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2011届高考数学(一轮)复习精品学案课件:第7章 立体几何—空间向量


学案7

空间向量及其运算

1.空间向量 1.空间向量 (1)定义:与平面向量一样,在空间,我们把具 )定义:与平面向量一样,在空间, 方向 的量叫做空间向量, 有 大小 和 的量叫做空间向量,向量 的 大小 叫做向量的长度或模. 叫做向量的长度或模

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(2)表示方法:与平面向量一样,空间向量也用 )表示方法:与平面向量一样, 有向线段表示.有向线段的长度表示向量的模 如图所示, 有向线段的长度表示向量的模.如图所示 有向线段表示 有向线段的长度表示向量的模 如图所示, 向量a的起点是 的起点是A,终点是B,则向量a 向量 的起点是 ,终点是 ,则向量 也可以记作AB, 也可以记作 ,其模记为 |a| 或 |AB| . (3)特殊向量 ) 我们规定, ①零向量:我们规定, 零向量 我们规定 0 . 向量, 向量,记为 ②单位向量: 单位向量: 模为1 模为 长度为0 长度为 的向量叫做零

的向量称为单位向量. 的向量称为单位向量

③相反向量: 与向量 长度相等而方向相反的向量 , 相反向量: 与向量a长度相等而方向相反的向量 称为a的相反向量,记为 称为 的相反向量,记为-a. 的相反向量 返回目录

方向相同且模相等 的向量称为相 ④相等向量: 相等向量: 等向量.因此 在空间, 因此, 等向量 因此,在空间,同向且等长的有向线段表示同一 向量或相等向量. 向量或相等向量 2.空间向量的数乘运算 与空间向量a的乘积 (1)定义:实数 与空间向量 的乘积 )定义:实数λ与空间向量 一个向量,称为向量的数乘运算. 一个向量,称为向量的数乘运算 (2)向量 与λa的关系 )向量a与 的关系 ①当λ>0时,λa与a方向 时 与 方向 ②当λ=0时,λa= 时 ③当λ<0时,λa与a方向 时 与 方向 的长度是a的长度的 ④λa的长度是 的长度的 的长度是 0 相同 . . 相反 . |λ| 倍,即|λa|= λa 仍是

|λ||a|

. 返回目录

(3)运算律 ) ①分配律:λ(a+b)= 分配律: ②结合律:λ(?a)=(λ?)a. 结合律: 3.共线向量 (1)共线向量的定义 ) 与平面向量一样,如果表示空间向量的有向线段所在 与平面向量一样, 互相平行或重合 的直线 ,则这些向量叫做共线 向量或平行向量. 向量或平行向量 (2)共线向量定理 ) 对于空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是 , ∥ 的充要条件是 对于空间任意两个向量 a=λb . 存在实数λ,使 存在实数 使 (3)共线向量的推论 ) 返回目录 λa+λb .

如果l为经过已知点 且平行于已知非零向量 的直线, 如果 为经过已知点A且平行于已知非零向量 的直线, 为经过已知点 且平行于已知非零向量a的直线 那么对于空间任意一点O, 在直线l上的充要条件 那么对于空间任意一点 ,点P在直线 上的充要条件 在直线 是存在实数t,满足等式 满足等式OP=OA+ta ①, 是存在实数 满足等式 其中a叫做直线 的 其中 叫做直线l的 叫做直线 方向向量 .

如图所示,若在 上取 上取AB=a, 如图所示,若在l上取 , 则①式可化为OP= OA+tAB . 式可化为 4.共面向量 (1)共面向量的定义: )共面向量的定义: 通常把 平行于同一个平面 (2)共面向量定理: )共面向量定理: 返回目录 的向量,叫做共面向量 的向量,叫做共面向量.

