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高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.5空间向量运算的坐标表示学案含解析新人教A版选

3.1.5 空间向量运算的坐标表示 [提出问题] 一块巨石从山顶坠落,挡住了前面的路,抢修队员紧急赶到从三个方向拉巨石.这三个 力分别为 F1,F2,F3,它们两两垂直,且|F1|=3 000 N,|F2|=2 000 N,|F3|=2 000 3 N. 问题 1:若以 F1,F2,F3 的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系,巨 石受合力的坐标是什么? 提示:F=(3 000,2 000,2 000 3). 问题 2:巨石受到的合力有多大? 提示:|F|=5 000 N. [导入新知] 1.空间向量的加减和数乘的坐标表示 设 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3). (1)a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3); (2)a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3); (3)λ a=(λ a1,λ a2,λ a3)(λ ∈R); (4)若 b≠0,则 a∥b?a=λ b(λ ∈R)?a1=λ b1,a2=λ b2,a3=λ b3. 2.空间向量数量积的坐标表示及夹角公式 若 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则 (1)a?b=a1b1+a2b2+a3b3; (2)|a|= a?a= a1+a2+a3; 2 2 2 a?b (3)cos〈a,b〉= |a||b| = a1b1+a2b2+a3b3 ; 2 2 2 2 2 a +a2 +a3 b1+b2+b3 2 1 (4)a⊥b?a1b1+a2b2+a3b3=0. 3.空间中向量的坐标及两点间的距离公式 在空间直角坐标系中,设 A(a1,b1,c1),B(a2,b2,c2). ― → (1) AB =(a2-a1,b2-b1,c2-c1); ― → 2 2 2 (2)dAB=| AB |= ?a2-a1? +?b2-b1? +?c2-c1? . 1 [化解疑难] 1.空间向量的坐标运算实质是平面向量坐标运算的推广,包括运算法则,仅是在平面 向量运算法则的基础上增加了竖坐标的运算. 2.空间两向量平行与平面向量平行的表达式不一样,但实质一样,即对应坐标成比例. 3. 空间中两向量垂直的充要条件形式上与平面内两向量垂直类似, 仅多了一个基向量. 空间向量的坐标运算 [例 1] 已知 O 为坐标原点,A,B,C 三点的坐标分别是(2,-1,2),(4,5,-1),(- 2,2,3).求点 P 的坐标,使: ― → 1 ― → ― → (1) OP = ( AB - AC ); 2 ― → 1 ― → ― → (2) AP = ( AB - AC ). 2 [解] ― → ― → AB =(2,6,-3), AC =(-4,3,1), ― → ― → ∴ AB - AC =(6,3,-4). ― → 1 ? 3 ? (1) OP = (6,3,-4)=?3, ,-2?, 2 ? 2 ? ? 3 ? 则点 P 的坐标为?3, ,-2?. ? 2 ? (2)设点 P 的坐标为(x,y,z), ― → 则 AP =(x-2,y+1,z-2), 1 ― → ― → ― → ? 3 ? ∵ ( AB - AC )= AP =?3, ,-2?, 2 ? 2 ? 1 ∴x=5,y= ,z=0, 2 ? 1 ? 则点 P 的坐标为?5, ,0?. ? 2 ? [类题通法] (1)一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点 坐标. (2)空间向量进行坐标运算的规律是首先进行数乘运算,再进行加法或减法运算,最后 进行数量积运算;先算括号里,后算括号外. (3)空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算法则基本一样,应注意一些计算公式的 应用. 2 [活学活用] 已知空间四点 A,B,C,D 的坐标分别是(-1,2,1),(1,3,4),(0,-1,4),(2,-1, ― → ― → -2),设 p= AB ,q= CD . 求:(1)p+2q; (2)3p-q; (3)(p-q)?(p+q). ― → 解: 因为 A(-1,2,1), B(1,3,4), C(0, -1,4), D(2, -1, -2), 所以 p= AB =(2,1,3), q= CD =(2,0,-6). (1)p+2q=(2,1,3)+2(2,0,-6)=(2,1,3)+(4,0,-12)=(6,1,-9). (2)3p-q=3(2,1,3)-(2,0,-6)=(6,3,9)-(2,0,-6)=(4,3,15). (3)(p-q)?(p+q)=p -q =|p| -|q| =(2 +1 +3 )-(2 +0 +6 )=-26. 空间向量的垂直与平行的判断 ― → ― → [例 2] 已知空间三点 A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4).设 a= AB ,b= AC . ― → (1)设|c|=3,c∥ BC ,求 c; (2)若 ka+b 与 ka-2b 互相垂直,求 k. ― → ― → [解] (1)∵ BC =(-2,-1,2),且 c∥ BC , ― → ∴设 c=λ BC =(-2λ ,-λ ,2λ )(λ ∈R). ∴|c|= ?-2λ ? +?-λ ? +?2λ ? =3|λ |=3. 解得 λ =±1. ∴c=(-2,-1,2)或 c=(2,1,-2). ― → ― → (2)∵a= AB =(1,1,0),b= AC =(-1,0,2), ∴ka+b=(k-1,k,2),ka-2b=(k+2,k,-4). ∵(ka+b)⊥(ka-2b), ∴(ka+b)?(ka-2b)=0, 即(k-1,k,2)?(k+2,k,-4)=2k +k-10=0. 5 解得 k=2 或 k=- . 2 [类题通法] 解决空间向量垂直、平行问题的思路 (1)若有关向量已知时,通常需要设出向量的坐标.例如,设向量 a=(x,y,z). (2)在有关平行的问题中,通常需要引入参数.例如,已

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