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高三数学综合测试题一(集合,函数)


高三数学综合测试题一( 集合与函数)
一、选择题: 1 .设集合 U = {1,2,3,4,5,6} ,集合 M = {1,3} , N = {2,3,4} ,则 ( ? U M )∩( ? U N ) = ( A . {3} B . {4,6}
2

) )

C . {5,6}

D . {3,6}

2. 已知全集 I = R , 若函数 f ( x ) = x - 3 x + 2 , 集合 M = { x |f ( x )≤0} , N = { x | f ′( x )<0} , 则 M∩?IN= ( 3 3 3 3 A . [ , 2] B . [ , 2) C . ( , 2] D . ( , 2) ; 2 2 2 2 为 17.4 cm;点燃 21 分钟后,蜡烛的长为 8.4 cm ,则这支蜡烛燃尽的时间为 ( A . 21 分钟 B . 25 分钟
2

3 .设某种蜡烛所剩长度 P 与点燃时间 t 的函数关系式是 P = kt + b . 若点燃 6 分钟后,蜡烛的长 ) C . 30 分钟 ) D . 35 分钟;

4 .已知 命题 p : “ ? x ∈ [1,2] , x - a ≥0” , 命题 q : “ ? x ∈ R , x 2 + 2 ax + 2 - a = 0” . 若命题 “ ? p 且 q ” 是真命题,则实数 a 的取值范围为 ( A. a≤- 2 或 a= 1 B . a ≤ - 2 或 1≤ a ≤2 C . a ≥1 D . a >1 ; 1 2 2 5. 幂函数 f ( x ) = x n ( n = 1,2,3 , ,- 1) 具有如下性质: f ?1?+f (- 1)=2[ f ?1?+f (- 1)- 1] ,则函 2 数 f ( x )( A. 是奇函数 ) B. 既是奇函数,又是偶函数
3 2

C. 是偶函数

D. 既不是奇函数,又不是偶函数

1 ) 6. 已知函数 f ( x ) = x + 2 bx + cx + 1 有两个极值点 x 1 、 x2, 且 x1∈ [- 2, - 1] , x 2 ∈ [1,2] , 则 f (-
的取值范围是 ( 3 ? A. ? ?- 2 , 3 ? A. 2a
2

) 3 ? B. ? ? 2 , 6? B. a
2

C . [3,12]

3 ? D. ? ?- 2 , 12 ?; ) )

7. 若曲线 xy = a ( a ≠0) , 则过曲线上任意一点的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积是 ( C . 2|a | D . |a | 8. 定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 ( x - 1) f ′( x )≤0 , 且 y = f ( x + 1) 为偶函数, 当 | x1- 有( 1 ? x2- 1| 时, A . f (2 - x 1 )> f (2 - x 2 ) C . f (2 - x 1 )< f (2 - x 2 ) B . f (2 - x 1 ) = f (2 - x 2 ) D . f (2 - x 1 )≤ f (2 - x 2 )

9 .如图所示,点 P 在边长为 1 的正方形的边上运动,设 M 是 CD 边的中点, 则当点 P 沿着 A - B - C - M 运动时,以点 P 经过的路程 x 为自变量,三角 形 APM 的面积函数的图象的形状大致是 ( )

π π 10 .有下列命题:①函数 y = cos( x - )cos( x + ) 的图象中,相邻两个对称中心的距离为 π ;②函 4 4 数 y= x+ 3 的图象关于点 ( - 1,1) 对称; x- 1

③关于 x 的方程 ax 2 - 2 ax - 1 = 0 有且仅有一个实数根,则实数 a =- 1 ;
1

④已知命题 p :对任意的 x ∈ R ,都有 sin x ≤1 ,则 ? p :存在 x ∈ R ,使得 sin x >1. 其中所有真命 题的序号是 ( A .①② 二、填空题: 11 .已知函数 f ( x ) = ln a + ln x 在 [1 ,+ ∞) 上为减函数,则实数 a 的取值范围是 x ; ) B .③④ C .②③④ D .①②④

? f ( x ? 2), x ? ?1 ? 12 .已知函数 f ( x ) = ?2 x ? 2, ?1 ? x ? 1 ,则 f [ f ( - 2010)] = ________. ?2 x ? 4, x ? 1 ?
13 .已知函数 f ( x ) = ln 1+ x + sin x ,则关于 a 的不等式 f ( a - 2) + f ( a 2 - 4)<0 的解集是 ________ . 1- x