如果两个向量a,b不共线,则向量 与向量 与向量a,b共面的充 如果两个向量 不共线,则向量p与向量 共面的充 不共线 要条件是存在唯一的实数对(x,y),使p=xa+yb. 要条件是存在唯一的实数对 , (3)共面向量定理的推论: )共面向量定理的推论: 如图,空间一点 位于平面 位于平面MAB内的充要条件 如图,空间一点P位于平面 内的充要条件 是存在有序实数对(x,y),使MP= xMA+yMB . 是存在有序实数对 , 或对空间一点O来说 来说, 或对空间一点 来说,有OP=OM+xMA+yMB. 5.两向量的夹角 非零 向量a,b,在空间任取一点 ,作 在空间任取一点O, 已知两个 向量 在空间任取一点 叫做向量a与b的夹角, 叫做向量 与 的夹角, OA=a,OB=b,则 ∠AOB , 的夹角 [0,π] 如果 ] <a,b> 范围为 记作 , , π a⊥b . ⊥ <a,b>= ,则称 与b 互相垂直 ,记作 则称a与 记作
2

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6.数量积的定义 已知两个非零向量a,b, 叫做a,b 已知两个非零向量 ,则 |a|·|b|·cos<a,b> 叫做 |a|·|b|cos<a,b> . 的数量积,记作a·b, 的数量积,记作 ,即a·b= 零向量与任何向量的数量积为0. 零向量与任何向量的数量积为 a2 特别地, 特别地,a·a= 7.数量积的运算律 空间向量的数量积满足如下的运算律: 空间向量的数量积满足如下的运算律: (1)(λa)·b=λ(a·b); ) (2)a·b=b·a(交换律); ) (交换律); (3)a·(b+c)=a·b+a·c(分配律). ) (分配律) 返回目录 |a|2

=

.

8.空间向量基本定理 定理如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一 不共面, 定理如果三个向量 不共面 向量p,存在有序实数组 存在有序实数组{x,y,z},使得 p=xa+yb+zc . 向量 存在有序实数组 , 由此可知,如果三个向量 不共面, 由此可知,如果三个向量a,b,c不共面,那么所有空间 不共面 ∈ 向量组成的集合就是 {p|p=xa+yb+zc,x,y,z∈R} . 这个集合可看作是由向量a,b,c生成的,我们把 生成的, 这个集合可看作是由向量 生成的 叫做空间的一个基底, 叫做空间的一个基底, a,b,c 都叫做基向量, 都叫做基向量,空间任何三个不共面的向量都可构成 空间的一个基底. 空间的一个基底 {a,b,c}

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9.空间向量的正交分解及其坐标表示 为有公共起点O的三个两两垂直的单位向量 设e1,e2,e3为有公共起点 的三个两两垂直的单位向量 我们称它们为单位正交基底), ),以 (我们称它们为单位正交基底),以e1,e2,e3的公共起 为原点, 的方向为x轴 点O为原点,分别以 1,e2,e3 的方向为 轴、y轴、z轴的 为原点 分别以e 轴 轴的 正方向建立空间直角坐标系O—xyz.那么,对于空间任 正方向建立空间直角坐标系 那么, 那么 意一个向量p,一定可以把它平移 使它的起点与原点O 一定可以把它平移, 意一个向量 一定可以把它平移,使它的起点与原点 重合,得到向量OP=p.由空间向量基本定理可知,存在 由空间向量基本定理可知, 重合,得到向量 由空间向量基本定理可知 有序实数组{x,y,z},使得 有序实数组 ,使得p=xe1+ye2+ze3.
在单位正交基底e 我们把x,y,z称作 向量 在单位正交基底 1,e2,e3下的坐标 ,记 称作 向量p在单位正交基底 我们把 记 p=(x,y,z) . 作

此时向量p的坐标恰是点 在空间直角坐标系 此时向量 的坐标恰是点P在空间直角坐标系 的坐标恰是点 在空间直角坐标系O—xyz中 中 的坐标(x,y,z). 的坐标 返回目录

