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安徽省合肥市2017届高三数学一模试卷(理科)-Word版含解析

2017 年安徽省合肥市高考数学一模试卷(理科)

一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的. 1.若集合 M={x|log2x<1},集合 N={x|x2﹣1≤0},则 M∩N=( ) A.{x|1≤x<2}B.{x|﹣1≤x<2} C.{x|﹣1<x≤1} D.{x|0<x≤1}

2.已知复数

(i 为虚数单位),那么 z 的共轭复数为( )

A.

B.

C.

D.

3.要想得到函数 y=sin2x+1 的图象,只需将函数 y=cos2x 的图象( )

A.向左平移 个单位,再向上平移 1 个单位

B.向右平移 个单位,再向上平移 1 个单位

C.向左平移 个单位,再向下平移 1 个单位

D.向右平移 个单位,再向上平移 1 个单位 4.执行如图的程序框图,则输出的 n 为( )

A.9 B.11 C.13 D.15

5.已知双曲线

的两条渐近线分别与抛物线 y2=2px(p>0)的准线交于 A,

B 两点,O 为坐标原点,若△OAB 的面积为 1,则 p 的值为( ) A.1 B. C. D.4

-1-

6.△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若

,bcosA+acosB=2,

则△ABC 的外接圆的面积为( ) A.4π B.8π C.9π D.36π 7.祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.它是中国古代一个涉及几何体体积的问 题,意思是两个同高的几何体,如在等高处的截面积恒相等,则体积相等.设 A、 B 为两个同高的几何体,p:A、B 的体积不相等,q:A、B 在等高处的截面积不恒 相等,根据祖暅原理可知,p 是 q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8.在如图所示的正方形中随机投掷 10000 个点,则落入阴影部分(曲线 C 的方程 为 x2﹣y=0)的点的个数的估计值为( )

A.5000 B.6667 C.7500 D.7854 9.一个几何体的三视图如图所示(其中正视图的弧线为四分之一圆周),则该几 何体的表面积为( )

A.72+6π B.72+4π C.48+6π D.48+4π 10.已知(ax+b)6 的展开式中 x4 项的系数与 x5 项的系数分别为 135 与﹣18,则(ax+b) 6 展开式所有项系数之和为( )
-2-

A.﹣1 B.1 C.32 D.64 11.已知函数 f(x)=(x2﹣2x)sin(x﹣1)+x+1 在[﹣1,3]上的最大值为 M,最 小值为 m,则 M+m=( ) A.4 B.2 C.1 D.0

12.已知函数 f(x)=

,方程 f2(x)﹣af(x)+b=0(b≠0)

有六个不同的实数解,则 3a+b 的取值范围是( ) A.[6,11] B.[3,11] C.(6,11) D.(3,11)

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.命题:“?x∈R,x2﹣ax+1<0”的否定为 .

14.已知



,且

,则实数 k= .

15.已知 sin2α﹣2=2cos2α,则 sin2α+sin2α= . 16.已知直线 y=b 与函数 f(x)=2x+3 和 g(x)=ax+lnx 分别交于 A,B 两点,若|AB| 的最小值为 2,则 a+b= .

三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.) 17.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 S4=24,S7=63. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式;

(Ⅱ)若

,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

18.某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动,有甲,乙两个抽奖方案供员工选择.

方案甲:员工最多有两次抽奖机会,每次抽奖的中奖率均为 ,第一次抽奖,若未

中奖,则抽奖结束,若中奖,则通过抛一枚质地均匀的硬币,决定是否继续进行 第二次抽奖,规定:若抛出硬币,反面朝上,员工则获得 500 元奖金,不进行第 二次抽奖;若正面朝上,员工则须进行第二次抽奖,且在第二次抽奖中,若中奖, 则获得 1000 元;若未中奖,则所获得奖金为 0 元.

-3-

方案乙:员工连续三次抽奖,每次中奖率均为 ,每次中奖均可获得奖金 400 元. (Ⅰ)求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金 X(元)的分布列; (Ⅱ)试比较某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖,哪个方案更划算? 19.如图所示,在四棱台 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AA1⊥底面 ABCD,四边形 ABCD 为 菱形,∠BAD=120°,AB=AA1=2A1B1=2. (Ⅰ)若 M 为 CD 中点,求证:AM⊥平面 AA1B1B; (Ⅱ)求直线 DD1 与平面 A1BD 所成角的正弦值.