1 14 .已知函数 f ( x ) = mx 2 + ln x - 2 x 在定义域内是增函数,则实数 m 的取值范围为 ________ . 2 1 15 .若函数 f ( x ) = x 3 - a 2 x 满足:对于任意的 x 1 , x 2 ∈ [0,1] 都有 |f ( x 1 ) - f ( x 2 )|≤1 恒成立,则 a 的 3 取值范围是 ________ . 三、解答题: 16 . 统计表明, 某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 y ( 升 ) 关于行驶速度 x ( 千米 / 小时 ) 1 3 的函数解析式可以表示为: y = x 3 - x + 8(0< x ≤120) .已知甲、乙两地相距 100 千米. 128000 80 (1) 当汽车以 40 千米 / 小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升? (2) 当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?

17 .设 f ( x ) =

ex ,其中 a 为正实数. 1 + ax 2

4 (1) 当 a = 时,求 f ( x ) 的极值点; (2) 若 f ( x ) 为 R 上的单调函数,求 a 的取值范围. 3

2

18 .设 f ( x ) 是定义在 [ - 1,1] 上的奇函数,且当- 1≤ x <0 时,f ( x ) = 2 x 3 + 5 ax 2 + 4 a 2 x + b . 数 f ( x ) 的解析式; (2) 当 1< a ≤3 时,求函数 f ( x ) 在 (0,1] 上的最大值 g ( a ) .

(1) 求函

19 .已知函数 f ( x ) = x 2 - 4 x + (2 - a )ln x ( a ∈ R , a ≠0) . (1) 当 a = 8 时,求函数 f ( x ) 的单调区间及极值; (2) 讨论函数 f ( x ) 的单调性.

3

20 .已知函数 f ( x ) = x 2 +

2a ( a ∈ R) . x

(1) 若 f ( x ) 在 x = 1 处的切线垂直于直线 x - 14 y + 13 = 0 ,求该点的切线方程,并求此时函数 f ( x ) 的单调区间; (2) 若 f ( x )≤ a 2 - 2 a + 4 对任意的 x ∈ [1,2] 恒成立,求实数 a 的取值范围.

1 21 .设函数 f ( x ) 定义在 (0 ,+ ∞) 上, f (1) = 0 ,导函数 f ′( x ) = , g ( x ) = f ( x ) + f ′( x ) . (1) 求 g ( x ) 的单 x 调区间和最小值; 1? 1 (2) 讨论 g ( x ) 与 g ? ?x ?的大小关系; (3) 是否存在 x 0 >0 ,使得 |g ( x ) - g ( x 0 )|< x 对任意 x >0 成立?若存 在,求出 x 0 的取值范围;若不存在,请说明理由.

4

高三数学综合测试题一参考答案
一、选择题:1.C ;2.A ;3.D ;4.D ;5.C ;6.C(用线性规划) ;7.C ;8.A( f( x )=f( 2-x ) ) ;9.A ; 10.B ; 二、填空题: 11. a ≥e ; 12.0 ; 13. ( 3 , 2) ; 14. [1 ,+ ∞) ; 15. [ - 论) 三、解答题 :16 . ( 本小题满分 12 分 ) 统计表明,某种型号的 汽车在匀速行驶中每小 时的耗油量 y ( 升 ) 关于行 驶速度 x ( 千米 / 小时 ) 1 3 的函数解析式可以表示为: y = x 3 - x + 8(0< x ≤120) .已知甲、乙两地相距 100 千米. 128000 80 (1) 当汽车以 40 千米 / 小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升? (2) 当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升? 100 解: (1) 当 x = 40 时,汽车从甲地到乙地行驶了 = 2.5 小时, 40 1 3 3 ? 要耗油 ? ?128000 ×40 - 80×40 + 8 ?×2.5 = 17.5( 升 ) . 答:当汽车以 40 千米 / 小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油 17.5 升. 100 (2) 当速度为 x 千米 / 小时 时,汽车从甲地到乙地行驶了 小时,设耗油量为 h ( x ) 升,依题 x 意得 1 3 1 2 800 15 3 ? 100 h(x)= ? ?128000 x - 80 x + 8?· x = 1280 x + x - 4 (0< x ≤120) , h ′( x ) =
3 3 x 800 x - 80 - 2 = 2 (0< x ≤120) . 640 x 640 x

