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高中数学 3.1.1《两角差的余弦公式》课件 新人教A版必修4_图文

第三章 三角恒等变换
第一节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第一课时 两角差的余弦公式

问题提出 1.在三角函数中,我们学习了哪些基本的三角函 数公式? 2.对于30°,45°,60°等特殊角的三角函数值 可以直接写出,利用诱导公式还可进一步求出 150°,210°,315°等角的三角函数值.我们希 望再引进一些公式,能够求更多的非特殊角的三 角函数值,同时也为三角恒等变换提供理论依据.

3.若已知α ,β 的三角函数值,那么cos(α -β ) 的值是否确定?它与α ,β 的三角函数值有什么 关系?这是我们需要探索的问题.

探究(一):两角差的余弦公式

思考1:设α ,β 为两个任意角, 你能 判断cos(α -β )=cosα -cosβ 恒成 立吗?

cos(30°-30°)≠cos30°-cos30°

思考2:我们设想cos(α -β )的值与α ,β 的三 角函数值有一定关系,观察下表中的数据,你有 什么发现?

cos(60° -30°)
3 2

cos60° cos30° sin60° sin30°

1 2

3 2

3 2

1 2

cos(120 cos120° cos60° sin120° sin60° °-60°) 1 1 1 3 3 ? 2 2 2 2 2

思考3:一般地,你猜想cos(α -β )等 于什么? cos(α -β )=cosα cosβ +sinα sinβ

思考4:如图,设α ,β 为锐角,且α >β , 角α 的终边与单位圆的交点为P1, ∠P1OP= β ,那么cos(α -β )表示哪条线段长?
y

cos(α -β )=OM
O

P1 P M x

思考5:如何用线段分别表示sinβ 和 cosβ ?
y

cosβ
O

P1

sinβ
P x

A

思考6:cosα cosβ =OAcosα ,它表示哪条 线段长? sinα sinβ =PAsinα ,它表示哪条线段长?
y P1

sinα sinβ
P x

A
C
O

B

cosα cosβ

思考7:利用OM=OB+BM=OB+CP可得什 么结论? y sinα sinβ
P1

A
C
O P x

B M

cosα cosβ
cos(α -β )=cosα cosβ +sinα sinβ

y 1 A

P1

?

sin

?
P

cos ?

C

?

?

? ??
B M

O

1

x

cos ? cos ?

+

sin ? sin ?

思考8:上述推理能说明对任意角α ,β , 都有 cos(α -β )=cosα cosβ +sinα sinβ 成立吗? 思考9:根据cosα cosβ +sinα sinβ 的 结构特征,你能联想到一个相关计算原 理吗?

思考10:如图,设角α ,β 的终边与单位圆的交 点分别为A、B,则向量 ΟB 的坐标分别是什 ΟΑ 、 么?其数量积是什么?y ???? uuu r ΟΑ=(cosα ,sinα ) OB =(cosβ ,sinβ ) A
α

B
β

O

x

uuu uuu r r OA ?OB

cos a cos b + sin a sin b

思考11:向量与的夹角θ 与α 、β 有什么关系?根据 uur uuu u r 数量积定义, ×OB 等于什么?由此可得什么结论? OA
y

α =2kπ +β +θ 或β = 2kπ +α +θ

A

θ
α β

B x

O

cos(α -β )=cosα cosβ +sinα sinβ

思考12:公式cos(α -β )=cosα cosβ +sinα sinβ 称为差角的余弦公式,记 作 C? ? ? ,该公式有什么特点?如何记忆?

探究(二):两角差的余弦公式的变通
思考1:若已知α +β 和β 的三角函数值,如何求cosα 的值?
cosα =cos[(α +β )-β ]=cos(α +β ) cosβ + sin(α +β )sinβ . 思考2:利用α -(α -β )=β 可得cosβ 等于什么? cosβ =cos[(α -β )-α ]=cos(α -β )cosα +sin(α -β )sinα .

思考3:若cosα +cosβ =a,sinα + sinβ =b,则cos(α -β )等于什么?
a ?b ?2 cos(? ? ? ) ? 2
2 2

思考4:若cosα -cosβ =a,sinα - sinβ =b,则cos(α -β )等于什么?
2?a ?b cos(? ? ? ) ? 2
2 2

理论迁移

例1 利用余弦公式求cos15°的值.
5 4 p 骣 例2 已知sin a = ,cosb = - , a ? ? 2 ,p ÷, ÷ ? 桫 13 5

β 是第三象限角,求cos(α -β )的值.
1 例3 已知cos( a + b )cosb + sin(a + b )sin b = , 3
? 3? ? ? ?? ,2? ? 且 ?2 ?

, 求 cos(? ?

?

4

)

的值.

课堂小结

1.在差角的余弦公式的形成过程中,蕴涵着 丰富的数学思想、方法和技巧,如数形结合, 化归转换、归纳、猜想、构造、换元、向量 等,我们要深刻理解和领会. 2.已知一个角的正弦(或余弦)值,求该角 的余弦(或正弦)值时, 要注意该角所在的 象限,从而确定该角的三角函数值符号.

3.在差角的余弦公式中,α ,β 既可以 是单角,也可以是复角,运用时要注意 角的变换,如,2β =(α +β )-(α -β ) p p a = (a + ) 6 6 等. 同时,公式的应用具有 灵活性,解题时要注意正向、逆向和变 式形式的选择.


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