20.已知点 F 为椭圆

的左焦点,且两焦点与短轴的一个顶

点构成一个等边三角形,直线

与椭圆 E 有且仅有一个交点 M.

(Ⅰ)求椭圆 E 的方程;

(Ⅱ)设直线

与 y 轴交于 P,过点 P 的直线与椭圆 E 交于两不同点 A,B,

若λ|PM|2=|PA|?|PB|,求实数λ的取值范围.

21.已知函数

(x>0,e 为自然对数的底数),f'(x)是 f(x)的

导函数. (Ⅰ)当 a=2 时,求证 f(x)>1; (Ⅱ)是否存在正整数 a,使得 f'(x)≥x2lnx 对一切 x>0 恒成立?若存在,求出 a 的最大值;若不存在,说明理由.

请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选修 4-4:坐标系与参数方程]

22.已知直线 l 的参数方程为

(t 为参数)以坐标原点 O 为极点,以 x

-4-

轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C 的方程为



(Ⅰ)求曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)写出直线 l 与曲线 C 交点的一个极坐标.

[选修 4-5:不等式选讲] 23.已知函数 f(x)=|x﹣m|﹣|x+3m|(m>0). (Ⅰ)当 m=1 时,求不等式 f(x)≥1 的解集; (Ⅱ)对于任意实数 x,t,不等式 f(x)<|2+t|+|t﹣1|恒成立,求 m 的取值范 围.

-5-

2017 年安徽省合肥市高考数学一模试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的. 1.若集合 M={x|log2x<1},集合 N={x|x2﹣1≤0},则 M∩N=( ) A.{x|1≤x<2}B.{x|﹣1≤x<2} C.{x|﹣1<x≤1} D.{x|0<x≤1} 【考点】交集及其运算. 【分析】化简集合 M、N,根据交集的定义写出 M∩N 即可. 【解答】解:集合 M={x|log2x<1}={x|0<x<2}, 集合 N={x|x2﹣1≤0}={x|﹣1≤x≤1}, 则 M∩N={x|0<x≤1}. 故选:D.

2.已知复数

(i 为虚数单位),那么 z 的共轭复数为( )

A.

B.

C.

D.

【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出.

【解答】解:复数

=

= ,那么 z 的共轭复数为 =



故选:B.

3.要想得到函数 y=sin2x+1 的图象,只需将函数 y=cos2x 的图象( ) A.向左平移 个单位,再向上平移 1 个单位 B.向右平移 个单位,再向上平移 1 个单位 C.向左平移 个单位,再向下平移 1 个单位 D.向右平移 个单位,再向上平移 1 个单位
-6-

【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【分析】利用诱导公式化简成同名函数,在平移变换(左加右减,上加下减)即 可.

【解答】解:由函数 y=cos2x 可化简为:y=sin(

)=sin[2(x+ )],

∴向右平移 个单位可得 y=sin2x 的图象, 再向上平移 1 个单位,可得 y=sin2x+1 的图象. 故选 B

4.执行如图的程序框图,则输出的 n 为( )

A.9 B.11 C.13 D.15 【考点】程序框图. 【分析】算法的功能是求满足 S=1? … < 的最大的正整数 n+2 的值,验 证 S=1?3?…?13>2017,从而确定输出的 n 值. 【解答】解:由程序框图知:算法的功能是求满足 S=1? … < 的最大的 正整数 n+2 的值, ∵S=1?3?…?13>2017 ∴输出 n=13. 故选:C.
-7-

5.已知双曲线

的两条渐近线分别与抛物线 y2=2px(p>0)的准线交于 A,

B 两点,O 为坐标原点,若△OAB 的面积为 1,则 p 的值为( ) A.1 B. C. D.4 【考点】双曲线的简单性质.

【分析】求出双曲线

的两条渐近线方程与抛物线 y2=2px(p>0)的准线

方程,进而求出 A,B 两点的坐标,再由△AOB 的面积为 1 列出方程,由此方程求 出 p 的值.

【解答】解:双曲线

的两条渐近线方程是 y=±2x,

又抛物线 y2=2px(p>0)的准线方程是 x=﹣ ,

故 A,B 两点的纵坐标分别是 y=±p,

又△AOB 的面积为 1,∴

=1,

∵p>0,∴得 p= . 故选 B.

