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解三角形和不等式练习----2


解三角形和不等式练习----2

一、选择题 1.?ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 a ? ( A. )

5,c ? 2,cosA ?

2 ,则 b ? 3

2

B.

3

C. 2

D. 3 )

2.在中,若2 + 2 = 2 + ,则 =( A. 30? B. 45? C. 60? D. 120?

3.已知△ABC 中,a= 3 ,b=1,B=30°,则△ABC 的面积是

A.

3 2

B.

3 4

C.

3 或 3 2

D.

3 3 或 2 4

4.?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , 若 B ? 2A , a ? 1, b ? 3 , 则c ? ( ) B. 2 C.

A. 1 或 2

2

D. 1 )

5.已知 ?ABC 中, A : B : C ? 1:1: 4 ,则 a : b : c ? ( A. 1:1: 3 B. 2 : 2 : 3 C. 1:1: 2 D. 1:1: 4

0 6.在 ?ABC 中, B ? 60 , AC ? 4 3 , AC 边上的高为 2,则 ?ABC 的内切圆半

径r ?( A. 2 2

) B. 2

?

2 ?1

?

C.

2 ?1

D. 2

?

2 ?1

?

7.在 ?ABC 中, a ? 2, b ? 2, A ? 450 ,则 B 等于
0 A. 45 0 B. 30 0 C. 60 0 0 D. 30 或 60

8.如图,测量河对岸的塔高时可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与,测得 ∠ = 15°, ∠ = 30°, = 30 , 并在点测得塔顶的仰角为60°, 则塔高等于 ( )

试卷第 1 页,总 6 页

A. 5 6 B. 15 3 C. 5 2 9 . 在 ?ABC 中 , a , b ,

D. 15 6 c 分别为内角 A ,

B ,

C 的对边,且


2a bs i n C?
A. 3

?3 b ?
2

2

c? 2 a,若 a ? 13 , c ? 3 ,则 ?ABC 的面积为(

?

B. 3 3

C. 2 3

D.

3 3 2


10.在 ?ABC 中, B ? A. 4 ? 4 2 B. 4

?
4

,若 b ? 2 2 ,则 ?ABC 面积的最大值是( D. 2 ? 2 2

C. 4 2

11.已知锐角三角形的三边长分别为 3,4, A. 1 ? a ? 5 B. 1 ? a ? 7 C.

a ,则 a 的取值范围为(
D.



7 ?a?5

7 ?a?7


12.在 ?ABC 中,已知 a ? 3 , b ? 1 , A ? 130? ,则此三角形的情况为( A. 无解 C. 有两解 B. 只有一解 D. 解的个数不确定

13.已知 ?ABC 中, sinA : sinB : sinC ? 1:1: 3 ,则此三角形的最大内角的度数是 ( ) A. 60° B. 90° C. 120° D. 135° 14.在中, = 2 cos,则该三角形的形状为( A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形

) D. 等腰或直角三角形


15.在中,角?,??,?的对边分别为?,??, ,且2 = 2 + , = 6,则角等于( A.

6

)

B. 或
4



3 4

C.

3 4

D.


4

16. 在 中, 若cos = cos A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 17.在△ ABC 中,A=60°,AB=2,且△ ABC 的面积为 A. B. C. 2 D. 2

, 则

的形状是 (



,则 BC 的长为(



, C的 对 边 分 别 为 a, b , c, 18 . 在 ? ABC 中 , 角 A, B

? m ? a 2 , b2 ,

?

?

? ? ? n ? ? tanA,tanB ? ,且 m ? n ,那么 ? ABC 一定是(

)

A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰或直角三角形 19.已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于 akm ,灯塔 A 在观察站 C 的北 偏东 20 ,灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 40 ,则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为(
0 0



试卷第 2 页,总 6 页

A. akm

B.

2akm

C.

3akm

D. 2akm

20 .如图,为了测量河对岸 A, B 两点间的距离,在河的这边测定 CD ?

3 km , 2

?ADB ? ?CDB ? 30? ,
?DCA ? 60?, ?ACB ? 45? ,则 AB 两点间的距离是(


A.

3 km 3

B.

6 km 4

C.

2 km 2

D.

2 2 km 3


21.已知实数, 满足 A. 1 B. 2 C. 3

+ 1 ≥ , ≤ 3, 若 = + 的最大值为 10,则=( ? 1 ≥ 0,
D. 4
4

22.已知 > 3,则 + A. 2 B. 4 C. 5

?3

的最小值为( D. 7



23.若 a>0,b>0,且 lga 和 lgb 的等差中项是 1,则 A.

1 1 + 的最小值是 a b

1 10

B.

1 5

C.

1 2
C.

D. 1

24.设 a,b 为非零实数,且 a<b,则下列不等式恒成立的是 A. a2>a b B. a2<b2

1 1 < 2 2 ab a b

D.

