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高中集合复习课件2


1.元素与集合

(1) 把研究对象统称为元素
(2) 把一些元素组成的总体叫做集合 (3) 我们知道集合中的元素有三个特征:确定性,互异性, 无序


(4)集合中的元素的不同形式 (5)元素与集合的关系

元素与集合之间的关系有属于( ∈ )和不属于(? )两种
(6)集合与集合的关系 包含,不包含,相等

二、集合间的基本关系 表示 定义 记法 A= B

关系

集合 相等 集合A与集合B中的所有元素都相同

间的 子集 A中任意一元素均为B中的元素 A?B 或 B?A 基本 真子 A中任意一元素均为B中的元素,且 A B或 B A 关系 集 B中至少有一个元素A中没有 空集是任何集合的子集 空集 空集是任何 非空集合 的真子集 ??B ??B (B≠?)

1.设全集为R,集合M={x|y=2x+1},N={y|y=-x2},
则 A.M?N C.N=M B.N?M D.M∩N={(-1,-1)} ( )

解析:从代表元素入手,认识集合的意义,M为一次函数
的定义域,N为二次函数的值域,化简判断,M=R,N=

(-∞,0],即N?M.
答案:B

[思考探究2]
若集合A中含有n(n≥1)个元素,则集合A的子集、真子集、 非空真子集的个数分别为多少? 提示:若集合A中含有n(n≥1)个元素,则集合A中有2n个子集, 2n-1个真子集,2n-2个非空真子集.

1.集合{?}是空集吗?它与集合{0}有什么区别? 提示:集合{?}不是空集.空集是不含任何元素的集合, 而集合{?}中有一个元素?.若把?看作一个元素,则有

?∈{?},而{0}表示集合中的元素为0.

三、集合的基本运算

集合的并集
符号表 示 图形表 A∪B

集合的交集
A∩B

集合的补集
若全集为U,则集 合A的补集为?UA


{x|x∈A, {x|x∈A, 且x∈B} {x|x∈U, 且x?A}

意义

或x∈B}

2.对于集合A、B,若A∩B=A∪B,则A、B 有什么关系? 提示:A=B,假设A≠B,则A∩B?A∪B,与
A∩B=A∪B矛盾,故A=B.

? (2010· 辽宁高考)已知A,B均为集合U= {1,3,5,7,9}的子集,且A∩B={3},(?UB)∩A ={9},则A=( )
A.{1,3} C.{3,5,9} B.{3,7,9} D.{3,9}

? 解析:∵A∩B={3},(?UB)∩A={9}且 B∪(?UB)=U,∴A={3,9}. ? 答案:D

? (2010· 天津高考)设集合A={x||x-a|<1, x∈R},B={x|1<x<5,x∈R}.若A∩B=? ,则实数a的取值范围是 ( )
A.{a|0≤a≤6} B.{a|a≤2,或a≥4} C.{a|a≤0,或a≥6} D.{a|2≤a≤4}

解析:由集合A得:-1<x-a<1,

即a-1<x<a+1,显然集合A≠?,
若A∩B=?,由图可知a+1≤1或a-1≥5,故a≤0或a≥6.

答案:C

? (2010· 江西高考)若集合A={x||x|≤1,x∈R},B= {y|y=x2(是指数),x∈R},则A∩B=( ) A.{x|-1≤x≤1} B.{x|x≥0} C.{x|0≤x≤1} D. ?

? 解析:∵A={x||x|≤1,x∈R}={x|-1≤x≤1} , ? B={y|y=x2,x∈R}={y|y≥0}={x|x≥0} ? ∴A∩B={x|0≤x≤1}. 答案:C

(2009· 全国卷Ⅰ)设集合A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},全集U= A∪B,则集合?U(A∩B)中的元素共有 ( ) ? A.3个 B.4个 ? C.5个 D.6个

? ? ? ?

(2009· 四川高考)设集合S={x||x|<5},T={x|(x+7) (x-3)<0},则S∩T= ( ) A.{x|-7<x<-5} B.{x|3<x<5} C.{x|-5<x<3} D.{x|-7<x<5}

[思路点拨] (1) 求A∪B 化简集合S 求?U(A∩B) 化简集合T 结论 求 S∩ T

(2)

与不等式相结合考查集合的运算或结合新定义考 查集合的关系和运算是高考对集合的常规考法,09年 湖北高考将集合运算与向量的坐标运算,考出了新意, 符合新课标要求学生要有很好的创新意识的要求,是

高考命题的一个新方向.

