tceic.com
学霸学习网 这下你爽了
当前位置:首页 >> >>

珠海市2015届高三9月摸底考试(理数)

珠海市 2015 届高三 9 月摸底考试 数学(理科)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项.

? 1, ? 2} ,集合 M ? {0} ,则 CU M ?(A) 1. (集合) 已知全集 U ? {0 ,
A.{?1, ? 2} B.{0 , ? 1, ? 2} C.{0 , ? 1} D.{0 , ? 2}

开始

k=0,s=1

2. (复数)复数 (2 ? i )i 的虚部是 (D) A. ?2 B. 1 C. ?1 D. 2 3. (程序框图)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序, 输出的 s 值是(C) A.7 B.67 C.39 D.1525 4. (等比数列)等比数列 {an } 中, a3 ? ?3 ,则前 5 项之积是(B) A. 3
5

k=k+1 是

s=s^2+k

k<4? 否 输出 s

B. ? 3

5

C. 3

6

D. ? 3

6

结束

5. (三视图)如图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为(A) A.

16? 3

B. 16?

C.

8? 3

D. 8? 4 4

6. (空间向量运算)向量 a ? (0,1,?1) , b ? (0,1,0) , 则 a 与 b 的夹角为(C) A . 0? B. 30 ? C. 45 ? D. 60 ?

第 3 题图 4 4

正视图

侧视图

2] 上随机取两个数 x ,y 7. (几何概型)在区间 [0 ,
其中满足 y ? 2 x 的概率是( B ) A. 4

1 2

B.

1 4

C.

1 8

D.

1 16

4 俯视图

第 5 题图

8. (简易逻辑与命题)下列命题中是真命题的是(C) A. ?? 、? ? R ,均有 cos(? ? ? ) ? cos ? ? cos ?

k ?Z B.若 f ( x) ? cos(2 x ? ?) 为奇函数,则 ? ? k? ,
C.命题“ p ”为真命题,命题“ q ”为假命题,则命题“ ? p ? q ”为假命题 D. x ? 0 是函数 f ( x) ? x ? 2 的极值点
3

1

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,考生做答 6 小题,满分 30 分.其中 14~15 题是选 做题,考生只能选做一题,两题全答的,只计算前一题得分.请将答案填在答题卡相应位置. 9. (绝对值不等式)不等式 3x ? 4 ? 4 的解集是

8 [0, ] 3

10. (二项展开式) ( x ? )5 ( x ? R )展开式中 x 3 的系数为 10,则实数 a ? _____ .2 11. (定积分)

a x

? e dx ?
x 0

1

. e ?1

? 2x ? y ? 0 ? 12. (线性规划)已知变量 x 、 y 满足 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 ,则函数 z ? x ? y 的最大值是 ?x ? 0 ?

.3

13 . ( 圆 锥 曲 线 ) 在 平 面 直 角 坐 标 系 xoy 中 , 曲 线 C : x2 ? ?2 py ( p ? 0) 的 焦 点 F , 点

M ( p,yM ) ? C ,若 M 为圆心的圆与曲线 C 的准线相切,圆面积为 36? ,
则p? .6 14. (几何证明选讲选做题) 如图,在 Rt ?ABC 中,斜边 AB ? 12 ,直角边 AC ? 6 ,如果以 C 为圆心的 圆与 AB 相切于 D ,则 C 的半径长为

3 3

15.(极坐标选做题)以直角坐标系的原点为极点,x 轴非负半轴为极轴, 建立极坐标系,在两种坐标系中取相同的单位长度,点 A 的极坐标为 (2 2 , ) ,曲线 C 的参数

?

4

方程为 ?

? x ? 2 ? cos ? ,则曲线 C 上的点 B 与点 A 距离的最大值为 y ? ? 2 ? sin ? ?

.5

三、解答题:本题共有 6 个小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) (三角函数)已知函数 f ( x) ? 2 3 sin x ? cos x ? 2 cos2 x, x ? R . (1)求 f ( x) 的最小正周期; (2)已知 f ( ) ?

?

2

1 ? , ? ? [0, ? ] ,求 cos(? ? ) 的值. 3 6

解: (1)

f ( x) ? 3 sin 2 x ? cos2 x ? 1 ? 2(
f ( x) 的最小正周期为 ? 。

3 1 ? sin 2 x ? cos2 x) ? 1 ? 2 sin(2 x ? ) ? 1 ……………4 分 2 2 6
……………………………………………6 分

2

(2)因为 f ( ) ? 2 sin( 2( ) ?