1 1 > a b

2 + 2 ≤ 1 25.已知, 满足 + ≥ ?1 ,则 = ? 的取值范围是 ( ) ≤ 0
A. - 2, 1 B. -1, 1 C. - 2, 2 D. -1, 2

试卷第 3 页,总 6 页

3x ? y ? 6 ? 0
26.设变量 x,y 满足约束条件 { x ? y ? 2 ? 0 ,则

y ?3? 0
A. [﹣5,

y?2 的取值范围是( x?2



5 ] 3

B. [﹣5,0)∪[

5 ,+∞) 3
D. [﹣5,0)∪(0,

C. (﹣∞,﹣5]∪[

5 ,+∞) 3

5 ] 3

3x ? y ? 6 ? 0
27.设 x, y 满足条件 {

x? y?2?0 ,若目标函数 z ? ax ? by ? a ? 0, b ? 0? 的最大值 x?0 y?0

为 2,则 A. 25

2 3 ? 的最小值为( a b
B. 19 C. 13 D. 5



x ? 2 y ?1 ? 0 28.已知实数 x, y 满足 { ,则 z ? 3x ? 4 y ? 3 的取值范围是( x?2 x ? y ?1 ? 0
A. ? ,13 ? ?3 ?



?4

?

B. ? ,13?

?4 ?3

? ?

C. ? ,3 ? ?3 ?

?4

?

D.

?3,13?

+ 2 ≥ 2 29.已知实数, 满足条件 2 + ≤ 2 ,则的最小值为 > 0
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

+ ? 2 ≤ 0 30., 满足约束条件 ? 2 ? 2 ≤ 0 ,若 = ? 取得最大值的最优解不唯一,则实 2 ? + 2 ≥ 0
数的值为( A. 2或?1
1

) B. 2 或2
1

C. 2 或 1

D. 2 或-1

二、填空题

≥ 1 31.若实数, 满足不等式组 ? + 1 ≤ 0 ,则2 + 2 的最小值为__________. 2 ? ? 2 ≤ 0
32.若实数, 满足 + = 2,则2 + 2的最小值是__________. 33.若不等式 4 ? a ? 2? x ? 2 ? a ? 2? x ?1 ? 0 对一切 x ? R 恒成立,则 a 的取值范围是
2

_______. 2 + 2 ≥ 34. 已知实数, 满足 ? 2 ≤ 2 , 若 = ? (> 0)的最大值为 4, 则 = ? (> + ≤ 2 0)的最小值为__________.

试卷第 4 页,总 6 页

35.在 ? ABC 中, A ? 600 , b ? 1, S? ABC ? 3 ,则 a ? _____________ 36.某同学骑电动车以24 /?的速度沿正北方向的公路行驶,在点处测得电视塔在电 动车的北偏东30°方向上, 15min后到点处, 测得电视塔在电动车的北偏东75°方向上, 则点与电视塔的距离是_________ .

37.如图,测量河对岸的塔高 AB 时,可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个测点 C 与 D.测得∠BCD=15°,∠BDC=30°,CD=40 米,并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 60°,则 塔高 AB=_______米.

38 . 在 ?ABC , 内 角 A ,

B ,

C

的 对 边 分 别 为 a, b, c , 若

1 ? b ,则 ? B =__________ s B? i n A,且 c oa sb 2 ??? ? ???? ? 39 .已知锐角 ?ABC 的外接圆的半径为 1 , ?B ? ,则 BA? BC 的取值范围为 6 as i B n c? C o s c
__________. 40.如图所示,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到 A 处时测得公路北侧一山 顶 D 在西偏北 30°的方向上,行驶 600m 后到达 B 处,测得此山顶在西偏北 75°的方 向上,仰角为 30°,则此山的高度 CD=______m.

三、解答题

试卷第 5 页,总 6 页

3x ? y ? 2 ? 0
41.已知 x, y 满足 { x ? 2 y ? 1 ? 0 .

2x ? y ? 8 ? 0
(1)求 Z1 ? 2 x ? y ? 1 取到最值时的最优解; (2)求 Z 2 ?

x ? y ?1 的取值范围; x?2

(3)若 ax ? y ? 3 恒成立,求 a 的取值范围.

42.某厂拟生产甲、乙两种适销产品,每件销售收入分别为 3000 元,2000 元.甲、乙 产品都需要在 A、B 两种设备上加工,在每台 A、B 设备上加工一件甲所需工时分别为 1?,2?,加工一件乙设备所需工时分别为 2?,1?.A、B 两种设备每月有效使用台时数 分别为 400?和 500?,分别用, 表示计划每月生产甲,乙产品的件数. (Ⅰ)用, 列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域; (Ⅱ)问分别生产甲、乙两种产品各多少件,可使收入最大?并求出最大收入. 43. (12 分)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 cosC+(cosA﹣ sinA)cosB=0. (1)求角 B 的大小; (2)若 a+c=1,求 b 的取值范围.

44 . 在 ?ABC 中 , 内 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c , 向 量

C C ? ? ? ? ? ? ? ? m ? ? 2cos , ?sinC ? , n ? ? cos , 2sinC ? ,且 m ? n . 2 2 ? ? ? ?
(1)求角 C 的大小; (2)若 a ? 3b ,求 tanA 的值. 45.如图,在 ?ABC 中, AB ? 3 6, ?B ?

?
4

, D 是 BC 边上一点,且 ?ADB ?

?
3

.