10.空间向量的坐标运算 若a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则 , (1)a+b= (a1+b1,a2+b2,a3+b3) (2)a-b= (3)λa= (4)a·b= (a1-b1,a2-b2,a3-b3) (λa1,λa2,λa3) a1b1+a2b2+a3b3 ;

; ;

(λ∈R); ∈

a (5)a∥b? a=λb , ?1=λb1 , a2=λb2 ∥ ? , a3=λb3 ; ? (6)a⊥b?? a·b=0 , ? a1b1+a2b2+a3b3=0 ; ⊥ ? ? 2 2 2 a·a (7)|a|= ; = a +a +a
1 2 3

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(8)cos<a,b>=

a·b | a |·| b | =

a1b1 +a2b2 +a3b3
2 2 a1 +a2 +a2 b1 +b2 +b2 . 2 3 2 3

11.空间中两点间的距离公式 在空间直角坐标系中, 在空间直角坐标系中,设A(a1,b1,c1),B(a2,b2,c2),则 , (1)AB= ) (a2-a1,b2-b1,c2-c1) ; (a2-a1)2+(b2-b1)2+(c2-c1)2 .

(2)dAB=|AB|= )

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考点一 空间向量的线性运算 如图所示,在平行六面体 如图所示,在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中,设 AA1=a,AB=b,AD=c,M,N,P分别是 1,BC,C1D1的 分别是AA 分别是 , 中点,试用a, , 表示以下各向量 表示以下各向量: 中点,试用 ,b,c表示以下各向量: (1) AP; (2) A1N; (3)MP+NC1.

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【分析】根据空间向量加减法及数乘运算的法则和运 分析】 算律即可. 算律即可 【解析】(1)∵P是C1D1的中点, 解析】 的中点, ) 是 1 ∴AP=AA1+A1D1+D1P=a+AD+ 2 D1C1 =a+c+
1 AB=a+c+ 1 b. 2 2

(2)∵N是BC的中点 ∵ 是 的中点 的中点,
1 ∴A1N=A1A+AB+BN=-a+b+ BC 2 1 1 =-a+b+ AD=-a+b+ c. 2 2

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的中点, (3)∵M是AA1的中点, ) 是
1 ∴MP=MA+AP= A1A+AP 2 1 1 1 1 =- a+a+c+ b= a+ b+c, , 2 2 2 2 1 又NC1=NC+CC1= BC+AA1 2 1 1 = AD+AA1= c+a, , 2 2 1 1 1 ∴MP+NC1= a+ b+c+a+ c 2 2 2 3 1 3 = a+ b+ c. 2 2 2

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【评析】用已知向量来表示未知向量,一定要结合 评析】用已知向量来表示未知向量 一定要结合 图形,以图形为指导是解题的关键 要正确理解向量加法、 图形 以图形为指导是解题的关键.要正确理解向量加法、 以图形为指导是解题的关键 要正确理解向量加法 减法与数乘运算的几何意义.首尾相接的若干向量之和 减法与数乘运算的几何意义 首尾相接的若干向量之和 等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量, 等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量, 我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则.在立体 我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则 在立体 几何中要灵活应用三角形法则, 几何中要灵活应用三角形法则,向量加法的平行四边 形法则在空间仍然成立. 形法则在空间仍然成立

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*对应演练* 对应演练*
已知空间四边形OABC中,M,N分别是对边 ,BC 中 分别是对边OA, 已知空间四边形 , 分别是对边 的中点, 的中点,点G在MN上,且MG=2GN,设 在 上 , OA=a,OB=b,OC=c,试用基底 ,b,c}表示向量 试用基底{a, , 表示向量 表示向量OG. 试用基底
2 由线段中点的向量表示式, 由线段中点的向量表示式,得OG=OM+MG=OM+ 3 MN 1 2 = OA+ (MO+OC+CN) ) 2 3 1 2 1 1 = a+ [ - a+c+ (b-c)] 2 3 2 2 1 1 2 1 1 = a- a+ c+ b- c 2 3 3 3 3 1 1 1 = a+ b+ c. 6 3 3

