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谈高中函数作图的几种方法

龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 谈高中函数作图的几种方法 作者:陈兴祥 来源:《新教育时代》2014 年第 24 期 摘 要:函数作为高中数学教学内容的第一重要模块,不论是在高考的试题比例中,还是 在实际的生活运用中,都占有很大的比例。高中函数涉及到的知识包括各类函数的定义与概 念、图像及性质。其中函数的图像是非常重要的,因为它能表示函数的解析,它能直观反映函 数的性质,它能直接解答部分实际或数学问题。因此,高中函数作图是高中数学教学中非常 重要的知识点。 关键词:高中数学 ; 函数 ; 函数作图 ; 方法 数形结合是高中数学知识中很重要的一种学习方法,并且很有用,能够灵活地运用数形结 合的方法,可以进一步帮助学生掌握数学知识。尤其是在函数和几何中,数形结合能够有效地 帮助学生快速的解决问题,甚至省去相对较为复杂的计算,所以,教会学生掌握函数作图的方 法是非常重要的。 函数作图是函数学习的重要组成部分,也是辅助学生更好的学习函数的重要方法,因为, 从函数图像中,我们可以看出函数的单调性、最大值、最小值、周期、奇偶性等重要性质。 因此,我们可以看出数形结合对于高中函数解题是非常重要的方法,所以,我们需要掌握 好函数作图的方法。 一、列表描点法 该作图法是高中函数作图中最基本的,也是最简单的作图方法。列表描点法作图分为三个 步骤: 第一步,列表:首先需要确定函数 f(x)的定义域,其次在函数定义域内取若干 x 的值, 然后对应 x 的取值列出相应的函数值表。 第二步,描点:在列出表格之后,再在平面直角坐标系中描出相应的点。 第三步,用光滑的曲线依次连接相应的点,得到的光滑图形便是所求函数的图像。 二、利用图像特征作图 利用图像的特征作图即为简化的描点法,它主要依靠学生对于函数图像的熟悉程度决定 的。当我们知道需要作图的函数图像的大概形状和特征时,我们就只需要找到图像关键的点, 然后依次连接关键点便也可以得到函数的图像。而没有必要严格的按照描点法画图。 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 但是,想要利用图像的特征作图,首先就得需要学生对于各种函数图像的特征有着准确的 了解和定位,看到函数的解析式便能够明确这是什么函数,这个函数的基本图像大概是什么样 子,然后,在此基础上,加上具体函数的具体数字加以计算,得到关键点的数字,再对应坐标 描点,才能够得到函数的图像。例如,一次函数的图像就是一条简单的直线,所以,只需要找 到任意两个不同的点,链接点便可以得到函数图像;二次函数的图像是一条抛物线,所以在作 二次函数图像时需要确定图像的顶点,对称轴,函数图像开口方向,以及函数图像与坐标轴的 交点即可,然后链接这些点,就能够画出二次函数的图像。 另一类的图像和英文字母 N(a>0)或倒写的 N(a<0)相似。所以对于三次函数只要根据 首项系数和极值点就可以确定其草图。 四次函数 y=ax4+bx3+cx2+dx+e 图像也有两种基本类型:一类是抛物线型;另一类的图像和 英文字母 W(a>0)型或 M(a<0)型相似,所以对于四次函数只要根据首项系数确定张口方 向,再结合极值点草图立马画出。 利用函数图像特征作图是数学中比较常用的图像作图方法,因为只需要按照熟知的函数图 像形状,再确定几个关键点便可以做出函数的草图,节约时间,错误率也相对较少。所以,在 教学过程中,教师和学生都多常采用此方法作图。 三、利用基本函数的图像,通过变换作图 利用基本函数的图像,通过变化作图主要就是找到函数的基本函数,然后根据基本函数的 图像,再经过解析式所需求的变换,来画出所求图像。例如一次函数的基本函数就是 y=x,二 次函数的基本函数则是 y=x2,所有的二次函数都是在此基本函数的基础上经过平移、对称、 伸缩等变换,得到的新的图像。 函数图像的变换主要有: 1.平移变换(1)将 y=f(x)的图像向左平移︳a︳—个单位可得到 y=f(x+a)(a>0)的 图像,将 y=f(x)的图像向右平移︳a︳个单位可得到 y=f(x+a)(a﹤0)的图像.(2)将 y=f (x)的图像向上平移︳b︳个单位可得到 y=f(x)(b>0)的图像,将 y=f(x)的图像向下平 移︳b︳个单位可得到 y=f(x)+b(b﹤0)的图像. 2.对称变换:(1)将 y=f(x)的图像做关于 x 轴的对称图像可以得到 y=-f(x)的图像; (2)将 y=f(x)的图像做关于 y 轴的对称图像可以得到 y=f(-x)的图像;(3)将 y=f(x)的 图像做关于原点的对称图像可以得到 y=-f(-x)的图像。 3.翻折变换(1)将 y=f(x)的图像在 x 轴上方的部分保持不变,将 x 轴下方的部分翻折 到 x 轴上方,可得 y=︳f(x)︳的图像。(2)将 y=f(x)的图像在 y 轴左侧的部分去除,再 做 y 轴右侧部分的图像关于 y 轴的对称图像,可得 y=f(︳x︳)的图像。 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 4.伸缩变换(1)将 y=f(x)的图像上所有点的横坐标变为原来的 ; ; ; ;,纵坐标不变可以 得到 y=f(ax)(a>0)的图像。将 y=f(x)的图像上所有点的横坐标不变,纵坐标变为原来 的 b 倍可以得到 y=bf(x)(b>0)的图像。当 a>0 或 b>0 时可以先按对称变换处理后再做伸缩 变换。 一般地,利用函数的基本图像通过变化作图需要作图者对于函数的基本图像铭记于心,还 需要对于函数变换的技巧熟练掌握,不然很容易在变换的过程中出现错误,从而影响图像的正 确度。 四、用多媒体软件做函数图像,高中生可以用的有几何画板和 Excel 1、用几何画板做函数图像,从菜单中选择“文件”→“新建文件”命令,再从菜单栏中选择 “绘图”→“定义坐标系”命令,再从菜单栏中选择“绘图”→“绘制新函数”命令,弹出以下对话 框。然后在对话框里编辑函数如:“f(x)=x3-2x”

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