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圆锥曲线离心率题型


圆锥曲线的离心率题型解析
华中师大一附中博乐分校 833400 刘族刚 朱新婉 圆锥曲线的的离心率 e 是反映圆锥曲线几何特征(扁平或开阔程度)的一个数量,是圆锥曲线 的重要几何性质,也是圆锥曲线“统一定义”的纽带,在全国各地历年高考命题中,有关圆锥曲线离 心率的试题屡见不鲜,因而掌握圆锥曲线离心率的概念、题型与求解方法,不仅是巩固基础知识、领 悟数形结合思想及学好解析几何的需要,也完全符合“备考从高一高二开始抓”的教育理念.本文以 离心率的内容为主体,以题型解析为载体,小结出求解离心率问题的策略和方法,希望对大家的解题 有所帮助. 类型一:离心率的定义 例 1 ( 2014 湖北卷) 已知 F1 , F2 是椭圆和双曲线的公共焦点, P 是它们的一个公共点,且 )

?F1 PF2 ? 600 ,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为(
A. 4 3 3
B.

2 3 3

C .3

D .2

分析: ?PF 1 F2 既是椭圆的焦点三角形,也是双曲线的焦点三角形,因为焦点三角形中的边长蕴含离 心率所需的“ 2a,2c ” ,所以利用圆锥曲线定义、离心率的定义是解答本题的切入点. 解析:不妨设 PF 1 ? m, PF 2 ? n, (m ? n) ,椭圆的长半轴长为 a1 ,双曲线的实半轴长为 a 2 ,椭圆、 双曲线的离心率分别为 e1 , e2 ,则由椭圆、双曲线的定义,得 m ? n ? 2a1 , m ? n ? 2a2 , 平方得 m2 ? 2mn? n 2 ? 4a1 -------①,
2 2 2

2

m2 ? 2mn? n 2 ? 4a2 ------②,

2

又由余弦定理得 m ? mn ? n ? 4c ---------③, 由①②③消去 mn 得 a1 ? 3a2 ? 4c 2 ,即
2 2

2

2

1 e1
2

?

3 e2
2

? 4.

2 再据平面向量不等式 ( a ? b) ? a ? b 的坐标表示得

(

1 1 3 16 1 1 2 1 1 3 ? ) ? (1? ? ? ) 2 ? (1 ? )( 2 ? 2 ) ? 3 e1 3 e1 e2 e1 e2 3 e2

所以

1 1 4 3 .故选 A . ? ? e1 e2 3
c 是解决离心率问题的基础,值得注意的是,椭圆离心率 a

评注:圆锥曲线的离心率的定义 e ?

e ? (0,1) ;抛物线的离心率 e ? 1 ;双曲线的离心率 e ? (1,??) .
类型二:离心率的几何意义 例 2 已知双曲线 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 2 ,若直线 l : y ? kx ? 3 与曲线 C 的左右 a2 b2

支各一个交点,求 k 的取值范围.

分析:双曲线离心率 e 决定了双曲线的分布与形状,另外直线 l : y ? kx ? 3 中 k 的几何意义明显(直 线陡峭程度) ,故本题可用数形结合求解. 解析:由双曲线 C :

b x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 e ? 2 ,可得 ? e 2 ? 1 ? 3 , 2 a a b

依离心率的几何意义,双曲线的两支应夹在两渐近线 y ? ? 3x 之间且无限接近(如图),要使过点

(0,3) 且斜率为 k 的直线 l : y ? kx ? 3 与曲线 C 的左右支各一个交点,直线 l 必须绕 (0,3) 在两直线

y ? ? 3x ? 3 之间转动,所以 k ? (? 3, 3) .
评注:离心率 e 是圆锥曲线的特征数,它确定了圆锥曲线形状、分布等(做双曲线先画渐近线) ,借 助这一几何意义,往往为“数形结合”解题带来便利.聪明的读者, k 在什么范围时,直线 l 与双曲线

C 的右支(或左支)有两个交点呢?
类型三:求离心率的值

例 3 设双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的半焦距为 c ,直线 l 过 (a,0), (0, b) 两点,若原点到直线 l 的 a2 b2

距离为

3 c ,求双曲线的离心率 e . 4

分析: 求圆锥曲线的离心率, 一般要根据已知条件 (如等量关系、 几何图形的特征等) 建立关于 a, b, c 的等量关系式,进而转化为关于 e 的方程求解. 解析:∵直线 l 过 (a,0), (0, b) 两点,∴直线 l 的方程为 因为原点到直线 l 的距离为
2

x y ? ? 1 ,即 bx ? ay ? ab ? 0 , a b

ab ab 3 3 ? ? c, c ,所以 c 4 4 a2 ? b2
2 2

2 则 4ab ? 3c ,又因为 b ? c ? a 且离心率 e ?
4 2 2 所以 3e ? 16e ? 16 ? 0 ,则 e ? 4 或 e ?
2

c , a

4 ,因为 a ? b ? 0 , 3

所以 e ? 1 ?