?

?

?

2 6 6 1 所以 sin(? ? ) ? ? ? 0 , ……………………………8 分 6 3 ? ? 7? ], ∵ ? ? [0, ? ] , ? ? ? [ , 6 6 6 ? 1 ? 7? 5? ? ] , ? ? ( , ? ] , cos( ? ? ) ? 0 ,…………10 分 ∵ sin(? ? ) ? ? ? 0 ,∴ ? ? ? (? , 6 3 6 6 6 6

?

2

) ? 1 ? 2 sin(? ?

?

) ?1 ?

1 , ……………………………7 分 3

∴ cos(? ?

?
6

)??

2 2 , 3

…………………………12 分

17.(本小题满分 12 分) (概率与统计) 某校兴趣小组进行了一项“娱乐与年龄关系”的调查, 对 15~ 65 岁的人群随机抽取 1000 人的样本,进行了一次“是否是电影明星追星族”调查,得到如下各年 龄段样本人数频率分布直方图和“追星族”统计表: 各年龄段样本人数频率分布直方图
0.05 0.04 频率 /组距

“追星族”统计表 分组 [15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65] “追星族”人数 a 200 5 3 2 占本组频率 0.75 0.40 0.1 b 0.1

组数 一 二 三 四

0.005 0.003 0.002 15 25 35 45 55 65



年龄 (岁 )

(1)求 a , b 的值. (2)设从 45 岁到 65 岁的人群中,随机抽取 2 人,用样本数据估计总体, ? 表示其中“追星族” 的人数, 求 ? 分布列、期望和方差. 解:(1).由题设知[15,25)这组人数为 0.04× 10× 1000=400,…………………………………1 分 故 a=0.75×400=300 ……………………………………2 分 [45,55)这组人数为 0.003× 10× 1000=30,故 b= 综上,a=300,b=0.1.

3 ? 0.1 ………………………………………3 分 30
……………………………………4 分

(2).由[45,65]范围内的样本数据知,抽到追星族的概率为 p ?

1 10

? ~B(2,

1 ) 10

……………………………………6 分

故 ? 的分布列是

3

ξ p

0 0.81

1 0.18

2 0.01

……………………………………8 分

1 1 ? 的期望是 E? ? 2 ? ? ? 0.2 10 5 1 9 9 ? 0.18 ? 的方差是 D? ? 2 ? ? ? 10 10 50
18. (本小题满分 14 分) (立体几何)如图,长方体

……………………………………10 分 ……………………………………12 分

ABCD ? A1B1C1D1 中, E 、F 、G 分别为 AB 、C1D1 、DC
中点, AB ? 2 ,AD ? 3 ,AC1 ? 3 (1)求证: C1 E ∥ 平面AFC . (2)求二面角 F ? AC ? G 的正切值. 解:(1).证明:在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,

D1 A1

F B1

C1

D A E

G B

C

E 、F 分 别 为 AB 、C1D1 中 点 , ? AE ∥ C1F 且

AE ? C1F

?四边形 AEC1F 是平行四边形 ? C1E ∥ AF
AF ? 平面AFC , C1E ? 平面AFC
…………………………3 分

D1
………5 分

F B1

C1

? C1E ∥ 平面AFC
(2).

A1

长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, F 、G 分别为 C1D1 、DC 中点,

AB ? 2 ,AD ? 3 ,AC1 ? 3

D
……………………………7 分

G E H B

C

? FG ? 平面ABCD
过 F 做 FH ? AC 于 H ,又 AC ? FG

A

? AC ? 平面FGH

?G H ? A C
………………………9 分

? ?FHG 就是二面角 F ? AC ? G 的平面角
FG ? 2 ,在 ?ACG 中, GH ? AC ? AD ? CG ? GH ?

AD ? CG 3 ………………11 分 ? AC 7

4

?直角三角形 FGH 中 tan ?FHG ?

FG ? GH

2 42 ? 3 3 7

…………………………13 分

?二面角 F ? AC ? G 的正切值为

42 3

……………………………14 分

19. (本小题满分 14 分) (数列)已知数列 {an } , an ? 2 , an ?1 ?

5an ? 8 , a1 ? 3 2an ? 3

(1)证明:数列 {

1 } 是等差数列. an ? 2

(2)设 bn ? an ? 2 ,数列 {bnbn ?1}的前 n 项和为 Sn , 求使 (2n ? 1) ? 2n?2 ? Sn ? (2n ? 3) ? 2n?1 ? 192 成立的最小正整数 n. 解:(1).证明:由 an ?1 ?

