值y=f(x)表示此时旅游者所在的高 度.设点A的坐标为(x1,y1),点B的坐标为(x2,y2). 思考1 答 作Δy. 若旅游者从点 A爬到点B,自变量x和函数值y的改变量分别是多少? 自变量x的改变量为x2-x1,记作Δx,函数值的改变量为y2-y1,记 思考2 答 怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度? Δy y2-y1 对山路AB来说,用 Δx= 可近似地刻画其陡峭程度. x2-x1 思考 3 Δy f?x2?-f?x1? 观察函数 y=f(x)的图象,平均变化率Δx= 表示什么? x2-x1 答 连线的斜率. Δy 观察图象可看出, 表示曲线y=f(x)上两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2)) Δx 函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率 Δy f?x2?-f?x1? (1)定义式:Δx= . x2-x1 (2)实质: 函数值 的增量与 自变量 增量之比. (3)作用:刻画函数值在区间[x1,x2]上变化的快慢. (4)几何意义:已知 P1(x1,f(x1)),P2(x2,f(x2))是函数y=f(x)的图象上两点, 则平均变化率 Δy f?x2?-f?x1? 表示割线P1P2的 Δx= x2-x1 . 知识点二 瞬时速度 思考1 物体的路程s与时间t的关系是s(t)=5t2.试求物体在[1,1+Δt]这段 时间内的平均速度. Δs 答 Δs=5(1+Δt) -5=10Δt+5(Δt) , v = =10+5Δt. Δt 2 2 思考2 当Δt趋近于0时,思考1中的平均速度趋近于几?怎样理解这一 速度? 答 Δs 当Δt趋近于0时, 趋近于10,这时的平均速度即为t=1时的瞬时速度. Δt 瞬时速度 (1)物体在 某一时刻 的速度称为瞬时速度. (2)一般地,设物体的运动规律是 s=s(t),则物体在 t0 到 t0+Δt 这段时间内 Δs s?t0+Δt?-s?t0? Δs 的平均速度为 Δt = . 如果 Δ t 无限趋近于 0 时, 无限趋近于 Δt Δt Δs 某个常数 v,我们就说当 Δt 趋近于 0 时,Δt 的_____是 v,这时 v 就是物体 s?t0+Δt?-s?t0? Δs 在时刻 t=t0 时的瞬时速度,即瞬时速度 v= lim = lim . Δt Δx→0 Δt Δx→0 知识点三 导数的概念 f?x0+Δx?-f?x0? Δy 函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是 lim = lim , Δx Δx→0 Δx Δx→0 f ?( x0 )或y? |x=x0 我们称它为函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数, 记作_________________ __, f?x0+Δx?-f?x0? Δy 即 f′(x0)= lim = lim . Δx Δx→0 Δx Δx→0 题型探究 类型一 求函数的平均变化率 例1 已知函数f(x)=2x2+3x-5. 重点难点 个个击破 Δy (1)求当x1=4,x2=5时,函数增量Δy和平均变化率Δx ; Δy (2)求当x1=4,x2=4.1时,函数增量Δy和平均变化率 ; Δx (3)若设x2=x1+Δx.分析(1)(2)题中的平均变化率的几何意义. 反思与感悟 解析答案 跟踪训练1 A.1 (1)如图,函数y=f(x)在A,B两点间的 平均变化率等于( ) B.-1 C.2 D.-2 解析 Δy f?3?-f?1? 由图知, 函数 y=f(x)在 A, B 两点间的平均变化率为 = Δx 3-1 1-3 = 2 =-1. 解析答案 (2)过曲线y=f(x)=x2-x上的两点P(1,0)和Q(1+Δx,Δy)作曲线的割线, 已知割线PQ的斜率为2,求Δx的值. 解 Δy 割线PQ的斜率即为函数f(x)从1到1+Δx的平均变化率 Δx . ∵Δy=f(1+Δx)-f(1)=(1+Δx)2-(1+Δx)-(12-1)=Δx+(Δx)2, ∴割线PQ的斜率k= Δy =1+Δx. Δx 又∵割线PQ的斜率为2,∴1+Δx=2,∴Δx=1. 解析答案 类型二 求平均速度与瞬时速度 例2 若一物体运动方程如下:(位移单位:m,时间单位:s) 2 ? 3 t ? +2, s=? 2 ? 29 + 3 ? t - 3 ? , ? t≥3, 0≤t<3. 求:(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度; 解析答案 (2)物体的初速度v0; 解 求物体的初速度v0即求物体在t=0时的瞬时速度. ∵物体在t=0附近的平均变化率为 Δs s?0+Δt?-s?0? = Δt Δt 29+3[?0+Δt?-3]2-29-3?0-3?2 =3Δt-18, = Δt Δs ∴ lim =- 18 , → Δ t Δt 0 ∴物体在t=0处的瞬时变化率为-18, 即物体的初速度为-18 m/s. 解析答案 (3)物体在t=1时的瞬时速度. 解 物体在t=1时的瞬时速度即为函数在t=1处的瞬时变化率. ∵物体在t=1附近的平均变化率为 Δs s?1+Δt?-s?1? Δt = Δt 29+3[?1+Δt?-3]2-29-3?1-3?2 = Δt Δs =- 12 , =3Δt-12. ∴ lim Δt→0 Δt ∴物体在t=1处的瞬时变化率为-

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