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2011-2012年高考总复习一轮名师精讲课件:第60讲函数极限与函数的连续性


? 第六十讲 性

函数极限与函数的连续

回归课本 1.当 x→∞时,函数 f(x)的极限 当自变量 x 取正值并且无限增大时,如果函数 f(x)无限趋近于 一个常数 a,就说当 x 趋向于正无穷大时,函数 f(x)的极限是 a,记 作 lim f(x)=a ,也可记作当 x→+∞时,f(x)→a.
x→+∞

当自变量 x 取负值并且绝对值无限增大时,如果函数 f(x)无限 趋近于一个常数 a,就说当 x 趋向于负无穷大时,函数 f(x)的极限 是 a,记作 lim f(x)=a ,也可记作当 x→-∞时,f(x)→a.
x→-∞

如果 lim f(x)=a 且 lim f(x)=a ,那么就说当 x 趋向于无穷大
x→+∞ x→-∞

时, 函数 f(x)的极限是 a, 记作limf(x)=a , 也记作当 x→∞, f(x)→a.
x→∞

对于常数 f(x)=C(x∈R),也有limC=C.
x→∞

2.当 x→x 0 时,函数 f(x)的极限 当自变量 x 无限趋近于常数 x 0(但 x≠x 0)时, 如果函数 f(x)无限 趋近于一个常数 a,就说当 x 趋近于 x0 时,函数 f(x)的极限是 a, 记作 lim f(x)=a ,也可记作当 x→x 0 时,f(x)→a, lim f(x)也叫做 x→x0 x→x0 函数 f(x)在点 x=x 0 处的极限.

3.函数的左、右极限 如果当 x 从点 x=x0 左侧(即 x<x 0)无限趋近于 x0 时,函数 f(x) 无限趋近于常数 a,就说 a 是函数 f(x)在点 x0 处的左极限,记作 lim - f(x)=a . x→x0 如果当 x 从点 x=x0 右侧(即 x>x 0)无限趋近于 x0 时,函数 f(x) 无限趋近于常数 a 时,就说 a 是函数 f(x)在点 x 0 处的右极限,记 作 lim + f(x)=a . x→x0 且 lim -f(x)= lim + f(x)=a? lim f(x)=a. n→x0 x→x0 x→x0

4.函数极限的四则运算法则 如果 lim f(x)=a, lim g(x)=b,那么 x→x0 x→x0 lim [f(x)±g(x)]=a±b; x→x0 lim [f(x)·g(x)]=a·b; x→x0 f(x) a lim = (b≠0). x→x0 g(x) b

5.函数连续性的概念 (1)如果函数 f(x)在点 x=x 0 处及其附近有定义,而且 lim f(x) x→x0 =f(x0),就说函数 f(x)在点 x0 处连续. (2)如果函数 f(x)在点 x=x0 处及其右侧(或左侧)有定义,而且 lim + f(x)=f(x0)[或 lim - f(x)=f(x0)],就说函数 f(x)在点 x0 处右连 x→x0 x→x0 续(或左连续). (3)若 f(x)在(a,b)内每一点都连续,且在 a 点右连续,在 b 点 左连续,则称 f(x)在闭区间[a,b]上连续.

6.连续函数的性质 (1)最大值、最小值定理 如果函数 f(x)在闭区间[a,b]上是连续函数,那么 f(x)在闭区 间[a,b]上有最大值和最小值. (2)如果函数 f(x),g(x)在点 x=x0 处连续,那么 f(x)±g(x), f(x) f(x)·g(x), (g(x)≠0)在点 x=x0 处都连续. g(x)

? ? ? ?