(1)求 AD 的长; (2)若 CD ? 10 ,求 AC 的长及 ?ACD 的面积.
试卷第 6 页,总 6 页

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参考答案 1.D
2 2 【解析】 a ? b ? 4 ? 2 ? 2 ?

2 1 b ? 5 ? ? 3b ? 1?? b ? 3? ? 0 ? b ? ? (舍)或 b ? 3 , 3 3

故选 D. 2.C 【解析】∵ 2 + 2 = 2 + , ∴ = 2 + 2 ? 2 ,由余弦定理的推论得:cos =

2

2 + 2 ?2 2

=

= 2,又∵ 为三角形内角∴ = 60? ,故选 C.

1

3.D 【解析】由于 ? ABC 中, a ? 3,b ? 1 ,B ? 30?,

则由正弦定理可得,

a b asinB 3 ? ,即有 sinA ? ? ,则 A ? 60? 或120? , sinA sinB b 2

若 A ? 60? ,则 C ? 90 °,则 ? ABC 的面积是 S ?

1 3 ; ab ? 2 2

若 A ? 120? ,则 C ? 30? ,则 ? ABC 的面积是 S ?

1 3 . absinC ? 2 4

故选 D. 【点睛】本题考查正弦定理和三角形的面积公式及运用,考查三角形的内角和定理,以及运 算求解能力,解题时注意 A 的值由 2 个,这是一道易错题. 4.B 【解析】∵ B ? 2 A , a ? 1 , b ? 3 ,

∴由正弦定理

a b 1 3 3 3 ? 得: , ? ? ? sinA sinB sinA sinB sin2 A 2sinAcosA

∴ cosA ?

3 , 2

2 2 2 2 由余弦定理得: a ? b ? c ? 2bccosA ,即 1 ? 3 ? c ? 3c ,

解得:c=2 或 c=1(经检验不合题意,舍去), 则 c=2. 故选:B. 5.A 【解析】 ?ABC 中, A : B : C ? 1:1: 4 ,所以 A ?

?
6

,B ?

?

2 ,C ? ? . 6 3

a : b : c ? sinA : sinB : sinC ?

1 1 3 : : ? 1:1: 3 . 2 2 2
答案第 1 页,总 16 页

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故选 A. 6.B 【 解 析 】 由 S?

1 1 ? 4 3 ? 2 ? AB ? BC ? sinB ? AB ? BC ? 16 又 由 余 弦 定 理 2 2
2

AC 2 ? AB 2 ? BC 2 ? 2 AB ? BC ? cosB ? ? AB ? BC ? ? 3 AB ? BC ? AB ? BC ? 4 6
由S ?

1 1 8 3 ? 4 3 ? 2 ? r ? AB ? BC ? CA? ? r ? ? 2 2 ? 2 选 B. 2 2 4 6 ?4 3

点睛:1.选用正弦定理或余弦定理的原则 在解有关三角形的题目时,要有意识地考虑用哪个定理更适合,或是两个定理都要用,要抓 住能够利用某个定理的信息. 2.(1)运用余弦定理时,要注意整体思想的运用. (2)在已知三角形两边及其中一边的对角,求该三角形的其它边角的问题时,首先必须判断 是否有解,如果有解,是一解还是两解,注意“大边对大角”在判定中的应用. 7.B 【 解 析 】 在 ?ABC 中 由 正 弦 定 理

a b 1 ? ,sinB ? , B ? 00 ,1800 , B ? A, 所 以 sinA sinB 2

?

?

B ? 300 ,选 B。
8.D 【解析】在 中,∠ = 180° ? 15° ? 30° = 135° 由正弦定理得sin30° = sin135°,解得 = 15 2 在 中, = tan∠ = 15 2 × 3 = 15 6 9.B
2 2 2 【解析】 由 2absinC ? 3 b ? c ? a ,得 2absinC ? 3



30

?

?

b2 ? c 2 ? a 2 ? 2bc ? 2 3bccosA , 2bc

即 asinC ? 3ccosA ,再由正弦定理得: sinAsinC ? 3sinCcosA , 所以 tanA ?

3 ,则

1 , 3 2 1 2 整理得 b ? 3b ? 4 ? 0 ,解得 b ? 4 或 b ? ?1 (舍) ,则三角形的面积 s ? bcsinA ? 3 3 , 2 A?
,由余弦定理得 a ? b ? c ? 2bccosA ,即 13 ? b ? 9 ? 6b ?
2 2 2

?

2

故选 B.

10.D 【解析】∵

a b c π ? ? ,由 B ? , b ? 2 2 ,得 a ? 4sinA , c ? 4sin C ,∴ sinA sinB sinC 4

S?

1 acsinB 2
. 又

? 4 2sinAsinC

s A i

n ? Cs

i

A π ?n

? 3π ? ? s? ? iA n ?B s Asin i ?n ? A ? sin ? 4 ?

答案第 2 页,总 16 页

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? 2 ? 2 1 ? π? 2 2 2 2 , ? sinA ? cos A ? sin A ? sin2 A ? cos2 A ? ? sin 2 A ? ? ? ? ? ? 2 ? 2 4 4 4 2 ? 4? 4 ? ?
∵0 ? A?

