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东华高级中学2015-2016学年下学期高二第一次月考数学测试卷(理科)


东华高级中学2015-2016学年下学期前段考

高二数学试题(理科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共 150 分.

第Ⅰ卷(选择题
参考公式:正弦定理:

共 60 分)

a b c ? ? ? 2 R ( R 为外接圆半径) ; sin A sin B sin C 余弦定理:a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A , b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B , c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC ;
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.已知 z (1 ? 2i) ? 4 ? 3i ,则 z ? ( A. 2 B. 3 ) C. 2 ) D. 5

2.已知命题 p : ?x ? R , x ? 2 ,那么命题 ?p 为( A. ?x0 ? R,x0 ? 2 C. ?x0 ? R,x0 ? 2 3. mn > 0是 B. ?x0 ? R,x0 ? 2 D. ?x0 ? R,x0 ? 2

x2 y2 + = 1 表示椭圆的( m n
B.必要不充分

)条件. C.充要条件 D.既不充分也不必要

A.充分不必要

4.在△ABC 中,若 sin A : sin B : sin C ? 3 : 4 : 30 ,则 ?ABC 是 A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 )

5.已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且满足 A.

S3 S 2 ? ? 1 ,则数列 {an } 的公差( 3 2
D. 3

1 2

B. 1

C. 2

6.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c .若角 A, B, C 成等差数列,边 a, b, c 成 等比数列,则 sin A ? sin C 的值为 A.

3 3 B. 4 4

C.

1 2

D.

1 4

7.若椭圆

x2 y 2 x2 y2 3 ? ? 1 ( a ? b ? 0) ? ? 1 的渐近线方程为 的离心率为 ,则双曲线 a 2 b2 a 2 b2 2
1

A. y ? ?

1 x 2

B. y ? ? 2 x C. y ? ? 4 x D . y ? ?

1 x 4


?x ? 2 y ? 4 ? 0 y?2 ? 8.若实数 x、 y 满足 ? x ? 0 ,则 z ? 的取值范围为( x ?1 ?y ? 0 ?
A. (?? ,?4] ? [ ,?? ) B. (?? ,?2] ? [ ,?? ) C. [ ?2, ] D. [ ?4, ] 9. 已知函数 f ( x) ? ?

2 3

2 3

2 3

2 3

?2 x ? 1, ( x ? 0) ,把函数 g ( x) ? f ( x) ? x 的零点按从小到大的顺 ? f ( x ? 1) ? 1, ( x ? 0)
) D. an ? 2 ? 2
n

序排列成一个数列,则该数列的通项公式为( A. a n ?

n(n ? 1) B. a n ? n ? 1 2

C. an ? n(n ? 1)

?| lg x |, 0 ? x ? 10, ? 10. 已知函数 f ( x) ? ? 1 若 a, b, c 互不相等, 且 f (a) ? f (b) ? f (c), 则 abc ? x ? 6, x ? 10. ? ? 2
的取值范围是( ) C. (10,12) D. (20, 24)

A. (1,10) B. (5, 6)

11.已知 F1 , F2 分别是双曲线 C :

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点,若 F2 关于渐近线的对称点恰 a2 b2

落在以 F1 为圆心, | OF1 | 为半径的圆上,则双曲线 C 的离心率为( ) A. 3 B. 3 C. 2 D. 2

12.已知 f (1, 1) ? 1 , f (m, n) ? N * ( m 、 n ? N *) ,且对任意 m 、 n ? N * 都有: ① f (m, n ? 1) ? f (m, n) ? 2 ;② f (m ? 1, 1) ? 2 f (m, 1) . 给出以下三个结论:(1) f (1, 5) ? 9 ;(2) f (5, 1) ? 16 ;(3) f (5, 6) ? 26 . 其中正确的个数为 A.3 B.2 C.1 D.0

2

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 13.三角形一边长为 14 ,它对的角为 60 ? ,另两边之比为 8 : 5 ,则此三角形面积为____. 14.极坐标系下,直线 ? cos( ? ?