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考点二 共线、共面问题 共线、 如图,已知 分别是空间四边形ABCD的边 如图 已知E,F,G,H分别是空间四边形 已知 分别是空间四边形 的边 AB,BC,CD,DA的中点 的中点. 的中点 四点共面; (1)求证:E,F,G,H四点共面; )求证: 四点共面 (2)求证:BD∥平面 )求证: ∥平面EFGH; ;

1 (3)OM= (OA+OB+OC+OD). ) ) 4
【分析】(1)要证 分析】 四点共面, )要证E,F,G,H四点共面,可寻求 , 四点共面 可寻求x, y使EG=xEF+yEH.(2)由向量共线得到线线平行,进而 使 由向量共线得到线线平行, 由向量共线得到线线平行 得到线面平行. 得到线面平行 返回目录

【证明】(1)如图 连接 证明】 连接BG, )如图,连接 ,则EG=EB+BG 1 =EB+ (BC+BD)=EB+BF+EH=EF+EH, 2 由共面向量定理的推论知: 四点共面. 由共面向量定理的推论知:E,F,G,H四点共面 四点共面 (2)因为 )因为EH=AH-AE 1 1 1 1 = AD- AB= (AD-AB)= 2 BD, , 2 2 2 所以EH∥ 所以 ∥BD. 又EH?平面 ?平面EFGH, , ? BD?平面EFGH, ?平面 , ? 所以BD∥平面 所以 ∥平面EFGH. 返回目录

(3)连接 )连接OM,OA,OB,OC,OD,OE,OG. , , , , , , 1 由(2)知EH= BD, ) , 2 1 同理FG= BD, 同理 2 所以EH=FG,即EH FG, 所以 即 所以四边形EFGH是平行四边形 是平行四边形. 所以四边形 是平行四边形 所以EG,FH交于一点 且被 平分 交于一点M且被 平分. 所以 交于一点 且被M平分 1 故OM= (OE+OG) 2 1 1 1 1 1 1 = OE+ OG= 2 [ 2 (OA+OB)]+ [ (OC+OD)] 2 2 2 2 1 = (OA+OB+OC+OD). ) 4 返回目录

【评析】在求一个向量由其他向量来表示的时候, 评析】在求一个向量由其他向量来表示的时候 通常是利用向量的三角形法则、 通常是利用向量的三角形法则、平行四边形法则和共 线向量的特点,把要求的向量逐步分解, 线向量的特点,把要求的向量逐步分解,向已知向量 靠近,进行求解.若要证明两直线平行 若要证明两直线平行, 靠近,进行求解 若要证明两直线平行,只需判定两直 线所在的向量满足线性a=λb关系,即可判定两直线平 关系, 线所在的向量满足线性 关系 如第( )( )(2)问即是如此. 行,如第(1)( )问即是如此

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*对应演练* 对应演练*
如图,平行六面体 如图 平行六面体ABCD—A1B1C1D1中,E,F,G分别 平行六面体 , , 分别 的中点, 是A1D1,DD1,D1C1的中点,请选择适当的基底向量 证明: 证明: 1)EG∥AC; (1)EG∥AC; (2)平面 )平面EFG∥平面 1C. ∥平面AB

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证明:(1)取AB=a,AD=b,AA1=c为一组基底, 证明 取 为一组基底, , 为一组基底 分别是A 的中点, ∵E,F,G分别是 1D1,DD1,D1C1的中点, , , 分别是 1 ∴EG=ED1+D1G= 2(a+b), ), AC=AB+BC=a+b,∴EG= AC,即EG∥AC, , , ∥ , 2 从而EG∥ 从而 ∥AC. (2)由(1)EG∥AC,同理可得 ∥B1C,又 由 ) ∥ ,同理可得EF∥ , EG∩B1C=C, ∴平面EFG∥平面 1C. 平面 ∥平面AB
1

