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高中数学第一章三角函数1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(二)课件新人教A版必修4_图文

第一章 §1.4 三角函数的图象与性 质 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 学习目标 1.掌握y=sin x,y=cos x的最大值与最小值,并会 求简单三角函数的值域和最值. 2.掌握y=sin x,y=cos x的单调性,并能利用单调 性比较大小. 3.会求函数 y=Asin(ωx+φ)及y=Acos(ωx+φ)的单 调区间. 内容索引 问题导学 题型探究 当堂训练 问题导学 正弦、余弦函数的定义域、 值域 观察下图中的正弦曲线和余弦曲线. 正弦曲线: 知识点一 余弦曲线: 可得如下性质: 由正弦、余弦曲线很容易看出正弦函数、余弦函数的定义域都 是实数集 ,值域都是 . [R - 1,1] 对于正弦函数y=sin x,x∈R有: 当且仅当x= π 当且仅当x= 当且仅当x= 时,取得最小值-1. π -2+ 2kπ,k∈Z 对于余弦函数 y=cos x,x∈R有: 时,取得最大值1; + 2 k π , k ∈ Z 2 时,取得最大值1; 当且仅当x= 2kπ,k∈Z (2k+1)π,k∈Z 时,取得最小值-1. 知识点二 正弦、余弦函数的 单调性 π 3π 观察正弦函数 y=sin x,x∈[-2, 2 ]的图象. 思考1 π 3π 正弦函数在 [- , ] 广到整个定义域呢? 2 2 上函数值的变化有什么特点?推 答案 思考2 余弦函数在[-π,π]上函数值的变化有什么特点?推广 到整个定义域呢? 答案 思考3 正弦函数、余弦函数的单调区间是什么? 答案 ? π ? π ? ? y=sin x 的增区间为?-2+2kπ,2+2kπ?,k∈Z,减区间 ? ? ?π ? 3π ? 为?2+2kπ, 2 +2kπ??,k∈Z. ? ? y=cos x的增区间为[-π+2kπ,2kπ],k∈Z,减区间 为[2kπ,π+2kπ],k∈Z. 答案 梳理 解析式 y=sin x y=co 图象 值域 [-1,1] [-1, ? π ? π ? ? - + 2 k π , + 2 k π ? ?,k∈Z 2 2 [-π+2kπ, 2_________ kπ],k∈Z ? __________________________ ? 在 在 单调性 上递增, ?π ? 3π ? ? + 2 k π , + 2 k π ? ?,k∈Z 2 2 ? ? 在 上递增, , 上递减 [2kπ,π+2 kπ_________ ],k∈Z 在 k∈Z上递减 π + 2 k π , k ∈ Z 2= kπ, k∈ Z 2x=_____________时,ymax 当 1; 当 x= 最值 π -2+2kπ,k∈Z 当x=_______________时,ymin= 时,ymin=- π+ 2k1 π;当 ,k∈x Z = =_ -1 题型探究 类型一 求正弦、余弦函数的单 调区间 例1 ?π ? ? ? - x 求函数 y=2sin?4 ?的单调递增区间. ? ? 解答 反思与感 悟 用整体替换法求函数 y = Asin(ωx + φ) 或 y = Acos(ωx + φ) 的单调 区间时,如果式子中x的系数为负数,先利用诱导公式将x的系 数变为正数再求其单调区间 .求单调区间时,需将最终结果写 成区间形式. 跟踪训练 1 ? ? π π? π?? ? ? ? 函数 y=sin?3x+6?,x∈?-3,3?的单调递减区间为 ? ? ? ? ? π 2π?? ??π π?? ? ?- ,- ?,? , ? 9 ? ?9 3 ? ? 3 ___________________. π π 3π 解析 由2+2kπ≤3x+6≤ 2 +2kπ(k∈Z), ? π π? π 2kπ 4π 2kπ 得9+ 3 ≤x≤ 9 + 3 (k∈Z). 又 x∈??-3,3??, ? ? ? ? π π? ? π π?? 2π?? ??π π?? ? ? ? ? 所以函数 y=sin?3x+6?, x∈?-3,3?的单调递减区间为?-3,- 9 ?, ? , ?. ? ? ? ? ? ? ?9 3? 解析 答案 类型二 正、余弦函数单调性的 应用 命题角度1 利用正、余弦函数的单调性比较大小 例2 利用三角函数的单调性,比较下列各组数的大小. (1)sin 196°与cos 156°; 解 sin 196°=sin(180°+16°)=-sin 16°, cos 156°=cos(180°-24°)=-cos 24°=-sin 66°. ∵0°<16°<66°<90°,且 y = sin x 在 [0°, 90°] 上是增 函数, ∴sin 16°<sin 66°, 从而-sin 16°>-sin 66°,即sin 196°>cos 156°. 解答 ? 23 ? ? 17 ? (2)cos??- 5 π??与 cos??- 4 π??. ? ? ? ? 解 ? 23 ? cos??- 5 π??=cos ? ? 23 3 3 π = cos(4π + π) = cos π , 5 5 5 ? 17 ? cos??- 4 π??=cos ? ? ? π?? 17 π ? π = cos ?4π+ ?=cos . 4? 4 4 ? π 3 ∵0<4<5π<π,且 y=cos x 在[ 0,π] 上是减函数, ? 23 ? ? 17 ? 3 π ? ? ∴cos 5π<cos 4,即 cos?- 5 π?<cos??- 4 π??. ? ? ? ? 解答 反思与感 悟 用正弦函数或余弦函数的单调性比较大小时,应先将异名化 同名,把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单 调区间,再利用单调性来比较大小. 跟踪训练2 比较下列各组数的大小. ? 37 ? ?49 ?

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