3π π π 5π π π 2? 2 , ∴ ? ? 2A ? ? , ∴当 2 A ? ? 时, sinAsinC 取得最大值 , 4 4 4 4 4 2 4

∴面积的最大值为 2 ? 2 2 ,故选 D. 11.C 【解析】分两种情况来考虑: 当 a 为最大边时,设 a 所对的角为 α, 由 α 锐角, 根据余弦定理可得: cos ? ?

32 ? 42 ? a 2 ?0, 2 ? 3? 4

可知只要 32 ? 42 ? a 2 ? 0 即可,可解得: 0 ? a ? 5 当 a 不是最大边时,则 4 为最大边,同理只要保证 4 所对的角为锐角就可以了,
2 2 2 则有 3 ? 4 ? a ? 0 ,可解得 a ?

7

综上可知 a 的取值范围为 7 ? a ? 5 故答案选 C 点睛:分类讨论,因为不知道边长 a 与 4 的大小所以要讨论,这里要运用余弦定理,因为余 弦值在锐角时是正数,在钝角时是负数,这种情况不采用正弦值,当遇到角在第一象限或第 四象限时可以用正弦。 12.B 【解析】? a ? 3 ? b ? 1, A ? 130? 为钝角,

? 此三角形只有唯一解。
故答案选 B 点睛:此题主要考查三角形的边角关系,以及三角形的内角和定理应用,根据已知判断三角 形有解,有几个解,还是无解。 13.C 【解析】在 ? ABC 中, sin A ∶ sin B ∶ sin C ? 11 ∶ ∶3 利用正弦定理化简得: a ∶∶ b c ? 11 ∶ ∶3, 设 a ? k , b ? k , c ? 3k ,

a 2 ? b2 ? c 2 k 2 ? k 2 ? 3k 2 1 ? ?? 由余弦定理得: cos C ? 2 2ab 2k 2
则此三角形最大内角的度数为 120? 故答案选 C
答案第 3 页,总 16 页

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14.A 【解析】已知等式 a=2ccosB,利用正弦定理化简得:sinA=2sinCcosB,将 sinA=sin(B+C) =sinBcosC+cosBsinC 代入得: sinBcosC+cosBsinC=2sinCcosB, 即 sinBcosC-cosBsinC=sin (B-C) =0,∴B-C=0,即 B=C,则△ABC 为等腰三角形. 故选:A. 点睛:此题考查了正弦定理,以及两角和与差的正弦函数公式,熟练掌握定理及公式是解本 题的关键,已知等式利用正弦定理化简,将 sinA=sin(B+C)代入并利用两角和与差的正弦 函数公式化简,得到 sin(B-C)=0,确定出 B=C,即可得出三角形形状. 15.D 【解析】在中,由余弦定理,得cos =
2 + 2 ?2 3 ,即 2 2

=

2 + 2 ?2 , 2

∴ 2 + 2 ? 2 = 3 , 又 2 = 2 + , ∴ 2 + = 3 , ∴ =

3 ? 1 < ,

= 2 ? 3,∴ cos =

2 +2 ? 2 2

=

2 2

, ∴ = 4,故选 D.
2 + 2 ?2 ,同时还要熟练掌握运用两 2



【思路点睛】本题主要考查余弦定理及特殊角的三角函数,属于简单题.对余弦定理一定要 熟记两种形式: (1)2 = 2 + 2 ? 2 cos; (2)cos =

种形式的条件.另外,在解与三角形、三角函数有关的问题时,还需要记住30, 45, 60等特 殊角的三角函数值,以便在解题中直接应用. 16.D 【解析】由正弦定理得sincos = sincos ∴ 2 sin2 = 2 sin2 ∴ 2 = 2或 2 + 2 = ∴ =
1 1

或 + = 2



即形状是等腰或直角三角形 点睛:判断三角形形状的方法 ①化边:通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状. ②化角:通过三角恒等变形,得出内角的关系,从而判断三角形的形状,此时要注意应用 + + = π这个结论. 17.B 【解析】由题意得 s? ABC ? 弦定理得

1 1 3 ,解得 c ? 1 ,在△ABC 中,由余 bcsinA ? ? 2 ? c sin A ? 2 2 2

BC 2 ? 22 ? 1 ? 4cos 60o ? 3 ,所以 BC ? 3
故选 B 18.D
2 2 ? ABC 中, m ? a 2 , b 2 , n ? ? tanA,tanB ? , 【解析】 且m ?n , ∴ a tanB ? b tanA ? 0 ,

?

?

?

?

?

?

2 即 sin A ?

sinB sinA 1 1 ? sin 2 B ? , ∴ sinAcosA ? sinBcosB , 即 sin2 A ? sin2 B , ∴ cosB cosA 2 2

2 A ? 2B 或 2 A ? 2B ? ? , 即 A ? B 或 A? B ?

?

2

; ∴ ? ABC 是等腰三角形或直角三角形,

答案第 4 页,总 16 页

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故选 D. 19.C 【

















AB |2 ? AC |2 ? | BC |2 ?2 AC BC cos?ACB ? 2 ? a 2 ? 2 ? a ? acos120? ? 3a 2 .
故 AB ? 3akm .