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考点三

数量积及运算

在平行四边形ABCD中,AB=AC=1,∠ACD=90°, 中 在平行四边形 , ° 将它沿对角线AC折起,使AB和CD成60°角(如图7将它沿对角线 折起, 和 成 ° 如图 折起 6-8).求B,D间的距离 间的距离. )求 间的距离

【分析】要分清折叠前后的变量与不变量. 分析】要分清折叠前后的变量与不变量 返回目录

【解析】∵∠ACD=90°, ∴AC·CD=0. 解析】∵∠ ° 同理BA·AC=0.∵AB和CD成60°角, ∵ 和 成 ° 同理 ∴<BA,CD>=60°或120°. ° ° ∵BD=BA+AC+CD, ∴BD2=BA2+AC2+CD2+2BA·AC+2BA·CD+2AC·CD =BA2+AC2+CD2+2BA·CD =3+2×1×1×cos<BA,CD> × × × =

{

4 (<BA,CD>=60°) ° 2 (<BA,CD>=120°). °

间的距离为2或 ∴|BD|=2或 2,即B,D间的距离为 或 2. 或 间的距离为 返回目录

【评析】用向量数量积的定义及性质可解决立体几何中求 评析】 异面直线所成的角, 异面直线所成的角,求两点距离或线段长度以及证明线线 垂直、线面垂直等典型问题. 垂直、线面垂直等典型问题 (1)求向量 和n所成的角,首先应选择合适的基底,将目 求向量m和 所成的角 首先应选择合适的基底, 所成的角, 求向量 标向量m和 用该组基底表示出来 用该组基底表示出来, m 标向量 和n用该组基底表示出来,再求其自身的数量积 ·n 及长度,最后利用公式cos<m,n>= | m|| n | . 及长度,最后利用公式 (2)由于线段的长度是实数,实数与向量之间如何转化, 由于线段的长度是实数,实数与向量之间如何转化, 由于线段的长度是实数 是思维中的常见障碍,在向量性质中|a| 是思维中的常见障碍,在向量性质中 2=a·a提供了向量 提供了向量 与实数相互转化的工具,运用此公式, 与实数相互转化的工具,运用此公式,可使线段长度的计 算问题转化成两个相等向量的数量积的计算问题. 算问题转化成两个相等向量的数量积的计算问题 返回目录

*对应演练* 对应演练*
如图所示,已知空间四边形ABCD 如图所示,已知空间四边形 的各边和对角线的长都等于a, 的各边和对角线的长都等于 ,点 M,N分别是 分别是AB,CD的中点 的中点. 分别是 的中点 (1)求证:MN⊥AB, )求证: ⊥ , MN⊥CD; ⊥ ; (2)求MN的长; ) 的长; 的长 (3)求异面直线 与CM所成角 )求异面直线AN与 所成角 的余弦值. 的余弦值

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(1)证明:设AB=p,AC=q,AD=r. )证明: , , 由题意可知, 由题意可知,|p|=|q|=|r|=a,且p,q,r三向量两两夹 , , , 三向量两两夹 角均为60° 角均为 °.
1 1 1 MN=AN-AM= (AC+AD)- AB= (q+r-p), 2 2 2 1 1 ∴MN·AB= (q+r-p)·p= (q·p+r·p-p2) ) 2 2

= (a2·cos60°+a2·cos60°-a2)=0. ° ° 同理可证MN⊥CD. ∴MN⊥AB,同理可证 ⊥ 同理可证 ⊥

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1 (2)由(1)可知 ) )可知MN= (q+r-p). ) 2 1 ∴|MN|2=MN2= (q+r-p)2 ) 4 1 = 4 q2+r2+p2+2(q·r-p·q-r·p)] [ ] 1 1 a2 a2 a2 a2 = [a2+a2+a2+2( - )= ×2a2 = . 4 4 2 2 2 2
2 ∴|MN|= a,∴MN的长为 2a. ∴ 的长为 2 2

