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武昌区2018届高三年级元月调研考试(理数答案)

武昌区 2018 届高三年级元月调研考试 理科数学参考答案及评分细则 一、选择题: 题号 答案 1 B 2 D 3 C 4 B 4 3 5 C 6 A 7 D 8 A 9 A 10 C 11 C 12 D 二、填空题: 13. 2 14. 180 15. 16. 100 三、解答题: 17. (12 分) 解析: (1)由正弦定理,知 2sinBcosC ? 2sinA ? sinC , 由 A ? B ? C ? ? ,得 2 sinB cosC ? 2 sin(B ? C ) ? sinC , 化简,得 2 sinB cosC ? 2(sinB cosC ? cos B sinC ) ? sinC ,即 2cosBsinC ? sinC ? 0 . 1 因为 sinC ? 0 ,所以 cosB ? ? . 2 因为 0 ? B ? ? ,所以 B ? 2? . 3 ......................................6 分 (2)由余弦定理,得 b2 ? a 2 ? c 2 ? 2accos B ,即 b2 ? (a ? c)2 ? 2ac ? 2accosB , 因为 b ? 2 , a ? c ? 5 ,所以, 22 ? ( 5 )2 ? 2ac ? 2accos 2? ,即 ac ? 1 . 3 1 1 3 3 所以, S?ABC ? acsinB ? ?1 ? . ......................................12 分 ? 2 2 2 4 18. (12 分) 解析: (1)取 AC 的中点 O,连接 BO,PO. 因为 ABC 是边长为 2 的正三角形,所以 BO⊥AC,BO= 3 . 1 因为 PA⊥PC,所以 PO= AC ? 1 . 2 因为 PB=2,所以 OP2+OB2==PB2,所以 PO⊥OB. 因为 AC,OP 为相交直线,所以 BO⊥平面 PAC. 又 OB?平面 ABC,所以平面 PAB⊥平面 ABC. ......................................6 分 (2)因为 PA=PB,BA=BC,所以 ?PAB ≌ ?PCB . P 过点 A 作 AD ? PB 于 D,则 CD ? PB . 所以 ?ADC 为所求二面角 A﹣PB﹣C 的平面角. 因为 PA=PC,PA⊥PC,AC=2,所以 PA ? PC ? 2 . 在 ?PAB 中,求得 AD ? 7 7 ,同理 CD ? . 2 2 A B C 在 ?ADC 中,由余弦定理,得 cos?ADC ? 所以,二面角 A﹣PB﹣C 的余弦值为 ? 19. (12 分) 解析: (1)由计算可得 K 2 的观测值为 k ? AD2 ? CD2 ? AC2 1 ?? . 2 AD ? CD 7 1 . 7 ......................................12 分 72 ? (16 ? 8 ? 28 ? 20)2 ? 8.416 . 44 ? 28 ? 36 ? 36 因为 P( K 2 ? 7.879) ? 0.005,而 8.416? 7.789 所以在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下认为“性别与读营养说明之间有关系”. ......................................4 分 (2) ? 的取值为 0,1,2. P(? ? 0) ? 2 1 1 C20 95 C8 C20 80 C82 2 ? P ( ? ? 1 ) ? ? P ( ? ? 2 ) ? ? . , , 2 2 2 C28 189 C28 189 C28 27 ? 的分布列为 ? 0 95 189 1 80 189 2 2 27 P ? 的数学期望为 E? ? 0 ? 95 ? 1 ? 80 ? 2 ? 2 ? 4 . 189 189 27 7 ......................................12 分 20. (12 分) ?1 ? 2 ? ?a 解析: (1)由题意,知 ? ?c ? ?a ? 1 ? 1, 4b 2 2 , 2 2 ? ?a ? 2, 考虑到 a 2 ? b2 ? c 2 ,解得 ? 2 ? ?b ? 1. 所以,所求椭圆 C 的方程为 x2 ? y2 ? 1 . 2 ......................................4 分 x2 ? y2 ? 1 , 2 (2)设直线 l 的方程为 y ? kx ? m ,代入椭圆方程 整理得 (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4kmx ? 2(m2 ? 1) ? 0 . 由 ? ? (4km)2 ? 8(1 ? 2k 2 )(m2 ? 1) ? 0 ,得 2k 2 ? m 2 ? 1 . 设 A( x1, y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ? 因为 F ( ?1,0) ,所以 k AF1 因为 2k ? 4km 2(m2 ? 1) , . x x ? 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 y y1 ? , k AF1 ? 2 . x2 ? 1 x1 ? 1 ① y1 y2 ? ,且 y1 ? kx1 ? m , y2 ? kx2 ? m , x1 ? 1 x2 ? 1 所以 (m ? k )( x1 ? x2 ? 2) ? 0 . 因为直线 AB: y ? kx ? m 不过焦点 F ( ?1,0) ,所以 m ? k ? 0 , 所以 x1 ? x2 ? 2 ? 0 ,从而 ? 由①②得 2k 2 ? (k ? 4km 1 . ? 2 ? 0 ,即 m ? k ? 1 ? 4k 2 2k ② ③ 1 2 2 . ) ? 1 ,化简得 | k |? 2k 2 |k ?m| 1?

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