2 2 3 , 3](分 a ? 1 和 a ? 1 讨 3 3

令 h ′( x ) = 0 ,得 x = 80. 当 x ∈ (0,80) 时, h ′( x )<0 , h ( x ) 是减函数; 当 x ∈ (80,120] 时, h ′( x )>0 , h ( x ) 是增函数. ∴当 x = 80 时, h ( x ) 取得极小值 h (80) = 11.25. ∵ h ( x ) 在 (0,120] 上只有一个极值,∴它是最小值. 答:当汽车以 80 千米 / 小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少为 11.25 升. 17 . ( 本小题满分 12 分 ) ex (2011· 安徽 ) 设 f ( x ) = ,其中 a 为正实数. 1 + ax 2 4 (1) 当 a = 时,求 f ( x ) 的极值点; 3 (2) 若 f ( x ) 为 R 上的单调函数,求 a 的取值范围. 解:对 f ( x ) 求导得 f ′( x ) =

1 ? ax 2 ? 2ax x ?e ① (1 ? ax 2 )2

4 3 1 (1) 当 a = 时,若 f ′( x ) = 0 ,则 4 x 2 - 8 x + 3 = 0 ,解得 x 1 = , x 2 = . 3 2 2 结合①,可知

5

x f ′( x ) f(x)

?- ∞ , 1 ? 2? ?
+ ?↗

1 2 0 极大值

?1 , 3 ? ?2 2 ?
- ?↘

3 2 0 极小值

?3 ,+ ∞? ?2 ?
+ ↗?

3 1 所以, x 1 = 是极小值点, x 2 = 是极大值点. 2 2 (2) 若 f ( x ) 为 R 上的单调函数,则 f ′( x ) 在 R 上不变号,结合①与条件 a >0 ,知 ax 2 - 2 ax + 1≥0 在 R 上恒成立,因此 Δ = 4 a 2 - 4 a = 4 a ( a - 1)≤0 ,由此并结合 a >0 ,知 0< a ≤1. 18 . ( 本小题满分 12 分 ) 设 f ( x ) 是定义在 [ - 1,1] 上的奇函数,且当- 1≤ x <0 时, f ( x ) = 2 x 3 + 5 ax 2 + 4 a 2 x + b . (1) 求函数 f ( x ) 的解析式; (2) 当 1< a ≤3 时,求函数 f ( x ) 在 (0,1] 上的最大值 g ( a ) . 解: (1) 当 0< x ≤1 时,- 1≤ - x <0 ,则 f ( x ) =- f ( - x ) = 2 x 3 - 5 ax 2 + 4 a 2 x - b . 当 x = 0 时, f (0) =- f ( - 0) ,∴ f (0) = 0. 2 x + 5 ax + 4 a x + b ,- 1≤ x <0 ? ? ?x= 0? ∴ f ( x ) = ?0 3 ? ?2 x - 5 ax 2 + 4 a 2 x - b , 0< x ≤1 (2) 当 0< x ≤1 时, f ′( x ) = 6 x 2 - 10 ax + 4 a 2 = 2(3 x - 2 a )( x - a ) = 2a 6( x - )( x - a ) . 3 2 2a 3 ①当 < <1 ,即 1< a < 时, 3 3 2 2a 2a 0 , ?时, f ′( x )>0 ,当 x ∈ ? , 1?时, f ′( x )<0 , 当 x∈ ? 3 ? ? ?3 ? 2 a 2 a ? ? ? ∴ f(x)在 ? ?0 , 3 ?上单调递增,在 ? 3 , 1?上单调递减, 2 a ? 28 3 ∴ g(a)= f? ? 3 ?= 27 a - b . 2a 3 ②当 1≤ ≤2 ,即 ≤ a ≤3 时, f ′( x )≥0 , 3 2 ∴ f ( x ) 在 (0,1] 上单调递增. ∴ g ( a ) = f (1) = 4 a 2 - 5 a + 2 - b ,
3 2 2

.

?27a - b, 1<a<2 ∴ g(a)= ? 3 ?4a - 5a+ 2- b, 2≤a≤3
3 2

28

3

.