5an ? 8 5a ? 8 a ?2 得 an ?1 ? 2 ? n ?2? n 2an ? 3 2an ? 3 2an ? 3

………………………2 分

an ? 2 ,?

2a ? 3 1 1 1 1 ? n ? ? 2 ,? ? ?2 an?1 ? 2 an ? 2 an ? 2 an?1 ? 2 an ? 2

…………………5 分

?数列 {

1 } 是公差为 2 的等差数列. an ? 2

……………………………6 分

(2).由①知

1 1 ? ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1 an ? 2 a1 ? 2

……………………………7 分

bn ? an ? 2 ?

1 1 1 1 1 1 bnbn ?1 ? ? ( ? ) ………………………9 分 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 2 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n Sn ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ( ? )] ? (1 ? )? 2 3 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 1 2 2n ? 1 2n ? 1
…………………11 分
n?2

故 (2n ? 1) ? 2 即2
n ?1

? Sn ? (2n ? 3) ? 2n?1 ? 192 等价于 n ? 2n?2 ? (2n ? 3) ? 2n?1 ? 192
…………………13 分 ……………………14 分

? 64 ? 26 ,故 n ? 5

?使 (2n ?1) ? 2n?2 ? Sn ? (2n ? 3) ? 2n?1 ? 192 成立的最小正整数 n=6.
20. (本小题满分 14 分) (圆锥曲线)焦点在 x 轴的椭圆 C1 :

x2 y 2 ? ? 1 (3 ? a ? 4) ,过 C1 右顶 a2 4

5

点 A2 (a , 0) 的直线 l : y ? k ( x ? a) (k ? 0) 与曲线 C2 : y ? x ?
2

ak 相切,交 C1 于 A2 、E 二点. 4

(1)若 C1 的离心率为

5 ,求 C1 的方程. 3

(2)求 | A2 E | 取得最小值时 C2 的方程. 解:(1).由 C1 的离心率 e ?

a2 ? 4 5 2 得a ? 9 ? a 3

………………………………2 分

? C1 :

x2 y 2 ? ?1 9 4
2

…………………………………3 分

(2). l 与 C2 方程联立消 y 得 x ? kx ?

3ak ?0 4
………………………………5 分

2 由 l 与 C2 相切知 ? ? k ? 3ak ? 0 ,由 k ? 0 知 k ? 3a

l 与 C1 方程联立消 y 得 (4 ? a2k 2 ) x2 ? 2a3k 2 x ? a4k 2 ? 4a2 ? 0 ……① ……………………6 分
设点 E( xE ,yE )

l 交 C1 于 A2 、E 二点,? xE 、 a 是①的二根

? xE ?

?8a a 3 k 2 ? 4a ,故 xE ? a ? 2 2 4 ? a2k 2 4?a k
2 2 2 E 2 2 2

……………………………8 分

64a 2 9a 4 ? a 2 ………… ? 64 ? | A2 E | ? ( xE ? a) ? y ? (1 ? k )( xE ? a) ? (1 ? 9a ) (4 ? 9a 4 )2 (4 ? 9a 4 ) 2
……10 分 令 t ? a ?[9 , 16] ,则 | A2 E | ? 64
2
2

9t 2 ? t (4 ? 9t 2 )2

令 f (t ) ?

9t 2 ? t 18t (4 ? 9t 2 ) ? (4 ? 27t 2 ) ? 16] 上恒成立 ,则 (9 ? t ? 16) f ( t ) ? ? 0 在 t ?[9 , (4 ? 9t 2 )2 (9t 2 ? 4)3
……………………………………12 分

16] 上单减 故 f (t ) 在 [9 ,

故 t ? 16 即 a ? 4 , k ? 12 时 f (t ) 取得最小值,则 | A2 E | 取得最小值 此时 C2 : y ? x ?12
2

………………………………………14 分

21.(本小题满分 14 分) (导数与不等式)已知函数 f ( x ) ?

1 ? ln x x

6

(1)若函数 f ( x) 在 (a ? 1,a ? 1) (a ? 1) 上有极值点,求实数 a 的范围. (2)求证: x ? 1 时, x( x ? 1) f ( x) ? (1).解: x ? 0 , f ?( x ) ? ?