2 3 b2 或 e ? 2 (舍). ? 2 ,即 e ? 2 3 a

评注:有没有注意到条件 a ? b ? 0 ,涉及到最终答案的取舍,也是能不能准确求解本题的关键. 类型四:求离心率的范围 例 4(2016 浙江)如图,设椭圆

x2 ? y 2 ? 1(a ? 1) 2 a

(Ⅰ)求直线 y ? kx ? 1 被椭圆截得到的弦长(用 a, k 表示) ; (Ⅱ)若任意以点 A(0,1) 为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点,求椭圆离心率的取值范围.

分析:求圆锥曲线的离心率取值范围,就是列出关于 a, b, c, e 的不等关系,再解不等式.

解析: (I)设直线 y ? kx ? 1 被椭圆截得的线段为 AP ,由 ? x 2

? y ? kx ? 1 ? 得 2 ? y ? 1 2 ? ?a

(1 ? a k ) x ? 2a kx ? 0 ,故 x1 ? 0 , x 2 ? ?
2 2 2 2

2a 2 k . 1 ? a2k 2

因此 AP ? 1 ? k x1 ? x2 ?
2

2a 2 k 1? a k
2 2

1? k 2 .

( II)假设圆与椭圆的公共点有 4 个,由对称性可设 y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点 P, Q 满足

AP ? AQ .记直线 AP, AQ 的斜率分别为 k1 , k 2 ,且 k1 , k 2 ? 0, 且k1 ? k 2 .
由(I)知, AP ?

2a 2 k1 1 ? a k1
2
2

2

2 1 ? k1 , AQ ?

2a 2 k 2 1 ? a k2
2 2

2 1 ? k2 ,



2a 2 k 2 1 ? a k2
2 2

1 ? k2 ?
2 2

2a 2 k 2 1 ? a k2
2
2

2

2 1 ? k2 ,

所以 (k1 ? k 2 )[1 ? k1 ? k 2 ? a 2 (2 ? a 2 )k1 k 2 ] ? 0 , 由于 k1 , k 2 ? 0, 且k1 ? k 2 ,得 1 ? k1 ? k 2 ? a 2 (2 ? a 2 )k1 k 2 ? 0 , 因此 (
2 2 2 2

2

2

2

1 k1
2

? 1)(

1 k2
2

? 1) ? 1 ? a 2 (a 2 ? 2) .

因为 (

1 k1
2

? 1)(

1 k2
2

? 1) ? 1 ,所以关于 k1 , k 2 的方程有解的充要条件是 1 ? a 2 (a 2 ? 2) ? 1 ,

则a ? 则e ?

2 .因此,任意以点 A(0,1) 为圆心的圆与椭圆至多有 3 个公共点的充要条件为 1 ? a ? 2 ,
c a2 ?1 1 2 ? ? 1 ? 2 ? (0, ]. a a 2 a

评注:一般地,建立关于 a, b, c 的不等式的方法主要有:利用题设指定条件、圆锥曲线的定义、圆锥 曲线的方程(如参数方程) 、圆锥曲线的性质(如范围) 、二次方程的判别式、不等式等. 类型五: 与离心率有关的定值 例 5(2014 江西)如图,已知双曲线 C :

x2 ? y 2 ? 1(a ? 0) 的右焦点 F ,点 A, B 分别在曲线 C 的两 a2

条渐近线上, AF ? x 轴, AB ? OB, BF // OA ( O 为坐标原点).(1)求双曲线 C 的方程; (2) 过曲线 C 上一点 P( x0 , y0 )( y0 ? 0) 的直线 l :

x0 x ? y 0 y ? 1 与直线 AF 相交于点 M ,与直线 a2

x?