6.△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若

,bcosA+acosB=2,

则△ABC 的外接圆的面积为( ) A.4π B.8π C.9π D.36π 【考点】余弦定理;正弦定理. 【分析】由余弦定理化简已知等式可求 c 的值,利用同角三角函数基本关系式可求 sinC 的值,进而利用正弦定理可求三角形的外接圆的半径 R 的值,利用圆的面积 公式即可计算得解. 【解答】解:∵bcosA+acosB=2,

∴由余弦定理可得:b×

+a×

=2,整理解得:c=2,

又∵

,可得:sinC=

=,

-8-

∴设三角形的外接圆的半径为 R,则 2R=
∴△ABC 的外接圆的面积 S=πR2=9π. 故选:C.

= =6,可得:R=3,

7.祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.它是中国古代一个涉及几何体体积的问 题,意思是两个同高的几何体,如在等高处的截面积恒相等,则体积相等.设 A、 B 为两个同高的几何体,p:A、B 的体积不相等,q:A、B 在等高处的截面积不恒 相等,根据祖暅原理可知,p 是 q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】由 p?q,反之不成立.即可得出. 【解答】解:由 p?q,反之不成立. ∴p 是 q 的充分不必要条件. 故选:A.

8.在如图所示的正方形中随机投掷 10000 个点,则落入阴影部分(曲线 C 的方程 为 x2﹣y=0)的点的个数的估计值为( )

A.5000 B.6667 C.7500 【考点】模拟方法估计概率.

D.7854

【分析】由题意,阴影部分的面积 S=

=

= ,正方形的面

积为 1,利用正方形中随机投掷 10000 个点,即可得出结论.

【解答】解:由题意,阴影部分的面积 S=

=

= ,正方形

-9-

的面积为 1, ∵正方形中随机投掷 10000 个点, ∴落入阴影部分(曲线 C 的方程为 x2﹣y=0)的点的个数的估计值为 10000× ≈ 6667, 故选 B.
9.一个几何体的三视图如图所示(其中正视图的弧线为四分之一圆周),则该几 何体的表面积为( )

A.72+6π B.72+4π C.48+6π D.48+4π 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积. 【分析】由已知中的三视图,可得该几何体是一个以正视图为为底面的柱体,由 柱体表面积公式,可得答案. 【解答】解:由已知中的三视图,可得该几何体是一个以正视图为为底面的柱体, (也可以看成一个凹六棱柱与四分之一圆柱的组合体),

其底面面积为:4×4﹣2×2+

=12+π,

底面周长为:4+4+2+2+

=12+π,

柱体的高为 4, 故柱体的表面积 S=(12+π)×2+(12+π)×4=72+6π, 故选:A

10.已知(ax+b)6 的展开式中 x4 项的系数与 x5 项的系数分别为 135 与﹣18,则(ax+b)

- 10 -

6 展开式所有项系数之和为( ) A.﹣1 B.1 C.32 D.64 【考点】二项式系数的性质. 【分析】由题意先求得 a、b 的值,再令 x=1 求出展开式中所有项的系数和. 【解答】解:(ax+b)6 的展开式中 x4 项的系数与 x5 项的系数分别为 135 与﹣18, ∴ ?a4?b2=135①,
?a5?b=﹣18②;

由①、②组成方程组



解得 a=1,b=﹣3 或 a=﹣1、b=3; ∴令 x=1,求得(ax+b)6 展开式中所有项系数之和为 26=64. 故选:D.

11.已知函数 f(x)=(x2﹣2x)sin(x﹣1)+x+1 在[﹣1,3]上的最大值为 M,最 小值为 m,则 M+m=( ) A.4 B.2 C.1 D.0 【考点】函数的最值及其几何意义. 【分析】把已知函数解析式变形,可得 f(x)=[(x﹣1)2﹣1]sin(x﹣1)+x﹣1+2, 令 g(x)=(x﹣1)2sin(x﹣1)﹣sin(x﹣1)+(x﹣1),结合 g(2﹣x)+g(x) =0,可得 g(x)关于(1,0)中心对称,则 f(x)在[﹣1,3]上关于(1,2)中 心对称,从而求得 M+m 的值. 【解答】解:∵f(x)=(x2﹣2x)sin(x﹣1)+x+1=[(x﹣1)2﹣1]sin(x﹣1)+x ﹣1+2 令 g(x)=(x﹣1)2sin(x﹣1)﹣sin(x﹣1)+(x﹣1), 而 g(2﹣x)=(x﹣1)2sin(1﹣x)﹣sin(1﹣x)+(1﹣x), ∴g(2﹣x)+g(x)=0, 则 g(x)关于(1,0)中心对称,则 f(x)在[﹣1,3]上关于(1,2)中心对称. ∴M+m=4. 故选:A.
- 11 -

12.已知函数 f(x)=

,方程 f2(x)﹣af(x)+b=0(b≠0)

有六个不同的实数解,则 3a+b 的取值范围是( ) A.[6,11] B.[3,11] C.(6,11) D.(3,11) 【考点】根的存在性及根的个数判断.