2(2 x ? 1) e2 x

ln x ………………………………………2 分 x2 ln x ln x 当 0 ? x ? 1 时, f ?( x ) ? ? 2 ? 0 ;当 x ? 1 时, f ?( x) ? ? 2 ? 0 x x

1) 单增,在 (1, ? ?) 上单减 故 f ( x ) 在 (0 ,
若函数 f ( x) 在 (a ? 1,a ? 1) 上有极值点

………………………………………4 分

?a ? 1 ? 1 ? 2) 须 ?a ? 1 ? 1 解得 1 ? a ? 2 故实数 a 的范围是 (1, ? a ?1 ?
(2)证明:证法一:设 ? ( x) ? x( x ? 1) f ( x) ?

………6 分

2(2 x ? 1) , ………………………………7 分 e2 x 1 8x 求导化简得, ? ?( x) ? 2 ? ? ln x ? 2 x ……………………………9 分 x e 1 8x x ? 1,? ln x ? 0, ? 0, 2 x ? 0 x e 1 8x ?? ?( x) ? 2 ? ? ln x ? 2 x ? 0 ……………………………11 分 x e

2(2 x ? 1) 2(2 x ? 1) ,则 ? ( x) ? ( x ? 1)(1 ? ln x) ? 2x e e2 x

? ( x) ? ( x ? 1)(1 ? ln x) ?

? ( x) 在 [1, ? ?) 上单增,故 ? ( x) ? ? (1) ? 2 ?

6 2(e2 ? 3) ? ?0 e2 e2

…………………13 分 …………………………14 分

? x ? 1 时, x( x ? 1) f ( x) ?

2(2 x ? 1) e2 x

证法二:令 ? ( x) ? x( x ? 1) f ( x) ? ( x ? 1)(1 ? ln x) ( x ? 1)

1 1 x ?1 ? ln x , 令 h( x) ? 2 ? ? ln x ,则 h?( x ) ? 2 x x x x ?1 ? ?) 单增 当 x ? 1 时 h?( x ) ? 2 ? 0 ,故 h( x) 在 [1, …………………………………8 分 x
则 ? ?( x) ? 2 ?

? ?) 上单增,故 ? ( x) ? ? (1) ? 2 故 ? ?( x) ? h( x) ? h(1) ? 3 ? 0 ,故 ? ( x) 在 [1,
令 g ( x) ? e ? ( x ? 1) ,则 g?( x) ? e ?1 ,当 x ? 1 时 g ?( x) ? e ? 1 ? e ? 1 ? 0
x x x

…………10 分

? ?) 上单增,故 g ( x) ? g (1) ? e ? 2 ? 0 故 g ( x) 在 [1,

……………………………12 分

7

? ex ? x ? 1

2 x ? 2 ? e2 x ? 2 x ? 1 ? 0 ?

? x ? 1 时, x( x ? 1) f ( x) ? 2 ?

2(2 x ? 1) 2(2 x ? 1) ? x ? 1 时, x( x ? 1) f ( x) ? 2x e e2 x

2x ?1 2(2 x ? 1) ? 1? ?2 2x e e2 x

……………………13 分 ……14 分

参考答案
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 题号 答案 1 A 2 D 3 C 4 B 5 A 6 C 7 B 8 C

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,考生做答 6 小题,满分 30 分. 9. ? x | 0 ? x ? ? (或填 [0, ] ) 10. 2

? ?

8? 3?

8 3

11. e ? 1

12. 3

13. 6 14. 3 3

15.5

三、解答题:本题共有 6 个小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 解: (1)

f ( x) ? 3 sin 2 x ? cos2 x ? 1 ? 2(
f ( x) 的最小正周期为 ? 。
(2)因为 f ( ) ? 2 sin( 2( ) ?

3 1 ? sin 2 x ? cos2 x) ? 1 ? 2 sin(2 x ? ) ? 1 ……………4 分 2 2 6
………………………………………………………6 分

?

?

?

2 6 6 1 所以 sin(? ? ) ? ? ? 0 , 6 3 ? ? 7? ], 已知 ? ? [0, ? ] , ? ? ? [ , 6 6 6 ? 7? 5? ? ] , ? ? ( , ? ] , cos( ? ? ) ? 0 , 所以 ? ? ? (? , 6 6 6 6

?

2

) ? 1 ? 2 sin(? ?

?

) ?1 ?

1 , ……………………………7 分 3
……………………………8 分

……………………………10 分

有 cos(? ?

?
6

)??

