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2016-2017学年高中数学北师大版必修4学案:2.6 平面向量数量积的坐标表示 Word版含解析

§ 6 平面向量数量积的坐标表示 1.掌握数量积的坐标表达式.(重点) 2.能用坐标表示两个向量的夹角,判断两个平面向量的垂直关系.(重点) 3.了解直线的方向向量的概念.(难点) [基础· 初探] 教材整理 平面向量数量积的坐标表示 阅读教材 P98~P99,完成下列问题. 1.平面向量数量积的坐标表示 设向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2). (1)a· b=x1x2+y1y2; 2 2 2 (2)a2=x1 +y2 1,即|a|= x1+y1; a· b (3)设向量 a 与 b 的夹角为 θ,则 cos θ=|a||b|= (4)a⊥b?x1x2+y1y2=0. 2.直线的方向向量 x1x2+y1y2 2 2 2; x1+y2 1· x2+y2 给定斜率为 k 的直线 l,则向量 m=(1,k)与直线 l 共线,我们把与直线 l 共 线的非零向量 m 称为直线 l 的方向向量. 判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1) 若两非零向量的夹角 θ 满足 cos θ < 0 ,则两向量的夹角 θ 一定是钝 角.( ) ) 1 → (2)若 A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|= ?x2-x1?2+?y2-y1?2.( (3)两向量 a 与 b 的夹角公式 cos θ= b≠0.( ) x1x2+y1y2 2 2 2 的使用范围是 a≠0 且 x2 1+y1· x2+y2 a· b 【解析】 (1)错误.如 a=(-1,-1),b=(2,2),显然 cos θ=|a|· |b|<0,但 a 与 b 的夹角是 180° ,而并非钝角. → → (2)正确.AB=(x2-x1,y2-y1),所以|AB|= (3)正确. 两向量 a 与 b 的夹角公式 cos= ?x2-x1?2+?y2-y1?2. x1x2+y1y2 2 x1 +y2 1· 2 x2 +y2 2 2 有意义需 x1 +x2 2≠0 2 且 y1 +y2 2≠0,即 a≠0,且 b≠0.此说法是正确的. 【答案】 (1)× (2)√ (3)√ [质疑· 手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1:_________________________________________________________ 解惑:___________________________________________________________ 疑问 2:_________________________________________________________ 解惑:___________________________________________________________ 疑问 3:_________________________________________________________ 解惑:___________________________________________________________ [小组合作型] 平面向量数量积的坐标运 算 已知向量 a 与 b 同向,b=(1,2),a· b=10. (1)求向量 a 的坐标; (2)若 c=(2,-1),求(a+c)· b. 2 【精彩点拨】 根据 a 与 b 共线设出 a 的坐标,再利用数量坐标运算公式构 建方程求得 a 的坐标,进而求(a+c)· b. 【自主解答】 (1)∵a 与 b 同向,且 b=(1,2), ∴a=λb=(λ,2λ)(λ>0). 又∵a· b=10,∴λ+4λ=10,∴λ=2,∴a=(2,4). (2)法一:a+c=(4,3),∴(a+c)· b=4+6=10. 法二:(a+c)· b=a· b+c· b=10+0=10. 进行向量的数量积的坐标运算关键是把握向量数量积的坐标表示, 运算时常 有两条途径: (1)根据向量数量积的坐标表示直接运算; (2)先利用数量积的运算律将原式展开,再依据已知计算. [再练一题] 1.已知向量 a=(4,-2),b=(6,-3),求: (1)(2a-3b)· (a+2b); (2)(a+b)2. 【解】 法一:(1)∵2a-3b=(8,-4)-(18,-9)= (-10,5), a+2b=(4,-2)+(12,-6)=(16,-8), ∴(2a-3b)· (a+2b)=-160-40=-200. (2)∵a+b=(10,-5), ∴(a+b)2=(10,-5)×(10,-5)=100+25=125. 法二:由已知可得:a2=20,b2=45,a· b=30. (1)(2a-3b)· (a+2b) 3 =2a2+a· b-6b2 =2×20+30-6×45=-200. (2)(a+b)2=a2+2a· b+b2=20+60+45=125. 向量的夹角及垂 直 已知 a=(1,2),b=(-2,-4),|c|= 5. (1)求|a+2b|; 5 (2)若(a+b)· c=2,求向量 a 与 c 的夹角. 【精彩点拨】 (2)利用 cos θ= (1)利用|a|= x1x2+y1y2 2 2 2 x1 +y2 1· x2+y2 2 x2 1+y1求解. 求解. 【自主解答】 ∴|a+2b|= (1)a+2b=(1,2)+2(-2,-4)=(-3,-6), ?-3?2+?-6?2=3 5. (2)∵b=(-2,-4)=-2(1,2)=-2a, ∴a+b=-a, 5 ∴(a+b)· c=-a· c=2. 设 a 与 c 的夹角为 θ, a· c 则 cos θ=|a||c|= 5 -2 5× 5 1 =-2. 2 ∵0≤θ≤π,∴θ=3π, 2 即 a 与 c 的夹角为3π. 1.已知向量的坐标和向量的模(长度)时,可直接运用公式|a|= x2+y2进行 计算. 4 2.求向量的夹角

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