【分析】作函数(f x)=

的图象,从而利用数形结合知 t2﹣at+b=0

有 2 个不同的正实数解,且其中一个为 1,从而可得﹣1﹣a>0 且﹣1﹣a≠1;从 而解得.

【解答】解:作函数 f(x)=

的图象如下,

∵关于 x 的方程 f2(x)﹣af(x)+b=0 有 6 个不同实数解, 令 t=f(x), ∴t2﹣at+b=0 有 2 个不同的正实数解, 其中一个为在(0,1)上,一个在(1,2)上;





其对应的平面区域如下图所示:
- 12 -

故当 a=3,b=2 时,3a+b 取最大值 11, 当 a=1,b=0 时,3a+b 取最小值 3, 则 3a+b 的取值范围是[3,11] 故选:B
二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.命题:“?x∈R,x2﹣ax+1<0”的否定为 ?x∈R,x2﹣ax+1≥0 . 【考点】命题的否定. 【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可. 【解答】解:因为特称命题的否定是全称命题, 所以命题:“?x∈R,x2﹣ax+1<0”的否定是:?x∈R,x2﹣ax+1≥0; 故答案为:?x∈R,x2﹣ax+1≥0

14.已知



,且

,则实数 k= ﹣6 .

【考点】平面向量共线(平行)的坐标表示.

【分析】利用向量坐标运算性质、向量共线定理即可得出.

【解答】解:

=(﹣3,3+2k), ﹣ =(5,9﹣k).



,∴﹣3(9﹣k)﹣5(3+2k)=0,

解得 k=﹣6. 故答案为:﹣6.

- 13 -

15.已知 sin2α﹣2=2cos2α,则 sin2α+sin2α= 1 或 .
【考点】同角三角函数基本关系的运用. 【分析】利用同角三角函数的基本关系,求得 cosα=0 或 tanα=2,从而求得要求式 子的值. 【 解 答 】 解 : ∵ sin2α ﹣ 2=2cos2α , ∴ 2sinαcosα ﹣ 2=2 ( 2cos2α ﹣ 1 ), 即 sinαcosα=2cos2α, ∴cosα=0 或 tanα=2. 则 sin2α+sin2α=sin2α+2sinαcosα=1+0=1;

或 sin2α+sin2α=

=

= =,

故答案为:1 或 .

16.已知直线 y=b 与函数 f(x)=2x+3 和 g(x)=ax+lnx 分别交于 A,B 两点,若|AB| 的最小值为 2,则 a+b= 2 . 【考点】函数的最值及其几何意义. 【分析】设 A(x1,b),B(x2,b),则 2x1+3=ax2+lnx2=b,表示出 x1,求出|AB|, 利用导数,结合最小值也为极小值,可得极值点,求出最小值,解方程可得 a=1, 进而得到 b,求出 a+b. 【解答】解:设 A(x1,b),B(x2,b), 则 2x1+3=ax2+lnx2=b,
∴x1= (ax2+lnx2﹣3),

∴|AB|=x2﹣x1=(1﹣ a)x2﹣ lnx2+ ,

令 y=(1﹣ a)x﹣ lnx+ ,

则 y′=1﹣ a﹣ ? =

(x>0),

由|AB|的最小值为 2, 可得 2﹣a>0,

函数在(0, )上单调递减,在( ,+∞)上单调递增,

- 14 -

∴x= 时,函数 y 取得极小值,且为最小值 2,

即有(1﹣ a)? ﹣ ln
解得 a=1, 由 x2=1, 则 b=ax2+lnx2=1+ln1=1, 可得 a+b=2. 故答案为:2.

+ =2,

三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.) 17.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 S4=24,S7=63. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式;

(Ⅱ)若

,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

【考点】数列的求和;数列递推式.

【分析】(I)利用等差数列的求和公式及其通项公式即可得出. (II)通过分类讨论,利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出. 【解答】解:(Ⅰ)因为{an}为等差数列,

所以



(Ⅱ)∵





当 n=2k(k∈N*)时,

,∴

当 n=2k﹣1(k∈N*)时,





,∴



- 15 -

18.某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动,有甲,乙两个抽奖方案供员工选择.

