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浙江省“六市六校”联盟2014届高考模拟考试数学(理)试题


浙江省“六市六校”联盟 2014 届高考模拟考试

数学(理科)试题卷
命题人:杭州第十一中学 吕蔚 审核人:安吉昌硕高中
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的。

1.已知 i 是虚数单位,则
A. ? 1 ? i

2i = 1? i
B. ? 1 ? i

2.设集合 A ? x x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 , B ? x x 2 ? 1 ,则 A ? B 等于
A. ??1? B. ?1,3? C. ??1,1,3? D. ? 1,?3?

?

?

?

?

C. 1 ? i

D. 1 ? i

3.条件 p : ?2 ? x ? 4 ,条件 q : ( x ? 2)( x ? a) ? 0 ;若 p 是 q 的充分而不必要条件,则 a 的取值范围是 A. (4, ??) B. (??, ?4) C. (??, ?4] D. [?4, ??)

4.已知两个不同的平面 ? , ? 和两条不重合的直线 a , b ,则下列四个命题正确的是 A.若 a // b, b ? ? ,则 a // ? B.若 a ? ? , b ? ? , a // ? , b // ? ,则 ? // ? C.若 ? ? ? , ? ? ? ? b , a ? b ,则 a ? ? D.若 ? // ? , a ? ? , a ? ? , a // ? ,则 a // ? 5.执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为 A.2 B.4 C.8 是 开始 k=0,S=1 k=k+1 S=S× 2 D.16 k<3 否
k

6.若 | a ? b |?| a ? b |? 2 | a | ,则向量 a ? b 与 a 的夹角为 A.

?

?

?

?

?

?
6

B.

?
3

C.

2? 3

D.

5? 6

输出 S 结束

7.函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, | ? |? 将 y ? f ( x) 的图象向右平移 A. y ? sin 2 x C. y ? sin( 2 x ?

?
2

) 的部分图象如图示,则
[来源:学#科#网]

? 个单位后,得到的图象解析式为 6
B. y ? cos 2 x

2? ) 3

D. y ? sin( 2 x ?

?
6

)

数学(理科)试题卷·第 1 页(共 7 页)

1 1 ? ? x ? 2 , x ? [0, 2 ) 1 8.已知 f ( x) ? ? ,定义 f n ( x) ? f ( f n?1 ( x)) ,其中 f1 ( x) ? f ( x) ,则 f 2014 ( ) 等于 5 ?2(1 ? x), x ? [ 1 ,1] 2 ? 1 2 3 4 A. B. C. D. 5 5 5 5
9.已知 F1 , F2 分别是椭圆的左, 右焦点, 现以 F2 为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点 M , N , 若过 F1 的直线 MF1 是圆 F2 的切线,则椭圆的离心率为 A. 3 ? 1 B. 2 ? 3 C.

2 2

D.

3 2

10. 设 [ x ] 表 示 不 超 过 x 的 最 大 整 数 ( 如 [ 2 ] =2, [

5 ] =1 ) , 对 于 给 定 的 n ? N*, 定 义 4

Cnx ?

n( n? 1) x( x? 1)

(n?? ? x ? 1) ?3 ? , x ? ?1, ?? ? ,则当 x? ? ,3 ? 时,函数 C8x 的值域是 (x?? ? x ? 1) ?2 ?
B. ?

A. ?

?16 ? , 28? ?3 ?

?16 ? ,56 ? ?3 ?

C. ? 4,

? ?

28 ? ? ? ?28,56? 3 ?

D. ? 4,

? 16 ? ? 28 ? ? ? , 28? ? ? 3? ? 3 ?

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分。 11.如图是某个四面体的三视图,该四面体的体积为 12.在等差数列 ?an ? 中, a9 ? 等于 13.二项式 ( x ? . .

1 a12 ? 6 ,则数列 ?an ? 的前 11 项和 S11 2

1 9 ) 的展开式中常数项为 A ,则 A = x
个.



14.从 0,1,2,3,4,5 这 6 个数字中任意取 4 个数字组成一个没有重复数字且能被 3 整除的四位数, 这样的四位数有 15.已知正数 x, y 满足 x ? y ?

1 9 ? ? 10 , 则 x ? y 的最大值为 x y



16.向量 OA ? (1,0), OB ? (1,1) , O 为坐标原点,动点 P( x, y ) 满足 ? 图形的面积为 .

? ?0 ? OP ? OA ? 1 ? ?0 ? OP ? OB ? 2

,则点 Q( x ? y, y ) 构成

17.若 a1 x ? sin x ? a2 x 对任意的 x ? [0,

?
2

] 都成立,则 a 2 ? a1 的最小值为



数学(理科)试题卷·第 2 页(共 7 页)

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18. (本小题满分 14 分)在△ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c. 已知 2 cos(B ? C ) ? 1 ? 4 cos B cosC (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 a ? 2 7 ,△ABC 的面积为 2 3 ,求 b ? c . 19.(本小题满分 14 分)已知等差数列 {an } 的公差不为零,其前 n 项和为 S n ,若 S 5 =70,且 a2 , a7 , a22 成 等比数列, (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设数列 ?

