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2018-2019学年北师大版数学必修四教学案:第三章2第1课时两角差的余弦函数两角和与差的正弦、余弦函数


数学 第 1 课时 两角差的余弦函数 两角和与差的正弦、余弦函数 [核心必知] 两角和与差的余弦、正弦公式 公式 cos(α +β )=cos_α cos_β -sin_α sin_ (Cα +β ) β cos(α -β )=cos_α cos_β +sin_α sin_ (Cα -β ) β sin(α +β )=sin_α cos_β +cos_α sin_ (Sα +β ) β sin(α -β )=sin_α cos_β -cos_α sin_ (Sα -β ) β [问题思考] 1.cos(α -β )与 cos α -cos β 相等吗?是否有相等的情况? 提示: 一般情况下不相等, 但在特殊情况下也有相等的时候. 例如: 当取 α =0°, β =60° 时,cos(0°-60°)=cos 0°-cos 60°. 2.公式(Cα ±β )和(Sα ±β )中,对于角 α 与 β 的范围有没有规定? 简记 数学 提示:在公式中,角 α 与 β 没有规定,即对任意角 α ,β ,公式都恒成立. ?讲一讲 1.求下列各式的值: (1)sin 15°+cos 15°; (2)cos 25 11 11 5 π cos π -sin π sin π . 12 6 12 6 (1)法一:sin 15°=sin(45°-30°) [尝试解答] =sin 45°cos 30°-cos 45°sin 30° = = 2 3 2 1 ? - ? 2 2 2 2 6- 2 . 4 cos 15°=cos(45°-30°) =cos 45°cos 30°+sin 45°sin 30° = = 2 3 2 1 ? + ? 2 2 2 2 6+ 2 . 4 6- 2 6+ 2 6 + = . 4 4 2 ∴sin 15°+cos 15°= 法二:sin 15°+cos 15° = 2( 2 2 sin 15°+ cos 15°) 2 2 = 2(sin 15°cos 45°+cos 15°sin 45°) = 2sin(15°+45°)= 2sin 60°= (2)原式=cos(2π + 6 . 2 π π π π )cos(2π - )-sin(π - )?sin(π - ) 12 6 12 6 数学 =cos =cos( π π π π cos -sin sin 12 6 12 6 π π π 2 + )=cos = . 12 6 4 2 解此类题的关键是将非特殊角向特殊角转化,充分拆角、凑角转化为和、差角的正弦、余弦 公式,同时注意公式的活用、逆用, “大角”要利用诱导公式化为“小角” . ?练一练 1.求 cos 105°+sin 195°的值. 解:cos 105°+sin 195° =cos 105°+sin(90°+105°) =cos 105°+cos 105°=2cos 105° =2cos(60°+45°) =2(cos 60°cos 45°-sin 60°sin 45°) 1 2 3 2 2- 6 =2( ? - ? )= . 2 2 2 2 2 ?讲一讲 π 3 12 3 2.已知 <β <α < π ,cos(α -β )= ,sin(α +β )=- .求 cos 2β 的值. 2 4 13 5 [尝试解答] ∴0<α -β < π 3 ∵ <β <α < π , 2 4 π 3 ,π <α +β < π , 4 2 2 ∴sin(α -β )= 1-cos (α -β )= 2 5

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