故选 C. 20.B 【解析】由题意, AD ? DC ? AC ?

3 , 2

在△BCD 中,∠DBC=45°,∴ ∴ BC ?
6 , 4

BC DC ? , ? sin30 sin45?

在△ABC 中,由余弦定理 AB2=AC2+BC2?2AC?BCcos45°,∴ AB ?

6 . 4

本题选择 B 选项. 点睛:解三角形应用题的一般步骤 (1)阅读理解题意,弄清问题的实际背景,明确已知与未知,理清量与量之间的关 系. (2)根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形问题的模型. (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解. (4)将三角形问题还原为实际问题, 注意实际问题中的有关单位问题、 近似计算的 要求等.
21.B 【解析】作可行域,则直线 = + 过点(3,4)时取最大值,由10 = 3+ 4得= 2,选 B.

答案第 5 页,总 16 页

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点睛:线性规划的实质是把代数问题几何化,即数形结合的思想.需要注意的是:一,准确 无误地作出可行域;二,画目标函数所对应的直线时,要注意与约束条件中的直线的斜率进 行比较,避免出错;三,一般情况下,目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上 取得. 22.D 【解析】∵ > 3, ∴ ? 3 > 0,则 + ?3 = ? 3 + ?3 + 3 ≥ 2
4 4

? 3 ? ?3 + 3 = 7,当且

4

仅当 = 5时等号成立,故选 D. 【易错点晴】 本题主要考查利用基本不等式求最值, 属于中档题.利用基本不等式求最值时, 一定要正确理解和掌握“一正, 二定, 三相等”的内涵: 一正是, 首先要判断参数是否为正; 二定是,其次要看和或积是否为定值(和定积最大,积定和最小) ;三相等是,最后一定要 验证等号能否成立(主要注意两点,一是相等时参数否在定义域内,二是多次用≥或≤时等 号能否同时成立) 23.B 【解析】 ? lga ? lgb ? lgab ? 2, ? ab ? 100,? 等号成立) 故选:B. 24.C
2 【解析】A.当 a ? 2, b ? 3 时 a ? b ,但 2 ? 2 ? 3 ,故 A 不恒成立

1 1 1 1 1 ? ? 2 ? ? (当且仅当 a ? b 时 a b a b 5

B. 当 a ? ?2, b ? 1 时 a ? b ,但 D 当 a ? ?2, b ? 1 时 a ? b ,但 C

? ?2 ?

2

? 12 ,故 B 故不恒成立

1 1 ? ,故 D 故不恒成立 ?2 1

1 1 1 ? 1 1 ? 1 ? a ?b ? a ?b - 2 ? ? ? ?? ? ? 0 恒成立 ?? 2 ab a b ab ? b a ? ab ? ab ? ? ab ?2

故选 C 25.D 【解析】由约束条件画出可行域,如下图。目标函数变形为 y=x-z,所以直线的截距为-z, 由图可知当直线过点 C(-1,0)时截距最大,z 取最小值-1,当直线与圆相切时,截距最小, z 取最大值 2。选 D.

答案第 6 页,总 16 页

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【点睛】 线性规划或规划问题一定要根据约束条件画出正确的可行域, 再由几何意义求得最 优解,一定不能用偷懒的办法认为最优解一定在交点(端点)处。 26.C

y?2 表示可行域内点 P 到点 A(2,-2)连线的斜率,所 x?2 5 以 k PA ? ? ??, k AB ??? k AC , ?? ? ? (﹣∞,﹣5]∪[ ,+∞),选 C. 3
【解析】可行域如图,B(1,3),C(5,3),而

取得. 点睛:线性规划问题,首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是 虚线,其次确定目标函数的几何意义,是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、 还是点到直线的距离等等,最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围. 27.A 【解析】不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线 ax ? by ? z (a ? 0, b ? 0) 过直

(4, 6) 线 x ? y ? 2 ? 0 与直线 3x ? y ? 6 ? 0 的交点 时,
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目标函数 z ? ax ? by ? a ? 0, b ? 0? 取得最大值 2,即 2a ? 3b ? 1 , 而 ?

? 2 3? ?b a? ? ? ? 2a ? 3b ? ? 13 ? 6 ? ? ? ? 25 .故选:A. ?a b? ?a b?

点睛:线性规划的实质是把代数问题几何化,即数形结合的思想.需要注意的是:一,准确 无误地作出可行域;二,画目标函数所对应的直线时,要注意与约束条件中的直线的斜率进 行比较,避免出错;三,一般情况下,目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上 取得. 28.A

【解析】

x ? 2 y ?1 ? 0 画出不等式组 { 表示的可行域如图阴影区域所示. x?2 x ? y ?1 ? 0
由 z ? 3x ? 4 y ? 3 , 得y?

3 3? z 3 ?1 2? x? , 平移直线 y ? x , 当经过点 A ? 2, ?1? , B ? , ? 4 4 4 ?3 3?

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时,代入 z 的取值为 13, ,所以 z ? ? ,13 ? ,故选 A. 点睛:线性规划的实质是把代数问题几何化,即数形结合的思想.需要注意的是:一、准确 无误地作出可行域;二、画标准函数所对应的直线时,要注意与约束条件中的直线的斜率进 行比较,避免出错;三、一般情况下,目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取 得. 29.A

4 3

?4 ?3

? ?

