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高三复习数列求和教案教学设计

……数列求和(一)
目标:1、熟练掌握等差、等比数列的求和公式 2、掌握非等差、等比数列求和的几种常见模型与方法 重点:掌握由数列通项公式求数列的前几项和的方法 难点: 非等差,等比数列的求和如何化归为等差,等比数列的求和以及应用。 利用裂项相消法、 错位相减法求数列的前几项和; 高考定位: 1.掌握一些简单的数列求和的方法. 考纲要求 2.能应用数列求和解决一些数列问题. 1.以选择题或填空题的形式考查等差、等比数列的前 n 项和. 考试热点 2.以考查等差、等比数列的前 n 项和为主,同时考查错位相减法、裂项相消法、 分组求和法等常用方法.

一、数列求和的常用方法 探究: (前一天布置的思考题)学生分析各题通项特点,归纳求和方法 (1) 1 ? 3 ? 5 ? 7 ? ? ? (2n ? 1) ? (2)

1 1 1 1 ? ? ??? n ? 2 4 8 2

(3) (1 ? ) ? (3 ? ) ? (5 ? ) ? ? ? ?(2n ? 1) ?

1 2

1 4

1 8

? ?

1? ? 2n ? ?

(4) 1 ? (1 ? 2) ? (1 ? 2 ? 2 2 ) ? ? ? (1 ? 2 ? 2 2 ? ? ? ? ? 2 n?1 ) ? (5) 1 ?

1 1 1 1 ? 3 ? ? 5 ? ? ? ? (2n ? 1) ? n ? 2 4 8 2

(6)

1 1 1 1 ? ? ??? ? 1? 3 2 ? 4 3 ? 5 n(n ? 2)
通常采用的解法: 1.公式法 2.分组求和法

小结: (板书)求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn,

找(或求) an →分析通项 an 的结构→ 二、热点互动探究:连接高考

3.错位相减法 4.裂项相消法

→Sn

(2010 山东)已知等差数列 ?an ? 满足: a3 ? 7, a5 ? a7 ? 26, ?an ?的前 n 项和 S n (1)求 an 及 S n

(2)令 bn ? 引申:

1 an ? 1
2

(n ? N ? ) ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn

(1)令 c n ?

an 11 的前 n项和为 Gn , 求证: Gn ? ,记 ?c n ? n 9 4
an ?1 2

(2) 记cn (3) 记?

?2

? 1,函数f ( x) ? c1 x ? c2 x 2 ? c3 x 3 ? ? ? ? ? cn x n , 求f ' (1)

?1? ? ?的前n项和为Fn,若Fn ? k对一切n ? N 恒成立,求k的取值范围 ? Sn ?

分析:本题主要考查等差数列的基本知识,考查逻辑推理能力、等价变形和运算能力。 首先根据 a3 ? 7, a5 ? a7 ? 26,利用等差数列的通项公式求出等差数列的首项与公 差,则问题(1)易解;问题(2)利用裂项法即可求和 解析: (1)设等差数列 ?an ? 的首项为 a1 , 公差为 d

? a3 ? 7 ? a ? 2d ? 7 ?a ? 3 由? ?? 1 ?? 1 ?a5 ? a7 ? 26 ?2a1 ? 10d ? 26 ? d ? 2
由 a n ? a1 ? (n?)d , S n ?
2

n(a1 ? a n ) 得 an ? 2n ? 1, S n ? n(n ? 2) 2

(2)由 an ? 2n ? 1 ? an ? 1 ? 4n(n ? 1) 则 bn ?

1 1 1 1 ? ( ? ) 4n(n ? 1) 4 n n ? 1
1 1 1 1 1 1 (1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) 4 2 2 3 n n ?1

故 Tn ? b1 ? b2 ? ? ? ? ? bn = =

1 1 n (1 ? )? 4 n ? 1 4(n ? 1)

所以数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn =

n 4(n ? 1)

小结:作业:学案与测评: P217 ? P218 引申: (1) G n ? 3 ?

1 1 1 1 1 1 ? 5 ? 2 ? 7 ? 3 ? 8 ? 4 ? ? ? ? ?(2n ? 1)? n?1 ?(2n ? 1)? n 4 4 4 4 4 4 3? 1 1 1 ? 5? 3 ? 7? 4 ? ??? 2 4 4 4 ?(2n ? 1)? 1 1 ?(2n ? 1)? n ?1 n 4 4

1 Gn ? 4

3 3 1 1 1 Gn ? ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? 4 ? ? ? ? 4 4 4 4 4 ? 3 1 1 1 1 2n ? 1 ? 2( 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? ? n )? n?1 4 4 4 4 4 4

? 2?

1 4n

?

2n ? 1 4 n ?1

1 ?1?( 1 )n?1 2n ? 1 3 4 ? ? 2 ? 16 ? n?1 1 4 4 1? 4 3 1 1 1 2n ? 1 ? ? ? ( )n?1 ? n?1 4 6 6 4 4
Gn ? 11 41 ? 18n ? 9 9 ? 4 n?1 11 显然 Gn ? 9 由( 1 )可知:a n ? 2n ? 1, 则c n ? 2 n ? 1

?

(2)

又f ( x) ? c1 x ? c 2 x 2 ? c3 x 3 ? ? ? ? ? c n x n 得f ( x) ? (21 ? 1) x ? (2 2 ? 1) x 2 ? (2 3 ? 1) x 3 ? ? ? ? ? (2 n ? 1) x n

则f ' ( x) ? (21 ? 1) ? 2(2 2 ? 1) x ? 3(23 ? 1) x 2 ? ? ? ? ? n(2 n ? 1) x n?1 f ' (1) ? (21 ? 1) ? 2(2 2 ? 1) ? 3(23 ? 1) ? ? ? ? ? n(2 n ? 1)
= (1? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? ? ? n ? 2 ) ? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? n)
1 2 3 n

=

n 2
n ?1

? 2 n ?1 ? 2 ?

n(n ? 1) 2
3 1 1 1 1 1 1 1 ? ) ? ( ? ) , Fn ? ? ( 4 2 n ?1 n ? 2 Sn 2 n n ? 2

(3)由(1)可知 S n ? n(n ? 2) ,

Fn ? k对一切n ? N ?恒成立,必须 k ? (Fn ) min
而 Fn ? 故k ? 小结: 作业:学案与测评: P217 ? P218

3 1 1 1 1 ? ( ? ) 在 n ? N ? 上是增函数, ( Fn ) min ? 4 2 n ?1 n ? 2 3

1 3


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