2 2 , 3

…………………………12 分

17. (本小题满分 12 分) 解:(1).由题设知[15,25)这组人数为 0.04× 10× 1000=400,…………………………………1 分 故 a=0.75×400=300 …………………………………2 分 [45,55)这组人数为 0.003× 10× 1000=30,故 b= 综上,a=300,b=0.1.

3 ? 0.1 ………………………………………3 分 30
…………………………………4 分

(2).由[45,65]范围内的样本数据知,抽到追星族的概率为 p ?

1 10

8

? ~B(2,

1 ) 10

…………………………………6 分

故 ? 的分布列是 ξ p 0 0.81 1 0.18 2 0.01

…………………………………8 分

1 1 ? ? 0.2 10 5 1 9 9 ? 0.18 ? 的方差是 D? ? 2 ? ? ? 10 10 50

? 的期望是 E? ? 2 ?

…………………………………10 分 …………………………………12 分

18. (本小题满分 14 分) 解:(1).证明:在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,

E 、F 分别为 AB 、C1D1 中点,? AE ∥ C1F 且 AE ? C1F

?四边形 AEC1F 是平行四边形 ? C1E ∥ AF
AF ? 平面AFC , C1E ? 平面AFC
…………………………3 分

D1
………5 分

F B1

C1

? C1E ∥ 平面AFC

A1

(2). 长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,F 、G 分别为 C1D1 、DC 中点,

AB ? 2 ,AD ? 3 ,AC1 ? 3

? FG ? 平面ABCD ? AC ? 平面FGH

……………………………7 分

D A E

G H B

C

过 F 做 FH ? AC 于 H ,又 AC ? FG

?G H ? A C
……………………9 分

? ?FHG 就是二面角 F ? AC ? G 的平面角
FG ? 2 ,在 ?ACG 中, GH ? AC ? AD ? CG ? GH ?

AD ? CG 3 ………………11 分 ? AC 7
…………………………13 分

?直角三角形 FGH 中 tan ?FHG ?

FG ? GH

2 42 ? 3 3 7

?二面角 F ? AC ? G 的正切值为

42 3
9

………………………14 分

19. (本小题满分 14 分) 解: (1)证明:由 an ?1 ?

5an ? 8 5a ? 8 a ?2 得 an ?1 ? 2 ? n ?2? n 2an ? 3 2an ? 3 2an ? 3

…………………………2 分

an ? 2 ,?

2a ? 3 1 1 1 1 ? n ? ? 2 ,? ? ?2 an?1 ? 2 an ? 2 an ? 2 an?1 ? 2 an ? 2

…………………5 分

?数列 {

1 } 是公差为 2 的等差数列. an ? 2

………………………………6 分

(2).由①知

1 1 ? ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1 an ? 2 a1 ? 2

……………………7 分

1 2n ? 1 1 1 1 1 1 bnbn ?1 ? ? ( ? ) ……………………………9 分 2n ? 1 2n ? 1 2 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n Sn ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ( ? )] ? (1 ? )? 2 3 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 1 2 2n ? 1 2n ? 1 bn ? an ? 2 ?
………………11 分 故 (2n ? 1) ? 2n?2 ? Sn ? (2n ? 3) ? 2n?1 ? 192 等价于 n ? 2 即2
n ?1

n?2

? (2n ? 3) ? 2n?1 ? 192
……………13 分 ……………14 分

? 64 ? 26 ,故 n ? 5

?使 (2n ?1) ? 2n?2 ? Sn ? (2n ? 3) ? 2n?1 ? 192 成立的最小正整数 n=6.
21.(本小题满分 14 分) 解:(1).由 C1 的离心率 e ?

a2 ? 4 5 2 得a ? 9 ? a 3

…………………………………2 分

x2 y 2 ? C1 : ? ? 1 9 4
(2). l 与 C2 方程联立消 y 得 x ? kx ?
2

……………………………3 分

3ak ?0 4
…………………………………5 分 …………………6 分

2 由 l 与 C2 相切知 ? ? k ? 3ak ? 0 ,由 k ? 0 知 k ? 3a

l 与 C1 方程联立消 y 得 (4 ? a2k 2 ) x2 ? 2a3k 2 x ? a4k 2 ? 4a2 ? 0 ……①
设点 E( xE ,yE )

l 交 C1 于 A2 、E 二点,? xE 、 a 是①的二根

10

? xE ?