[考题印证]
(2009· 湖北高考)已知P={a|a=(1,0)+m(0,1),m∈R}, Q={b|b=(1,1)+n(-1,1),n∈R}是两个向量集合,则 P∩Q= A.{(1,1)} C.{(1,0)} B.{(-1,1)} D.{(0,1)} ( )

【解析】

∵P={a|a=(1,m),m∈R},

Q={b|b=(1-n,1+n),n∈R},
P∩Q={b|b=a},令a=b.

【答案】

A

(3)常见集合的符号表示 数集 自然数集 正整数集 整数集 N*或N+ Z 符号 N (4)集合的表示 有理数集 Q Venn图法 实数集

R

列举法

描述法

1.已知集合A={1,3,5,7,9},B={0,3,6,9,12},则A∩ (

NB为

)

A.{1,5,7}
C.{1,3,9}

B.{3,5,7}
D.{1,2,3}

解析:显然A∩ NB=
果为{1,5,7}.

A(A∩B),且A∩B={3,9},所以结

答案:A

2.已知集合M={x|-3<x≤5},N={x|x<-5或x>5},

则M∪N=
A.{x|x<-5或x>-3} C.{x|-3<x<5} B.{x|-5<x<5}

(
D.{x|x<-3或x>5}

)

解析:由题意画出图形.可知, M∪N={x|x<-5或x>-3}. 答案:A

3.满足M?{a1,a2,a3,a4},且M∩{a1,a2,a3}={a1,a2}
的集合M的个数是 A.1 C.3 B.2 D.4 ( )

解析:若M={a1,a2}或M={a1,a2,a4},符合题意.

答案:B

4.若集合{(x,y)|x+y-2=0且x-2y+4=0}?{(x,y)|y=
3x+b},则b= .

解析:由
点(0,2)在y=3x+b上,∴b=2.

答案:2

(理)已知全集I={x|x∈R},集合A={x|x≤1或x≥3},集合B=

{x|k<x<k+1,k∈R},且(?IA)∩B=?,则实数k的取值范围
是 .

解析:∵A={x|x≤1或x≥3},∴?I A={x|1<x<3}. 又∵B={x|k<x<k+1,k∈R},且(?I A)∩B=?, ∴k≥3或k+1≤1,即k≥3或k≤0. 答案:(-∞,0]∪[3,+∞)

4.设集合A={5,log2(a+3)},集合B={a,b}.若A∩B={2}, 则A∪B= .

解析:∵A∩B={2},∴log2(a+3)=2. ∴a=1.∴b=2.

∴A={5,2},B={1,2}.
∴A∪B={1,2,5}. 答案:{1,2,5}

1.掌握集合的概念的关键是把握集合中元素的三个特性.要
特别注意集合中元素的互异性,在解题过程中最易被忽 视,因此要对计算结果加以检验,以确保结果的正确性. 2.明确集合的元素的意义,这是怎样类型的对象(如数.点、 方程、图形等).

3.弄清集合由哪些元素所组成,这就需要我们把抽象的问题
具体化、形象化,也就是善于对集合的三种语言(文字、符 号、图形)进行相互转化,同时还要善于对用多个参数表示 的符号描述法{x|P(x)}的集合化到最简形式.

已知集合A={a-2,2a2+5a,12},且-3∈A,求a. [思路点拨]

分别令a-2=-3,2a2+5a=-3求出a的值,注意检验.
[课堂笔记] ∵-3∈A,则-3=a-2或-3=2a2+5a,

∴a=-1或a=-
当a=-

.
,2a2+5a=-3,∴a=-

当a=-1时,a-2=-3,2a2+5a=-3,∴a=-1舍去; 时,a-2=- .

判断集合与集合的关系,基本方法是归纳为判断元素与 集合的关系.对于用描述法表示的集合,要紧紧抓住代表元素 及它的属性,可将元素列举出来直观发现或通过元素特征, 求同存异,定性分析. [特别警示] 要特别注意?是任何集合的子集,是任何非空集 合的真子集在解题中的应用.