考点陪练 1.下列命题正确的是( ) A.函数极限的值是函数值 B.函数在x=x0 处的左、右极限都存在,则函 数在x=x0处的极限存在 ? C.函数在x=x0处无定义,则函数在x=x0的极 限不存在 ? D.函数在x=x0的极限存在,函数在x=x0处可 能无定义

解析:函数在 x=x0 的极限存在, 其意义为 lim -f(x) = +f(x). x→x0 x→x0 此极限值与 f(x0)没有关系, 即 f(x)在 x=x0 处可有定义也可无定义.

? 答案:D

(1+x)m+a 2. 已知 m∈N*, b∈R, a, 若lim =b, a·b=( 则 x x→0 A.-m C.-1 解析:由题意知 1+Cm1x+Cm 2x 2+…+Cmmxm+a lim =b. x x→0 ∴a+1=0,b=Cm1=m,∴a·b=-m. B.m D.1

)

? 答案:A

x2-3x+2 3.lim 等于( x2-1 x→1 1 A.- 2 C.1 1 B. 2 D.0

)

x2-3x+2 (x-2)(x-1) 解析:lim =lim x2-1 x→1 x→1 (x+1)(x-1) x-2 1 =lim =- . 2 x+1 x→1

? 答案:A

an 1+abn 1 4.设正数 a,b 满足lim (x2+ax-b)=4,则lim n-1 = a +2bn x→2 n→∞
+ -

(

) A.0 1 C. 2 1 B. 4 D.1

a 1 解析:由条件可得 4+2a-b=4? = , b 2 an 1+abn 1 lim n- 1 =lim a +2bn n→∞ n→∞
+ -

?a?n- 1 a ? ? +a a 1 ?b ? = = .故选 ? a?n- 1 2b 4 ? ? +2b ?b?
2

B.

? 答案:B

5.

在 x=2 处连续,则 a=________.
3x+2 x-2 2 1 解析:∵x>2 时,f(x)= 2 - = 2 = ,且 f(x)在 x -4 x-2 x -4 x+2 x=2 处连续, 1 1 1 ∴x=2 时,f(x)= = ,∴a= . 4 2+2 4
1 答案: 4

? 类型一 x→∞型函数的极限 ? 解题准备:在数列极限中n→∞.只表示n→+∞, 在函数极限中,x→∞表示x→+∞和x→-∞两种 变化趋势,故在研究或讨论“x→∞时f(x)的极限” 时需分别讨论x→+∞和x→-∞两种变化趋势下 【典例 1】 求下列函数的极限: 的f(x)的极限. 2x2+x-4
(1)lim
x→∞

3x3-x2+1



(2)lim ( x2+1- x2-1);
x→∞

4x (3) lim x ; 4 -1 x→+∞ 4x·2x+1 (4) lim . x·3x-1 x→+∞

[解析]

2x2 x 4 + 3 - 3 2x2+x-4 x3 x x (1)lim 3 2 =lim 3 x2 1 3x -x +1 x→∞ x→∞ 3x - 3 + 3 x3 x x

0+0-0 = =0. 3-0+0 (2)lim ( x2+1- x2-1)
x→∞

( x2+1- x2-1)( x2+1+ x2-1) =lim x2+1+ x2-1 x→∞ =lim
x→∞

2 =0. 2 2 x +1+ x -1

4x (3) lim x = lim 4 -1 x→+∞ x→+∞

1 = =1. ?1? x ?1? x 1- ? ? 1- lim ? ? ?4? x→+∞ ? 4? 1
?2? x 1 ? ? + 4× x·3x ?3?

4x·2x+1 (4) lim = lim x·3x-1 x→+∞ x→+∞
? 2?x 1 ? ?+ lim [4× x·3x ? 3? x→+∞ = ? 1 ? ?1- x? lim x·3 ? x→+∞ ?

1 1- x x·3

]

4×0+0 = =0. 1-0

类型二

x→x 0 型函数的极限

∞ 0 解题准备:对于∞-∞, , 等不同形式的极限问题主要 ∞ 0 涉及的解题方法有:“消因子法”,即分解出(x-a)型因式,消去 公因式;“因式有理化”,即题目中有无理式,先乘以有理化因 式后,消去因式.