?8a a 3 k 2 ? 4a ,故 xE ? a ? 2 2 4 ? a2k 2 4?a k

……………………………8 分

2 ? (1 ? k 2 )( xE ? a)2 ? (1 ? 9a 2 ) ? | A2 E |2 ? ( xE ? a)2 ? yE

64a 2 9a 4 ? a 2 ………… ? 64 (4 ? 9a 4 )2 (4 ? 9a 4 ) 2

……10 分

9t 2 ? t 令 t ? a ?[9 , 16] ,则 | A2 E | ? 64 (4 ? 9t 2 )2
2
2

令 f (t ) ?

9t 2 ? t 18t (4 ? 9t 2 ) ? (4 ? 27t 2 ) ? 16] 上恒成立 ,则 (9 ? t ? 16) f ( t ) ? ? 0 在 t ?[9 , (4 ? 9t 2 )2 (9t 2 ? 4)3
…………………………………12 分

16] 上单减 故 f (t ) 在 [9 ,

故 t ? 16 即 a ? 4 , k ? 12 时 f (t ) 取得最小值,则 | A2 E | 取得最小值 此时 C2 : y ? x2 ?12 21.(本小题满分 14 分) ………………………………14 分

ln x ………………………………………2 分 x2 ln x ln x 当 0 ? x ? 1 时, f ?( x ) ? ? 2 ? 0 ;当 x ? 1 时, f ?( x) ? ? 2 ? 0 x x
(1).解: x ? 0 , f ?( x ) ? ?

1) 单增,在 (1, ? ?) 上单减 故 f ( x ) 在 (0 ,

………………………………………4 分

?a ? 1 ? 1 ? 若函数 f ( x) 在 (a ? 1,a ? 1) 上有极值点,须 ?a ? 1 ? 1 解得 1 ? a ? 2 ? a ?1 ?
2) 故实数 a 的范围是 (1,
(2)证明:证法一:设 ? ( x) ? x( x ? 1) f ( x) ? ……………………………6 分

2(2 x ? 1) , ……………………………7 分 e2 x 1 8x 求导化简得, ? ?( x) ? 2 ? ? ln x ? 2 x ……………………………9 分 x e 1 8x x ? 1,? ln x ? 0, ? 0, 2 x ? 0 x e 1 8x ?? ?( x) ? 2 ? ? ln x ? 2 x ? 0 ……………………………11 分 x e

2(2 x ? 1) 2(2 x ? 1) ,则 ? ( x) ? ( x ? 1)(1 ? ln x) ? 2x e e2 x

? ( x) ? ( x ? 1)(1 ? ln x) ?

? ( x) 在 [1, ? ?) 上单增,故 ? ( x) ? ? (1) ? 2 ?

6 2(e2 ? 3) ? ?0 e2 e2
11

………………13 分

? x ? 1 时, x( x ? 1) f ( x) ?

2(2 x ? 1) e2 x

……………………………14 分

证法二:令 ? ( x) ? x( x ? 1) f ( x) ? ( x ? 1)(1 ? ln x) ( x ? 1)

1 1 x ?1 ? ln x , 令 h( x) ? 2 ? ? ln x ,则 h?( x ) ? 2 x x x x ?1 ? ?) 单增 当 x ? 1 时 h?( x ) ? 2 ? 0 ,故 h( x) 在 [1, …………………………………8 分 x
则 ? ?( x) ? 2 ?

? ?) 上单增,故 ? ( x) ? ? (1) ? 2 故 ? ?( x) ? h( x) ? h(1) ? 3 ? 0 ,故 ? ( x) 在 [1,
令 g ( x) ? e x ? ( x ? 1) ,则 g?( x) ? ex ?1 ,当 x ? 1 时 g ?( x) ? e x ? 1 ? e ? 1 ? 0

…………10 分

? ?) 上单增,故 g ( x) ? g (1) ? e ? 2 ? 0 故 g ( x) 在 [1,

……………………………12 分 ……………………13 分 ……14 分

? ex ? x ? 1

2 x ? 2 ? e2 x ? 2 x ? 1 ? 0 ?

? x ? 1 时, x( x ? 1) f ( x) ? 2 ?

2(2 x ? 1) 2(2 x ? 1) ? x ? 1 时, x( x ? 1) f ( x) ? 2x e e2 x

2x ?1 2(2 x ? 1) ? 1? ?2 2x e e2 x

12


网站首页 | 网站地图 | 学霸百科 | 新词新语
All rights reserved Powered by 学霸学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com