?1? 1 3 ? 的前 n 项和为 Tn ,求证: ? Tn ? . 6 8 ? Sn ?
C

E

20. (本小题满分 15 分) 如图,将边长为 2 的正方形 ABCD 沿对角
.

线 BD 折成一个直二面角,且 EA⊥平面 ABD,AE= a , (Ⅰ)若 a ? 2 2 ,求证:AB∥平面 CDE; (Ⅱ)求实数 a 的值,使得二面角 A-EC-D 的大小为 60° .

C A D

B

21.(本小题满分 15 分) 如图,已知圆 G:x 2 ? y 2 ? 2x ? 2 2 y ? 0 ,经过椭圆 右焦点 F 及上顶点 B,过圆外一点 (m,0)(m ? a) 倾斜角为 (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)若右焦点 F 在以线段 CD 为直径的圆 E 的外部, 求 m 的取值范围.

5? 的直线 l 交椭圆于 C,D 两点, 6
y B C O F D

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 a2 b2

x

22.(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? x ? x ?1, g ( x) ? ax ? x ? b ( x ? R ) ,其中 a, b ? R .
4 2 3 2

(Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 在点 (1,1) 处相交且有相同的切线,求 a , b 的值; (Ⅱ)设 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ,若对于任意的 a ? [?2, 2] ,函数 y ? F ? x ? 在区间 [?1,1] 上的值恒为负数, 求 b 的取值范围.

数学(理科)试题卷·第 3 页(共 7 页)

浙江省“六市六校”联盟 2014 届高考模拟考试

数学(理科)评分标准
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分)

题号 答案

1 A

2 C

3 B

4 D

5 C

6 B

7 D

8 B

9 A

10 D

二、填空题(每小题 4 分,共 28 分)

11.12

12.132

13.-84

14.96

15.8

16.2

17. 1 ?

2

?

三、解答题(共 72 分) 18.解:(Ⅰ )∵2 cos(B ? C ) ? 1 ? 4 cos B cosC ,∴2(cosB cosC ? sin B sin C ) ? 1 ? 4 cos B cosC

1 . 2 ? 2? ∵0 ? B ? C ? ? ,可得 B ? C ? .∴A ? . 3 3 2? 1 2? ? 2 3 ,解得 bc=8.① (Ⅱ )由(Ⅰ )得 A ? .∵ S△ABC= 2 3 ∴ bc sin 3 2 3
可得 2 cos(B ? C ) ? 1 ,∴cos( B ? C ) ? 由余弦定理 a ? b ? c ? 2bc cos A ,得 b ? c ? bc ? 28 ,
2 2 2 2 2

------------4 分 -------------7 分 ------------10 分

----------- 12 分

即 (b ? c) 2 ? bc ? 28 .② 将①代入②,可得 b ? c ? 6 .

----------- 14 分

19.解:(Ⅰ)由题知 ?

5a1 ? 10d ? 70 ? S 5 ? 70 ? ,即 ? , 2 2 ?(a1 ? 6d ) ? (a1 ? d )(a1 ? 21d ) ?a7 ? a 2 ? a 22

------------2 分

解得 a1 ? 6, d ? 4 或 a1 ? 14, d ? 0 (舍去), 所以数列的通项公式为 an ? 4n ? 2 . (Ⅱ )由(Ⅰ )得 S n ? 2n 2 ? 4n

------------4 分

------------4 分

------------7 分



1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) S n 2n(n ? 2) 2 n n ? 2

------------8 分

则 Tn ? =

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) ? (1 ? ? ? ) 2 3 2 4 3 5 n ?1 n ?1 n n ? 2 2 2 n ?1 n ? 2
------------10 分
数学(理科)试题卷·第 4 页(共 7 页)

3 1 1 1 ? ( ? ) 8 4 n ?1 n ? 2



1 1 1 3 1 1 1 3 3 ( ? ) ? 0 可知 ? ( ? ) ? ,即 Tn ? 4 n ?1 n ? 2 8 4 n ?1 n ? 2 8 8 1 1 1 1 ( ? ) ? 0 可知 {Tn } 是递增数列,则 Tn ? T1 ? 4 n ?1 n ? 3 6

------------11 分

由 Tn ?1 ? Tn ? 可证得:

------------13 分

1 3 ? Tn ? 6 8

------------14 分

20.解:(Ⅰ)如图建立空间指教坐标系,则 A(0,0,0),B(2,0,0),C(1,1, 2 ),D(0,2,0),E(0,0, 2 2 ),

AB ? ? 2,0,0 ? , DE ? 0, ?2, 2 2 , DC ? 1, ?1, 2
设平面 CDE 的一个法向量为 n1 ? ? x, y, z ? , 则有 ?2 y ? 2 2z ? 0, x ? y ? 2z ? 0 , 取 z ? 2 时,n1 ? 0,2, 2

?