已知集合A={x|0<ax+1≤5},集合B={x|- x≤2}. (1)若A?B,求实数a的取值范围; (2)若B?A,求实数a的取值范围;



(3)A、B能否相等?若能,求出a的值;若不能,试说明理由. [思路点拨] 化简集合A
在数轴上标出A、B 结论

[课堂笔记] (1)由0<ax+1≤5,得-1<ax≤4. 当a=0时,A=R,不满足A?B; 当a>0时,A={x|- < x≤ };

若A?B,则

解得a≥2. ≤x<- },

当a<0时,A={x|
若A?B,则

解得a<-8

综上,若A?B,则a<-8或a≥2.

(2)由(1)知,当a=0时,A=R,满足B?A; 当a>0时,若B?A,则

解得0<a≤2. 当a<0时,若B?A, 则 解得- <a<0.

综上,满足B?A的a的取值范围为

.

(3)若A=B,由(1)知a≠0. 当a>0时,由

解得a=2,即a=2时满足A=B.
当a<0时,由A={x| 显然A≠B. 综上,若A=B,a的值为2. ≤x<- },B={x|- <x≤2},

若将本例中的集合A改为{x|a+1≤x≤2a-1},其它条件 不变,如何求解第(1)、(2)两题? 解:(1)当a+1>2a-1,即a<2时,A=?,满足条件; 当a+1≤2a-1,即a≥2时 解之得 ∴a不存在. 综上所述,实数a的取值范围为a<2.

(2)∵B?A

∴a不存在.

在进行集合的运算时,先看清集合的元素和所满足的 条件,再把所给集合化为最简形式,并合理转化求解,必 要时充分利用数轴、韦恩图、图象等工具使问题直观化, 并会运用分类讨论、数形结合等思想方法,使运算更加直

观,简洁.

(1)(2009· 全国卷Ⅰ)设集合A={4,5,7,9},B= {3,4,7,8,9},全集U=A∪B,则集合?U(A∩B)中的元素共有

(
A.3个 C.5个 B.4个 D.6个

)

(2)(2009· 四川高考)设集合S={x||x|<5},T={x|(x+7) (x-3)<0},则S∩T= ( )

A.{x|-7<x<-5}
C.{x|-5<x<3}

B.{x|3<x<5}
D.{x|-7<x<5}

[课堂笔记] (1)∵A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9} ∴A∪B={3,4,5,7,8,9},A∩B={4,7,9}

∴?U(A∩B)={3,5,8}.
(2)由|x|<5,得-5<x<5,∴S={x|-5<x<5}. 由(x+7)(x-3)<0,得-7<x<3,∴T={x|-7<x<3}. ∴S∩T={x|-5<x<3}. [答案] (1)A (2)C

[自主体验]
(2009· 北京高考)设D是正△P1P2P3及其内部的点构成的 集合,点P0是△P1P2P3的中心.若集合S={P|P∈D, |PP0|≤|PPi|,i=1,2,3},则集合S表示的平面区域是( A.三角形区域 B.四边形区域 )

C.五边形区域

D.六边形区域

解析:依题意,由P∈D且|PP0|=|PP1|知, 点P的轨迹为线段P1P0的垂直平分线A1A2.

再由|PP0|≤|PP1|知点P在直线A1A2及直线A1A2含点P0的一侧

且P∈D;同理由|PP0|≤|PP2|,|PP0|≤|PP3|知,S表示的平面
区域为六边形A1A2B1B2C1C2及其内部. 答案:D

5.(文)已知集合A={x|x<a},B={x|1<x<2},且A∪(?RB) =R,则实数a的取值范围是 .

解析:?RB=(-∞,1]∪[2,+∞),又A∪(?RB)=R,
借助数轴可得a≥2. 答案:a≥2

6.已知集合A={x|x2-2x-8=0},B={x|x2+mx+m2-12
=0},且A∪B=A,求实数m的取值范围.

解:∵A∪B=A,∴B?A,又∵A={-2,4},
∴B=?或{-2}或{4}或{-2,4}. 当B=?时,Δ<0?m>4或m<-4; 当B={4}时,

?无解;

当B={-2}时

当B={-2,4}时,

?m=-2.

∴m≥4或m=-2或m<-4.当B={-2}时,

当B={-2,4}时,

?m=-2.

∴m≥4或m=-2或m<-4.


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