?
4

) ? 2 与圆 ? ? 2 的公共点个数是________;

15.已知 F1 (?C,0), F2 (C,0) 为椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点, P 在椭圆上,且 a2 b2

?PF1 F2 的面积为

2 2 b ,则 cos?F1 PF2 ? . 2
2 2

16.在数列 ?an ? 中,若 an ? an?1 ? p ( n ? 2, n ? N ? , p 为常数) ,则称数列 ?an ? 为“等 方差数列” 。下列是对“等方差数列”的判断:①若 ?an ? 是等方差数列,则 an

? ?是等差数
2

列;② (?1) n 是等方差数列;③若 ?an ? 是等方差数列,则 ?a kn ?( k ? N , k 为常数)也
?

?

?

是等方差数列;④若 ?an ? 是等方差数列,又是等差数列,则该数列是常数列。其中正确命 题的序号是_____________.

三、解答题:本大题共6小题,满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17. (本小题满分 10 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c ,且

sin 2 B ? sin 2 A ? sin 2 C ? sin A sin C .
(1)求角 B 的值; (2)若 b ?

3, S ?ABC ?

3 ,求 AB ? BC 及 a ? c 的值. 2

18. (本小题满分 12 分) 已知各项不为零的数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且满足 Sn ? a1 ? an ?1? . (1)求数列 ?an ? 的通项公式;

3

(2)设数列 ?bn ? 满足 anbn ? log2 an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 ?n . 19.(本小题满分 12 分) 如图,直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 ,底面 ?ABC 中, CA ? CB ? 1, ?BCA ? 90? , ,棱

AA1 ? 2 , M、N 分别是 A1 B1 , A1 A 的中点;
(1) 求证 : A1 B ? C1 M . (2)求 CB1 与平面 A1 ABB 1 所成的角的余弦值.

20.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax2 ? b ln x 在 x ? 1 处有极值 (1)求 a , b 的值; (2)判断函数 y ? f ( x) 的单调性并求出单调区间.

1 . 2

21.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 M :

x2 y2 ? ? 1(a ? 0) 的一个焦点为 F (?1,0) ,左右顶点分别为 A, B .经 3 a2

过点 F 的直线 l 与椭圆 M 交于 C , D 两点. (1)求椭圆方程,并求当直线 l 的倾斜角为 45 时,求线段 CD 的长; (2)记 ?ABD 与 ?ABC 的面积分别为 S1 和 S 2 ,求 | S1 ? S 2 | 的最大值.
?

22.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ?

ln x ? k (其中 k ? R , ,f ? ? x ? 为 f ? x ? 导函数. e 是自然对数的底数) ex

(1)当 k ? 2 时,求曲线 y ? f ? x ? 在点 1, f ?1? 处的切线方程; (2)若 x ? ? 0,1? 时, f ? ? x ? ? 0 都有解,求 k 的取值范围; (3)若 f ? ?1? ? 0 ,试证明:对任意 x ? 0 , f ? ? x ? ?
4

?

?

e?2 ? 1 恒成立. x2 ? x

东华高级中学2015-2016学年下学期前段考

高二理科数学试题参考答案
一、选择题:每小题 5 分,满分 50 分 1 2 3 4 题号 答案 13. 40 3 D A B C 二、填空题:每小题 5 分,满分 20 分 14.115. 16.①②③④ 5 C 6 A 7 A 8 B 9 B 10 C 11 D 12 A

三、解答题: 17. 解 析 : ( 1 ) ∵ sin 2 B ? sin 2 A ? sin 2 C ? sin A sin C , 利 用 正 弦 定 理 可 得 :

b 2 ? a 2 ? c 2 ? ac ,
∴ cos B ?

a2 ? c2 ? b2 1 ? 3分 2ac 2

B ? (0, ? ) ∴ B ?
(2)∵ S ?ABC ?

