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2017-2018学年高中数学苏教版必修四教学案:第2章 2.4 向量的数量积 Word版含答案

第 1 课时 向量数量积的概念及运算律 问题:一个物体在力 F 的作用下位移为 s,则力 F 所做功 W=|F||s|cos θ ,θ 为 F 和位移 s 的夹角,试想功 W 是力 F 和位移 s 的乘积吗? 提示:不是. 1.数量积的定义 已知两个非零向量 a 与 b,它们的夹角为 θ ,则把数量|a||b|?cos θ 叫做 a 与 b 的数量积 (或内积),记作 a?b,即 a?b=|a||b|cos θ . 2.规定 零向量与任一向量的数量积为 0. 如图,△ABC 为等边三角形. 问题 1:向量 AB 与向量 AC 的夹角的大小是多少? 提示:60°. 问题 2:向量 AB 与向量 BC 的夹角的大小是多少? 提示:120°. ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 两非零向量的夹角 (1)定义:对于两非零向量 a 和 b,作 OA =a, OB =b,则∠AOB=θ 叫做向量 a 与 b 的夹 角. (2)范围:0≤θ ≤180°. (3)当 θ =0°时,a 与 b 同向. ??? ? ??? ? 当 θ =180°时,a 与 b 反向. 当 θ =90°时,则称 a 与 b 垂直,记作 a⊥b. 已知向量 a 和 b 都是非零向量,θ 为 a 与 b 的夹角. 问题 1:若 θ =90°,求 a?b;若 a?b=0,求 θ . 提示:若 θ =90°,则 a?b=|a|?|b|cos 90°=0; 若 a?b=0,则|a|?|b|cos θ =0,∴cos θ =0. 又∵0°≤θ ≤180°,∴θ =90°. 问题 2:若 θ =0°,求 a?b;若 θ =180°,求 a?b. 提示:若 θ =0°,则 a?b=|a|?|b|cos 0°=|a|?|b|; 若 θ =180°,则 a?b=|a|?|b|cos 180°=-|a|?|b|. 1.两个向量的数量积 (1)当 a 与 b 同向时,a?b=|a||b|; (2)当 a 与 b 反向时,a?b=-|a||b|; (3)a?a=|a| 或|a|= a?a. 2.数量积的运算律 (1)a?b=b?a; (2)(λ a)?b=a(λ b)=λ (a?b)=λ a?b; (3)(a+b)?c=a?c+b?c. 2 1.两个向量的数量积是一个数量,而不是向量,其大小与两个向量的长度及其夹角都有关, 符号由夹角的余弦值的符号决定. 2.向量数量积的几何意义,是一个向量的长度乘以另一向量在该向量方向上的投影值.这 个投影值可正可负也可以为零,向量的数量积的结果是一个实数. 3 .数量积的运算只适合交换律,加乘分配律及数乘结合律,但不适合乘法结合律,即 (a?b)?c≠a?(b?c),这是因为 a?b,b?c 都是实数,(a?b)?c 与向量 c 方向相同或相 反.a?(b?c)与向量 a 方向相同或相反,而 a 与 c 不一定共线,就是 a 与 c 共线,(a?b)?c 与 a?(b?c)也不一定相等. [例 1] 已知正方形 ABCD 的边长为 2,分别求: (1) AB ? CD ;(2) AB ? AD ;(3) DA ? AC . [思路点拨] 求数量积时,利用定义要注意两个向量的夹角大小和实际图形联系起来. [精解详析] (1)∵ AB , CD 的夹角为 π , ∴ AB ? CD =| AB || CD |cos π =2?2?(-1)=-4. ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? π (2)∵ AB , AD 的夹角为 , 2 ∴ AB ? AD =| AB || AD |cos ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? π =2?2?0=0. 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? π (或∵ AB , AD 的夹角为 ,∴ AB ⊥ AD ,故 AB ? AD =0) 2 ? ??? ? ??? 3π (3)∵ DA , AC 的夹角为 , 4 ? ? ??? ? ??? ??? ? ??? 3π 2? ? ∴ DA ? AC =| DA || AC |cos =2?2 2??- ?=-4. 4 ? 2? [一点通] 求平面向量的数量积时,常用到以下结论: (1)a =|a| ; (2)(xa+yb)(mc+nd)=xma?c+xna?d+ymb?c+ynb?d,其中 x,y,m,n∈R,类似于多 项式的乘法法则; (3)(a+b) =a +2a?b+b ; (4)(a+b+c) =a +b +c +2a?b+2b?c+2a?c. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1.若|a|=4,|b|=6,a 与 b 的夹角为 135°,则 a?(-b)=________. 解析:a?(-b)=-a?b=-|a||b|cos 135° =-4?6?cos 135°=12 2. 答案:12 2 2.设正三角形 ABC 的边长为 2 , AB =c , BC =a, CA =b ,则 a?b +b?c +c?a= ________. ??? ? ??? ? ??? ? 解析:a?b+b?c+c?a= 2? 2cos 120°+ 2? 2?cos 120°+ 2? 2cos 120°= -3. 答案:-3 3.在△ABC 中,M 是 BC 的中点,AM=3,BC=10,求 AB ? AC 的值. 解:∵2 AM = AB + AC , BC = AC - AB , ∴(2 AM ) =( AB + AC ) , BC =( AC - AB ) , 2 2 2 ??? ? ??? ? ???? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ?

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