的夹角为θ. (3)设向量 与MC的夹角为 )设向量AN与 的夹角为
1 1 1 ∵AN= (AC+AD)= (q+r),MC=AC-AM=q- p, 2 2 2 1 1 1 2 1 1 ∴AN·MC= (q+r)·(q- p)= (q - q·p+r·q- r·p) ) 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2·cos60°= (a - a ·cos60°+a a ·cos60° ° ° ° 2 2 2

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1 2 a2 a2 a2 a2 = (a + )= . 2 4 2 4 2 又∵|AN|=|MC|= 3 a, , 2

∴AN·MC=|AN|·|MC|·cosθ
12 3 3 = a· a·cosθ= a . 2 2 2 2 , ∴cosθ= 3 2 AN与CM所成角的余弦值为 . 与 所成角的余弦值为 3

1 4

∴向量AN与MC的夹角的余弦值为 向量 与 的夹角的余弦值为

2 ,从而异面直线 3

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考点四 空间向量的坐标运算 (1)已知 ,B,C三点坐标分别为(2,-1,2),( ,5, 已知A, , 三点坐标分别为 三点坐标分别为( , , ),( ),(4, , 已知 1 -1),( ,2,3)求点 使得 ),(-2, , )求点P使得 使得AP= (AB-AC); ),(
2

(2)a=(3,5,-4), (2,1,8).求: ( , , ), ),b=( , , ) 求 夹角的余弦值; ①a·b;②a与b夹角的余弦值; ; 与 夹角的余弦值 ③确定λ,?的值使得 的值使得λa+?b与z轴垂直,且(λa+?b)· 轴垂直, 确定 的值使得 与 轴垂直 (ab)=53. 【分析】第(1)问中只需代入点的坐标即可求解 分析】 )问中只需代入点的坐标即可求解. 第(2)问中,求夹角需利用数量积,因而需求得 与 )问中,求夹角需利用数量积,因而需求得|a|与
m ·n |b|代入公式 代入公式cos<a,b>= .而求 的值,需利用 而求λ,?的值 代入公式 而求 的值,需利用z | m|| n |

轴的单位向量联立方程组求解. 轴的单位向量联立方程组求解

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【解析】(1)设P(x,y,z),则AP=(x-2, 解析】 ),则 ) ( , , ), ( , y+1,z-2), , ),

1 AB=(2,6,-3), ),AC=(-4,3,1), ),AP=(AB( ), ( ), ( 2 AC). )
∴(x-2,y+1,z-2)= , , )
1 3 = 2 6,3,-4)=(3, 2 ( ) 1 [(2,6,-3)-(-4,3,1)] [( )( )] 2

,-2).



{

x-2=3
3 y+1= , 2

z-2=-2

解得
1 ,0). 2

{

x=5
1 2

y=

,

z=0

点坐标为(5, ∴P点坐标为 点坐标为

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(2)①a·b=(3,5,-4)·(2,1,8) ) ( , , )( , , ) =3×2+5×1-4×8=-21. × × ×

32 + 52 + (-4)2 = 5 2 , ②∵|a|=
|b|=

22 +12 +82 = 69 ,
.

a·b 21 7 138 ∴cos<a,b>= , ==| a || b | 230 5 2· 69
∴a与b夹角的余弦值为 - 7 138 与 夹角的余弦值为 230 .

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③取z轴上的单位向量 (0,0,1),a+b=(5,6,4). 轴上的单位向量n=( ) ( ) 轴上的单位向量 依题意

{

(λa+?b)·n=0 ) (λa+?b)·(a+b)=53, )( )



{

(3λ+2?,5λ+?,-4λ+8?)·(0,0,1)=0 )( ) (3λ+2?,5λ+?,-4λ+8?)·(5,6,4)=53, , , )( ) -4λ+8?=0 29λ+48?=53, 解得 λ=1 ?=