【解析】 由
2 2 + 2 = 2 2 + = 2 + 2 = 2 ? ( , ) ;由 ? (0,2) ;由 ? (0,2);由约束条件 3 3 2 + = 2 = 0 = 0

做出(, ) 的可行域如图所示,的值为可行域中的点与原点 的连线的斜率,观察图形可知



的斜率最小,所以

min

= 1 .故选 A.

【点睛】 在平面区域的相关问题中,若目标函数不是线性目标函数,可利用其几何意义进行求解,例 如 的几何意义是点(, )与原点的连线的低利率; 2 + 2 几何意义 是点(, )与原点的距 离等. 30.D 【解析】作出不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分 ABC). 由 = ? 得 = + ,即直线的截距最大,z 也最大。


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若 a=0,此时 y=z,此时,目标函数只在 A 处取得最大值,不满足条件, 若 a>0,目标函数 y=ax+z 的斜率 k=a>0,要使 z=y?ax 取得最大值的最优解不唯一, 则直线 y=ax+z 与直线 2x?y+2=0 平行,此时 a=2, 若 a<0,目标函数 y=ax+z 的斜率 k=a<0,要使 z=y?ax 取得最大值的最优解不唯一, 则直线 y=ax+z 与直线 x+y?2=0,平行,此时 a=?1, 综上 a=?1 或 a=2, 故选:D. 点睛:线性规划的实质是把代数问题几何化,即数形结合的思想.需要注意的是:一、准确 无误地作出可行域;二、画标准函数所对应的直线时,要注意与约束条件中的直线的斜率进 行比较,避免出错;三、一般情况下,目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取 得. 31.5

【解析】

≥ 1 先根据约束条件 ? + 1 ≤ 0 画出可行域,如图, = 2 + 2表示可行域内点到原点距离 2 ? ? 2 ≤ 0
的平方,由图知,当在点 1,2 时,最小,最小值为12 + 22 = 5,故答案为5. 【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值,属简单题 .求目标函 数最值的一般步骤是“一画、 二找、 三求”: (1) 作出可行域 (一定要注意是实线还是虚线) ; (2) 找到目标函数对应的最优解对应点 (在可行域内根据目标函数的特点找到最优解) ; (3) 将最优解坐标代入目标函数求出最值. 32.4 【解析】 ∵ + = 2, ∴2 + 2 ≥ 2 2 ? 2 = 2 2
+

= 4, 当且仅当 = = 1时等号成立,

故答案为4. 点睛: 本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最 值,其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视.要利用基本不等式求最 值,这三个条件缺一不可.(2)在运用基本不等式时,要特别注意“拆”“拼”“凑”等技 巧,使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件. 33. ?2 ? a ? 2
2 【解析】不等式 4 ? a ? 2? x ? 2 ? a ? 2? x ?1 ? 0 ,当 a ? 2 ? 0 ,即 a ? 2 时,恒成立,合题

答案第 10 页,总 16 页

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意; 当 a ? 2 ? 0 时, 要使不等式恒成立, 需{

? ? 4 ? a ? 2 ? ? 16 ? a ? 2 ? ? 0
2

a?2? 0

, 解得 ?2 ? a ? 2 ,

所以 a 的取值范围为 ?2 ? a ? 2 ,故答案为 ?2 ? a ? 2 . 点睛:本题考查求不等式恒成立的参数的取值范围,是经久不衰的话题,也是高考的热点, 它可以综合地考查中学数学思想与方法,体现知识的交汇;将原不等式整理成关于 x 的二次 不等式,结合二次函数的图象与性质解决即可,注意对二次项系数分类讨论,验证当二次项 系数等于 0 时是否成立的情况,当二次项不为 0 时,考虑开口方向及判别式与 0 的比较. 34.?6 【解析】作出可行域如图:

目标函数化简得: = ? ,因为> 0,故只可能在 B,C 处取最大值. 联立 联立 2 + 2 ? = 0 解得 B(?2, ?2), ? 2 ? 2 = 0 联立 2 + 2 ? = 0 解得 C(0,2), + ? 2 = 0

1



+ ? 2 = 0 解得 A(2,0),若目标函数 = ? (> 0)过点 A 时, = 2不符合题意, ? 2 ? 2 = 0

所以过 C 时取得最大值, 此时4 = ?2 + 2 , 解得= 3, = ? (> 0)过点 C 时, min = ?6. 点睛: 本题考查线性规划问题, 涉及到目标函数中有参数问题, 综合性要求较高, 属于难题. 解 决此类问题时,首先做出可行域,然后结合参数的几何意义进行分类讨论,本题参数为直线 的斜率,所以可以考虑斜率的正负进行讨论,当 ≤ 0时,显然直线越上移越小,结合可行 域显然最小值不可能为0,分析 > 0时,只有当直线 = ? 过点(1,3)时取最小值,从而 求出. 35. 13 【解析 】由三角形的面积公式 知, s ?

