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3.2直线的方程


3.2

直线的方程

主要内容
3.2.1 直线的点斜式方程 3.2.2 直线的两点式方程 3.2.3 直线的一般式方程

3.2.1

直线的点斜式方程

在平面直角坐标系内,如果给定一条直线 l 经 过的一个点 P ( x , y ) 和斜率 k ,能否将直线上所 有的点的坐标 ( x, y )满足的关系表示出来呢? y l
0 0 0

P 0
O x

点斜式方程
直线 l 经过点 P0 (x0 , y0 ),且斜率为 k ,设点 P( x, y ) 是直线上不同于点 P 的任意一点,因为直线 l 的斜率
0

为 k ,由斜率公式得:

y ? y0 k= , x ? x0
即: 点斜式方程

y
P

l

P 0
O x

y ? y0 = k ( x ? x0 )

点斜式方程
(1)过点 P0 ( x0 , y0 ) ,斜率是 k 的直线 l 上的 点,其坐标都满足方程 y ? y0 = k ( x ? x0 ) 吗? 在过点 P0 ( x0 , y0 ) 斜率为 k 的直线 l 上吗? 上吗? 上述两条都成立, 上述两条都成立,所以这个方程 的方程. 就是过点 P0 ( x0 , y0 ) 斜率为 k 的直线 l 的方程. (2)坐标满足方程 y ? y0 = k ( x ? x0 ) 的点都

y ? y0 = k ( x ? x0 )

轴所在直线的方程是什么? (1)x 轴所在直线的方程是什么? 当直线 l的倾斜角为 0° 时,即 tan 0° = 0. 这时直线 l 与

x

轴平行或重合, 轴平行或重合,

l 的方程就是
y ? y 0 = 0 ,或 y = y 0

y

P l 0
O x

轴所在直线的方程是什么? (2) y 轴所在直线的方程是什么? 直线没有斜率, 当直线 l 的倾斜角为 90 ° 时,直线没有斜率,这 轴平行或重合, 时,直线 l 与 y 轴平行或重合,它的方程不能用点斜 式表示.这时,直线 l 上每一点的横坐标都等于 x0, 式表示.这时, 所以它的方程就是 y l

x ? x0 = 0 ,或 x = x0
O

P 0
x

经过点P 且倾斜角为60 例1 直线 l 经过点 0(-2,3),且倾斜角为 0, 且倾斜角为 求直线l的点斜式方程 的点斜式方程, 求直线 的点斜式方程,并画出直线 l.

y P P0 o x

直线的斜截式方程
如果直线 l 的斜率为 k ,且与 y 轴的交点为 (0, b ) 得直线的点斜式方程, 得直线的点斜式方程, 也就是: 也就是: y = kx + b 我们把直线与 y 轴交点的纵坐标 叫做直线在y轴上的截距 截距。 叫做直线在y轴上的截距。

y ? b = k (x ? 0 )
y

l
b

P 0
O

x

轴上的截距确定, 该方程由直线的斜率与它在 y 轴上的截距确定, 所以该方程叫做直线的斜截式方程 简称斜截式 斜截式方程, 斜截式. 所以该方程叫做直线的斜截式方程,简称斜截式.

例2 已知直线 l1 : y = k1 x + b1,l2 : y = k 2 x + b2 , 试讨论:(1 的条件是什么?( ?(2 试讨论:(1) l1 // l2 的条件是什么?(2) l ⊥ l :( 1 2 的条件是什么? 的条件是什么? 解: l1 : y = k1 x + b1,l2 : y = k 2 x + b2

l1 // l2
l1 ⊥ l2

且 1 k1 = k2 ,且 b ≠ b2;

k1k2 = ?1.

例3 求下列直线的斜截式方程: (1)经过点A(-1,2),且与直线 y=3x+1垂直; (2)斜率为-2,且在x轴上的截距为5.

例4 已知直线 l 的斜率为 1 ,且与两坐标轴围 成的三角形的面积为4 求直线 的方程 的方程. 成的三角形的面积为4,求直线l的方程.
2

小结
1. 直线的点斜式方程: y ? y0 = k ( x ? x0 ) 2. 直线的斜截式方程:

y = kx + b

3. 特殊情况 ①直线和x轴平行时,倾斜角α=0°

y ? y0 = 0或y = y0
②直线与x轴垂直时,倾斜角α=90°

x ? x0 = 0或x = x0

作业
P95练习:1,2,3,4 P100习题3.2 A组:1,5,6,10.

3.2.2 直线的两点式方程

已知直线经过两点P 已知直线经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2), ),如何求出这两个点的直线方程呢 如何求出这两个点的直线方程呢? (x1≠x2 ,y1≠y2),如何求出这两个点的直线方程呢? 经过一点,且已知斜率的直线,可以写出它 的点斜式方程. 可以先求出斜率,再选择一点,得到点斜式 方程.

