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高一数学苏教版必修4(江苏专用)课件2.4.2 向量数量积的坐标运算_图文

第 2 课时 向量数量积的坐标运算 目标导航 预习导引 学习 目标 1.理解平面向量数量积的坐标表示,能解决向量的坐标形式求数量 积、向量的模及两个向量的夹角的问题. 2.会用两个向量的坐标判断它们的垂直关系. 3.增强运用向量法与坐标法处理向量问题的意识. 重点:用向量的坐标求数量积、向量的模及两个向量的夹角,会判断两 向量间的垂直关系. 难点:运用向量法与坐标法解决问题的意识. 重点 难点 目标导航 预习导引 1.两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示 设向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),a 与 b 的夹角为 θ. 数量积 两个向量垂 直 两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和,即 a· b=x1x2+y1y2 a⊥b?x1x2+y1y2=0 预习交流 1 已知非零向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2).a∥b 与 a⊥b 坐标表示有何区别? 提示:若 a∥b?x1y2=x2y1,即 x1y2-x2y1=0. 若 a⊥b?x1x2=-y1y2,即 x1x2+y1y2=0. 两个命题不能混淆,可以对比学习,分别简记为:纵横交错积相等,横 横纵纵积相反. 目标导航 预习导引 2.三个重要公式 目标导航 预习导引 预习交流 2 (1)平面向量 a 与 b 的夹角为 60° ,a=(2,0),|b|=1,则 |a+2b|= . . 4 3 (2)已知 a=(3,x),|a|=5,则 x= (3)若 a=(2,-3),b=(x,2x),且 a· b= ,则 x= 提示:(1)2 3 (2)± 4 (3)1 3 . 问题导学 当堂检测 一、数量积的坐标运算 活动与探究 已知向量 a=(3,-1),b=(1,-2), 求:(1)a· b;(2)(a+b)2;(3)(a+b)· (a-b). 思路分析:题目中给出了两向量的坐标,欲求本题中的数量积,可根 据向量数量积的坐标运算公式,也可考虑其几何意义来求解. 问题导学 当堂检测 解:(1)∵ a=(3,-1),b=(1,-2), ∴ a·b=3×1+(-1)×(-2)=3+2=5. (2)∵ a+b=(3,-1)+(1,-2)=(4,-3), ∴ (a+b)2=|a+b|2=42+(-3)2=25. (3)∵ a=(3,-1),b=(1,-2), ∴ a2=32+(-1)2=10, b2=12+(-2)2=5, (a+b)·(a-b)=a2-b2=10-5=5. 问题导学 当堂检测 迁移与应用 已知向量 a=(2,1),a· b=10,|a+b|=5 2,则|b|= 答案:5 · = 10, 解析:设 b=(x,y),由 | + | = 5 2, 2 + = 10, 得 ( + 2)2 + (y + 1)2 = 5 2. = 3, = 5, 或 = 4 = 0. . 解方程组得 则|b|= 2 + 2 =5. 问题导学 当堂检测 平面向量数量积的坐标运算主要解决的问题. 向量的坐标表示和向量的坐标运算实现了向量运算的完全代数 化. 主要解决以下三方面的问题: (1)求两点间的距离(求向量的模). (2)求两向量的夹角. (3)证明两向量垂直. 问题导学 当堂检测 二、两向量的夹角问题 活动与探究 已知△ABC 顶点的坐标分别为 A(3,4),B(0,0),C(c,0). (1)若 c=5,求 cos A 的值; (2)若 A 是钝角,求 c 的取值范围. 思路分析:(1)求· ,||,| |,计算 cos A= · ;(2)利用 ||·|| · <0 求 c 的取值范围,需验证 , 反向的特殊情形. 问题导学 当堂检测 解:(1)=(-3,-4), =(c-3,-4), 当 c=5 时, =(2,-4). 故 cos A= · |||| -6+16 5 20 1 5 5 . 5 25 3 = = = (2)若 A 为钝角,则· =-3(c-3)+16=25-3c<0,解得 c> . 显然此时有和不共线,故当 A 为钝角时,c 的取值范围为 25 ,+∞ 3 . 问题导学 当堂检测 迁移与应用 已知 a=(1,2),b=(1,λ),分别确定实数 λ 的取值范围,使得(1)a 与 b 的 夹角为直角; (2)a 与 b 的夹角为钝角; (3)a 与 b 的夹角为锐角. 解:设 a 与 b 的夹角为 θ,|a|= 12 + 22 = 5,|b|= 1 + 2 ,a·b=1+2λ. (1)因为 a 与 b 的夹角为直角,所以 a⊥b.所以 a·b=0. 所以 1+2λ=0,即 λ=- . 1 2 问题导学 当堂检测 (2)因为 a 与 b 的夹角为钝角, 所以 cos θ<0,且 cos θ≠-1. 所以 a·b<0,且 a 与 b 不反向. 由 a·b<0 得 1+2λ<0,故 λ<- , 由 a 与 b 共线得 λ=2,故 a 与 b 不可能反向. 所以 λ 的取值范围为 -∞,所以 cos θ>0,且 cos θ≠1. 所以 a·b>0,且 a,b 不同向. 由 a·b>0 得 λ>- ,由 a 与 b 不同向得 λ≠2. 所以 λ 的取值范围为 - ,2 ∪(2,+∞). 1 2 1 2 1 2 1 2 . (3)因为 a 与 b 的夹角为锐角, 问题导学 当堂检测 1.利用数量积求两向量夹角 (1)利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积; (2)利用|a|= 2 + 2 计算出这两个向量的模; (3)由公式 cos θ= 1 2 +1 2 2 2 1 +1 · 2 2 2 +2 直接求出 cos θ 的值; (4)在 0≤θ≤π 内,由 cos θ 的值求角 θ. 2.由 cos · θ= 去判断 |||| θ 的取值情况分析 (1)cos θ=1,θ=0° ; (2)co

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