1 bcsinA ? 3 , 解得 c ? 4 ,再有余弦 定理得 2

a2 ? b2 ? c2 ? 2bccos60? ? 13 ,故 a ? 13 .
36.3 2 【解析】由题意可得

= 24 × 60 = 6 ,∠ = 75? ? 30? = 45? ,
由正弦定理得sin45? = sin30?,解得 = 3 2 点睛:本题考查的是解三角形在实际中的应用,在处理解三角形问题时,要注意抓住题目所
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给的条件,在题设中给定三角形中利用正弦定理或利用余弦定理结合三角形内角和为 180? 构造边或者是角的关系;把已知的给定的值代入正弦定理或者是余弦定理, 求出要求的具体 的值 37. 20 6 【解析】 ?CBD ? 180? ? ?BCD ? ?BDC ? 135? 根据正弦定理得:

BC ?

CD ? sin ?BDC ? 20 2 sin ? CBD

? AB ? tan ?ACB? CB ? 3 ? 20 2 ? 20 6
故答案为 20 6 38.

? 6
1 ? ? B s? in , a ? b 即 B 为锐角, 则 ? B = ,故填 . 2 6 6 1 sinB , 又 sinB ? 0 , 所 以 2

【 解 析 】 由 正 弦 定 理 得 , sinAsinBcosC ? sinCsinBcosA ?

sin A c oC s?
39. ? 3,

sC i n cA o ?s

i? n ? C? ? sA

? ?

3 ? ? 3? 2 ?

【解析】 如图,设 BA ? c, BC ? a , ?ABC 的外接圆的半径为 1, ?B ?

??? ?

??? ?

?
6

.

a c ? ?2, sinA sinC 5? ? A, ∴ a ? 2sinA, c ? 2sinC , C ? 6
由正弦定理得

0? A?
由{

?
2
,得

?
3

5? ? 0? ? A? 6 2

? A?

?
2



∴ BA ? BC ? cacos

??? ? ??? ?

?
6

? 4?

3 ? 5? ? sinAsinC =2 3sinAsin ? ? A? 2 ? 6 ?

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?1 ? 3 ?1 ? cos2 A? 3 3 2 ? 2 3sinA ? cos A ? sin A ? 3sin A cos A ? 3sin A ? sin2 A ? ? ?2 ? 2 2 2 ? ?

?


3 3 3 ?? 3 ? sin2 A ? cos2 A ? ? 3sin ? 2 A ? ? ? . 2 2 2 3? 2 ?

?
3

? A?

?
2

,∴

?
3

? 2A ?

?
3

?

2? , 3



3 ?? ? ? sin ? 2 A ? ? ? 1 , 2 3? ?
? ?

∴ 3 ? 3sin ? 2 A ?

?? 3

3 ?? ? 3? 。 3? 2 2

∴ BA ? BC 的取值范围为 ? 3, 3 ? ? 。 2

??? ? ??? ?

? ?

3? ?

答案: ? 3, 3 ? ? 。 2

? ?

3? ?

点睛:本题考查平面向量数量积的运算,解题时先由正弦定理把△ABC 的边 a,c 用含有 A 的代数式表示,再由三角形为锐角三角形求出角 A 的范围,把向量的数量积利用三角变换 转化为关于 A 的三角函数,最后利用三角函数的取值范围求解. 40. 100 6 【解析】设此山高 h ,则 BC ? 3h ,在 ? ABC 中, ?BAC ? 30? , ?CBA ? 105? ,

?BCA ? 45? , AB ? 600 ,根据正弦定理得
答案为 100 6 .

3h 600 ,解得 h ? 100 ( ,故 6 m) ? sin30? sin45?

点睛:本题主要考查了解三角形的实际应用.关键是构造三角形,将各个已知条件向这个主 三角形集中,再通过正弦、余弦定理或其他基本性质建立条件之间的联系,列方程或列式求 解;设此山高 h ,在 ? BCD 中,利用仰角的正切表示出 BC ,进而在 ? ABC 中利用正弦定 理求得 h . 41. (1)C(3,2)和 B(2,4) (2) ? ??, ?1 ? 4, ? ?? (3) a ? 2 【解析】试题分析: (1)画出可行域,找出直线交点坐标,移动目标函数 Z1 ? 2 x ? y ? 1 , 找到最优解(2)目标函数 Z 2 ?

? ?

x ? y ?1 y ?1 =1+ 表示(x,y)与(2,-1)间斜率; (3 ) x?2 x?2

由于直线 ax ? y ? 3 ? 0 恒过定点(0,3)?当 ? a ? ?2 时, ax ? y ? 3 恒成立? a ? 2 .