?

?

?

------------2 分

?

?

------------4 分 ------------7 分

? AB ? n1 ? 0 ,又 AB 不在平面 CDE 内,所以 AB // 平面 CDE ;
(Ⅱ )如图建立空间直角坐标系,则 A(0,0,0),B(2,0,0),C(1,1, 2 ),D(0,2,0),E(0,0, a ),

DE ? ? 0, ?2, a ? , DC ? 1, ?1, 2 ,
设平面 CDE 的一个法向量为 n2 ? ? x, y, z ? , 则有 ?2 y ? az ? 0, x ? y ? 2z ? 0 ,取 z ? 2 时,n2 ? a ? 2 2, a, 2 又平面 AEC 的一个法向量为 n3 ? ? ?1,1,0? , 因为二面角 A ? EC ? D 的大小为 60 ? ,? 即 a2 ? 2 xa ? 2 ? 0 ,解得 a ? 2 ? 2 又 a ? 0 ,所以 a ? 2 ? 2 . 注:几何解法相应给分.

?

?

?

?

------------9 分 ------------10 分

n2 ? n3 n2 n3

?

1 , 2
------------14 分 ------------15 分

21. 解:(Ⅰ)∵圆 G: x 2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 0 经过点 F、B. ∴F(2,0) ,B(0, 2 ) , ∴c ? 2,b ? ∴ a ? 6 .故椭圆的方程为
2

2.

------------3 分

x2 y2 ? ? 1. 6 2

------------5 分

数学(理科)试题卷·第 5 页(共 7 页)

(Ⅱ)设直线 l 的方程为 y ? ?

3 ( x ? m)(m ? 6 ) . 3

? x2 y2 ? ?1 ? ?6 2 由? 消去 y 得 2x 2 ? 2mx ? (m 2 ? 6) ? 0 . ? y ? ? 3 ( x ? m) ? 3 ?
设 C ( x1 , y1 ) , D( x2 , y 2 ) ,则 x1 ? x2 ? m , x1 x 2 ?

m2 ? 6 , 2

------------7 分

3 3 1 m m2 ∴ y1 y 2 ? [? . ( x1 ? m)] ? [? ( x2 ? m)] ? x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 3 3 3 3 3
∵ FC ? ( x1 ? 2, y1 ) , FD ? ( x2 ? 2, y2 ) , ∴ FC ? FD = ( x1 ? 2)(x2 ? 2) ? y1 y 2 ? =

4 (m ? 6) m2 x1 x2 ? ( x1 x2 ) ? ?4 3 3 3
------------10 分 ∴ FC ? FD ? 0 , ------------12 分

2m( m ? 3) . 3

∵点 F 在圆 G 的外部, 即

2m( m ? 3) ? 0 ,解得 m ? 0 或 m ? 3 . 3
2 2

由△= 4m ? 8(m ? 6) ? 0 ,解得 ? 2 3 ? m ? 2 3 .又 m ? ∴3? m ? 2 3.

6, 6 ?m?2 3.
------------15 分

22.解:(Ⅰ) f ' ( x) ? 4 x 3 ? 2 x ,切线斜率 k ? f ' (1) ? 6 ,

------------2分

由题知 ?

? g ' (1) ? 6 ? 3a ? 2 ? 6 4 4 ,即 ? ,解得 a ? , b ? ? . 3 3 ? g (1) ? 1 ?a ? b ? 1 ? 1
4 3 2

------------5 分

(Ⅱ)由题知对任意的 a ? [?2,2] ,在 x ? [?1,1] 上 F ( x) ? x ? ax ? 2 x ? b ? 1 ? 0 恒成立, 即 x ? ax ? 2 x ? 1 ? ?b 恒成立.
4 3 2

------------7 分

设 h( x) ? x ? ax ? 2x ? 1 ,则 h( x) max ? ?b
4 3 2

h' ( x) ? 4x 3 ? 3ax2 ? 4x ? x(4x 2 ? 3ax ? 4) ,
数学(理科)试题卷·第 6 页(共 7 页)

令 y ? 4 x 2 ? 3ax ? 4 ,则对任意的 a ? [?2,2] ,恒有 ? ? 9a ? 64 ? 0 ,则恒有 4 x ? 3ax ? 4 ? 0
2 2

当 x ? [?1,0] 时, h' ( x) ? x(4 x 2 ? 3ax ? 4) ? 0 ,函数 h( x) 单调递减, 当 x ? (0,1] 时, h' ( x) ? x(4 x 2 ? 3ax ? 4) ? 0 ,函数 h( x) 单调递增。

------------12 分

h( x) max ? max{ h(?1), h(1)} ? max{ a ? 2,2 ? a} =4,
所以 ? b ? 4 ,即 b ? ?4 ------------14 分

数学(理科)试题卷·第 7 页(共 7 页)


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