MF 3 相交于点 N ,证明点 P 在曲线 C 上移动时, 恒为定值,并求此定值. NF 2

分析:本题第二问 P( x0 , y0 )( y0 ? 0) 的位置不影响

MF NF

的值,宜采用直接证明法,即先求出 M , N

的坐标,用距离公式代入检验即可.值得提醒的是直线 l : 而直线 x ?

x0 x ? y 0 y ? 1为双曲线过点 P 的的切线, a2

3 为双曲线的一条“准线”. 2

解析:(1)设 F (c,0) ,因为 b ? 1 ,所以 c ? 直线 OB 方程为 y ? ?

a2 ?1

1 1 c c x ,直线 BF 的方程为 y ? ( x ? c) ,解得 B( ,? ) , a a 2 2a 1 c 3 又直线 OA 的方程为 y ? x ,则 A(c, ) , k AB ? . a a a
又因为 AB ? OB ,所以

3 1 x2 ( ? ) ? ?1 ,解得 a 2 ? 3 ,故双曲线 C 的方程为 ? y2 ? 1. a a 3

(2)由(1)知 a ?

3 ,则直线 l 的方程为

x0 x ? 3 x0 x , ? y 0 y ? 1 ,即 y ? 3 y0 3 2 x0 ? 3 ), 3 y0

因为直线 AF 的方程为 x ? 2 ,所以直线 l 与 AF 的交点 M (2,

2 3 MF x0 ? 3 4(2 x0 ? 3) 2 3 3 直线 l 与直线 x ? 的交点为 N ( , 2 ) ,则 NF 2 ? 9[ y 2 ? ( x ? 2) 2 ] , 2 0 0 2 3y
0

因为 P( x0 , y0 )( y0 ? 0) 是 C 上一点,则

x0 2 ? y0 ? 1 , 3
?
MF 2 3 4 ? ?e. ,则所求定值为 NF 3 3

2

代入上式得

MF NF

2 2

?

4(2 x0 ? 3) 2 9[ y 0 ? ( x0 ? 2) ]
2 2

评注:与圆锥曲线离心率有关的定值问题有很多,其中教材有经典例题,那就是圆锥曲线的“统一定

义”.依据统一定义可得:椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上任意一点到右焦点 F1 (c,0) (或左 a2 b2

F2 (?c,0) )的距离与到直线 x ?

a2 a2 (右准线) (或 x ? ? (左准线) )的距离之比为椭圆离心率 e ; c c

双曲线 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 上任意一点到右焦点 F1 (c,0) (或左 F2 (?c,0) )的距离与到直 a2 b2

线x ?

a2 a2 (右准线) (或 x ? ? (左准线) )的距离之比为离心率 e . c c
圆锥曲线的离心率问题是数学中的一类典型问题,一般要涉及到解析几何、平面几何、代数等

多个知识点,往往综合性强且方法灵活,从上可以看出,解决圆锥曲线离心率问题,定义是基础、运 算是关键、建立关于 a, b, c 间的关系(等或不等)是解题突破口.只有审清题意,认真推演,才能准 确作答. 应对训练 1、 (2016 天津)设椭圆

x2 y 2 1 1 3e ? ? 1 (a> 3) 的右焦点为 F ,右顶点为 A .已知 , ? ? 2 a 3 OF OA FA

其中 O 为原点, e 为椭圆的离心率. 求椭圆的方程. 2、 ( 2016 山东)已知双曲线 E :

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) ,若矩形 ABCD 的四个顶点在 E 上, a2 b2

AB, CD 的中点为 E 的两个焦点,且 2 AB ? 3 BC ,则 E 的离心率是_______.
3 、已知斜率为 1 的直线 l 与双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 相交于 A,B 两点,且 AB 的中点为 a2 b2

C (1,3) ,求双曲线 C 的离心率.
4、 设 F1 , F2 为椭圆 C : 椭圆离心率的范围. 5 如图,在等腰梯形 ABCD 中, AB // CD ,且 AB ? 2 AD ,设 ?DAB ? ? , ? ? (0,

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两焦点,若上存在点 P ,使得 ?F1 PF2 ? 900 ,求 a2 b2

?
2

) ,以 A, B 为

焦点,且过 C , D 的双曲线的离心率为 e1 ,以 C , D 为焦点,且过 A, B 的椭圆的离心率为 e2 ,则( )

(A)随着 ? 的增大, e1 增大, e1e2 为定值 (C)随着 ? 的增大, e1 增大, e1e2 为增大 参考答案 1、

(B)随着 ? 的增大, e1 减小, e1e2 为定值 (D)随着 ? 的增大, e1 减小, e1e2 为减小

x2 y 2 ? ?1 4 3

2、 2

3、 2

4、 e ? [

2 ,1) 2

5、 (B )


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