答案第 13 页,总 16 页

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试题解析: (1)由图可知:

直 线 3x ? y ? 2 ? 0与 直 线 2 y ? x ? 1? 0 交 点 A ( 1,1 ) ; 直 线 3x ? y ? 2 ? 0 与 直 线 ; 2 x ? y ? 8 ? 0 交点 B(2,4) 直线 2 x ? y ? 8 ? 0 与直线 2 y ? x ? 1 ? 0 交点 C(3,2) ; 目标函数 Z1 ? 2 x ? y ? 1 在 C(3,2)点取到最小值,B(2,4)点取到最大值

? Z1 ? 2 x ? y ? 1取到最值时的最优解是 C(3,2)和 B(2,4)
(2)目标函数 Z 2 ?

x ? y ?1 y ?1 y ?1 =1+ ? ? ??, ?2? ? ?3, ? ?? ,由图可知: x?2 x?2 x?2

?Z2 ? ? ??, ?1? ??4, ? ?? .
(3)由于直线 ax ? y ? 3 ? 0 恒过定点(0,3)?当 ? a ? ?2 时, ax ? y ? 3 恒成立

1+a ? 3
? a ? 2 ,或由题意可知 {3a ? 2 ? 3 , ? a ? 2 .

2a ? 4 ? 3
42. (1) 见解析 (2) 安排生产甲、 乙两种产品月的产量分别为 200, 100 件可使月收入最大, 最大为 80 万元. 【解析】试题分析: (1)设甲、乙两种产品月的产量分别为 x,y 件,列出约束条件和目标 函数,画出可行域。 (2)由可行域及目标函数,可出得最优解,注意 x,需取整。 试题解析: (Ⅰ)设甲、乙两种产品月的产量分别为 x,y 件,

约束条件是

,由约束条件画出可行域,如图所示的阴影部分

(Ⅱ)设每月收入为 z 千元,目标函数是 z=3x+2y

答案第 14 页,总 16 页

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由 z=3x+2y 可得 y=﹣ x+ z,截距最大时 z 最大. 结合图象可知,z=3x+2y 在 A 处取得最大值



可得 A(200,100) ,此时 z=800

故安排生产甲、乙两种产品月的产量分别为 200,100 件可使月收入最大,最大为 80 万元.

43.(1)

;(2)

≤b<1.

【解析】试题分析: (1) 将 cosC, 化为 ?cos (A+B),代入 cosC+(cosA﹣ 3 sinA)cosB=0. 整 理后,即可求出角 B. 2 (2)在△ABC,由余弦定理将 b 转化为 a、c 的函数关系,最终转化为求函数值域问题. 试题解析: (1)由已知得:﹣cos(A+B)+cosAcosB﹣ 3 sinAcosB=0, 即 sinAsinB﹣ 3 sinAcosB=0,∵sinA≠0,∴sinB﹣ 3 cosB=0,即 tanB= 3 , 又 B 为三角形的内角,则 B=

? ; 3
1 , 2
2 2 2 2

(2)∵a+c=1,即 c=1﹣a,cosB=
2 2 2

∴由余弦定理得:b =a +c ﹣2ac?cosB,即 b =a +c ﹣ac=(a+c) ﹣3ac=1﹣3a(1﹣a)=3(a ﹣

1 2 1 )+ , 2 4 1 1 2 ≤b <1,则 ≤b<1. 4 2

∵0<a<1,∴ 44.(1) C ?

;(2) tanA ? ?3 3 . 3 【解析】试题分析: (1)向量垂直的充要条件为数量积等于 0, 结合平面向量数量积的坐标运算得到三

?

角方程,求解三角方程可得 C ?

; 3 (2)利用正弦定理边化角,然后结合 (1)中的结论得到三角恒等式,整理计算可得

?

tanA ? ?3 3 .
试题解析:
答案第 15 页,总 16 页

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C ? ? ? ? (1)∵ m ? n ,∴ m ? n ? 0 ,则 2cos 2 ? 2 sin 2C ? 0 . 2 C C ∵ C ? ? 0, ? ? ,∴ cos ? 0, sinC ? 0 ,∴ cos ? sinC , 2 2

则 sin

C 1 C ? ? C ? ?? ? ,又 ? ? 0, ? ,∴ ? ,则 C ? . 2 2 2 6 3 2 ? 2?

(2)∵ a ? 3b ,∴ sinA ? 3sinB . ∵C ?

?

? 2? ? ,∴ sinA ? 3sin ? ? A? , 3 ? 3 ?

即 sinA ? ?3 3cosA . ∵ cosA ? 0 上式不成立,即 cosA ? 0 , ∴ tanA ? ?3 3 .
45.(1) AD ? 6 (2) S ? 15 3 【解析】试题分析: (1)在 ?ABC 中由正弦定理可求得 AD 的长; (2)在 ?ACD 中,由余弦 定理可得 AC ? 14 ,利用 S ? 试题解析: (1)在 ?ABD 中,由正弦定理得

1 2? AD ? DC ? sin 可得所求面积。 2 3 AD AB ? , sinB sin?ADB



AD 3 6 ? 2 3 2 2

∴ AD ? 6 (2)∵ ?ADB ?

?
3

,∴ ?ADC ?

2? 3 2? 3

在 ?ACD 中 ,由余弦定理得

AC 2 ? AD 2 ? DC 2 ? 2 AD ? DC ? cos

? 1? ? 36 ? 100 ? 2 ? 6 ?10 ? ? ? ? ? 196 ? 2?
∴ AC ? 14 ∴S ?

1 2? 1 3 AD ? DC ? sin ? ? 6 ?10 ? ? 15 3 . 2 3 2 2

综上 AC ? 14 , ?ACD 的面积为 15 3 。

答案第 16 页,总 16 页


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