方案甲:员工最多有两次抽奖机会,每次抽奖的中奖率均为 ,第一次抽奖,若未

中奖,则抽奖结束,若中奖,则通过抛一枚质地均匀的硬币,决定是否继续进行 第二次抽奖,规定:若抛出硬币,反面朝上,员工则获得 500 元奖金,不进行第 二次抽奖;若正面朝上,员工则须进行第二次抽奖,且在第二次抽奖中,若中奖, 则获得 1000 元;若未中奖,则所获得奖金为 0 元.

方案乙:员工连续三次抽奖,每次中奖率均为 ,每次中奖均可获得奖金 400 元.

(Ⅰ)求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金 X(元)的分布列; (Ⅱ)试比较某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖,哪个方案更划算? 【考点】离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列. 【分析】(I)利用相互独立事件的概率计算公式即可得出. (II)利用数学期望计算公式、二项分布列的性质即可得出.

【 解 答 】 解 :( Ⅰ )







所以某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金 X(元)的分布列为

X

0

500

P

1000

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,选择方案甲进行抽奖所获得奖金 X 的均值 ,

若选择方案乙进行抽奖中奖次数ξ~B

,则



抽奖所获奖金 X 的均值 E(X)=E=400E(ξ)=480, 故选择方案甲较划算.

19.如图所示,在四棱台 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AA1⊥底面 ABCD,四边形 ABCD 为 菱形,∠BAD=120°,AB=AA1=2A1B1=2. (Ⅰ)若 M 为 CD 中点,求证:AM⊥平面 AA1B1B;
- 16 -

(Ⅱ)求直线 DD1 与平面 A1BD 所成角的正弦值.

【考点】直线与平面所成的角;直线与平面垂直的判定.

【分析】(Ⅰ)推导出 AM⊥CD,AM⊥AB,AM⊥AA1,由此能证明 AM⊥平面 AA1B1B

(Ⅱ)分别以 AB,AM,AA1 为 x 轴、y 轴、z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系

A﹣xyz,利用向量法能求出直线 DD1 与平面 A1BD 所成角θ的正弦值.

【解答】证明:(Ⅰ)∵四边形为菱形,∠BAD=120°,连结 AC,

∴△ACD 为等边三角形,

又∵M 为 CD 中点,∴AM⊥CD,

由 CD∥AB 得,∴AM⊥AB,

∵AA1⊥底面 ABCD,AM?底面 ABCD,∴AM⊥AA1,

又∵AB∩AA1=A,∴AM⊥平面 AA1B1B

解:(Ⅱ)∵四边形 ABCD 为菱形,∠BAD=120°,AB=AA1=2A1B1=2,

∴DM=1,

,∠AMD=∠BAM=90°,

又∵AA1⊥底面 ABCD,

分别以 AB,AM,AA1 为 x 轴、y 轴、z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系 A﹣xyz,

则 A1(0,0,2)、B(2,0,0)、













设平面 A1BD 的一个法向量



则有

,令 x=1,则



∴直线 DD1 与平面 A1BD 所成角θ的正弦值:

- 17 -



20.已知点 F 为椭圆

的左焦点,且两焦点与短轴的一个顶

点构成一个等边三角形,直线

与椭圆 E 有且仅有一个交点 M.

(Ⅰ)求椭圆 E 的方程;

(Ⅱ)设直线

与 y 轴交于 P,过点 P 的直线与椭圆 E 交于两不同点 A,B,

若λ|PM|2=|PA|?|PB|,求实数λ的取值范围. 【考点】椭圆的简单性质.

【分析】(Ⅰ)由题意可得 a,b 与 c 的关系,化椭圆方程为

,联立直

线方程与椭圆方程,由判别式为 0 求得 c,则椭圆方程可求; (Ⅱ )由(Ⅰ)求得 M 坐标,得到|PM|2 ,当直线 l 与 x 轴垂直时,直 接由 λ|PM|2=|PA|?|PB|求得λ值;当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y=kx+2, 联立直线方程与椭圆方程,利用判别式大于 0 求得 k 的取值范围,再由根与系数 的关系,结合λ|PM|2=|PA|?|PB|,把λ用含有 k 的表达式表示,则实数λ的取值范 围可求.