19 . ( 本小题满分 12 分 ) 已知函数 f ( x ) = x 2 - 4 x + (2 - a )ln x ( a ∈ R , a ≠0) . (1) 当 a = 8 时,求函数 f ( x ) 的单调区间及极值; (2) 讨论函数 f ( x ) 的单调性. 6 2 ? x + 1 ? ?x - 3 ? 解: (1) 依题意得,当 a = 8 时, f ( x ) = x 2 - 4 x - 6ln x , f ′( x ) = 2 x - 4 - = , x x

6

由 f ′( x )>0 得 ( x + 1)( x - 3)>0 ,解得 x >3 或 x < - 1. 注意到 x >0 ,所以函数 f ( x ) 的单调递增区间 是 (3 ,+ ∞) . 由 f ′( x )<0 得 ( x + 1)( x - 3)<0 , 解得- 1< x <3 , 注意到 x >0 , 所以函数 f ( x ) 的单调递减区间是 (0,3) . 综上所述,函数 f ( x ) 在 x = 3 处取得极小值,这个极小值为 f (3) =- 3 - 6ln3. (2) f ( x ) = x 2 - 4 x + (2 - a )ln x ,所以 f ′( x ) = 2 x - 4 + 设 g(x)= 2x2- 4x+ 2- a. ①当 a ≤0 时,有 Δ = 16 - 4×2×(2 - a ) = 8 a ≤0 ,此时 g ( x )≥0 ,所以 f ′( x )≥0 , f ( x ) 在 (0 ,+ ∞) 上 单调递增; ②当 a >0 时, Δ = 16 - 4×2×(2 - a ) = 8 a >0 , 令 f ′( x )>0 ,即 2 x 2 - 4 x + 2 - a >0 ,解得 x >1 + 令 f ′( x )<0 ,即 2 x 2 - 4 x + 2 - a <0 ,解得 1 - 当 0< a <2 时,1 - 递减区间是 2a 2a 或 x <1 - , 2 2 2- a 2x2- 4x+ 2- a = . x x

2a 2a < x <1 + . 2 2

2a 2 a? ? 2a ? >0 ,此时函数的单调递增区间是 ?0 , 1 - , 1+ ,+ ∞ ,单调 2 2 ? ? 2 ? ?

?1 - 2 a , 1 + 2 a ?; 2 2 ? ?
当 a ≥2 时, 1- 2a 2a ? 单调递减区间是 ?0 , 1 + 2 a ?. ≤0 , 函数的单调递增区间是 ?1 + ,+ ∞ , 2 2 2 ? ? ? ? 2a? , 2 ?

综上可知,当 a ≤0 时,函数在 (0 ,+ ∞) 上单调递增;当 0< a <2 时,函数在 ?0 , 1 -

?

2a 2a? 2a ?1 + 2 a ,+ ∞ ?上单调递增, ? 在 ?1 - 上单调递减; 当 a ≥2 时, 函数在 ?1 + , 1+ ,+ ∞ 2 2 2 ? 2 ? ? ? ? ? 上单调递增,在 ?0 , 1 +

?

2 a? 上单调递减. 2 ? 2a ( a ∈ R) . x

20 . ( 本小题满分 12 分 ) 已知函数 f ( x ) = x 2 +

(1) 若 f ( x ) 在 x = 1 处的切线垂直于直线 x - 14 y + 13 = 0 ,求该点的切线方程,并求此时函数 f ( x ) 的单调区间; (2) 若 f ( x )≤ a 2 - 2 a + 4 对任意的 x ∈ [1,2] 恒成立,求实数 a 的取值范围. 2a 解: (1) f ′( x ) = 2 x - 2 ,根据题意 f ′(1) = 2 - 2 a =- 14 ,解得 a = 8 ,此时切点坐标是 (1,17) , x 故所求的切线方程是 y - 17 =- 14( x - 1) ,即 14 x + y - 31 = 0. 当 a = 8 时, f ′( x ) = 2 x -
3 16 2 ? x - 8 ? , 2= x x2

令 f ′( x )>0 ,解得 x >2 ,令 f ′( x )<0 ,解得 x <2 且 x ≠0 ,故函数 f ( x ) 的单调递增区间是 (2 ,+ ∞) ; 单调递减区间是 ( - ∞ , 0) 和 (0,2) . (2) f ′( x ) = 2 x -
3 2a 2?x - a? . 2= x x2

①若 a <1 , 则 f ′( x )>0 在区间 [1,2] 上恒成立, f ( x ) 在区间 [1,2] 上单调递增, 函数 f ( x ) 在区间 [1,2]
7

上的最大值为 f (2) = 4 + a ; ②若 1≤ a ≤8 ,则在区间 (1 , 3 3 a ) 上 f ′( x )<0 ,函数单调递减,在区间 ( a , 2) 上 f ′( x )>0 ,函数