【典例 2】 (1)lim
x→2

求下列各式的极限:

? 4 1 ? ? 2 ?; - x -4 x-2? ?

x (2)lim ; x→0 |x| cosx (3) limπ . x x x→ 2 cos -sin 2 2

[解析]

4-(x+2) -1 1 (1)原式=lim =lim =- . 4 x2-4 x+2 x→2 x→2

x x x x x =1, lim 而 =-1,lim ≠ lim ∴lim 不 (2)∵ lim |x| |x| |x| x→0- |x| x→0 |x| x→0+ x→0- x→0+ 存在. cos -sin 2 2 (3)原式= limπ x x x→ 2 cos -sin 2 2 = limπ x→ 2
? x x? ?cos +sin ?= 2 2? ?
2x 2x

2.

类型三

函数的连续性

解题准备:函数 y=f(x)在点 x0 处连续的充要条件是 lim f(x) x→x0 =f(x0),因此,判断一个函数在点 x=x0 处连续,一般分三步:① 判断 f(x)在点 x=x0 处是否有定义;②判断 lim f(x)是否存在;③ x→x0 判断 lim f(x)与 f(x0)是否相等,即函数 f(x)在点 x0 处的极限值等于 x→x0 这一点的函数值.

【典例 3】

问 a,b 为何值

时,f(x) 在定义区间内连续?

[解析]

lim f(x)= lim (x+a)=a=f(0).
x→0- x→0-

lim f(x)= lim (x2+1)=1,
x→0+ x→0+

∴a=1 时,f(x)在 x=0 处连续. lim f(x)= lim (x2+1)=2=f(1),
x→1- x→1-

b lim f(x)= lim =b. x→1+ x→1+ x ∴b=2 时,函数 f(x)在 x=1 处连续,而初等函数在其定义域 内均为连续函数, ∴当 a=1,b=2 时,f(x)在(-∞,+∞)内连续.

?x-1 ? 探究:设 f(x)=? ?2-x ?

(0<x≤1), (1<x≤3).

(1)求 f(x)在 x=1 处的左、右极限,并判断在点 x=1 处 f(x)的 极限是否存在; (2)判断 f(x)在 x=1 处是否连续; (3)求函数 f(x)的连续区间;

? 分析:判断函数在某点处的极限是否存在,可 判断函数在该点处的左右极限是否存在且相等, 判断函数在某点处是否连续,需要判断函数在 该点处是否有定义,极限是否存在,或极限值 是否为函数在该点处的函数值,若是连续函数 解析:(1) lim f(x)= lim (x-1)=0, x 1 x 1 的极限,即是函数在该点处的函数值.
→ - → -

lim f(x)= lim (2-x)=1,
x→1+ x→1+

由于 lim f(x)≠ lim f(x),故limf(x)不存在.
x→1- x→1+ x→1

(2)由上式可知, 函数 f(x)在 x=1 处极限不存在, 所以函数 f(x) 在 x=1 处不连续.

(3)由函数的解析式可知函数的连续区间为(0,1),(1,3]. (4)由连续函数的定义可求得 =f(2)=0.
? 1? 1 ? ?=- ,limf(x) =f 2 2 x →2 ? ?

? 点评:注意函数在某点处的极限存在与函数在 该点处连续之间的关系,若函数在某点处连续, 则必须保证函数在该点处有意义,且在该点处 极限存在且极限值为函数在该点处的函数值.

快速解题

技法

求lim
x→3

x+1-2 . x-3

快解:设 x+1=t,则 x=t2-1. t-2 t-2 原式=lim 2 =lim t -1-3 t→2 t2-4 t→2 t-2 1 1 =lim =lim = . 4 t→2 (t+2)(t-2) t→2 t+2

? 点评:把无理式部分设为新元,再平方求出x等 于t的式子,掌握这一操作过程.


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