{

{

1 . 2

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【评析】 评析】

本题主要运用坐标代入运算即可.特别 本题主要运用坐标代入运算即可 特别

可知, 轴垂直, 地,由(2)中③可知,λa+?b与z轴垂直,只需满足 ) 与 轴垂直 λa+?b的竖坐标为零 , 即-4λ+8?=0即可 ,可见要使 的竖坐标为零 即可 可见要使a 与某一坐标轴垂直,只要a的相应坐标为零即可,且反 的相应坐标为零即可, 与某一坐标轴垂直,只要 的相应坐标为零即可 之亦成立. 之亦成立

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*对应演练* 对应演练*
如图所示,在直四棱柱 ABCD—A 1 B 1 C 1 D 1 中 , 底面ABCD是图矩形, AB=2,AD=1,AA1=3, , , , M是 BC的中点 在 DD 1 上 的中点.在 是 的中点 是否存在一点N,使 MN⊥ DC 1 ?并说明理由 并说明理由. ⊥ 并说明理由

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建立以D为坐标原点, 为 轴 建立以 为坐标原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z 为坐标原点 为 轴
1 轴的坐标系.则 轴的坐标系 则C1(0,2,3),M( ,2,0),D(0,0,0).设N , , ( )设 2

),则 (0,0,h),则MN= ),
1 1 ,-2,h),DC1=(0,2,3),由MN·DC1=(- ,-2,h)·(0,2,3)=由 2 2 4 4+3h,∴当h= 3 <3时,MN·DC1=0,此时 ∴ 时 ,此时MN⊥DC1, ⊥

(-

∴存在N∈DD1,使MN⊥DC1. 存在 ∈ ⊥

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1.熟练掌握空间向量的运算、 1.熟练掌握空间向量的运算、性质及其基本定理是 熟练掌握空间向量的运算 解决空间向量问题的基础,特别是共线向量定理、 解决空间向量问题的基础,特别是共线向量定理、共 面向量定理、空间向量基本定理,数量积的性质等. 面向量定理、空间向量基本定理,数量积的性质等. 2.利用向量解立体几何题的一般方法: 2.利用向量解立体几何题的一般方法:把线段或角 利用向量解立体几何题的一般方法 度转化为向量表示,用已知向量表示未知向量, 度转化为向量表示,用已知向量表示未知向量,然后 通过向量的运算或证明去解决问题,在这里, 通过向量的运算或证明去解决问题,在这里,恰当地 选取基底可使向量运算简捷,或者是建立空间直角坐 选取基底可使向量运算简捷, 标系,使立体几何问题转化为代数问题,在这里, 标系,使立体几何问题转化为代数问题,在这里,熟 练准确地写出空间中任一点的坐标是解决问题的基础. 练准确地写出空间中任一点的坐标是解决问题的基础. 返回目录

3.利用坐标运算解决立体几何问题, 3.利用坐标运算解决立体几何问题,降低了推理 利用坐标运算解决立体几何问题 难度,可以避开一些较复杂的线面关系, 难度,可以避开一些较复杂的线面关系,但较复杂的 代数运算也容易导致出错.因此,在解决问题时, 代数运算也容易导致出错.因此,在解决问题时,可以 灵活的选用解题方法,不要生搬硬套. 灵活的选用解题方法,不要生搬硬套. 4.用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一 4.用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一 般用向量共线定理;求两点间距离或某一线段的长度, 般用向量共线定理;求两点间距离或某一线段的长度, 一般用向量的模来解决;求异面直线所成的角, 一般用向量的模来解决;求异面直线所成的角,一般 可以转化为两向量的夹角, 可以转化为两向量的夹角,但要注意两种角的范围不 最后应进行转化; 同,最后应进行转化;解决垂直问题一般可转化为向 量的数量积为零. 量的数量积为零. 5.空间向量的加法、减法经常逆用, 5.空间向量的加法、减法经常逆用,来进行向量的 空间向量的加法 分解. 分解. 6.几何中向量问题的解决,选好基底是关键. 6.几何中向量问题的解决,选好基底是关键. 几何中向量问题的解决


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