?
3

5分

3 1 2 ,∴ ac ? 2 , ? ac sin B ? 2 2 2

2 2 2 由余弦定理可得: ( 3 ) ? a ? c ? 2ac cos

?
3

化为 (a ? c) 2 ? 3ac ? 3

解 9分



a?c ?3

AB ? BC ? accos(? ? B) ? ?1
10 分 18.解析: (1)当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? a1 ? a1 ? 1? ? a1 ? a1
2

? a1 ? 0 ? a1 ? 2 1 分
当 n ? 2 时, S n ? a1 (an ? 1) ???①

S n ?1 ? a1 (an ?1 ? 1) ???②
① -②得 an ? a1 ? an ? an ?1 ? ? 2an ? 2an ?1

? an ? 2an ?1
5

? 数 列
5分 ( 8分

?an ?

是 首 项 为

2 , 公 比 为

2

的 等 比 数 列

? an ? 2n

2



? bn ?

n 2n

?Tn ?


1 2 3 n ?1 n 1 1 2 3 n ?1 n ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ? n Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ? n ?1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
相 减 得
1 1 (1 ? n ) 1 1 1 1 1 1 n 2 ? n ? 1? n ? 2 Tn ? ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ? n ? 1 ? 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2n? 1 2n? 1 1? 2



?Tn ? 2 ?

n?2 12 分 2n

19.解析: (1)证明:建立如图所示的空间直角坐标系。 依题意,得 C1(0,0,2) 、M( ∴A 1B · C1M =-

????

?????

???? ????? 1 1 ? +0=0,∴ A1B ⊥ C1M ,∴ A1 B ? C1 M 2 2

???? ????? 1 1 1 1 , ,2) ,A ,0}. 1B ={-1,1,2}, C1M ={ , 2 2 2 2
5分

(2)解:依题意得,C(0,0,0) ,B1(0,1,2) ,C1(0,0,2) 、M (

1 1 , ,2) 2 2

∴ CB1 ={0,1,2,}, C1M ={ 又 C1M ⊥面 A1 ABB 1 ∴ C1M 为平面 A1 ABB 1 的法向量

????

?????

????? ?????

1 1 , ,0} 2 2

????? ???? ????? ???? C M ? CB 10 1 1 ∴cos< C1M , CB1 >= ????? = ???? C1M CB1 10
∴ CB1 与平面 A1 ABB 1 所成的角的余弦值为

3 10 12 分 10

' 20.解析: (1) f ( x ) ? 2ax ?

b , x

6



? 2a ? b ? 0 ? ? 2 1 a ?1 ? b ln1 ? ? ? 2





1 ? ?a ? 2. ? ? ?b ? ?1
(2) f ( x ) ?

5分

1 2 x ? ln x 的定义域为 (0, ??) , 2

f ' ( x) ? x ?
'

?1 x 2 ? 1 ? , x x
7

令 f ( x) ? 0 , 则 x ? 1 或-1 (舍去) 分
' ∴当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? 0 , f ( x) 递减,

当 x ? 1 时, f ( x) ? 0 , f ( x) 递增,
'

∴ f ( x) 在 (0,1) 上递减,在 (1, ??) 上递增, 递 减 区 间 是

(0,1)





增 12 分







(1, ??) .

2 21.解析: (1)因为 F ( ?1,0) 为椭圆的焦点,所以 c ? 1, 又 b ? 3,

x2 y2 ? ?1 3 所以 a ? 4, 所以椭圆方程为 4
2

2

分 因为直线的倾斜角为 45? ,所以直线的斜率为 1,所以直线方程为 y ? x ? 1 ,和椭圆方程联立

? x2 y2 ?1 ? ? 得到 ? 4 ,消掉 y ,得到 7 x 2 ? 8 x ? 8 ? 0 3 ? y ? x ?1 ?
所以 ? ? 288, x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ?