单调递增,故函数 f ( x ) 在区间 [1,2] 上的最大值为 f (1) ,f (2) 中的较大者,f (1) - f (2) = 1 + 2 a - 4 - a = a - 3 ,故当 1≤ a ≤3 时,函数的最大值为 f (2) = 4 + a ,当 3< a ≤8 时,函数的最大值为 f (1) = 1 + 2a; ③当 a >8 时, f ′( x )<0 在 区间 [1,2] 上恒成立,函数 f ( x ) 在区间 [1,2] 上单 调递减,函数的最大 值为 f (1) = 1 + 2 a . 综上可知,在区间 [1,2] 上,当 a ≤3 时,函数 f ( x ) max = 4 + a ,当 a >3 时,函数 f ( x ) max = 1 + 2 a . 不等式 f ( x )≤ a 2 - 2 a + 4 对任意的 x ∈ [1,2] 恒成立等价于在区间 [1,2] 上, f ( x ) max ≤ a 2 - 2 a + 4 , 故当 a ≤3 时, 4 + a ≤ a 2 - 2 a + 4 ,即 a 2 - 3 a ≥0 ,解得 a ≤0 或 a = 3 ;当 a >3 时, 1 + 2 a ≤ a 2 - 2 a + 4 , 即 a 2 - 4 a + 3≥0 ,解得 a >3. 综合知当 a ≤0 或 a ≥3 时,不等式 f ( x )≤ a 2 - 2 a + 4 对任意的 x ∈ [1,2] 恒成立. 1 21 . ( 本小题满分 14 分 ) 设函数 f ( x ) 定义在 (0 ,+ ∞) 上, f (1) = 0 ,导函数 f ′( x ) = , g ( x ) = f ( x ) x + f ′( x ) . (1) 求 g ( x ) 的单 调区间和最小值; 1? 1 (2) 讨论 g ( x ) 与 g ? ?x ?的大小关系; (3) 是否存在 x 0 >0 ,使得 |g ( x ) - g ( x 0 )|< x 对任意 x >0 成立?若存 在,求出 x 0 的取值范围;若不存在,请说明理由. 1 解: (1) 由题设易知 f ( x ) = ln x , g ( x ) = ln x + , x ∴ g ′( x ) = x- 1 ,令 g ′( x ) = 0 得 x = 1 , x2

当 x ∈ (0,1) 时, g ′( x )<0 ,故 (0,1) 是 g ( x ) 的单调减区间, 当 x ∈ (1 ,+ ∞) 时,g ′( x )>0 ,故 (1 ,+ ∞) 是 g ( x ) 的单调增区间,因此,x = 1 是 g ( x ) 的唯一极值点, 且为极小值点,从而是最小值点所以最小值为 g (1) = 1.
2 1? ?1 ?= 2ln x - x + 1 ,则 h ′( x ) =- ? x -21 ? ,当 x = 1 时, h (1) (2) g ? =- ln x + x ,设 h ( x ) = g ( x ) - g ?x ? ?x ? x x

1? = 0 ,即 g ( x ) = g ? ?x ?,当 x ∈ (0,1) ∪ (1 ,+ ∞) 时, h ′ ( x )<0 , h ′(1) = 0 ,因此, h ( x ) 在 (0 ,+ ∞) 内单 1? ?1 ?. 调递减,当 0< x <1 时, h ( x )> h (1) = 0 ,即 g ( x )> g ? ,当 x >1 时, h ( x )< h (1) = 0 ,即 g ( x )< g ?x ? ?x ? (3) 满足条件的 x 0 不存在.证明如下: 证法一 1 2 假设存在 x 0 >0 ,使 |g ( x ) - g ( x 0 )|< 对任意 x >0 成立,即对任意 x >0 ,有 ln x < g ( x 0 )<ln x + , x x

(*) 但对上述 x 0 ,取 x 1 = e g ( x 0 ) 时,有 ln x 1 = g ( x 0 ) ,这与 (*) 左边不等式矛盾,因此,不存在 x 0 >0 , 1 使 |g ( x ) - g ( x 0 )|< 对任意 x >0 成立. x 1 假设存在 x 0 >0 , 使 |g ( x ) - g ( x 0 )|< 对任意的 x >0 成立. 由 (1) 知, g ( x ) 的最小值为 g ( x ) = 1 , x 1 又 g ( x ) = ln x + >ln x ,而 x >1 时, ln x 的值域为 (0 ,+ ∞) ,∴ x ≥1 时, g ( x ) 的值域为 [1 ,+ ∞) ,从 x 证法二 1 而可得一个 x 1 >1 ,使 g ( x 1 )≥ g ( x 0 ) + 1 ,即 g ( x 1 ) - g ( x 0 )≥1 ,故 |g ( x 1 ) - g ( x 0 )|≥1> ,与假设矛盾. x1

8


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