【解答】解:(Ⅰ)由题意,得

,则椭圆 E 为:



联立

,得 x2﹣2x+4﹣3c2=0,

- 18 -

∵直线

与椭圆 E 有且仅有一个交点 M,

∴△=4﹣4(4﹣3c2)=0,得 c2=1,

∴椭圆 E 的方程为



(Ⅱ)由(Ⅰ)得



∵直线

与 y 轴交于 P(0,2),∴



当直线 l 与 x 轴垂直时,



由λ|PM|2=|PA|?|PB|,得 ,

当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2),

联立

,得(3+4k2)x2+16kx+4=0,

依题意得,

,且△=48(4k2﹣1)>0,











,∴



综上所述,λ的取值范围是



21.已知函数

(x>0,e 为自然对数的底数),f'(x)是 f(x)的

导函数. (Ⅰ)当 a=2 时,求证 f(x)>1; (Ⅱ)是否存在正整数 a,使得 f'(x)≥x2lnx 对一切 x>0 恒成立?若存在,求出

- 19 -

a 的最大值;若不存在,说明理由. 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 【分析】(Ⅰ)求出函数的导数,根据函数的单调性 zm jk; (Ⅱ)求出函数的导数,得到 a≤e,问题转化为证明当 a=2 时,不等式恒成立,



,根据函数的单调性证明即可.

【解答】解:(Ⅰ)证明:当 a=2 时,f(x)=ex﹣x2,则 f'(x)=ex﹣2x,



,则



令 f'1(x)=0,得 x=ln2,故 f'(x)在 x=ln2 时取得最小值, ∵f'(ln2)=2﹣2ln2>0,∴f(x)在(0,+∞)上为增函数, ∴f(x)>f(0)=1; (Ⅱ)f'(x)=ex﹣ax, 由 f'(x)≥x2lnx,得 ex﹣ax≥x2lnx 对一切 x>0 恒成立, 当 x=1 时,可得 a≤e,所以若存在,则正整数 a 的值只能取 1,2. 下面证明当 a=2 时,不等式恒成立,



,则



由(Ⅰ)ex>x2+1≥2x>x,∴ex﹣x>0(x>0), ∴当 0<x<2 时,g'(x)<0;当 x>2 时,g'(x)>0, 即 g(x)在(0,2)上是减函数,在(2,+∞)上是增函数,





∴当 a=2 时,不等式恒成立, 所以 a 的最大值是 2.

请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选修 4-4:坐标系与参数方程]

22.已知直线 l 的参数方程为

(t 为参数)以坐标原点 O 为极点,以 x

轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C 的方程为



- 20 -

(Ⅰ)求曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)写出直线 l 与曲线 C 交点的一个极坐标. 【考点】参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程. 【分析】(Ⅰ)利用极坐标与直角坐标互化方法,求曲线 C 的直角坐标方程;

(Ⅱ)将

,代入

得,

,求出交点

坐标,即可直线 l 与曲线 C 交点的一个极坐标.

【解答】解:(Ⅰ)∵

,∴







(Ⅱ)将

,代入

从而,交点坐标为



所以,交点的一个极坐标为

得, .

,即 t=0,

[选修 4-5:不等式选讲] 23.已知函数 f(x)=|x﹣m|﹣|x+3m|(m>0). (Ⅰ)当 m=1 时,求不等式 f(x)≥1 的解集; (Ⅱ)对于任意实数 x,t,不等式 f(x)<|2+t|+|t﹣1|恒成立,求 m 的取值范 围. 【考点】绝对值不等式的解法;绝对值三角不等式. 【分析】(Ⅰ)将 m=1 的值带入,得到关于 x 的不等式组,求出不等式的解集即可; (Ⅱ)问题等价于对任意的实数 xf(x)<[|2+t|+|t﹣1|]min 恒成立,根据绝对值 的性质求出 f(x)的最大值以及[|2+t|+|t﹣1|]min,求出 m 的范围即可.

【解答】解:(Ⅰ)



当 m=1 时,由

或 x≤﹣3,得到



∴不等式 f(x)≥1 的解集为



- 21 -

(Ⅱ)不等式 f(x)<|2+t|+|t﹣1|对任意的实数 t,x 恒成立, 等价于对任意的实数 xf(x)<[|2+t|+|t﹣1|]min 恒成立, 即[f(x)]max<[|2+t|+|t﹣1|]min, ∵f(x)=|x﹣m|﹣|x+3m|≤|(x﹣m)﹣(x+3m)|=4m, |2+t|+|t﹣1|≥|(2+t)﹣(t﹣1)|=3,

∴4m<3 又 m>0,所以



- 22 -


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