两点式方程
根据两点P 根据两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),
y2 ? y1 斜率 k = x2 ? x1

y
P1(x1,y1)

l

代入y ? y0 = k ( x ? x0 )得
y2 ? y1 y ? y1 = ( x ? x1 ) x2 ? x1
P2(x2,y2) ,

x

两点式

y ? y1 x ? x1 = y2 ? y1 x2 ? x1

截距式方程
例1. 已知直线经过点A(a,0),B(0,b), a≠0,b≠0,求直线方程 y
B(0,b) ,

解:代入两点式方程得

l
A(a,0)

y?0 x?a = b?0 0?a
化简得 x

x y + =1 a b
横截距 纵截距

截距式

中点坐标公式
已知两点P 则线段P 已知两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)则线段P1P2的中 的坐标是什么? 点P0的坐标是什么? y
A(x1,y1)

中点
B(x2,y2) ,

x1 + x2 ? ?x= 2 ? ? ? y = y1 + y 2 ? ? 2
x1 + x2 y1 + y2 , ) P0的坐标为 ( 2 2

x

),B 例2 已知三角形的三个顶点 A(-5,0), ( , ), ),C( , ), ),求 边所在直线的方程 边所在直线的方程, (3,-3), (0,2),求BC边所在直线的方程, , ), 以及该边上中线所在直线的方程. 以及该边上中线所在直线的方程

y C A o M x B

求经过点P( 4), 例3.求经过点P(-5,4),且在两坐标轴上的截 求经过点P(距相等的直线方程. 距相等的直线方程.

y P o x

例4 求经过点P(0,3),且在两坐标轴上的截距 求经过点P(0,3), P(0 之和为2的直线方程. 之和为2的直线方程.

经过点P(1 2), P(1, 例5. 已知直线 l 经过点P(1,2),并且点 A(2,3)和点 B(4, 5)到直线 的距离相等, 到直线l A(2,3)和点 B(4,-5)到直线 的距离相等,求 直线l 的方程. 直线 的方程.

y P o

A

x B

直线方程小结
y ? y1 x ? x1 = y2 ? y1 x2 ? x1
y ? y0 = k ( x ? x0 )

两点式 两点坐标 点斜式 两个截距 截距式

x y + =1 a b

作业
P97练习:1,2. P100习题3.2A组:3,4,8,9,11.

3.2.3 直线的一般式方程

1. 平面直角坐标系中的每一条直线都可以 用一个关于x,y的二元一次方程表示吗?

2. 每一个关于x,y的二元一次方程都表示 一条直线吗?

讨论
1. 直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式 都是关于X,y的二元一次方程

2. 经过点P(x0,y0)且斜率不存在的直线的方 程: x-x0=0 可以看成y的系数为0的二元一次方程.

3.对于二元一次方程 1)当B≠0时可化为

Ax+By+C=0(A,B不全为零)
y=?
?

A C x? B B

表示经过点(0, 的直线. 2)

A B

),斜率k为

?

C B

C 当B=0时,A≠0,方程可化为 x = ? A

表示垂直于x轴的直线.

直线的一般式方程
1. 所有的直线都可以用二元一次方程表示 2. 所有二元一次方程都表示直线

Ax + By + C = 0
(其中A,B不同时为0) 此方程叫做直线的一般式方程

求直线的点斜式和一般式方程.

4 例1 已知直线经过点A(6,-4),斜率为 ? , 3

例2 把直线l 的一般式方程 x-2y+6=0化成斜 截式,求出直线l 的斜率以及它在x轴与y轴上的截 距,并画出图形.

两条直线平行和垂直的条件

l1 : A1 x + B1 y + C1 = 0
重合

l2 : A2 x + B2 y + C2 = 0

A1 B1 C1 = = A2 B2 C 2

平行

A1 B1 C1 l1 // l2 ? = ≠ A2 B2 C2

垂直

l1 ⊥ l2 ? A1 A2 + B1 B2 = 0

例3 已知直线 l1:ax+( +1)y-a=0 x+(a+1)y x+( +1)y- =0 和 l2:(a+2)x+2( +1)y-4=0, +2)x+2(a+1)y +2)x+2( +1)y-4=0, //l 的值. 若l1// 2,求a的值. 的值

已知直线l x+y+2=0, 例4 已知直线 1:x-ay-1=0和l2:a2x+y+2=0, y 1=0和 的值. 若l1⊥l2,求a的值. 的值

小结
斜率和一点坐标 斜率k和截距b 点斜式 斜截式 两点式 两点坐标 点斜式 两个截距 截距式 一般式

y ? y0 = k ( x ? x0 )

y = kx + b
y ? y1 x ? x1 = y2 ? y1 x2 ? x1
y ? y0 = k ( x ? x0 )
x y + =1 a b

Ax + By + C = 0

小结
1.直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式都可以 化成一般式. 反之不一定. 2. 特殊的直线方程 如x+2=0, 2y-3=0. 有时不存在点斜式或斜截式、两点式、截距式. 3. 根据一般方程也能很快判断两条直线的位置关系. 4. 一般不特别指明时直线方程的结果都要化成一般 式.

作业
P99-100练习:1,2. P101习题3.2B组:1,2,5.


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