8 7

8 7

7

2 所以 | CD |? 1 ? k | x1 ? x2 |?

24 5分 7

(2)设直线 l 的方程为: x ? m y ? 1 ?m ? R? , 则

?x ? m y ? 1 ? 由 ? x2 y 2 得, 3m2 ? 4 y 2 ? 6my ? 9 ? 0 . ?1 ? ? 3 ?4

?

?

设 C ?x1 , y1 ? , D?x2 , y2 ? ,则 y1 ? y2 ? 分 所以, S1 ?

6m 9 ? 0. , y1 ? y2 ? ? 2 2 3m ? 4 3m ? 4

7

1 1 AB ? y2 , S 2 ? AB ? y1 , 2 2

S1 ? S 2 ?

12 m 1 1 AB ? y2 ? y1 ? ? ? 4 ? y1 ? y2 ? 2 2 3m 2 ? 4
12 4 3| m| ? |m| ? 12 2 3? 4 ? 3 ?m ? R? .

当 m ? 0 时, S1 ? S2 ? ?

由 3m2 ? 4 ,得 m ? ?

2 3 .当 m ? 0 时, S1 ? S2 ? 0 ? 3 3 m?? 2 3 3
时 ,









S1 ? S2











3.
22. 解 析 : ( 1)由 f ? x? ?

12 分

ln x ? 2 1 ? 2 x ? x ln x 得 f ?? x? ? , x ? ? 0, ??? , 所 以 曲 线 x e xe x

y ? f ? x ? 在点
2 ,? f ?1? ? ,?曲线 y ? f ? x ? 切线方程为 ?1, f ?1?? 处的切线斜率为 f ? ?1? ? ? 1 e e 2 1 ? ? ? x ? 1? e e 1 3 y?? x? . e e y?
(2)由 f ? ? x ? ? 0 得 k ? , 3分 即

1 ? x ln x 1 ? x ln x ,令 F ? x ? ? , x x x ?1 ? 0 ? x ? 1 ,? F? ? x ? ? ? 2 ? 0 ,所以 F ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递减,又当 x 趋向于 0 时, x
8

故 F? x ? ? 1 , 即 k ? 1. F ? x ? 趋向于正无穷大, 分 (3)由 f ? ?1? ? 0 ,得 k ? 1 ,
2 令 g ? x ? ? x ? x f ? ? x ? ,所以 g ? x ? ?

7

?

?

x ?1 ?1 ? x ? x ln x ? , x ? ? 0, ??? , ex

ex e?2 ? 1? , 因此,对任意 x ? 0 , g ? x ? ? e ? 1等价于 1 ? x ? x ln x ? ? x ?1
?2

由 h ? x ? ? 1 ? x ? x ln x , x ? ? 0, ?? ,得 h? ? x ? ? ? ln x ? 2 , x ? ? 0, ??? ,
?2 ?2 因此,当 x ? 0, e 时,h? ? x ? ? 0 ,h ? x ? 单调递增; x ? e , ?? 时,h? ? x ? ? 0 ,h ? x ?

?

?

?

?

单调递减,
?2 ? e ?2 ? 1 ,故 1 ? x ? x ln x ? e?2 ? 1 , 所以 h ? x ? 的最大值为 h e

? ?

设 ? ? x ? ? e ? ? x ? 1? ,
x

? ?? ? x ? ? ex ? 1 ,所以 x ? ? 0, ??? 时, ?? ? x ? ? 0 , ? ? x ? 单调递增, ? ? x ? ? ? ? 0? ? 0 ,
故 x ? ? 0, ??? 时, ? ? x ? ? e ? ? x ? 1? ? 0 ,即
x

ex ? 1, x ?1

所以 1 ? x ? x ln x ? e

?2

?1 ?

ex ? e?2 ? 1? . x ?1 e?2 ? 1 恒成立. x2 ? x
12

因此,对任意 x ? 0 , f ? ? x ? ? 分

9


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